Liczby. Ich dzieje, rodzaje, własności - ebook

PODZIĘKOWANIA

Pragniemy podziękować Norbertowi Holzerowi, który zajmuje się szkoleniem nauczycieli szkół podstawowych w Grazu w Austrii i jest specjalistą od diagnozowania i leczenia dyskalkulii. Dzięki niemu udało nam się zrozumieć, w jaki sposób dzieci rozwijają w sobie umiejętność liczenia. Dziękujemy również doktorowi Peterowi Schöpfowi, emerytowanemu profesorowi matematyki Uniwersytetu w Grazu, za cenne uwagi na temat historii i filozofii matematyki. Słowa podziękowania kierujemy także pod adresem Petera Poole’a, który zawsze chętnie pomagał nam w zrozumieniu pewnych zagadnień poruszanych w książce.

Dziękujemy Catherine Roberts-Abel, która tak sprawnie zajęła się wydaniem tej książki. Na naszą wdzięczność zasługuje też Jade Zora Scibilia, która z pomocą Sheili Stewart wspaniale redagowała tekst na poszczególnych etapach jego powstawania. Słowa uznania należą się również Stevenowi L. Mitchellowi, redaktorowi naczelnemu, dzięki któremu udało nam się dotrzeć do szerokiej grupy czytelników i pokazać wszystkim cudowne skarby kryjące się wśród tak dobrze znanych liczb.1.1. SIEĆ POJĘCIOWA

Nie możemy obyć się bez liczb. Spotykamy je wszędzie i o każdej porze. Ukształtowały one nasz sposób myślenia o świecie. Przenikają każdy aspekt naszego życia. Organizacja całego naszego społeczeństwa bazuje na liczbach – pod wieloma względami opiera się właśnie na nich i tak już jest od zarania dziejów. Liczby rządzą naszym życiem.<2/p>

Są one potrzebne do liczenia, mierzenia i wykonywania obliczeń. Mamy liczby opisujące daty i godziny, a także oznaczające cenę różnych towarów i usług. Posługujemy się nimi, gdy kupujemy jedzenie lub liczymy dni. Możemy manipulować liczbami, by poprawić statystyki lub oszukać kogoś w grze. Można nas zidentyfikować za pomocą numeru PESEL, numeru rejestracyjnego samochodu, numeru karty kredytowej i numeru telefonu. Liczby pozwalają nam opisywać rekordy świata, wyniki meczów i osiągnięcia piłkarzy. Nauka, gospodarka i biznes kręcą się wokół liczb. Ba, możemy je dostrzec nawet w muzyce, na przykład w rytmie i harmonii. Dla niektórych z nas liczby są niewyczerpanym źródłem radości i fascynacji, inni natomiast uważają, że są przygnębiające, bezosobowe, często niezrozumiałe i bezduszne. Bez wątpienia osoby pozbawione podstawowych umiejętności posługiwania się liczbami mają mniejsze szanse na dostatnie życie i znalezienie dobrej pracy, muszą się też borykać z wieloma przeciwnościami, podobnie jak ludzie niepotrafiący czytać.

Ponieważ liczby są tak ważne, warto zatrzymać się na chwilę i zastanowić nad ich naturą i pochodzeniem. Czym są? Skąd się wzięły? Kto po raz pierwszy się nimi posłużył? Prawdę mówiąc, tego typu pytania można by jeszcze długo mnożyć. Aby znaleźć na nie odpowiedź, wyruszymy w podróż, która poprowadzi nas przez obszary psychologii, etnologii, historii i filozofii. Po drodze dowiemy się czegoś nowego o nas samych, o naszym umyśle i wyczuciu liczb, zastanowimy się nad rzeczywistością i matematyką, a także poznamy wiele fascynujących idei i zdumiewających faktów.

No właśnie, czym jest liczba? W pierwszym odruchu można by uznać, że jest to dość dziwne i w gruncie rzeczy zbędne pytanie. Symbole takie jak 1, 2, 3, 4 i tak dalej są nam przecież tak dobrze znane. Ich znaczenie wydaje się tak oczywiste, że wszelkie próby wyjaśniania czegokolwiek mogłyby tylko wprowadzić niepotrzebne zamieszanie. Liczby są częścią naszej ogólnej wiedzy o świecie. Z miejsca rozpoznajemy liczbę, gdy tylko ją zobaczymy. Wyjaśnienie czegoś, co wszyscy doskonale znają, jest niezwykle trudne, szczególnie gdy nigdy się wcześniej nad tym nie zastanawialiśmy.

W swojej książce The Society of Mind (Społeczeństwo rozumu) Mar­vin Minsky również zastanawia się nad naturą liczb i pyta, dlaczego wyjaśnienie ich znaczenia jest tak trudne. „Wynika to stąd, że »znaczenie« różnych pojęć zależy od stanu umysłu poszczególnych osób”1. Nadzieja na to, że dzięki wyjaśnieniu lub podaniu dokładnej definicji „różni ludzie zrozumieją poszczególne pojęcia tak samo”, jest zupełnie bezpodstawna, „ponieważ jeśli dwa umysły miałyby się ze sobą doskonale zgodzić na każdym poziomie szczegółowości, to musiałyby być identyczne”. Niemniej to właśnie „na gruncie matematyki możemy najbardziej zbliżyć się do ideału uzyskania zgodności znaczenia poszczególnych pojęć, gdy mówimy o rzeczach takich jak »trzy« lub »pięć«. Jednak nawet coś tak bezosobowego jak pojęcie liczby »pięć« nigdy nie jest odrębnym obiektem w umyśle człowieka, lecz stanowi część olbrzymiej sieci”.

W życiu codziennym mamy wiele okazji do poszerzenia swojej mentalnej sieci znaczeń i wiedzy związanej z pojęciem liczb. Na liczby natrafiamy często w sytuacjach, które mają niewiele wspólnego z matematyką. Wystarczy na przykład, że przez chwilę pomyślimy o liczbie cztery, by przyszło nam do głowy wiele sytuacji, w których odgrywa ona ważną rolę (takich jak: cztery koła samochodu, cztery zęby mądrości, cztery pory roku i tak dalej). Nawet gdy weźmiemy mniej oczywistą liczbę, taką jak dziewięć, i tak z miejsca przyjdzie nam do głowy wiele różnych skojarzeń – w dziele Dantego jest dziewięć kręgów piekielnych, u Tolkiena dziewięć pierścieni władzy trafiło w ręce ludzi, a w mitologii skandynawskiej na drzewie Yggdrasil znajduje się dziewięć światów. Beethoven skomponował dziewięć symfonii; chiński smok występuje w dziewięciu formach; w europejskiej odmianie gry w kręgle wykorzystuje się dziewięć kręgli; w Morzu Karaibskim żyją rozgwiazdy o dziewięciu ramionach; w kulturze żydowskiej świecznik chanukowy ma dziewięć ramion; drużyna baseballowa liczy dziewięciu graczy, a pełny mecz składa się z dziewięciu zmian. Stare powiedzenie głosi, że kot ma dziewięć żywotów. Ramadan jest dziewiątym miesiącem w kalendarzu muzułmańskim; praca w biurze zaczyna się tradycyjnie o godzinie dziewiątej; ciąża trwa u ludzi zazwyczaj dziewięć miesięcy. Dziewięć jest pozytywną liczbą w chińskiej mitologii, ale w kulturze japońskiej liczba ta przynosi pecha, ponieważ wymawia się ją tak samo jak słowo oznaczające cierpienie i agonię.

Ryc. 1.1. Różne sposoby przedstawienia liczby dziewięć

W zależności od pochodzenia każdego z nas nasuwają się nam właśnie takie, a być może również inne obrazy, gdy myślimy o liczbie dziewięć (zob. rycina 1.1). Podobne i nierzadko dużo liczniejsze skojarzenia przychodzą nam do głowy, gdy rozmyślamy o innych liczbach, co sprawia, że zyskują one pewną indywidualność i znaczenie. Liczby te, wchodzące w skład sieci pojęciowej istniejącej w umyśle każdego z nas, wcale nie są więc tak bezosobowe. „ każda liczba ma duszę. Chcąc nie chcąc, po pewnym czasie człowiek podchodzi do nich w sposób coraz bardziej emocjonalny”2 – pisze Paul Auster (1947–) w powieści Muzyka przypadku. A gdy próbuje rozwinąć tę myśl, rozważania stają się nieco absurdalne:

z czasem pojąłem, że każda ma swoją osobowość. Na przykład dwanaście bardzo się różni od trzynastu. Dwunastka to dla mnie synonim uczciwości, sumienności, inteligencji, a trzynastka kojarzy mi się z samotnikiem, z podejrzanym typem, który bez wahania złamie prawo, żeby osiągnąć upragniony cel. Jedenastka to typ pionierski; lubi przedzierać się przez las, wspinać po górach. Dziesiątka to mało rozgarnięty mydłek, który zawsze słucha cudzych poleceń. Dziewiątka to mistyk i myśliciel, pogrążony w kontemplacji niczym Budda3.

1 Marvin Minsky, The Society of Mind (Społeczeństwo rozumu), Simon & Schuster, Nowy Jork 1988, s. 192.

2 Paul Auster, Muzyka przypadku, przeł. Julita Wroniak, Noir sur Blanc, Warszawa 1997, s. 66.

3 Ibid.1.2. CZYM JEST LICZBA?

Ponieważ udzielenie odpowiedzi na tak postawione pytanie może sprawiać pewne trudności, zapytajmy nieco inaczej: „Czy możesz podać przykład jakiejś liczby?”. Zadając takie pytanie znajomym, uzyskamy zapewne odpowiedzi takie jak 5 lub pięć. No dobrze, ale równie dobrze mogłaby paść odpowiedź V, |||||, 3 + 2 lub cinque, prawda?

Wygląda na to, że symbol 5 nie jest liczbą – jest po prostu symbolem. Często spotykanym błędem jest mylenie symbolicznego przedstawienia liczby z jej „istotą”. Trudno się jednak temu dziwić, skoro nasz język nie rozróżnia tych niuansów i w obu wypadkach mówimy o liczbie. Ponieważ jednak chcemy się zastanowić nad „znaczeniem pojęcia liczby”, musimy wyrażać się precyzyjnie: symbol taki jak 5 służy do oznaczenia liczby, ale sam w sobie liczbą nie jest. Liczbę pięć możemy przedstawić za pomocą zupełnie innych znaków – na przykład cyfry rzymskiej V lub chińskiej . Liczba pięć może istnieć nawet bez jakiegokolwiek symbolu służącego do jej zapisu – osobniki gatunku Homo sapiens posługiwały się nią zapewne na długo przed wynalezieniem pisma, wyrażając ją za pomocą palców jednej dłoni.

Podobnie wypowiedziane słowo pięć (ciąg dźwięków) i zapisany wyraz pięć (ciąg liter) są tylko różnymi sposobami przedstawienia liczby pięć. Sama liczba jest pojęciem abstrakcyjnym, które można wyrazić na wiele różnych sposobów i za pomocą różnych słów. Na przykład w języku francuskim słowo oznaczające pięć brzmi cinque, w niemieckim jest to fünf, a w japońskim – go. Tak czy inaczej, wszystkie te różne sposoby przedstawienia – symbole, słowa, dźwięki, a nawet wzory kropek, takie jak – powinny przywodzić nam na myśl tę samą ideę liczby pięć. W lingwistyce słowa lub ciągi słów oznaczających liczby, takie jak pięć lub dwadzieścia cztery (bez względu na to, czy są one zapisane, czy wymówione), nazywa się liczebnikami.

Do tej pory nie udało nam się jeszcze wyjaśnić, czym jest liczba. Powiedzieliśmy raczej, czym ona nie jest, a mianowicie: nie jest symbolem ani liczebnikiem, ponieważ są to jedynie nazwy. Musimy odróżnić abstrakcyjne pojęcie liczby od słów i symboli, za pomocą których je oznaczamy. Abstrakcyjna idea liczby jest jedyna w swoim rodzaju i niezmienna; symbole i słowa stanowią przejaw przyjętej konwencji, a zatem są dość arbitralne. Co więcej, istnieje wyraźna różnica między ideą liczby a jej różnymi (aczkolwiek powiązanymi ze sobą) zastosowaniami. Liczbę zapisaną za pomocą symbolu 5 można na przykład wykorzystać do opisania piątego miejsca w jakimś ciągu (i wtedy będzie ona liczebnikiem porządkowym) lub długości tyczki w metrach (i wtedy będzie miarą).

W tym rozdziale chcielibyśmy opisać „pojęcie ukrywające się za symbolem liczby” – pochodzenie, prawdziwe znaczenie i istotę abstrakcyjnej idei liczby, która jest jednym z najważniejszych wynalazków ludzkości.

Aby zbliżyć się do tak wyznaczonego celu, powinniśmy najpierw skupić uwagę na najbardziej podstawowym aspekcie liczb, a mianowicie na najważniejszym sensie ich istnienia. Pierwszym powodem istnienia liczb jest ich przydatność w procesie liczenia.1.3. LICZENIE

Liczby wykorzystywane do liczenia, zapisywane jako 1, 2, 3, 4, 5 i tak dalej, nazywamy liczbami naturalnymi. Czasami na tej liście umieszcza się również zero, by móc wyrazić fakt nieobecności czegoś. Natomiast w starożytnej Grecji filozofowie rozpoczynali liczenie od dwóch obiektów, a zatem pojęcie jeden nie było przez nich uważane za liczbę. Bez względu na to, gdzie wyznaczymy ich początek, liczby naturalne są podstawą zrozumienia matematycznej konstrukcji innych rodzajów liczb, takich jak liczby ujemne, wymierne, a nawet rzeczywiste – czyli liczby używane do mierzenia różnych wielkości. Niemiecki matematyk Leopold Kronecker (1823–1891) najlepiej chyba scharakteryzował podstawową rolę liczb naturalnych, gdy powiedział: „Bóg stworzył liczby naturalne, cała reszta jest dziełem człowieka”.

Zazwyczaj nasz pierwszy świadomy kontakt z liczbami naturalnymi następuje podczas nauki liczenia. Bez względu na to, czy lubimy matematykę, czy nie, umiejętność liczenia staje się naszą drugą naturą. Gdy tylko ją posiądziemy, zapominamy o żmudnym procesie nauki. Liczenie staje się wówczas prostym ćwiczeniem i najczęściej zupełnie sobie nie uświadamiamy, jak bardzo jest to skomplikowane. W istocie proces liczenia jest dość złożony i trzeba się wykazać pewnym doświadczeniem w abstrakcyjnym myśleniu, by szczegółowo go opisać.

Czy potrafimy oszacować liczbę kamyków na rycinie 1.2? Jeśli chcemy wiedzieć, ile jest ich dokładnie, będziemy musieli je policzyć. Obserwując siebie podczas liczenia, możemy się przekonać, że zadanie to składa się z kilku kroków:

1. Zaczynamy od arbitralnie wybranego elementu zbioru i mówimy „jeden”.

2. Oznaczamy ten element jako „już policzony” (przynajmniej w myślach), by uniknąć policzenia go dwukrotnie.

3. Wybieramy następny element (wskazując go palcem lub po prostu spoglądając na niego).

4. Wypowiadamy następny liczebnik (wypowiadane przez nas kolejne słowa oznaczające liczby następują po sobie w ściśle określonym porządku).

5. Wracamy do kroku 2. i powtarzamy cały proces aż do uwzględnienia wszystkich elementów. Ostatni wypowiedziany liczebnik opisuje liczbę wszystkich elementów.

Ryc. 1.2. Liczenie zbioru kamyków

Liczenie jest procesem łączenia liczebników z obiektami w zbiorze. Najtrudniejsza jest w tym wszystkim konieczność podzielenia zbioru na elementy, które zostały już policzone, i te, które jeszcze musimy policzyć. Zadanie to jest dość proste, jeśli możemy ułożyć elementy w szeregu, ale jeżeli liczone obiekty nieustannie się poruszają i zmieniają położenie, jego wykonanie może być wręcz niemożliwe.

Gdy liczymy jakieś obiekty nietrwałe lub wydarzenia – na przykład uderzenia zegara – to najczęściej wypowiadamy kolejne liczebniki w chwili wystąpienia kolejnych zdarzeń. Jeśli między kolejnymi wydarzeniami upływa długi czas, to zazwyczaj tworzymy jakiś trwały zapis – stawiając na przykład kreski na kartce papieru – i dopiero na samym końcu określamy liczbę zdarzeń, analizując notatki.

CIĄG DALSZY DOSTĘPNY W PEŁNEJ, PŁATNEJ WERSJI

PEŁNY SPIS TREŚCI:

PODZIĘKOWANIA

Rozdział 1. LICZBY I LICZENIE

1.1. SIEĆ POJĘCIOWA

1.2. CZYM JEST LICZBA?

1.3. LICZENIE

1.4. ZASADY LICZENIA

1.5. ZBIÓR OBIEKTÓW, ELEMENTY ZBIORU

1.6. ZASADA BIJEKCJI I PORÓWNYWANIE ZBIORÓW

1.7. NIETYPOWE METODY LICZENIA

1.8. LICZBY KARDYNALNE I PORZĄDKOWE

1.9. ABSTRAKCJA

1.10. LICZENIE Z WYKORZYSTANIEM ZASADY UPORZĄDKOWANIA

1.11. SYSTEMATYZACJA LICZENIA

1.12. ZAPISYWANIE SYSTEMÓW LICZBOWYCH

1.13. PODSTAWA DZIESIĘTNA

1.14. WYKONYWANIE POMIARÓW

Rozdział 2. LICZBY I PSYCHOLOGIA

2.1. PODSTAWOWA WIEDZA O ŚWIECIE

2.2. WBUDOWANY SYSTEM ŚLEDZENIA OBIEKTÓW

2.3. SYSTEM LICZB PRZYBLIŻONYCH

2.4. WYCHODZĄC POZA SYSTEMY PODSTAWOWE

2.5. JAK UCZYMY SIĘ LICZYĆ

2.6. A MOŻE ZACZĄĆ OD PODSTAW LOGICZNYCH?

2.7. OŚ LICZBOWA

2.8. EWOLUCJA LICZEBNIKÓW

2.9. SPECYFICZNE CECHY JĘZYKÓW

Rozdział 3. LICZBY NA PRZESTRZENI DZIEJÓW

3.1. LICZBY W BABILONIE – PIERWSZY SYSTEM POZYCYJNY W HISTORII

3.2. LICZBY W EGIPCIE – PIERWSZY SYSTEM DZIESIĘTNY W HISTORII

3.3. ARYTMETYKA W EGIPCIE

3.4. LICZBY W CHINACH

3.5. CHIŃSKA NOTACJA POZYCYJNA

3.6. LICZBY W INDIACH

3.7. SYMBOLICZNY ZAPIS LICZB I ABAKUS W INDIACH

3.8. POWOLNA AKCEPTACJA INDYJSKO-ARABSKIEGO SYSTEMU W EUROPIE

Rozdział 4. ODKRYWANIE WŁASNOŚCI LICZB

4.1. W POSZUKIWANIU ZNACZENIA

4.2. PITAGOREJSKA FILOZOFIA LICZB

4.3. LICZBY PARZYSTE I NIEPARZYSTE

4.4. LICZBY PROSTOKĄTNE I KWADRATOWE

4.5. LICZBY TRÓJKĄTNE

4.6. TRÓJKĄTNE I PROSTOKĄTNE

4.7. LICZBY WIELOKĄTNE

4.8. LICZBY CZWOROŚCIENNE

Rozdział 5. LICZENIE DLA POETÓW

5.1. METRUM WIERSZA – ROLA RYTMU

5.2. GENEZA LINGWISTYKI

5.3. LICZENIE WZORCÓW METRYCZNYCH

5.4. ROZWIĄZANIE PIERWSZEGO PROBLEMU PINGALI W PRZYPADKACH SZCZEGÓLNYCH

5.5. OGÓLNE ROZWIĄZANIE PIERWSZEGO PROBLEMU PINGALI

5.6. WSPÓLNE CECHY ZADAŃ ZWIĄZANYCH Z LICZENIEM

5.7. SZTUKA LICZENIA SYLAB

5.8. SZTUKA KOMBINACJI

5.9. ROZWIĄZANIE TRZECIEGO PROBLEMU PINGALI

5.10. TRÓJKĄT PASCALA I PROBLEMY PINGALI

5.11. GRY LICZBOWE I INNE ROZRYWKI

Rozdział 6. ARYTMETYCZNE SKARBY

6.1. LICZBY FIBONACCIEGO W EUROPIE

6.2. POKOLENIA KRÓLIKÓW

6.3. JESZCZE O TRÓJKĄCIE PASCALA

6.4. GEOMETRIA KOMBINATORYCZNA

6.5. ROZWINIĘCIA DWUMIANÓW

Rozdział 7. UKŁADY LICZB

7.1. KWADRATY MAGICZNE

7.2. OGÓLNE WŁASNOŚCI KWADRATÓW MAGICZNYCH

7.3. JAK SKONSTRUOWAĆ PODWÓJNIE PARZYSTY KWADRAT MAGICZNY

7.4. KONSTRUKCJA KWADRATU MAGICZNEGO STOPNIA 3.

7.5. KONSTRUKCJA NIEPARZYSTYCH KWADRATÓW MAGICZNYCH

7.6. KONSTRUKCJA POJEDYNCZO PARZYSTYCH KWADRATÓW MAGICZNYCH

7.7. LICZBY PALINDROMOWE

7.8. PAŁECZKI NAPIERA

Rozdział 8. LICZBY WYJĄTKOWE

8.1. LICZBY PIERWSZE

8.2. POSZUKIWANIE LICZB PIERWSZYCH

8.3. ZABAWA Z LICZBAMI PIERWSZYMI

8.4. PYTANIA BEZ ODPOWIEDZI

8.5. LICZBY DOSKONAŁE

8.6. LICZBY KAPREKARA

8.7. STAŁA KAPREKARA

8.8. TAJEMNICZA LICZBA 1089

8.9. INNE CIEKAWOSTKI LICZBOWE

Rozdział 9. ZWIĄZKI LICZBOWE

9.1. PIĘKNE ZWIĄZKI LICZB

9.2. LICZBY ZAPRZYJAŹNIONE

9.3. INNE RODZAJE PRZYJAŹNI

9.4. TRÓJKI PITAGOREJSKIE I ICH WŁASNOŚCI

9.5. POSZUKIWANIE TRÓJEK PITAGOREJSKICH METODĄ FIBONACCIEGO

9.6. POSZUKIWANIE PIERWOTNYCH TRÓJEK PITAGOREJSKICH METODĄ STIFLA

9.7. POSZUKIWANIE TRÓJEK PITAGOREJSKICH METODĄ EUKLIDESA

9.8. INNE WŁASNOŚCI TRÓJEK PITAGOREJSKICH

9.9. LICZBY KOLEJNE W TRÓJKACH PITAGOREJSKICH

9.10. INNE CIEKAWOSTKI ZWIĄZANE Z TRÓJKAMI PITAGOREJSKIMI

9.11. PODZIELNOŚĆ LICZB

Rozdział 10. LICZBY I PROPORCJE

10.1. PORÓWNYWANIE WIELKOŚCI

10.2. PROPORCJE DŁUGOŚCI

10.3. ALGORYTM EUKLIDESA I UŁAMKI ŁAŃCUCHOWE

10.4. PROSTOKĄTY Z KWADRATÓW

10.5. ZŁOTA PROPORCJA

10.6. NIEWSPÓŁMIERNOŚĆ

10.7. SŁYNNA LICZBA

10.8. ZDUMIEWAJĄCA HISTORIA LICZBY

10.9. SŁYNNE LICZBY W WIELKIEJ PIRAMIDZIE

10.10. PI-RAMIDA

10.11. WYJAŚNIENIE HISTORYCZNE

Rozdział 11. LICZBY I FILOZOFIA

11.1. LICZBY – WYNALAZEK CZY ODKRYCIE?

11.2. PLATOŃSKI PUNKT WIDZENIA

11.3. NIEROZSTRZYGNIĘTY SPÓR

11.4. FILOZOFIA MATEMATYKI

11.5. LOGISTYCZNA DEFINICJA LICZB KARDYNALNYCH

11.6. FORMALISTYCZNA DEFINICJA LICZBY

11.7. PUNKT WIDZENIA STRUKTURALISTÓW

11.8. NIEPOJĘTA SKUTECZNOŚĆ MATEMATYKI

11.9. MODELE MATEMATYCZNE

11.10. OGRANICZENIA MODELU LICZB NATURALNYCH

11.11. PROBLEMY Z NAPRAWDĘ DUŻYMI LICZBAMI

11.12. ZAMKNIJ SIĘ I LICZ!

Dodatek A

A.1. LICZBY FIBONACCIEGO

A.2. LICZBY PIERWSZE MNIEJSZE OD 10 000

A.3. WSZYSTKIE ZNANE LICZBY PIERWSZE MERSENNE’A

A.4. WSZYSTKIE ZNANE LICZBY DOSKONAŁE

A.5. LICZBY KAPREKARA

A.6. LICZBY ARMSTRONGA

A.7. LICZBY ZAPRZYJAŹNIONE

A.8. TRÓJKI PITAGOREJSKIE Z PARĄ LICZB PALINDROMOWYCH