Szczęśliwy X. Matematyka na co dzień - ebook

14 STOŻKOWA KON­SPI­RA­CJA

Ga­le­ria szeptów to za­dzi­wiająca prze­strzeń aku­stycz­na, na jaką można tra­fić pod kopułą, skle­pie­niem lub za­krzy­wio­nym su­fi­tem. Słynna ga­le­ria tego typu mieści się przy re­stau­ra­cji Oy­ster Bar na Grand Cen­tral Sta­tion w No­wym Jor­ku. To za­baw­ne miej­sce na randkę – można tu so­bie szep­tać czułe słówka, na­wet gdy za­ko­cha­nych dzie­li kil­ka­naście metrów, a między nimi prze­wi­jają się tłumy lu­dzi. Rozmówcy usłyszą wszyst­ko bar­dzo wyraźnie, pod­czas gdy do żad­ne­go z prze­chod­niów nie do­trze ani jed­no słowo z całej roz­mo­wy.

Aby uzy­skać taki efekt, uczest­ni­cy roz­mo­wy muszą stanąć w prze­ciw­ległych ro­gach ta­kiej prze­strze­ni, twarzą do ścia­ny. W ten sposób obo­je znajdą się bli­sko ogni­ska, szczególne­go punk­tu, w którym sku­pia się głos, od­bi­ty przez za­krzy­wio­ne ścia­ny i su­fit. Za­zwy­czaj fale dźwiękowe wędrują we wszyst­kich kie­run­kach i od­bi­jają się od ścian w przeróżnych mo­men­tach i miej­scach, mie­szając się tak, że gdy do­cie­rają do uszu słucha­cza od­da­lo­ne­go o kil­ka­naście metrów, są już niesłyszal­ne (i dla­te­go prze­chod­nie nie słyszą roz­mo­wy). Jeśli jed­nak szep­nie się coś w punk­cie, gdzie jest ogni­sko, od­bi­te fale dotrą wszyst­kie w tym sa­mym cza­sie do dru­gie­go ogni­ska, wzmac­niając się na­wza­jem, dzięki cze­mu słowa będą do­sko­na­le słyszal­ne.

Elip­sy wy­ka­zują po­dob­ny ta­lent do sku­pia­nia się w ogni­sku, choć w znacz­nie prost­szej po­sta­ci. Jeśli wy­obra­zi­my so­bie re­flek­tor w kształcie elip­sy, dwa punk­ty wewnątrz elip­sy (ozna­czo­ne na ry­sun­ku niżej sym­bo­la­mi F₁ i F₂) będą działać jak ogni­ska w następujący sposób: wszyst­kie pro­mie­nie wy­chodzące ze źródła światła umiesz­czo­ne­go w jed­nym z tych punktów zo­staną od­bi­te tak, że przejdą przez dru­gi z nich.

Po­zwolę so­bie opo­wie­dzieć o tym zja­wi­sku nie­co in­a­czej, by w ten sposób po­ka­zać, jak za­dzi­wiający to fakt.

Przy­puśćmy, że Da­niel i Łukasz bawią się w la­se­ro­we­go ber­ka w elip­tycz­nym po­miesz­cze­niu z lu­strza­ny­mi ścia­na­mi. Umówili się, że nie wol­no ce­lo­wać la­se­rem bez­pośred­nio w prze­ciw­ni­ka – tra­fić go można tyl­ko światłem od­bi­tym. Da­niel, nie­zbyt biegły w geo­me­trii czy opty­ce, pro­po­nu­je, żeby każdy z gra­czy stanął w ogni­sku. „Do­sko­na­le – od­po­wia­da Łukasz – pod wa­run­kiem, że ja będę strze­lał pierw­szy”. Cóż, gra będzie dość krótka, gdyż Łukasz nie może spudłować! Jak­kol­wiek usta­wi swój la­ser, za­wsze tra­fi w Da­niela. Każdy strzał daje zwy­cięstwo.

Jeśli waszą ulu­bioną grą jest bi­lard, wy­obraźcie so­bie elip­tycz­ny stół z łuzą w jed­nym z ognisk. Usta­wiając bilę w d r u g i m ogni­sku, za­pew­nia­cie so­bie mi­strzow­skie ude­rze­nie z gwa­rancją tra­fie­nia. Wszyst­ko jed­no, jak ude­rzy­cie bilę, wszyst­ko jed­no, gdzie od­bi­je się ona od ban­dy – za­wsze tra­fi do łuzy.

Pa­ra­bo­licz­ne krzy­we i po­wierzch­nie mają własną im­po­nującą moc sku­pia­nia. Każda może przyjąć stru­mień równo­ległych pro­mie­ni i sku­pić je wszyst­kie w j e d n y m punk­cie. Ta ich ce­cha jest bar­dzo użytecz­na w sy­tu­acjach, gdy trze­ba wzmoc­nić fale świetl­ne lub dźwiękowe, albo też inne sy­gnały. Na przykład pa­ra­bo­licz­ne mi­kro­fo­ny mogą posłużyć do podsłuchi­wa­nia rozmów od­by­wa­nych szep­tem i dla­te­go in­te­re­sują się nimi szpie­dzy lub in­sty­tu­cje pra­wa dbające o na­sze bez­pie­czeństwo. Przy­dat­ne są również do na­gry­wa­nia śpie­wu ptaków czy odgłosów zwierząt, a także przy trans­mi­sjach spor­to­wych, jeśli chce się prze­chwy­cić słowa tre­ne­ra, gdy złorze­czy sędzie­mu. An­te­ny pa­ra­bo­licz­ne w po­dob­ny sposób wzmac­niają fale ra­dio­we i dla­te­go właśnie ta­le­rze do od­bio­ru te­le­wi­zji sa­te­li­tar­nej i ogrom­ne te­le­sko­py ra­dio­we mają tak cha­rak­te­ry­stycz­nie wygięty kształt.

Ta zdol­ność sku­pia­nia pro­mie­ni oka­zu­je się również przy­dat­na w sy­tu­acji od­wrot­nej. Załóżmy, że chce­my skie­ro­wać stru­mień światła w jedną stronę, na przykład w la­tar­ce lub światłach sa­mo­cho­do­wych. Nor­mal­na żarówka, na­wet o dużej mocy, nie spełni na­szych ocze­ki­wań, po­nie­waż zbyt wie­le światła roz­pro­szy się we wszyst­kie stro­ny. Gdy jed­nak umieścimy żarówkę w ogni­sku pa­ra­bo­licz­ne­go re­flek­to­ra, osiągnie­my za­mie­rzo­ny efekt. Pa­ra­bo­la au­to­ma­tycz­nie skie­ru­je całe światło w jedną stronę – zgar­niając wszyst­kie pro­mie­nie wy­chodzące z żarówki, od­bi­je je w srebr­nej po­wierzch­ni re­flek­to­ra i utwo­rzy z nich równo­legły, jed­no­kie­run­ko­wy stru­mień.

Gdy już za­chwy­ci­my się sku­piającymi zdol­nościa­mi pa­ra­bol i elips, trud­no jest nam po­wstrzy­mać się od py­ta­nia, czy nie ma w tym cze­goś głębsze­go. Czy te krzy­we są jakoś powiązane w bar­dziej za­sad­ni­czy sposób?

Ma­te­ma­ty­cy i zwo­len­ni­cy teo­rii spi­sko­wych mają tę wspólną cechę, że są bar­dzo po­dejrz­li­wi wo­bec przy­padków, zwłasz­cza sprzy­jających. Nic się nie dzie­je bez po­wo­du, za wszyst­kim stoi jakaś przy­czy­na. O ile ta­kie po­dejście może być w życiu co­dzien­nym symp­to­mem lek­kiej pa­ra­noi, o tyle w ma­te­ma­ty­ce jest to bar­dzo zdro­wy sposób myśle­nia. W ide­al­nym świe­cie liczb i fi­gur dziw­ne przy­padki za­zwy­czaj po­zwa­lają mnie­mać, że cze­goś nie za­uważyliśmy, że w tle działają ja­kieś ukry­te siły.

Przyj­rzyj­my się za­tem nie­co dokład­niej możli­wym związkom między pa­ra­bolą i elipsą. Na pierw­szy rzut oka to nie­zbyt do­bra­na para. Pa­ra­bo­le mają kształt łuko­wa­ty, roz­ciągają się w nie­skończo­ność na obu końcach. Z ko­lei elip­sy są owal­ne, jak ściśnięte koła, za­mknięte i zwar­te.

Jeśli jed­nak ode­rwie­my się od wyglądu tych krzy­wych i zba­da­my ich ana­to­mię, za­cznie­my do­strze­gać po­do­bieństwa. Obie należą do królew­skiej ro­dzi­ny krzy­wych. Z łatwością do­strzeżemy ich po­kre­wieństwo, jeśli tyl­ko wie­my, gdzie szu­kać po­do­bieństw.

Aby wyjaśnić, co je łączy, mu­si­my przy­po­mnieć, czym dokład­nie są te krzy­we.

Pa­ra­bolę de­fi­niu­je się zwy­kle jako zbiór wszyst­kich punktów równo­odległych od pew­ne­go usta­lo­ne­go punk­tu, zwa­ne­go ogni­skiem, i od pew­nej usta­lo­nej pro­stej, do której ten punkt nie należy. To dość długa de­fi­ni­cja, ale w rze­czy­wi­stości można ją łatwo zro­zu­mieć, gdy przetłuma­czy­my ją za po­mocą ry­sun­ku. Niech F ozna­cza usta­lo­ny punkt, czy­li ogni­sko, pro­sta niech się na­zy­wa L.

Zgod­nie z de­fi­nicją pa­ra­bo­la składa się z punktów równo­odległych od F i od L. Na przykład punkt P, leżący pod ogni­skiem F w połowie dro­gi do pro­stej L, z pew­nością taki wa­ru­nek spełnia:

Spełnia go też nie­skończe­nie wie­le punktów P₁, P₂,…, leżących po różnych stro­nach, tak jak na ry­sun­ku:

Punkt P₁ leży w tej sa­mej od­ległości d₁ zarówno od pro­stej, jak i od ogni­ska. Po­dob­nie jest z punk­tem P₂, choć te­raz owa jed­na­ko­wa od­ległość może wyrażać się inną liczbą, d₂. Wszyst­kie punk­ty o tej ce­sze tworzą ra­zem pa­ra­bolę.

Powód, dla którego punkt F na­zy­wa­ny jest ogni­skiem, sta­je się zro­zu­miały, gdy pomyślimy o pa­ra­bo­li jako za­krzy­wio­nym lu­strze. Oka­zu­je się (choć nie będę prze­pro­wa­dzał do­wo­du), że jeśli pro­sto na pa­ra­bo­liczne lu­stro skie­ru­je­my stru­mień światła, wszyst­kie pro­mie­nie od­bi­te przetną się jed­no­cześnie w punk­cie F, tworząc w ten sposób punkt sil­nie sku­pio­ne­go światła.

To działa mniej więcej tak jak opa­lające lu­stra słonecz­ne, które w cza­sach, gdy nikt jesz­cze nie mar­twił się o raka skóry, zbrązowiły nie­jedną twarz.

Przejdźmy te­raz do opo­wieści o elip­sie. Elipsę de­fi­niu­je się jako zbiór punktów, dla których suma od­ległości od dwóch usta­lo­nych punktów jest stała. Mówiąc w bar­dziej ludz­kim języku, taka de­fi­ni­cja kry­je w so­bie prze­pis na na­ry­so­wa­nie elip­sy. Należy wziąć ołówek, kartkę, kor­kową ta­bliczkę, dwie pi­nez­ki i kawałek cien­kie­go sznur­ka. Pa­pier kładzie­my na kor­ku, końce sznur­ka przy­pi­na­my przez pa­pier pi­nez­ka­mi; sznu­rek po­wi­nien leżeć luźno na pa­pierze. Te­raz naciągamy sznu­rek ołówkiem, tworząc kąt, tak jak na ry­sun­ku niżej. Za­czy­na­my ry­so­wać, utrzy­mując sznu­rek w napięciu. Gdy ołówek przej­dzie już całą drogę wokół obu pi­ne­zek i powróci do punk­tu wyjścia, na pa­pierze zo­sta­nie ślad w po­sta­ci elip­sy.

Za­uważmy, jak dokład­nie ten prze­pis od­da­je istotę de­fi­ni­cji, słowo po słowie. Pi­nez­ki od­gry­wają tu rolę usta­lo­nych punktów, a suma od­ległości od tych punktów do do­wol­ne­go punk­tu na krzy­wej po­zo­sta­je stała, nie­za­leżnie od położenia ołówka, gdyż owe dwie od­ległości za­wsze su­mują się do długości sznur­ka.

A gdzie w tej kon­struk­cji są ogni­ska elip­sy? Tam, gdzie pi­nez­ki. Nie udo­wod­nię tego tu­taj, ale to są właśnie te punk­ty, które po­zwa­lają Łuka­szo­wi i Da­nie­lo­wi za­wsze tra­fiać la­se­rem i dzięki którym można w bi­lar­dzie bezbłędnie ce­lo­wać.

Pa­ra­bo­le i elip­sy… Dla­cze­go to właśnie one – i tyl­ko one – mają tak fan­ta­styczną zdol­ność sku­pia­nia? Jaki se­kret je łączy?

Obie krzy­we są prze­kro­ja­mi po­wierzch­ni stożka.

Stożka? Jeśli ma­cie wrażenie, że wy­sko­czył on na­gle i znikąd, to świet­nie – o to nam cho­dziło. Jak dotąd rolę stożka po­zo­sta­wia­liśmy bo­wiem w ukry­ciu.

Wy­obraźcie so­bie, że kro­icie stożek ostrym nożem do mięsa, tak jak­byście kro­ili sa­la­mi pod co­raz ostrzej­szym kątem. Gdy cięcie jest po­zio­me, krzywą prze­cięcia jest okrąg.

Jeśli z ko­lei lek­ko prze­chy­li­cie nóż, otrzy­ma­na krzy­wa będzie elipsą.

Im bar­dziej stro­mo tnie­my nożem, tym dłuższa i węższa sta­je się elip­sa. W pew­nym mo­men­cie, gdy na­chy­le­nie noża będzie ta­kie jak na­chy­le­nie bocz­nej ścia­ny stożka, elip­sa za­mie­ni się w pa­ra­bolę.

I oto cały se­kret: w pew­nym sen­sie pa­ra­bo­la jest elipsą w prze­bra­niu. Nic dziw­ne­go, że dzie­li z elipsą tę cu­downą zdol­ność sku­pia­nia, dzie­dzi­czy ją ge­ne­tycz­nie.

W rze­czy­wi­stości okręgi, elip­sy i pa­ra­bo­le są człon­ka­mi większej, połączo­nej moc­ny­mi więzami ro­dzi­ny. Ob­da­rzo­no je wspólną nazwą krzy­wych stożko­wych – krzy­wych, które po­wstają w wy­ni­ku prze­kro­ju stożka płasz­czyzną. Jest jesz­cze je­den do­dat­ko­wy członek ro­dzi­ny: jeśli prze­kro­imy stożek pio­no­wym cięciem, z na­chy­le­niem większym od na­chy­le­nia bocz­nej ścia­ny stożka, otrzy­ma­my w prze­kro­ju krzywą zwaną hi­per­bolą. W odróżnie­niu od po­zo­stałych krzy­wych ta składa się nie z jed­nej, ale z dwóch części.

Jeśli spoj­rzy­my na czte­ry ro­dza­je krzy­wych z in­nej ma­te­ma­tycz­nej per­spek­ty­wy, okaże się, że związki między nimi są jesz­cze ściślej­sze. W al­ge­brze po­ja­wiają się jako wy­kre­sy równań dru­gie­go stop­nia:

Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0

przy czym współczyn­ni­ki A, B, C, … de­cy­dują o tym, czy wy­kre­sem będzie okrąg, elip­sa, pa­ra­bo­la czy hi­per­bo­la. W ra­chun­ku różnicz­ko­wym te krzy­we po­ja­wiają się jako tra­jek­to­rie obiektów pod­da­nych działaniu siły gra­wi­ta­cji.

Nie jest więc przy­pad­kiem, że pla­ne­ty krążą po or­bi­tach elip­tycz­nych ze Słońcem w jed­nym z ognisk ani to, że ko­me­ty prze­mie­rzają Układ Słonecz­ny po tra­jek­to­riach elip­tycz­nych, pa­ra­bo­licz­nych lub hi­per­bo­licz­nych, tak jak nie jest przy­pad­kiem, że piłka rzu­co­na przez dziec­ko do ro­dzi­ca leci po pa­ra­bo­licz­nym łuku. Te wszyst­kie zja­wi­ska są prze­ja­wa­mi stożko­we­go spi­sku.

Skup­cie się na tym, gdy znów ze­chce­cie w coś za­grać.