Topologia - ebook

WSTĘP

Początków topologii można się już dopatrywać w starożytności u eleatów (Parmenides, Melissos i Zenon z Elei). W ich dociekaniach filozoficznych pojawiają się zalążki takich pojęć jak ciągłość i przestrzeń (τo′πoσ). Jednak prawdziwe początki topologii przypadają na drugą połowę XIX wieku i pierwszą połowę XX wieku. Związane są z odkryciami takich matematyków jak Bolzano oraz Cauchy, a następnie Cantor i Hausdorff. O historii topologii, a przede wszystkim o jej wpływie na rozwój matematyki, piszą Koetsier oraz van Mill w artykule By Their Fruits Ye Shall Know Them: Some Remarks on the Intersection of General Topology with Other Areas of Mathematics; patrz James . Na przestrzeni ostatnich dwóch stuleci topologia bardzo się rozwinęła i obecnie dzieli się na topologię mnogościową (inaczej ogólną), algebraiczną, geometryczną, różniczkową, dynamiczną, kategoryjną, a także teorię wymiaru, teorię gier topologicznych, teorię węzłów i deskryptywną teorię mnogości. Jest też obecna w innych działach matematyki, nie wyłączając informatyki teoretycznej. Celem książki jest przedstawienie czterech pojęć topologicznych, które są fundamentalne i obecne we wszystkich wymienionych powyżej działach topologii. Pojęciami tymi są: metryzowalność, zwartość, zupełność oraz spójność. Są im poświęcone kolejne rozdziały książki poprzedzone rozdziałem zawierającym główne konstrukcje topologiczne stanowiące podstawę dalszych rozważań. Podobnie jak w historycznej już monografii Kelleya , książkę kończy Dodatek, w którym omówione są pojęcia teorii zbiorów potrzebne do pełnego zrozumienia książki. Jest to w istocie miniwykład tego przedmiotu mający na celu uchronić czytelnika przed niezrozumieniem niektórych dowodów. Mogłoby ono wynikać z odmiennego rozumienia pewnych pojęć teorii zbiorów. Przedstawione są tu także niektóre metody teorii mnogości stosowane w książce, takie jak indukcja pozaskończona.

Ważną rolę w książce odgrywają przykłady. Ilustrują one omawiane aktualnie pojęcia, często są to konstrukcje obiektów topologicznych wykorzystywanych w dalszych częściach książki, a niekiedy także w innych działach matematyki. Przykładem jest przestrzeń β, która pojawia się najpierw jako przykład, ale później występuje w twierdzeniach.

Na końcu każdego rozdziału znajduje się podrozdział zatytułowany Komentarze i uzupełnienia. Są tam zagadnienia, które nie weszły w skład głównego tekstu, chociaż są ważną częścią topologii. Niektóre z zamieszczonych tam twierdzeń nie mają dowodów lub mają dowody zaledwie naszkicowane. Czytelnik może je traktować podobnie jak zadania w książce Engelkinga . W głównym tekście unikam takich fraz jak „łatwo sprawdzić” lub „można wykazać”, jednak w Komentarzach i uzupełnieniach sformułowania takie i im podobne są częste. W odróżnieniu od typowych zbiorów zadań nie stosuję jednak zwrotu „udowodnij, że”, bo podane przeze mnie wskazówki mogłyby okazać się niewystarczające. Wartym polecenia zbiorem zadań z topologii jest książka Archangielskiego i Ponomariowa , w której czytelnik znajdzie zadania o zróżnicowanej skali trudności. W komentarzach znajdzie także czytelnik dane bibliograficzne. Ta część książki jest dedykowana głównie młodym badaczom, nie tylko tym, którzy specjalizują się w topologii. Z myślą o nich zamieszczam odniesienia do najważniejszych prac zbiorowych takich jak: Encyclopedia of general topology pod redakcją Harta, Nagaty i Vaughana , Recent Progress in General Topology II pod redakcją Huška i van Milla , Recent Progress in General Topology III pod redakcją Harta, van Milla i Simona oraz Handbook of set-theoretic topology pod redakcją Kunena i Vaughana . Liczby w nawiasach kwadratowych odsyłają do bibliografii umieszczonej na końcu książki, gdzie znajduje się także skorowidz oraz spisy symboli i nazwisk (wraz z imionami) cytowanych autorów. Znak □ oznacza koniec dowodu, a znak ♢ oznacza koniec przykładu. Nazwy wprowadzonych w książce pojęć zapisane są czcionką pogrubioną, a nazwy tych pojęć, które można znaleźć w innych książkach, zapisane są kursywą.

Pragnę w tym miejscu podziękować dyrekcji Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego za wsparcie finansowe i Wydawnictwu Naukowemu PWN za życzliwość dla tej książki. Bardzo wdzięczny jestem wydawcom Renacie Włostowskiej i Karolowi Zawadzkiemu za cierpliwość w oczekiwaniu na kolejne wersje książki. Szczególne podziękowania składam redaktor Irenie Puchalskiej za niezwykle dokładną i profesjonalną korektę.

W pracy nad książką towarzyszyło mi wiele osób, którym za to bardzo dziękuję. Bardzo wdzięczny jestem pierwszym jej czytelnikom: dr. Wojciechowi Bielasowi, dr. hab. Jerzemu Krzempkowi, dr. hab. Andrzejowi Kucharskiemu i mgr. Mateuszowi Kuli, dzięki którym udało mi się uniknąć wielu pomyłek. Szczególnie wdzięczny jestem dr. Sławomirowi Turkowi za cenne rady i udostępnienie swoich notatek, a także za to, że wraz z dr. Bielasem wspomógł mnie w sprawach technicznych związanych z obsługą programu LaTeX. Wdzięczny jestem też Profesorowi Krzysztofowi Ciesielskiemu za rady dotyczące poprawności językowej, która w przypadku tekstów matematycznych nie jest rzeczą prostą. Dziękuję także Kolegom Profesorom: Markowi Balcerzakowi, Pawłowi Krupskiemu, Władysławowi Kulpie, Witoldowi Marciszewskiemu, Michałowi Moraynemu, Romanowi Polowi, Andrzejowi Szymańskiemu oraz Piotrowi Zakrzewskiemu za cenne uwagi oraz inspirujące rozmowy o topologii.

Halemba, w maju 2023 r.

Aleksander BłaszczykPRZYPISY

Rozdział 1

W literaturze polskiej o historii matematyki można przeczytać w książce Juszkiewicza , a także w książkach Kordosa i Mioduszewskiego oraz .

Ciała zbiorów, oprócz topologii, występują też w innych działach matematyki, takich jak teoria mnogości, teoria miary i kombinatoryka. Przypomnijmy, że rodzina R ⊆ P (X) jest ciałem zbiorów, gdy X ∈ R , a dla dowolnych U,V ∈ R także U ∖ V ∈ R . Wtedy ∅∈ R , a z praw de Morgana wynika, że wówczas także X ∖ V,U ∩ V,U ∪ V ∈ R .

Celem pracy Furstenberga, która ma zaledwie 12 wierszy (nie licząc tytułu i nazwiska autora), był topologiczny dowód twierdzenia, że zbiór liczb pierwszych jest nieskończony; p. przykład 1.1.15, a także Aigner i Ziegler , str. 15.

O bazach i pojęciach pokrewnych pisze Sakai w artykule Topological spaces w .

Korzystamy tu, jak w wielu innych miejscach, z pewnika wyboru. Na ogół tego nie komentujemy. W tej części matematyki, której dotyczy książka, bez pewnika wyboru wielu twierdzeń nie można by udowodnić.

O przestrzeniach, w których zbiory jednoelementowe są domknięte, czyli o przestrzeniach typu T₁, piszemy na str. 21 i dalszych.

W literaturze polskiej, na przykład w , wagę przestrzeni topologicznej nazywa się też ciężarem. W publikacjach anglojęzycznych na określenie minimalnej mocy bazy używa się określenia weight. Ponieważ frazę the weight of something tłumaczymy zwykle jako waga czegoś, to słuszne wydaje się użycie w literaturze polskiej słowa waga. Takiej nazwy używali m.in. Knaster oraz Mioduszewski; p. . W innych działach matematyki, na przykład w teorii grafów, też pojawia się słowo „waga”. Za przyjęciem nazwy waga przemawia także powszechnie przyjęte oznaczenie w(X).

Kompendium wiedzy na ten temat znajduje się w książkach Engelkinga i Juhásza oraz . Nowsze wyniki, ale bez dowodów, są omówione w dwuczęściowym artykule Tamano Cardinal functions w . Nieco starsze twierdzenia (z dowodami) znajdują się w artykule przeglądowym Hodela Cardinal functions I, w .

Na zbiorze skończonym każda topologia ma skończenie wiele elementów. Aby nie wchodzić w zagadnienia kombinatoryczne, będziemy zakładali, że wszystkie rozważane tu przestrzenie są nieskończone, a wszystkie liczby kardynalne z nimi związane, takie jak na przykład waga, także są nieskończone.

Przestrzenie zerowymiarowe odgrywają ważną role w logice, teorii mnogości oraz teorii algebr Boole’a; p. artykuł Balcara i Coplákovej Zero–Dimensional Spaces w .

Inny przykład związku teorii liczb z topologią spotkamy w rozdziale 5 przy omawianiu przestrzeni Golomba.

Wiele informacji o przestrzeniach liniowo uporządkowanych i ich podprzestrzeniach można znaleźć w artykule Bennetta i Lutzera w .

Ta sama przestrzeń została ponownie odkryta przez Sorgenfreya w pracy , w której opisano wiele jej własności; p. przykład 1.1.8. Więcej informacji na ten temat można znaleźć w artykule Camerona w , str. 791–796.

Przestrzeń z tą topologią nazywana jest door-space. Niektórzy nazywają ją topologią studencką, bo początkujący studenci wyobrażają sobie niekiedy, że zbiory tak jak drzwi są albo otwarte, albo zamknięte.

O przestrzeni, która w każdym punkcie ma bazę lokalną przeliczalną, mówi się, że spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności; p. .

Podobnie jak w książce Hausdorffa z 1914 r., także w innych starszych książkach definiowano topologię za pomocą układu otoczeń punktów. Tak robi Whyburn w książce z 1942 r., zakładając dodatkowo warunek równoważny z T₁, o którym mówi definicja 1.2.13. Podobnie topologię zdefiniował Császár w 1978 r. Jednak już Bourbaki w 1974 r. podaje definicję topologii taką jak na str. 4. Niekiedy konstruując konkretną przestrzeń topologiczną, wygodniej jest wskazać otoczenia punktów.

Więcej informacji na ten temat można znaleźć w artykule Hofmanna The Low Separation Axioms T₀ and T₁ w , a także w książce Richmonda , w której omawiane są zastosowania tej teorii w informatyce teoretycznej; p. także artykuł Konga i Koppermana Digital topology w .

Wnętrze zbioru bywa też oznaczane jako int A lub A∘, a domknięcie jako Cl A lub A.

W książce Engelkinga zbiory te są nazywane odpowiednio dziedzinami otwartymi i dziedzinami domkniętymi.

W monografii Engelkinga używane jest oznaczenie Fr A pochodzące od francuskiego frontiére. Użyte tu oznaczenie pochodzi od angielskiego boundary.

Ta nazwa może budzić błędne skojarzenie z pochodną funkcji. Jednak angielskie derived set trudno inaczej przetłumaczyć na język polski.

Znak równości mógłby sugerować, że punkt x₀ jest jedyny. Tak jednak nie jest. Na przykład w przestrzeniach antydyskretnych każdy punkt jest granicą każdego ciągu. Napis x₀ = lim n→∞xn oznacza jedynie prawdziwość zdania: x₀ jest granicą ciągu (xn)n=1∞. Niektórzy autorzy (p. Engelking ) wolą pisać x ₀ ∈ lim n→∞xn lub xn→x₀.

Rozważane są też ciągi numerowane liczbami porządkowymi nieskończonymi. Jeśli λ > ω jest liczbą porządkową graniczną, to x ∈ X jest granicą ciągu (xα)α<λ, gdy dla każdego otoczenia U punktu x istnieje takie α < λ, że xβ ∈ U dla każdego β ≥ α. Własności topologiczne opisane takimi ciągami są omówione w artykule Belli i Tironiego Pseudoradial spaces w .

W monografii nazywane są one przestrzeniami Frécheta, ale tę nazwę stosuje się też do pewnej klasy przestrzeni liniowo topologicznych. Na temat przestrzeni Frécheta–Urysohna pisze Simon w artykule Fréchet and sequential spaces w . O przestrzeniach, w których topologię można opisać za pomocą ciągów zbieżnych i o pokrewnych pojęciach, piszą Dolecki i Nogura w artykule Convergence w .

Można pokazać, że χ(X,x₀) = 𝔟, przy czym liczba 𝔟 jest najmniejszą mocą rodziny F ⊆ nieograniczonej w sensie relacji ≤∗. Jeśli f,g ∈, to f ≤∗g, gdy f(n) ≤ g(n) dla prawie wszystkich n ∈ ; p. Bartoszyński i Judah lub artykuł van Douwena The integers in topology w . W istocie pokazaliśmy, że 𝔟 ≥ ω₁.

Intuicyjnie, funkcja f jest ciągła, jeśli punkty dowolnie bliskie zbioru A przeprowadza na punkty dowolnie bliskie zbioru f. O roli ciągłości w matematyce pisze m.in. Nagata w artykule Continuous and topological mappings w . Ważną rolę, na przykład w analizie rzeczywistej, odgrywają też uogólnienia ciągłości; p. artykuł Ciesielskiego Generalized continuities, także w . W literaturze polskiej o ciągłości na tle historycznym pisze Mioduszewski .

Punkty na płaszczyźnie, podobnie jak przedziały otwarte, oznaczamy za pomocą nawiasów okrągłych, co może prowadzić do nieporozumień. Jednak zwykle z kontekstu jasno wynika, czy chodzi o przedział, czy o punkt płaszczyzny.

O różnych konstrukcjach wykorzystujących ilorazowanie pisze Tanaka w w artykule Quotient spaces and decompositions.

Znane w rachunku różniczkowym twierdzenie Darboux mówi, że także pochodna funkcji różniczkowalnej przyjmuje wartości pośrednie.

Słownik języka polskiego podaje, że topologia to dział matematyki zajmujący się badaniem tych własności przestrzeni, które nie ulegają zmianie przy przekształceniach homeomorficznych.

Niezależnie od Kartezjusza także Fermat rozwijał metody algebraiczne w geometrii, lecz ich nie opublikował. Współrzędne kartezjańskie we współczesnym znaczeniu wprowadził Leibniz; p. Juszkiewicz .

Przypomnijmy, że w przypadku liczb kardynalnych związanych z topologią, czyli tzw. niezmienników kardynalnych, zakładamy, że są one nieskończone.

Nazywana jest też długim promieniem (p. Engelking ). W literaturze anglojęzycznej znana jako long line.

Własności pierścienia C(X) opisane są w książce Gillmana i Jerisona .

Wcześniej badano grupy Liego, czyli skończeniewymiarowe rozmaitości klasy C∞, które są jednocześnie grupami z działaniami klasy C∞; p. piąty problem Hilberta. Leja w pracy rozważał ogólne przestrzenie topologiczne (spójne), które jednocześnie są grupami z działaniami (mnożenia i odwracania elementów) ciągłymi. Obszerny artykuł przeglądowy o grupach topologicznych opublikował Dikranjan w .

Jednorodności przestrzeni topologicznej i różnym jej wariantom poświęcony jest artykuł Terady Homogeneous spaces w , a także praca przeglądowa Archangielskiego i van Milla Topological homogeneity w .

Zgodnie z tradycją pomijamy symbol działania.