ABC Nauki - ebook

WPROWADZENIE

Jest taki fragment w książce Isaaca Asimova _Guide to Science for Modern Man_, który towarzyszy mi od chwili, gdy wiele lat temu go przeczytałem; jest to jedna z tych idealnych fraz, które popychają człowieka do spojrze­nia poza zwykły horyzont i które sprawiają, że Asimov był tak wielkim pisarzem:

Nikt nie może się czuć we współczesnym świecie naprawdę komfortowo i oceniać naturę swoich problemów – i ich możliwe rozwiązania – bez dokładnego pojęcia o tym, czym zajmuje się nauka. Ponadto wprowadzenie w cudowny świat nauki stanowi źródło wielkiej satysfakcji estetycznej, inspirację dla młodych ludzi, spełnienie potrzeby wiedzy oraz głębszego docenienia zadziwiającego potencjału i możliwości ludzkiego umysłu.

Dodałbym do tego, że najprawdziwszy i oryginalny duch nauki wynika nie tylko bezpośrednio z badań – wysiłku, aby zrozumieć tysiące twierdzeń, które tworzą architekturę matematyki lub tych pięciu lub sześciu podstawowych idei fizyki, które kształtują nasz pogląd na świat – lecz także bezpośrednio z historii jej protagonistów, na podstawie ich głosów, kombinacji charakterów, scen i opowieści, które tworzą złożoność i piękno przedsięwzięć naukowych, składających się z wyników badań, notatników pełnych fragmentów wzorów i idei zapisywanych na marginesach książek, spokojnych dyskusji i zażartej rywalizacji.

Oczywiście nie ma jednej osobowości naukowej – przeciwnie, każdy uczony jest na swój sposób szalony, nieprzewidywalny, egzaltowany i dziwny. W nauce, podobnie jak sztuce, malarstwie czy muzyce, możemy znaleźć ludzi, którzy kierują się instynktem. Inni są powodowani pasją, ostrożnością lub precyzją, a jeszcze inni uwielbieniem dla liczb lub pięknem teorii. Do tych tysięcy aspektów duszy ludzkiej oraz rygorów i ostrości inteligencji musimy dodać ciekawość – prawdziwe źródło nauki – a także dreszczyk nowych wyzwań zdobywanych tylko dla pogłębienia własnej wiedzy, papierek lakmusowy sprawdzający prawdziwego uczonego.

Niezwykły jest fakt, że obok zasadnie najbardziej słynnych postaci – Alberta Einsteina, Enrico Fermiego, Galileusza itp. – istnieje niewiarygodny tłum uczonych, którzy, choć nieznani większości, wykonali wielkie kroki w rozwoju naszej wiedzy dzięki swej nieuleczalnej ciekawości. Niektórzy z nich także wpłynęli na oszałamiający strumień historii swoimi rozterkami, dramatami i paradoksami, co jest zapewne doświadczeniem fascynującym z filozoficznego punktu widzenia, choć nierealnym.

W tej książce czytelnicy znajdą dwadzieścia sześć z tych postaci, co jest liczbą zdecydowanie za małą, aby w pełni pokazać piękno fascynującej podróży dokonywanej przez wieki w poszukiwaniu prawdy, ale mam nadzieję wystarczająco dużą, by przybliżyć autentycznego i wielopostaciowego ducha świata nauki. Porozmawiamy o wielkich tematach i wielkich ideach naukowych – o strzałce czasu, narodzinach i śmierci gwiazd, temperaturze zera bezwzględnego, pięknie matematyki i przemianach pierwiastków, wspominając o kilku z nich – lecz przede wszystkim o tych ludziach, mężczyznach i kobietach, którzy pokazali nam tajemnice natury. W istocie wydaje się, że istnieje zgrabna i tajemnicza dwoistość, która zawsze łączyła ludzi ze światem idei i _vice versa_.

Giuseppe Mussardo

Triest, WłochyRozdział 1

Abel
Thriller eliptyczny

Królewiec (wtedy Königsberg, dziś Kaliningrad), miasto we wschodnich Prusach, w XIX wieku był jednym z najbardziej kwitnących portów bałtyckich. W kręgach filozofów nazywany był „miastem Immanuela Kanta”: wielki niemiecki myśliciel urodził się tam oraz mieszkał i zawsze prowa­dził niezwykle regularne i spokojne życie. Miejscowi nastawiali zegarki, gdy przechodził obok. Z kolei w kręgach matematycznych Królewiec nazywany był „miastem siedmiu mostów”: miasto, położone u zbiegu dwóch rzek, było podzielone na cztery części połączone ze sobą siedmio­ma mostami. Zgodnie z legendą założono się kiedyś, czy jest możliwe znalezienie takiej trasy, która zaczyna się w jednym z czterech obszarów miasta i prowadzi tylko raz przez każdy most, wracając do punktu wyjścia. Niezależnie od liczby podejmowanych prób nikomu to się nie udało: problem naprawdę wyglądał na niemożliwy do rozwiązania…

Pruski styl miasta wpływał na ścisły, punktualny i skrupulatny sposób życia, ludzie dbali o pieniądze i przywiązywali wagę do szczegółów: na przykład 14 października 1827 roku bibliotekarz uniwersytetu w Królewcu wysłał list do Augusta Leopolda Crelle’a, berlińskiego wydawcy, skarżąc się, że ostatnie wydanie czasopisma naukowego, którego był redaktorem, zostało wysłane na uniwersytet kurierem, a nie zwykłą pocztą, co pociągnęło za sobą dodatkowy koszt w wysokości talara ze szkatuły biblioteki! Była to oczywiście typowo pruska gorliwość, ale zapewne dzięki skrupulatności tego bibliotekarza możemy rzucić światło na jedną z najbardziej kontrowersyjnych i przykuwających uwagę rywalizacji w matematyce: między Nielsem Henrikiem Abelem a Carlem Gustavem Jacobim. Obaj w tym czasie mieli niewiele ponad dwadzieścia lat. Drażliwe pytanie o pierwszeństwo ich odkryć w bardzo fascynującym obszarze matematyki – funkcji eliptycznych – wydaje się niemal powieścią szpiegowską, tak romantyczną i skomplikowaną, że czas pomógł pogrzebać ją lub przynajmniej dobrze ukryć w obrębie zawiłej chronologii zdarzeń lub między wierszami pamiętników i korespondencji z tego okresu. W istocie jest to historia tragiczna.

Na ulicach Paryża

Zgodnie ze słowami Balzaca: „Paryż jest w istocie oceanem: można go zgłębiać, ale nigdy nie poznamy jego głębi”. Niels Abel przyjechał tam po raz pierwszy w lipcu 1826 roku, w najgorętszym miesiącu roku, w środku wakacji. Uniwersytety były zamknięte, a większość studentów i profesorów cieszyła się świeżym powietrzem poza miastem w wiejskich domach. Był to idealny czas na spokojne uchwycenie istoty wielu projektów i poprawienie się we francuskim, więc Abel był gotów przedyskutować każdy temat z mądrymi i znanymi ludźmi, których pełno było w mieście, jak Laplace, Cauchy, Legendre, Fourier… Abel miał dwadzieścia cztery lata i niezwykłe oczekiwania związane ze spotkaniami z tymi wszystkimi wielkimi matematykami, których oryginalne prace namiętnie studiował w szkole średniej i na uniwersytecie w Christianii (dzisiejszym Oslo) w Norwegii. Jego dewiza brzmiała: „Ucz się od mistrzów, a nie od uczniów”.

Abel był synem protestanckiego pastora i wychował się w wiosce Finnøy, otoczonej zamarzniętymi jeziorami, w okolicach prawie zawsze przykrytych śniegiem: twarz miał tak piękną jak jego matka, z dużymi niebieskimi oczami i czubem włosów opadających mu na czoło. Jego dziecińst­wo było naznaczone biedą i smutkiem, podstawą kolacji były ziemniaki lub śledzie, lecz charakteryzowała je nieograniczona pasja do matematyki, którą zaraził się w bardzo młodym wieku dzięki sugestiom i zachętom Bernta Michaela Holmboe’a, swojego profesora uczelnianego: czytał prace Newtona, Eulera oraz _Disquisitiones Arithmeticae_ Gaussa – słynną książkę o teorii liczb – i wiele innych tekstów.

Do biedy wkrótce dołączyła tragedia: ojciec zmarł, gdy Abel miał zaledwie osiemnaście lat. Spadł na niego obowiązek zaopiekowania się matką i sześcioma braćmi, co było zadaniem pochłaniającym wiele energii, które jednak wypełniał z uśmiechem rozjaśniającym jego piękną twarz. Podczas niewielu wolnych chwil był zaabsorbowany bardzo interesującym problemem matematycznym: znalezieniem ogólnego wzoru rozwiązania równania algebraicznego piątego stopnia, problemem, który fascynował matematyków od czasów renesansu. Wprawdzie nie mógł poświęcić temu zbyt wiele czasu, udało mu się jednak dojść do zadziwiającego wniosku, że znalezienie ogólnego rozwiązania równania piątego stopnia może być zadaniem niemożliwym! Był to wyjątkowy wynik, który stał się później jednym z najsłynniejszych twierdzeń matematycznych w historii. Podobnie jak wielki Euler pokazał pod koniec XVIII wieku niemożność rozwiązania problemu mostów w Królewcu, Abel doszedł do wniosku, że nawet świat równań algebraicznych może być rządzony przez dziwne niemożliwości; to odkrycie zwiększyło tylko jego podziw dla matematyki, dziedziny tak potężnej, że potrafi sama zdefiniować swoje własne ograniczenia.

Ten wynik dał mu pewien rozgłos w kraju i zapewnił bezwarunkowe wsparcie ze strony wszystkich profesorów z uniwersytetu w Christianii, gdzie studiował od roku 1821, w tym Holmboe’a, który w tym czasie stał się jego wielkim przyjacielem. To dzięki ich wysiłkom dostał grant z ministerstwa edukacji – uczciwie mówiąc, dość skromny – na podróże po Europie, aby spotkać się z najlepszymi niemieckimi i francuskimi matematykami tamtych czasów. Abel miał nadzieję, że zostanie mile powitany i zakładał możliwość uzyskania katedry w jednym z prestiżowych uniwersytetów europejskich, co pozwoliłoby mu raz na zawsze rozwiązać problemy finansowe. Jednak nie wziął pod uwagę tępej obojętności wielu wielkich matematyków wobec młodego nieznanego człowieka z dalekich krajów nordyckich.

Po opuszczeniu Norwegii Abel początkowo spędził kilka miesięcy w Niemczech, gdzie świadomie unikał spotkania z Gaussem, robiącym niepochlebne uwagi na temat wyniku jego przemyśleń dotyczących równań algebraicznych piątego stopnia. Gauss był znany jako książę matematyków, ale czasami zdecydowanie nie przestrzegał szlacheckiej etykiety. Jego słowa brzmiały mniej więcej tak: „Jest to problem, który pozostawał otwarty przez setki lat: jeśli nie został rozwiązany przez najlepszych matematyków, to jak można uważać, że może zostać rozwiązany przez młodego Norwega? To zdecydowanie musi być mistyfikacja”. Dla Abela to stwierdzenie było źródłem rozczarowania, dlatego zamiast do Getyngi zdecydował się pojechać do Berlina, gdzie natychmiast zyskał sympatię Augusta Leopolda Crelle’a, inżyniera z ogromną pasją do matematyki i szczególną intuicją do okrywania nowych talentów. Spotkanie okazało się szczęśliwe dla obu mężczyzn. Wiele lat później Crelle nadal pamiętał, jak się poznali: „Pewnego dnia chłopak o bystrym wyglądzie, bardzo zawstydzony, zapukał do moich drzwi. Myślałem, że przyszedł na egzamin wstępny do Szkoły Handlowej, za którą byłem wtedy odpowiedzialny, i dlatego zacząłem wyliczać wszystkie przedmioty, które powinien znać, szczegóły programów i tym podobne rzeczy. Patrząc mi prosto w oczy, chłopak wreszcie otworzył usta i marnym niemieckim powiedział: «Żadnych egzaminów, tylko mate­matyka!». I rzeczywiście od razu zaczęliśmy dyskutować o matematyce!”.

Mniej więcej w tym samym czasie Crelle ufundował – w celu promocji matematyki, przedmiotu, który naprawdę kochał – czasopismo „Journal für die reine und angewandte Mathematik” (Czasopismo czystej i stosowanej matematyki), kwartalnik, który w kolejnych dekadach grał bardzo ważną rolę, stając się w istocie jednym z najlepszych matematycznych czasopism w Europie. Polityka pisma była rygorystyczna: artykuły przeglądowe lub takie, które dotyczyły mało interesujących problemów, nie miały szansy na publikacje. W przypadku Abela Crelle natychmiast zrozumiał, że natknął się na geniusza: uwielbiał słuchać, jak Abel mówił o ma­tematyce, śledząc jego argumentację i geometryczną intuicję dotyczące wielu problemów. Z radością opublikował siedem artykułów autorstwa tego norweskiego talentu w trzech pierwszych wydaniach swojego czasopisma, w tym artykuł dotyczący niemożności rozwiązania równań algebraicznych stopnia wyższego niż piąty z wykorzystaniem pierwiastków.

Po pobycie w Niemczech Abel zdecydował się na przeprowadzkę do Paryża. Po przybyciu zamieszkał na przedmieściach Saint-Germain i czekał na koniec lata. W tych spokojnych miesiącach ukończył artykuł, który miał na zawsze zmienić historię matematyki: dotyczył analizy „specjalnej klasy funkcji przestępnych”, tematu, na którym połamało przed nim zęby wielu innych matematyków, przede wszystkim Legendre, lecz także Cauchy i Gauss. Postanowił więc przedstawić swoje wyniki wszystkim tym wielkim matematykom, omówić z nimi nowe horyzonty, jakie otwierały te odkrycia, wysłuchać ich uwag…

FUNKCJE ELIPTYCZNE

Funkcje eliptyczne to dzieła sztuki matematyki XIX wieku. Wśród głów­nych architektów pierwszych postępów na tym polu można wymienić takie nazwiska jak Giulio Carlo de’ Toschi di Fagnano, Leonhard Euler, Carl Gauss i Adrien-Marie Legendre. Ze swojej strony Niels Abel i Carl Jacobi byli głównymi postaciami istotnej konkurencji naukowej, która doprowadziła do definitywnego sformułowania tej teorii. Znaczący wkład mieli także Bernhard Riemann, Karl Weierstrass i Charles Hermite. Szczególną rolę grał Carl Gauss, który w istocie jako jedyny w swoich czasach wraz z Legendrem w pełni rozumiał znaczenie tej tematyki, ponieważ stanowiła przedmiot jego badań przez ponad trzydzieści lat. Jednak wszystkie odkrycia w tej dziedzinie zostały powierzone wyłącznie stronom jego dzienników, choć pewne aluzje można znaleźć w pracy z 1801 roku _Disquisitiones Arithmeticae_.

Poza wydarzeniami dotyczącymi Abela i Jacobiego cała tematyka funkcji eliptycznych tworzy dość dziwny rozdział w historii matematyki. Sekwencja odkryć przebiegała w sposób niemal cykliczny, rozpoczynając się od geometrii (z obliczeniami długości określonych krzywych algebraicznych), aby przenieść się do dziedziny czystej analizy (z systematycznym badaniem określonych wyrażeń całkowych), powracając w końcu na pole geometrii i osiągając zwieńczenie w niezwykle prostej i eleganckiej idei powierzchni Riemanna.

Dzięki podstawowej idei inwersji wyprowadzonej przez Abela i Jaco­biego zrozumiano wreszcie, że na płaszczyźnie zespolonej funkcje eliptyczne są podwójnie okresowe, a ich okresowość daje, w szczegól­ności, mozaikę na płaszczyźnie, podobną do kafelków na posadzce. Jeśli największą pracą Abela jest jego memorandum opublikowane w czasopiśmie Crelle’a, dla Jacobiego jest jego traktat _Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum_, napisany w 1829 roku, gdy miał dwadzieścia pięć lat, książka, która od chwili publikacji miała się stać punktem odniesienia _par excellence_ tej dyscypliny. Tak więc nie należy uważać, że jeśli – zgodnie z opinią Feliksa Kleina – Abel był „Mozartem matematyki”, to Jacobi był perfidnym Salierim!

Niestety nic takiego się nie wydarzyło: każdy okazał się bardzo uprzejmy, ale nic ponadto, a jeśli spierali się z nim, to tylko mówiąc o _swojej_ pracy, nie okazując żadnego zainteresowania tym, co Abel miał do powie­dzenia. Cauchy okazał pewność siebie, pedanterię i obojętność. Było to nie do zniesienia dla młodego Norwega, który wylał całe zniechęcenie w liście do swego drogiego przyjaciela Holmboe’a, napisanym 24 października 1826 roku:

W istocie to miejsce, które jest najbardziej chaotyczną i głośną stolicą na kontynencie, jest dla mnie tylko pustynią… Legendre jest niezwykle uprzejmy, ale bardzo chłodny, Cauchy to po prostu wariat. To, co robi, jest świetne, ale naprawdę zabałaganione. Zajmuje się czystą matematyką, podczas gdy Fourier, Poisson i Ampère są przez cały czas zajęci, badając magnetyzm i inne dziedziny fizyki. Laplace jest dziarskim staruszkiem, który od dawna do mnie nie napisał… Istnieje ogromna trudność w dotarciu do nich: każdy chce nauczać i nikt nie chce się uczyć. Wszędzie rządzi absolutne samolubstwo. Skończyłem właśnie długie memorandum dotyczące specjalnej klasy funkcji przestępnych, które chciałbym przedstawić Akademii Nauk. Pokazałem go Cauchy’emu, jednak nawet na mnie nie spojrzał. Wydaje mi się to ważne. Nie wiesz, jak bardzo zależy mi na poz­naniu opinii Akademii na ten temat.

„Funkcje transcendentne”, o których pisał Abel, były funkcjami eliptycznymi, przedmiotem, w którym na horyzoncie pojawił się bardzo groźny konkurent - Carl Gustav Jacobi.

Cudowne dziecko

Na początku XIX wieku Poczdam był kwitnącą wioską liczącą sześć tysięcy dusz, położoną w pięknej wiejskiej okolicy w pobliżu Berlina. Pałac cesarski przekształcił całą okolicę w rodzaj raju, miejsce relaksu i pozostawienia za sobą stołecznych zmartwień. Tak więc stworzenie pięknych alei obsadzonych drzewami, wspaniałych i dobrze utrzymanych ogrodów Sanssouci, a do tego wszystkiego fontann i stawów, kolumnad i oranżerii, ogrodu botanicznego i szklarni, sprawiło, że mała wioska Poczdam stała się „pruskim Wersalem”. Wielu bogatych ludzi i rodziny z klasy średniej i wyższej – prawnicy, lekarze, nauczyciele – zachęconych możliwościami towarzyskimi oferowanymi w tym środowisku i jego sty­lem życia dołączyli wkrótce do przedstawicieli dworu i rodzin arysto­kratycznych z dawnych czasów. Było to życie zmieniające się wraz z porami roku i dostępnymi rozrywkami – jazdą konną, przyjęciami, odwiedzinami krewnych – co było czasem koszmarem dla gości zmusza­nych do pozorowania największego zainteresowania dżemami z pigwy lub szklankami gorzkiego likieru; były to niewinne przywileje klasy wyższej, która wybrała wieś jako swoją rezydencję.

W tej spokojnej atmosferze Poczdamu urodził się w 1804 roku Carl Gustav Jacobi, drugi syn bogatej żydowskiej rodziny: jego ojciec był bankie­rem, bliskim dworu, natomiast matka pochodziła z podobnie zamożnej miejscowej rodziny. Młody Carl wychował się w komfortowym i stymulującym środowisku. Jego początkową edukacją zajął się wuj, wprowadzając go w klasyczne i podstawowe zagadnienia matematyczne. Wątły fizycz­nie, mimo dość dużej głowy z wysokim, rozległym czołem ukoronowanym górą czarnych włosów ponad ciekawskimi oczami i z szel­mowskim uśmiechem na ustach – Jacobi miał wszelkie cechy cudownego dziecka i istotnie w wieku lat dwunastu zdał egzaminy wstępne do gimna­zjum w Poczdamie, okazując żywy talent i niezwykłą w tym wieku dojrzałość.

Miał zawsze najlepsze oceny z łaciny, greki i historii. Jednak to matematyka była dyscypliną, dla której żywił prawdziwy pociąg, tak duży, że w młodym wieku czytał teksty Leonharda Eulera i innych wielkich mate­matyków. Gdy tylko zapisał się na uniwersytet, zdecydował się podążać za swoją pasją, wyborem, który stał się rodzajem poświęcenia: okazał się mistrzem w wykonywaniu każdego rodzaju obliczeń, a jednocześnie był jednym z najbardziej niestrudzonych matematyków, jakich pamięta historia tej dziedziny. Przyjacielowi, który obawiał się o jego zdrowie, gdyż cała energię poświęcił matematyce, Jacobi odpowiedział: „Jestem pewien, że to wpłynie na moje zdrowie, ale co z tego? Tylko kapusta nie ma inspiracji i obaw. I do czego dochodzi dzięki swojemu stanowi ideal­nego istnienia?”.

Po uzyskaniu doktoratu, w wieku zaledwie dwudziestu jeden lat, Carl Jacobi otrzymał uprawnienia do nauczania i dowiódł swojego wrodzonego talentu dydaktycznego: jego lekcje wyróżniały się jasnością i pełnią życia, przedstawiał podczas nich olśniewające wyjaśnienia nawet najtrudniejszych tematów. Ilustrował twierdzenia za pomocą przykładów i po wyczerpującej dyskusji. Żaden wzór nie miał przed nim tajemnic. Te nie­zwykłe kwalifikacje przyciągnęły w końcu uwagę władz uczelni i otworzyły mu drzwi do udanej kariery akademickiej, co doprowadziło do zaoferowania mu profesury na uniwersytecie w Królewcu.

Gdy przybył tam w 1826 roku, nie było mu łatwo przystosować się do środowiska akademickiego ze względu na silny temperament, nacechowany karierowiczostwem, i swobodę, z którą rzucał sarkastyczne uwagi. Jednak nie przejmował się wrogością, jaka go otaczała, całkowicie pogrążając się w badaniach pojawiającej się teorii funkcji eliptycznych; w bardzo krótkim czasie uzyskał trafne wyniki, nieświadomy istnienia Abela i tego, co norweski matematyk już osiągnął.

Jednak w czasie, gdy biedny Abel borykał się z zimną obojętnością francuskich matematyków, Jacobi zdołał przyciągnąć uwagę Andriena-Marie Legendre’a i – dzięki jego entuzjastycznemu wsparciu – zabezpieczyć sobie stanowisko profesora na uniwersytecie w Królewcu. Między starym francuskim matematykiem a młodym niemieckim profe­sorem zaczęła się częsta wymiana listów. Korespondencja, którą wymie­niali, jest unikatowym świadectwem w historii matematyki, zwłaszcza przydaje się przy rekonstrukcji genezy teorii funkcji eliptycznych i początków wyścigu, który rozpoczął się między Nielsem Abelem a Carlem Jacobim.

Priorytetowe zagadnienia

Tematyka krzywych eliptycznych, odpowiadających im całek i funkcji eliptycznych, które je odwracają, jest jednym z klejnotów dziewiętnastowiecznej matematyki. W istocie cudownie łączy ona trzy największe motywy przewodnie matematyki: zespolone zmienne funkcje, geometrię i arytmetykę. Każdy zainteresowany tylko jednym z tych tematów napotka w funkcjach eliptycznych na niewyczerpaną kopalnię niespodzianek, mimo że niezwykła elegancja tego ostatniego tematu wynika z syntezy trzech powyższych zagadnień.

Przez długi czas w historii funkcji eliptycznych uwaga była skupiona na analizie określonego typu całek, działaniu, któremu Adrien-Marie Legendre poświęcał się z godną podziwu wytrwałością przez niemal czterdzieści lat życia: najprostsze z tych całek wynikały dokładnie z obliczeń długości elipsy i dlatego w swoich rozprawach Legendre wprowadził termin _całki eliptyczne_. Ale gdy w roku 1828 Legendre opublikował swoją potężną książkę na ten temat, stała się ona natychmiast przestarzała, prześcignięta przez nowe odkrycia dokonane w tym samym roku przez Abela i Jacobiego! Mimo wielu lat badań Legendre niezaprzeczalnie stracił szansę na zrozumienie rozległej natury geometrycznej całek eliptycznych.

Punkt zwrotny nastąpił, gdy obaj, Niels Abel i Carl Jacobi, pojawili się na scenie. Ich współzawodnictwo było znaczone ścisłymi i fascynującymi rytmami, ale także kontrowersyjnymi aspektami, podobnie jak w innych wielkich współzawodnictwach matematycznych, jak te z czasów renesansu, stawiające Niccolò Tartagliego w opozycji do Girolamo Cardano lub w XVII wieku Jakoba Bernoulliego przeciw własnemu bratu Johannowi albo w XVIII wieku Isaaca Newtona przeciw Gottfiedowi von Leibnitzowi. Pełny raport z fascynującego wyścigu między Abelem a Jacobim wymagałby przeprowadzenia ekscytującego historiograficznego śledztwa charakteryzującego się dość wyjątkowym mechanizmem zegarowym, z rytmem czasu wyznaczonym datami, w których pisane były manuskrypty, i tymi, w których były publikowane, datami wypuszczania wydań czasopism i tymi związanymi z ich przyjęciem, pisaniem wielu listów o zawartości, która na pierwszy rzut oka wydaje się bez znaczenia, ale w istocie może być pomocna podczas umieszczania elementów układanki we właściwych miejscach.

Co przede wszystkim było punktem zwrotnym w tej dziedzinie? Dogłębne zrozumienie całek eliptycznych wymagało stworzenia podstawowej idei, która mogła dojrzeć dopiero wraz z postępem w dziedzinie analizy zespolonej w pierwszych dekadach XIX wieku. Idea – jednocześnie prosta i genialna – polegała na tym, aby przykładać mniejszą wagę do oryginal­nych wyrażeń całkowych, skupiając się raczej na _funkcjach odwrotnych_: dzięki temu otwierały się całkiem nowe perspektywy w dziedzinie funkcji transcendentnych, a nowe eleganckie wyniki szybko osiągano w różnych gałęziach matematyki. Jacobi był pod takim wrażeniem mocy tej prostej koncepcji, że często powtarzał, iż klucz do sukcesu w matematyce można znaleźć w motcie: „Inwersja jest rzeczą ważną”.

Niels Abel opracował w 1823 roku ideę inwersji w tle funkcji eliptycznych i zrobił z niej kluczowe pojęcie memorandum zaprezentowanego w 1827 roku we Francuskiej Akademii Nauk, gdzie zagubiło się wśród papierów Cauchy’ego (odnaleziono je dopiero w 1952 roku w Moreniana Library we Florencji!). Lecz ta sama zasada stanowiła szkielet jego mistrzowskiego artykułu _Recherches sur les fonctions elliptiques_, który po­jawił się w drugim wydaniu czasopisma Crelle’a we wrześniu 1827 roku. Debiut tego artykułu nie mógł być bardziej oczywisty: „W tym memorandum proponuję rozważenie funkcji odwrotnej, czyli…”.

Carl Jacobi doszedł do tego w lecie 1827 roku i od razu wykonał dwie notatki na ten temat, a także artykuły opublikowane we wrześniu tego roku w czasopiśmie „Astronomische Nachrichten”, datowanym odpowied­nio na 13 lipca i 2 sierpnia tegoż roku. W tych artykułach uwzględnił pewne specjalne prawa, które odkrył dla przekształceń całek eliptycznych, ale bez żadnego dowodu ich poprawności. To przy okazji tych odkryć Jacobi napisał 5 sierpnia 1827 roku do Legendre’a po raz pierwszy. Po wprowadzeniu, w którym wyraził szacunek dla starszego francuskiego matematyka, mającego wtedy 75 lat, Jacobi podał bardziej szczegółowe objaśnienie swojego wzoru, bez wątpienia oczekując odpowiedzi Legendre’a. Nie zawiódł się w swoich oczekiwaniach: Francuz był już świadom wyników Jacobiego po przeczytaniu broszury „Astronomische Nachrichten”, ale dzięki listowi czuł również, jakie wyjątkowe perspektywy mogą otworzyć te wyniki w dziedzinie, której poświęcił czterdzieści lat życia. Jego entuzjazm był tak duży, że wypowiedział się na ten temat podczas listopadowej sesji Akademii Nauk w Paryżu, a echa tego przemówienia wkrótce dotarły do Niemiec. Wiadomość o równaniu Jacobiego została podjęta i podana przez różne niemieckie gazety, powiększając jeszcze sławę bardzo młodego niemieckiego matematyka.

W kolejnym liście, z 12 stycznia 1828 roku, Jacobi, poza gorącymi podziękowaniami, które nie były wcale zaskoczeniem, podał dalsze bardzo zaskakujące stwierdzenia: po kilku akapitach Jacobi wspomniał „wyniki o największym znaczeniu w przedmiocie funkcji eliptycznych, osiągnięte przez młodego uczonego, którego zapewne zna pan osobiście”. Jest jasne, że miał na myśli Nielsa Abela. Czytając dalej, można łatwo odkryć, że cały list był jedynie szczegółową prezentacją podstawowych idei przypisywanych Abelowi. Ale skąd Jacobi mógł się o nich dowiedzieć?!

Aby wyjaśnić to zagadnienie, trzeba zwrócić uwagę na publikację wyda­nia 127. „Astronomische Nachrichten” z grudnia 1827 roku. Sam Jacobi zaprezentował jawny dowód swoich pierwszych wyników dotyczących funkcji eliptycznych zaprezentowanych we wcześniejszym, wrześniowym numerze czasopisma. Brak dowodu w pierwszym artykule wzbudził krytycyzm Gaussa i Legendre’a i dlatego, co nie jest zaskakujące, Jacobiemu bardzo zależało na rozwianiu wątpliwości obu wielkich matematyków. Data nowego manuskryptu, zawierającego dowód poprzednich wyników, to 18 listopada 1827 roku. Jednak znaczenie tego artykułu nie polega na oczekiwanej prezentacji poprzedniego wzoru, ale raczej na tym, że zawiera też jawne definicje inwersji funkcji dla całek eliptycznych: dokładnie tych samych idei, wzorów i definicji, które wcześniej przedstawił Abel w artykule _Recherches sur les fonctions elliptiques_!

Krótko mówiąc, dziedzina całek eliptycznych od roku 1751 nie odno­towała specjalnych postępów, poza tymi o charakterze technicznym, a w okresie mniej niż dwóch miesięcy stała się świadkiem fundamentalnego punktu zwrotnego dzięki dwóm niezwykle podobnym pracom, które pojawiły się jednocześnie. Okoliczności były ciekawe, przynajmniej osobliwe, a z pewnością dziwne.

Właśnie dlatego tak pomocny jest list ze skargą z biblioteki w Królewcu, napisany 4 października 1827 roku. W istocie pozwala stwierdzić, że wydanie czasopisma Crelle’a z września 1827 roku – zawierające podstawowy artykuł Abela na temat cech inwersji funkcji eliptycznych – było już w bibliotece w Królewcu w dniu wysłania listu, a więc było dostępne do wglądu dla członków uniwersytetu, a w szczególności dla Jacobiego. Czy możemy wnioskować, że Jacobi przeczytał artykuł? Z pewnością nie, ale możemy zrobić niewielki krok naprzód, przeglądając indeks tego „inkryminowanego” wydania czasopisma Crelle’a: okazuje się, co ciekawe, że w tym samym wydaniu znajduje się także artykuł Jacobiego! Dotyczył on niezwiązanego ze sprawą problemu z geometrii, ale nie o to chodzi: w świetle jego uwag bardzo kusi postawienie hipotezy, że idąc do biblioteki, aby sprawdzić poprawność publikacji swojego artykułu, Jacobi odkrył, z wielkim zaskoczeniem, długi artykuł swego rywala, przeczytał go i natychmiast zrozumiał jego ogromne znaczenie, w takim stopniu, że przyswoił całkowicie koncepcję inwersji jak swoją, przystępując bardzo szybko do napisania nowego artykułu, wysłanego do czasopisma 18 listopada 1828 roku.

Jest to oczywiście tylko hipoteza. Wracając do nagich faktów, wraz z wejściem na scenę Abela i Jacobiego teoria funkcji eliptycznych zdecydowanie przyjęła nowy kierunek. Legendre, jak już wspomniałem, był niezwykle entuzjastyczny. Tak bardzo, że napisał do Jacobiego 9 lutego 1828 roku: „Jestem bardzo zadowolony, że dwóch młodych matematyków, takich jak Pan i Abel, z powodzeniem kultywuje tę gałąź analizy, która tak długo była ulubionym przedmiotem moich badań i nie uzyskała w moim kraju uwagi, na jaką zasługuje. Dzięki waszej pracy wchodzicie do grona najlepszych matematyków naszej ery”. Taki sam entuzjazm można odnaleźć w następnym liście, wysłanym ponad rok później, 8 kwietnia 1829 roku: „Obaj robicie tak szybkie postępy w waszych niezwykłych rozważaniach, że jest praktycznie niemożliwe, aby ktoś taki jak ja za wami podążał. Jestem w końcu starym człowiekiem, który przekroczył wiek, w którym zmarł Euler, wiek, gdy trzeba walczyć z pewną liczbą słabości i duch nie jest już zdolny adaptować się do nowych idei. Gorąco gratuluję sobie, że żyłem dostatecznie długo, aby być świadkiem tego niezwykłego współzawodnictwa między dwoma równie silnymi młodymi atletami, którzy kierują swoje wysiłki na rozwój nauki, przesuwając coraz dalej i dalej jej granice”.

Prawdę mówiąc, Abel nie był tak silny i atletyczny: zniszczony przez gruźlicę zmarł w wieku 27 lat, dwa dni po dacie tego ostatniego listu.

Dalsze lektury

E.T. Bell, _Men of Mathematics_ (Simon and Schuster, New York 1986).

A. Stubhaug, _Niels Henrik Abel and His Times_ (Springer-Verlag, Berlin 1996).