Drgania układów mechanicznych - ebook

1. Wprowadzenie

Drgania i dźwięki były używane od wielu wieków zarówno podczas uroczystości religijnych, jak i w wojnach. Były stosowane instrumenty strunowe, jak również kotły, bębny, trąby, talerze, kawałki twardego drewna. Poznawanie drgań i dźwięków następowało etapami, w zależności od potrzeb i możliwości, jakie wtedy istniały. Analizę dźwięków wytwarzanych przez różne instrumenty zapoczątkował w V wieku p.n.e. Pitagoras.

W 1688 roku Isaac Newton opublikował trzy zasady dynamiki, dzięki którym można zrozumieć, analizować i rozwiązywać różne problemy mechaniki. Isaac Newton i Gottfried Leibniz rozwinęli rachunek różniczkowy i całkowy, który jest teraz powszechnie używany do opisu zachowania układów mechanicznych. Dzięki wprowadzonym na początku XVIII wieku szeregom Taylora było możliwe zrobienie kroku naprzód w analizie drgań. W tym samym wieku Daniel Bernoulli, który zajmował się równaniami różniczkowymi i metodami przybliżonymi, przedstawił drgania struny jako sumę nieskończoną drgań harmonicznych i obliczył ich częstości. Leonhard Euler i Joseph-Louis Lagrange stworzyli i rozwinęli rachunek wariacyjny. Lagrange jest autorem twierdzeń, które są powszechnie używane w mechanice.

Z nastaniem industrializacji i szerokim zastosowaniem maszyn w różnych dziedzinach życia pojawiło się szereg problemów utrudniających pracę – drgania, hałas, niestabilność pracy. Współczesne maszyny, które są coraz wydajniejsze (kW/kg) i pracują z dużymi prędkościami, muszą spełniać szereg norm środowiskowych, wśród nich normy ze względu na drgania i hałas – muszą być przyjazne dla środowiska. Dlatego na etapie projektowania takie konstrukcje analizuje się pod względem drgań i hałasu, a prototyp maszyny sprawdza się eksperymentalnie pod tym kątem. Szereg problemów można analizować jako liniowe, ale istnieją również układy nieliniowe, co stwarza następne trudności. W takich układach mogą wystąpić nowe zjawiska, jak drgania samowzbudne ( flatter), drgania parametryczne, chaos i wiele innych efektów, których się nie obserwuje w układach liniowych. Pod koniec XIX wieku Aleksandr Lapunow i Henri Poincaré opracowali i zastosowali metodę permutacji i teorię stabilności w analizie takich układów.

W przypadku bardzo skomplikowanych drgań, których charakterystyki nie są zdeterminowane, mają zastosowanie metody prawdopodobieństwa.

W strukturach o złożonych formach określenie rozkładu naprężeń i odkształceń jest znacznie trudniejsze ze względu na większą liczbę możliwych przemieszczeń, a masa i sztywność są rozłożone w sposób ciągły. Do ich analizy używa się metody elementu skończonego, w której całą strukturę dzieli się na małe elementy, z których każdy ma swoją masę i sztywność, a w punktach styczności mają takie same przemieszczenia. Istnieje szereg programów komputerowych pozwalających na obliczenie naprężeń, przemieszczeń, częstości czy form drgań. Obecnie większość pakietów projektowania komputerowego ma możliwości obliczeń odkształceń i drgań, np. AutoCad, ANSYS, Catia, COSMOS, Creo Parametric, LS-DYNA.

W przypadku dowolnej struktury może wystąpić rezonans, gdy częstość wymuszenia okresowego pokrywa się z jedną z częstości własnych struktury. Prowadzi to do bardzo dużych amplitud drgań, a w konsekwencji do jej zmęczenia i zniszczenia. Sławnym przykładem jest most wiszący Tacoma zniszczony w 1940 roku przez wiatr, gdzie wystąpił rezonans parametryczny. W przypadku samolotów flatter skrzydła może doprowadzić do jego utraty. Większość nowych konstrukcji jest analizowana z zastosowaniem metody elementu skończonego MES.

Drgania są obserwowane w wielu konstrukcjach, co powoduje ciągłą zmianę położenia i nie zawsze jest to tolerowane, ale mają także wiele zastosowań, na przykład w transporcie wibracyjnym, przesiewaczach, ubijarkach, zegarkach, głośnikach, szczoteczkach do zębów, jak również w masażach. W przypadku aparatów elektrycznych sprawdza się ich odporność na drgania.

Rys. 1.1. Przykłady układów drgających.a) Most wiszący, b) układ napędowy, c) samolot

1.1. Kinematyka drgań

Ze względu na możliwość określenia przebiegu funkcji na podstawie jej wartości w pewnej chwili, drgania dzieli się na:

- • deterministyczne,
- • niedeterministyczne.

Ruch obiektu zależy od sił działających na niego, liczby stopni swobody, oddziaływań innych obiektów i czasami ma skomplikowaną formę. W analizie drgań często korzysta się z formy podstawowej, jaką jest ruch harmoniczny, i nawet ruchy złożone przedstawia się jako kombinację ruchów harmonicznych. W analizie eksperymentalnej drgań często stosuje się taki sposób prezentowania drgań i dlatego poniżej przedstawiono niektóre ich kombinacje.

Ruch harmoniczny

Tego typu ruch opisuje funkcja harmoniczna z trzema stałymi: amplitudą, częstością i kątem fazowym,

x(t) = a sin(ωt + ϕ) lub x(t) = a cos(ωt + ϕ),

(1.1)

gdzie t – czas, a – amplituda drgań , ω – częstość kołowa drgań , ϕ – faza drgań . W praktyce używa się też częstotliwości drgań f – jest to liczba drgań w ciągu sekundy. Częstość kołowa ω, częstotliwość f i okres drgań T związane są zależnością

ω = 2π f = 2π /T.

(1.2)

Rysunek 1.2 przedstawia ruch harmoniczny obiektu z amplitudą a = 2 mm i częstością kątową ω = 20 rad/s, ale z różnymi kątami fazowymi ϕ = 0 i ϕ = -0,5 rad.

Rys. 1.2. Ruch harmoniczny

Ruch okresowy

Ruch okresowy jest zdefiniowany jako

x(T + t) = x(t),

(1.3)

gdzie T ≠ 0 jest okresem, a jego częstotliwość jest równa f = 1/T .

Rys. 1.3. Przykłady ruchu okresowego

Ruch nieokresowy

Jeżeli nie istnieje T ≠ 0, to ruch nie powtarza się ze stałym okresem i nie zachodzi zależność x(T + t) = x(t).

Rys. 1.4. Ruch nieokresowy

Do opisu takich drgań używa się parametrów statystycznych, takich jak wartość średnia, wartość średnia kwadratowa, odchyłka, odchylenie standardowe, prawdopodobieństwo, gęstość prawdopodobieństwa, wariancja. Należy zebrać wystarczającą ilość danych, aby określić te parametry. Prędkość i kierunek wiatru, nierówności drogi, drgania podłogi są przykładami tego typu drgań.

Suma dwóch drgań harmonicznych w tym samym kierunku

Położenie obiektu 1 jest określone współrzędną x₂(t) względem obiektu 2, którego położenie określa współrzędna x₁(t). Zatem współrzędna określająca położenie obiektu 1 względem układu nieruchomego jest równa

x(t) = x₁(t) + x₂(t).

(1.4)

W przypadku drgań o tej samej częstości ω położenie podstawy określa współrzędna x₁(t), a obiektu względem podstawy x₂(t) z kątem fazowym ϕ:

x₁(t) = a₁ sin(ωt), x₂(t) = a₂ sin(ωt + ϕ).

(1.5)

Położenie względem układu nieruchomego można zatem przedstawić jako

.

(1.6)

Rys. 1.5. Położenie obiektu określone przez dwie składowe

Współrzędna x(t) jest również harmoniczną z amplitudą A i kątem fazowym ψ,

, .

W przypadku większej liczby składowych drgań

,

gdzie

, .

Składanie drgań o różnej częstości ω₁ i ω₂

.

(1.7)

W ogólnym wypadku drganie wypadkowe nie jest okresowe. Natomiast gdy między częstościami zachodzi zależność

, gdzie n, m = 1, 2, 3,…

wówczas drganie wypadkowe x(t) jest okresowe.

Przypadek dwóch niewiele różniących się częstości

, , .

, ,

Amplituda i kąt fazowy są określone jako

,

.

W tym przypadku amplituda i faza zmieniają się okresowo w czasie. Jest to ruch okresowy o okresie T_(b) = 2π/Δω albo częstotliwości f_(b) = Δω /2π. Przebieg takich drgań przedstawia rysunek 1.6 i zwykło się go nazywać drganiami pulsacyjnymi. Amplituda maksymalna jest równa A_(max) = a₁ + a₂ i minimalna: A_(min) = abs(a₁ - a₂). Amplituda narasta i maleje w czasie. Właściwość ta może być pomocna w analizie eksperymentalnej drgań – w widmie częstości występują dwie wartości szczytowe blisko siebie.

Rys. 1.6. Drgania pulsacyjne:a₁ = 2 mm, a₂ = 3 mm, ω ₁ = 10 rad/s, ω ₂ = 10,5 rad/s

Dwie składowe drgań o kierunkach prostopadłych

Obiekt drgający ma dwie składowe harmoniczne:

, .

(1.8)

Rys. 1.7. Drgania z dwiema składowymi x(t) i y(t)

Trajektoria takiego ruchu zależy od parametrów ω₁, ω₂, ϕ i dla pewnych wartości tworzy figury znane jako figury Lissajous. Wykresy z rysunku 1.8 są dla przypadku tych samych częstości (a) i gdy jedna z nich jest dwa razy większa od drugiej (b).

Rys. 1.8. Trajektoria wypadkowa: a) a₁ = 2 mm, a₂ = 3 mm, ω ₁ = ω ₂ = 10 rad/s, ϕ = 45^(°); b) ω ₁ = 10 rad/s i ω ₂ = 20 rad/s

Do pomiaru drgań należy użyć dwóch akcelerometrów lub jednego mierzącego drgania w trzech kierunkach.

1.2. Sprężyny

W każdym układzie drgającym można wyróżnić jeden lub więcej elementów sprężystych. Na ogół dla małych amplitud charakterystyka takiego elementu jest liniowa i zdefiniowana przez współczynnik sprężystości (stałą sprężyny) k. Określa ona zależność między siłą i odkształceniem przez nią wywołanym k = F/x, gdzie F jest siłą i x odkształceniem. Dla dużych odkształceń ta zależność staje się nieliniowa – rysunek 1.9b. Współczynnik sprężystości takiej sprężyny zależy od punktu pracy x₀

i definiuje go pochodna . W przypadku małych odkształceń takiej sprężyny

wzrost siły potrzebnej do powiększenia odkształcenia jest równy .

Rys. 1.9. Charakterystyki sprężyn: a) liniowa, b) nieliniowa, c) sprężyna flip-flop z dwoma położeniami równowagi

Zwykle masa sprężyny jest bardzo mała w stosunku do masy drgającego obiektu i dlatego masę sprężyny na ogół pomija się w równaniach ruchu. Jej wpływ na ruch obiektu przedstawia się jako siłę o wartości proporcjonalnej do odkształcenia. Dla małych przemieszczeń przyjmuje się

.

(1.9)

Dla sprężyn poddanych rozciąganiu/ściskaniu stała k ma wymiar N/m i dla sprężyn pracujących na skręcanie N · m/rad. Zależność liniową nie zawsze można stosować ze względu na wstępne odkształcenie sprężyny, luzy lub konfiguracje układu – zobacz rysunek 1.10.

Rys. 1.10. Układy nieliniowe

Dla sprężyny o charakterystyce nieliniowej jej współczynnik sprężystości wyznacza się z zależności

i jej reakcję przy małym odkształceniu jako

.

(1.10)

Dla dużych odkształceń siłę można aproksymować jako

(1.11)

Rysunek 1.11 przedstawia charakterystykę sprężyny sztywnej (k₃ > 0) i miękkiej (k₃ < 0).

Rys. 1.11. Sprężyny z charakterystyką sztywną (a) i miękką (b)

W tabeli 1.1 przedstawiono szereg elementów sprężystych z ich charakterystykami.

Tabela 1.1. Współczynniki sprężystości

+--------------------------+-------------+---------------------------+-------------------------------------------------+
| Element | Obciążenie | Współczynnik sprężystości | Parametry |
+--------------------------+-------------+---------------------------+-------------------------------------------------+
| Pręt | Rozciąganie | | A – pole przekroju |
| | | | |
| | Ściskanie | | l – długość |
| | | | |
| | | | |
+--------------------------+-------------+---------------------------+-------------------------------------------------+
| Wałek | Skręcanie | | I_(o) – biegunowy moment bezwładności przekroju |
| | | | |
| | | | I_(o) = πd ⁴/32 |
+--------------------------+-------------+---------------------------+-------------------------------------------------+
| Sprężyna śrubowa walcowa | Skręcanie | | D – średnica sprężyny |
| | | | |
| | | | d – średnica drutu |
| | | | |
| | | | n – liczba zwojów |
| | | | |
| | | | |
+--------------------------+-------------+---------------------------+-------------------------------------------------+
| Sprężyna spiralna | Zginanie | | l – długość sprężyny |
| | | | |
| | | | A – pole przekroju |
| | | | |
| | | | |
| | | | |
| | | | |
+--------------------------+-------------+---------------------------+-------------------------------------------------+
| Sprężyny płaskie | | | I – osiowy moment bezwładności przekroju |
| | | | |
| | Zginanie | | Przekrȯj prostokątny |
| | | | |
| | | | |
| | | | |
| | Zginanie | | b – szerokość |
| | | | |
| | | | h – grubość |
| | | | |
| | | | Przekrȯj kołowy |
| | | | |
| | | | I = πd ⁴/64 |
| | | | |
| | | | |
| | | | |
| | | | |
+--------------------------+-------------+---------------------------+-------------------------------------------------+

E – moduł Younga, Stal: E = 200 –210 GPa, G ≈ 77 GPa.

G – moduł Kirchhoffa, Aluminium: E = 70 –75 GPa, G = 26 –28 GPa.

Energia potencjalna odkształcenia sprężystego dla odkształcenia między x₁ i x₂:

.

(1.12)

Jezeli x₁ = 0, x₂ = x, to energia potencjalna jest równa .

Istnieją również sprężyny gazowe. Jest to elastyczny zbiornik wypełniony gazem z regulowanym ciśnieniem. W zależności od kształtu można otrzymać różne charakterystyki siła–przemieszczenie. Zmieniając ciśnienie gazu w takiej sprężynie, można kontrolować położenie obiektu, na przykład w autobusach odległość podłogi od drogi przy wysiadaniu/wsiadaniu (rys. 1.12). Tego typu sprężyny pozwalają także na znaczne obniżenie częstości własnej. Sprężyny gazowe odznaczają się małym tłumieniem.

Rys. 1.12. Amortyzator ze sprężyną gazową stosowany w samochodach

Zasada działania poduszkowca jest podobna do sprężyny gazowej. Wentylatory wytwarzają poduszkę powietrzną, która kompensuje ciężar poduszkowca, z tym że powietrze cały czas ucieka z takiej poduszki.

Kombinacje kilku sprężyn

Jeżeli układ posiada kilka sprężyn połączonych między sobą, to można je zastąpić jedną sprężyną z nowym współczynnikiem sprężystości k_(eq). Pod działaniem takiego samego obciążenia zarówno sprężyna zastępcza, jak i układ sprężyn muszą mieć takie samo odkształcenie.

1.2.1. Połączenie równoległe sprężyn

Siła P jest przyłożona do dwóch sprężyn połączonych równolegle i mają one takie samo odkształcenie statyczne, jak pokazano na rysunku 1.13. Prawa statyki dwóch sprężyn pozwalają na napisanie następujących równań:

Rys. 1.13. Dwie równoległe sprężyny i sprężyna zastępcza

x₁ = x₂ = x, F₁ < P, F₂ < P.

.

(1.13)

Z porównania obu stron równania (1.13) wynika, że sprężyna zastępcza ma sprężystość:

k_(eq) = k₁ + k ₂ .

(1.14)

W przypadku n sprężyn o współczynnikach sprężystości połączonych równolegle ich sprężystość zastępcza jest równa ich sumie:

.

(1.15)

Cechą charakterystyczną sprężyn połączonych równoległych jest to, że wszystkie mają takie samo odkształcenie, a siła w każdej z nich jest częścią obciążenia całkowitego.

1.2.2. Sprężyny połączone szeregowo

Rysunek 1.14 przedstawia dwie sprężyny połączone szeregowo i ich sprężynę zastępczą. Siła działająca na każdą sprężynę jest równa , a deformacja całkowita jest sumą odkształceń obu sprężyn.

Rys. 1.14. Dwie sprężyny połączone szeregowo

,

(1.16)

gdzie , , .

Dla sprężyny zastępczej . Równanie (1.16) przyjmuje postać

.

(1.17)

Sprężystość sprężyny zastępczej

.

(1.18)

Dla n sprężyn połączonych szeregowo

.

(1.19)

Wszystkie sprężyny w tym połączeniu są pod działaniem takiej samej siły, a odkształcenie całkowite jest sumą odkształceń wszystkich sprężyn.

Jeżeli układ posiada różne kombinacje sprężyn, to najpierw wyodrębnia się sprężyny połączone równolegle i szeregowo, oblicza się ich sprężystości, sprawdza się rodzaj połączeń i oblicza ich sprężystość końcową. Własności połączeń równoległych i szeregowych można wykorzystać do określenia, które sprężyny są połączone szeregowo, a które równolegle.

1.2.3. Przykłady połączeń

Obliczyć sprężystość wypadkową dla kombinacji sprężyn przedstawionych na rysunkach 1.15–1.17. Przykład z rysunku 1.15a przedstawia połączenie równoległe sprężyny płaskiej i śrubowej, gdyż obie sprężyny mają takie samo odkształcenie.

Rys. 1.15. Kombinacja dwóch sprężyn

Sprężystość na skręcanie wałka k = GI₀ /l (rys 1.16).

Rys. 1.16. Kombinacja dwóch wałków poddanych skręcaniu: a) połączenie szeregowe, b) połączenie równoległe

Przykład z rysunku 1.16a przedstawia połączenie szeregowe, gdyż moment skręcający dla obu wałków jest taki sam, a obrót dysku jest sumą deformacji pierwszego i drugiego wałka. Przykład z rysunku 1.16b przedstawia połączenie równoległe, gdyż oba wałki mają takie samo odkształcenie. Rysunek 1.17 przedstawia kilka innych połączeń sprężyn.

Rys. 1.17. Przykłady połączeń sprężyn

1.3. Tłumienie

Oprócz swojej bezwładności (masa, moment bezwładności masy) i sprężystości każdy układ jest tłumiony, co wynika z oporu powietrza, tarcia między elementami układu, tłumienia wewnętrznego materiału itd. Rozproszenie energii mechanicznej jest nieodłącznie związane z ruchem. W układach mechanicznych można wyróżnić trzy podstawowe rodzaje tłumienia: 1) tłumienie wiskotyczne, 2) tarcie suche, 3) tarcie wewnętrzne.

1.3.1. Tłumienie wiskotyczne

Tłumienie tego rodzaju występuje przy ruchu ciał w płynie lepkim przy niedużych prędkościach. Ten opis tłumienia może być z większym lub mniejszym przybliżeniem stosowany do opisu tłumienia wielu układów.

Siła oporu w przypadku liniowego tłumienia wiskotycznego jest opisana funkcją F₂ = cv, jest skierowana przeciwnie do prędkości obiektu v, a stała tłumienia c zależy od własności ośrodka, w którym porusza się obiekt i jego kształtu. Jako symbolu tłumienia wiskotycznego używa się cylindra hydraulicznego – rysunek 1.18. Ze względu na łatwość analizy jest on szeroko stosowany jako zastępczy model dla przybliżonego opisu tłumienia przy bardziej złożonych zjawiskach tłumienia.

Rys. 1.18. Symbol tłumienia wiskotycznego

Dla większych prędkości zależność między siłą oporu i prędkością jest nieliniowa,

F = c v ^(χ).

(1.20)

gdzie χ jest jeszcze jedną stałą potrzebną do opisu tłumienia.

1.3.2. Tarcie suche

Tego typu dyssypacja energii istnieje w strefach kontaktu dwóch ciał wzajemnie się przesuwających. Wartość siły tarcia jest proporcjonalna do wartości siły normalnej, nie zależy od wielkości powierzchni stykających się ciał, a siła tarcia jest skierowana przeciwnie do prędkości poślizgu.

Rys. 1.19. Siła tarcia między dwoma ciałami

,

(1.21)

gdzie μ jest współczynikiem tarcia, N – siłą normalną, v – prędkością poślizgu. Problemy z siłą tarcia są nieliniowe i dlatego czasami zastępuje się je równoważnym oporem wiskotycznym ze współczynnikiem c_(eq). Jego wartość wyznacza się w ten sposób, aby energia rozproszona w czasie jednego cyklu drgań była taka sama jak dla tarcia suchego,

,

(1.22)

gdzie jest siłą oporu wiskotycznego, a F(x) przedstawia siłę tarcia rzeczywistego.

Dla ruchu harmonicznego , , , i po podstawieniu do równania (1.22) można obliczyć równoważny współczynnik tłumienia wiskotycznego

.

(1.23)

1.3.3. Tłumienie wewnętrzne

Tłumienie wewnętrzne jest to strata energii mechanicznej zachodząca w materiale odkształcalnym na skutek wzajemnego przemieszczania się cząstek materiału. Siła oporu z tym związana zmienia się jak na rysunku 1.20 i jest różna przy wzroście naprężenia i przy jego maleniu. Energia tracona w jednostce objętości drgającego ośrodka w czasie jednego okresu jest polem tej figury i nie zależy od częstości drgań,

,

(1.24)

gdzie k przedstawia współczynnik sprężystości, a jest amplitudą drgań, a h jest współczynnikiem tarcia wewnętrznego.

Rys. 1.20. Przykład pętli tarcia wewnętrznego

1.4. Stopnie swobody

Stopień swobody oznacza minimalną liczbę niezależnych współrzędnych potrzebnych do określenia położenia układu w dowolnej chwili. I tak położenie układu o jednym stopniu swobody (1 SS) jest zdefiniowane tylko jedną współrzędną, o dwóch stopniach swobody przez dwie współrzędne itd. Na przykład, położenie wahadła matematycznego (rys. 1.21a) lub fizycznego poruszającego się ruchem płaskim jest zdefiniowane przez jedną współrzędną, którą może być kąt obrotu wahadła α, współrzędna x albo współrzędna y masy m. Jeżeli zostanie przyjęty kąt obrotu wahadła α, to pozostałe współrzędne są zdefiniowane jako

, .

(1.25)

Dla układu masa–sprężyna (rys. 1.21b) współrzędną jest przemieszczenie x, dla dysku (rys. 1.21c) na sprężystym wale współrzędną jest kąt obrotu β.

Rys. 1.21. Układy z jednym stopniem swobody.a) Wahadło matematyczne, b) masa ze sprężyną, c) dysk na sprężystym wałku

Układy z jednym stopniem swobody mogą mieć więcej obiektów jak to przedstawiono na rysunku 1.22. Przykładowo układ na rysunku 1.22c) ma trzy obiekty: masa i dwa dyski, a ich położenie określają współrzędne x, α, β. Jeżeli przyjąć jako współrzędną uogólnioną x, to kąty położenia dysków są zdefiniowane zależnościami α = x /r₁, .

Rys. 1.22. Układy z jednym stopniem swobody.a) Wahadła połączone nieważkim prętem, b) belka z masą, c) dwa bloczki z masą

W przypadku dwóch dysków połączonych elastycznym wałkiem (rys. 1.23b) należy użyć dwóch współrzędnych θ₁, θ₂ – układ ma dwa stopnie swobody. Trzy wahadła połączone sprężynami (rys. 1.24c) mają trzy stopnie swobody i ich położenie określają współrzędne α, β, γ.

Rys. 1.23. Układy z dwoma stopniami swobody

Rys. 1.24. Przykłady układów z trzema stopniami swobody: a) ze współrzędnymi x₁, x₂, x₃, b) ze współrzędnymi θ₁, θ₂, θ₃, c) ze współrzędnymi α, β, γ

Rys. 1.25. Układ z czterema stopniami swobody

Jeżeli masa i sprężystość są rozłożone w sposób ciągły, to taki układ ma nieskończoną liczbę stopni swobody – można go przedstawić jak nieskończoną sumę elementów różniczkowych dm połączonych elastycznie jak na rysunku 1.26.

Rys. 1.26. Układy z nieskończoną liczbą stopni swobody:a) struna, b) belka2. Analiza harmoniczna drgań

2.1. Szeregi Fouriera

Ruch harmoniczny jest najprostszym ruchem, który można wykorzystać w analizie drgań bardziej złożonych. Wiele ruchów jest okresowych lub mogą być rozpatrywane jako okresowe w pewnym przedziale czasowym. Dowolną funkcję okresową można przedstawić jako nieskończony szereg Fouriera, który jest sumą funkcji trygonometrycznych. W ten sposób funkcje okresową można przedstawić w dziedzinie czasu (rys. 2.2) lub w dziedzinie częstotliwości (rys. 2.3). Możliwa jest również transformacja w odwrotnym kierunku, tzn. z dziedziny częstotliwości w dziedzinę czasu.

Trygonometryczny szereg Fouriera dla funkcji okresowej

x(T + t) = x(t)

(2.1)

z okresem T ma postać

,

(2.2)

gdzie ω = 2π /T jest częstością podstawową. Współczynniki szeregu a_(i) , b_(i) oblicza się wg wzorów:

, a₀ /2 jest wartością średnią funkcji x(t),

, ,

(2.3)

, tg ψ_(i) = b_(i) /a_(i).

(2.4)

Funkcja jest i-tą harmoniczną i ma częstość ω _(i) = iω , czyli i razy większą niż częstość podstawowa ω = 2π /T.

Przykłady funkcji okresowych

Rys. 2.1. Funkcje okresowe

Rys. 2.2. Przedstawienie funkcji okresowej w dziedzinie czasu z czterema harmonicznymi

Rys. 2.3. Widmo amplitudowe i fazowe dla sześciu harmonik