Feynmana wykłady z fizyki. Tom 2.2. Elektrodynamika, fizyka ośrodków ciągłych - ebook

23. REZONATORY WNĘKOWE

23.1. Rzeczywiste elementy obwodu

Każdy dowolny obwód składający się z doskonałych oporności pozornych i generatorów jest, jeżeli rozpatrywać go przy dowolnej parze zacisków, równoważny przy danej częstości szeregowemu połączeniu generatora z pewną opornością pozorną .

Wynika to z faktu, że jeżeli przykładamy do zacisków napięcie i rozwiązujemy wszystkie równania, aby znaleźć prąd , to musimy otrzymać pomiędzy prądem a napięciem zależność liniową. Ponieważ wszystkie równania są liniowe, równanie określające prąd musi zależeć od napięcia również tylko liniowo. Najogólniejszą zaś zależność liniową można wyrazić następująco:

------------------------------------------------- --------
(23.1)
------------------------------------------------- --------

W ogólnym przypadku zarówno oporność Z, jak i siła elektromotoryczna E , mogą zależeć w jakiś skomplikowany sposób od częstości . Równanie (23.1) jest jednak związkiem, jaki otrzymaliśmy, gdy poza zaciskami był tylko generator o sile elektromotorycznej połączony szeregowo z opornością pozorną .

Istnieje także problem odwrotny: Jeżeli mamy dowolne urządzenie elektromagnetyczne o dwóch zaciskach i dokonujemy _pomiaru_ zależności pomiędzy prądem i napięciem , aby określić siłę elektromotoryczną E i oporność pozorną jako funkcje częstości, to czy można znaleźć taki układ naszych doskonałych elementów, który jest równoważny wewnętrznej oporności pozornej ? Okazuje się, że dla każdej mającej sens fizyczny funkcji _można_ z dowolną dokładnością _przybliżać_ sytuację obwodem zawierającym skończony zbiór elementów doskonałych. Nie chcemy rozważać teraz zagadnienia ogólnego, ale rozpatrzyć kilka szczególnych przypadków, posługując się argumentami czysto fizycznymi.

Jeżeli rozważamy rzeczywisty opornik, to wiemy, że płynący przez niego prąd wytwarza pole magnetyczne. Tak więc każdy rzeczywisty opornik powinien mieć także pewną pozorną oporność indukcyjną.

Oprócz tego, gdy na końcach opornika istnieje różnica potencjałów, muszą znajdować się tam ładunki, aby wytworzyć niezbędne pola elektryczne. Ze zmianą napięcia będzie następowała, proporcjonalna doń, zmiana ładunków, a więc opornik będzie miał pewną pozorną oporność pojemnościową. Można oczekiwać, że układ zastępczy _rzeczywistego_ opornika będzie wyglądał tak, jak na rys. 23.1. W prawidłowo skonstruowanym oporniku tzw. „pasożytnicze” elementy i są małe, tak że dla danego przedziału częstości jest znacznie mniejsze od , a jest znacznie większe od i dlatego można je pominąć. Jednak ze wzrostem częstości stają się one w końcu istotne i opornik zaczyna wyglądać jak obwód rezonansowy.

RYS. 23.1. Obwód zastępczy rzeczywistego opornika

RYS. 23.2. Obwód zastępczy rzeczywistej cewki indukcyjnej przy małych częstościach

Rzeczywista indukcyjność nie jest także równa wyidealizowanej indukcyjności, której oporność pozorna wynosi . Prawdziwy zwój drutu będzie mieć pewien opór, a więc przy małych częstościach cewka jest w rzeczywistości równoważna szeregowemu połączeniu indukcyjności i pewnego oporu, jak to pokazano na rys. 23.2a. Ale przecież w prawdziwej cewce nie można rozdzielić oporu i indukcyjności – opór jest rozłożony wzdłuż całego drutu, a więc jest „zmieszany” z indukcyjnością. Powinno się w takim razie użyć raczej obwodu takiego, jak na rys. 23.2b, który składa się z połączonych szeregowo elementów o małych i . Ale całkowita oporność pozorna takiego obwodu jest równa , co jest równoważne prostszemu schematowi z części a) rysunku.

Ze wzrostem częstości pogarsza się przybliżenie rzeczywistej cewki sumą indukcyjności i oporu. Ładunki, które muszą pojawić się na drutach, aby wytworzyć napięcia, będą odgrywać ważną rolę. Wygląda to tak, jakby pomiędzy zwojami cewki były małe kondensatory, jak to naszkicowano na rys. 23.3a. Można by próbować zastąpić rzeczywistą cewkę obwodem takim, jak na rys. 23.3b. Dla małych częstości można go z powodzeniem zastąpić prostszym obwodem z części c) rysunku (jest to znowu ten sam obwód rezonansowy, który był modelem opornika przy wielkich częstościach). Jednak dla większych częstości lepszy jest bardziej złożony obwód z rys. 23.3b. W istocie, im dokładniej chcemy przedstawić faktyczną oporność pozorną rzeczywistej, fizycznej cewki, tym więcej doskonałych elementów musi zawierać jej sztuczny model.

RYS. 23.3. Obwód zastępczy rzeczywistej cewki indukcyjnej przy większych częstościach

Przypatrzmy się nieco dokładniej temu, co się dzieje w cewce rzeczywistej. Oporność pozorna indukcyjności zmienia się jak , a więc dla małych częstości staje się równa zeru i indukcyjność staje się wtedy „zwarciem”; pozostaje tylko opór drutu. Gdy zwiększamy częstość, wielkość wkrótce staje się znacznie większa od wielkości i cewka zachowuje się bardzo podobnie do doskonałej indukcyjności. Jeżeli jednak w dalszym ciągu będziemy zwiększać częstość, ważną rolę zaczną odgrywać pojemności. Ich oporność pozorna jest proporcjonalna do , a więc jest duża dla małych . Dla dostatecznie małych częstości kondensator stanowi „przerwę” w obwodzie i gdy równolegle do niego jest podłączony inny obwód, nie przewodzi prądu. Natomiast przy wielkich częstościach prąd woli wpływać do pojemności pomiędzy zwojami niż do indukcyjności. Tak więc prąd w cewce przeskakuje z jednego zwoju do drugiego, a nie zadaje sobie trudu, aby kręcić się w kółko i tracić siłę elektromotoryczną. Chociaż więc moglibyśmy sobie życzyć, aby prąd przepływał wzdłuż pętli, wybierze on łatwiejszą drogę – drogę o najmniejszej oporności pozornej.

Gdyby zagadnienie to było przedmiotem powszechnego zainteresowania, to opisane powyżej zjawisko nazwałoby się „barierą wielkich częstości” lub jakoś podobnie. Zjawiska tego typu zachodzą w różnych odległych nieraz dziedzinach. W aerodynamice, na przykład, obiekty skonstruowane dla mniejszych prędkości nie działałyby, gdybyśmy spróbowali nadać im prędkość większą od prędkości dźwięku. Nie oznacza to, że napotykają one „barierę” nie do przebycia, lecz po prostu oznacza, że taki obiekt wymaga innej konstrukcji. Tak więc cewka zaprojektowana przez nas jako „indukcyjność”, nie będzie przy wielkich częstościach działać jak dobra indukcyjność, ale jak coś innego. Dla wielkich częstości musimy skonstruować inną cewkę.

23.2. Kondensator przy wielkich częstościach

Chcemy teraz dokładnie omówić zachowanie się kondensatora – doskonałego, jeżeli chodzi o jego geometrię – podczas wzrostu częstości i dokonać obserwacji towarzyszących temu zmian jego własności. (Wolimy rozważać kondensator niż cewkę indukcyjną, ponieważ geometria pary płytek jest znacznie prostsza od geometrii cewki.)

Rozważmy kondensator pokazany na rys. 23.4a, składający się z dwóch równoległych kolistych płytek, połączonych parą drutów z zewnętrznym generatorem. Jeżeli ładujemy kondensator prądem stałym, to na jednej płytce będzie się zbierać ładunek dodatni, a na drugiej – ładunek ujemny; pomiędzy płytkami wytworzy się natomiast jednorodne pole elektryczne.

RYS. 23.4. Pole elektryczne i magnetyczne pomiędzy płytkami kondensatora

Przypuśćmy teraz, że zamiast prądu stałego przyłożymy do płytek prąd zmienny o małej częstości. (Później będziemy w stanie dokładniej określić, co to jest „mała”, a co „wielka” częstość). Powiedzmy, że połączymy kondensator z generatorem małych częstości. Gdy napięcie zmienia znak, z górnej płytki znika ładunek dodatni, a pojawia się na niej ładunek ujemny. Gdy to się dzieje, pole elektryczne znika, a następnie pojawia się ze zwrotem przeciwnym. Zmiany pola elektrycznego podążają za przeskokami ładunku tam i z powrotem. W każdej chwili pole elektryczne jest jednorodne, jak pokazano na rys. 23.4b, jedynie na krawędziach płytek zachodzą od tego pewne odstępstwa, które pominiemy. Wartość pola elektrycznego możemy zapisać jako

--------------------------------------------- --------
(23.2)
--------------------------------------------- --------

gdzie jest pewną stałą.

Czy opis ten pozostanie słuszny przy wzroście częstości? Nie, ponieważ na skutek ciągłych zmian kierunku pola przez każdą pętlę, taką jak na przykład z rys. 23.4a, przepływa strumień pola elektrycznego. A jak wiemy, zmienne pole elektryczne powoduje powstanie pola magnetycznego. Jedno z równań Maxwella mówi, że gdy istnieje, tak jak w tym przypadku, zmienne pole elektryczne, musi istnieć całka krzywoliniowa z pola magnetycznego. Ta całka z pola magnetycznego wzdłuż krzywej zamkniętej, pomnożona przez , jest równa szybkości zmian w czasie strumienia elektrycznego poprzez powierzchnię rozpiętą na tej krzywej (jeżeli nie ma żadnych prądów):

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------
(23.3)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------

Jakież jest więc natężenie tego pola magnetycznego? Nietrudno to obliczyć. Przypuśćmy, że weźmiemy pętlę , która jest okręgiem o promieniu . Z symetrii widać, że pole magnetyczne jest stałe wzdłuż takiego okręgu, tak jak to pokazano na rysunku. Wówczas całka krzywoliniowa z pola B jest równa . A ponieważ pole elektryczne jest jednorodne, strumień pola elektrycznego jest po prostu równy pomnożonemu przez , czyli przez powierzchnię koła:

---------------------------------------------------------------------------------- --------
(23.4)
---------------------------------------------------------------------------------- --------

Pochodna względem czasu jest dla naszego zmiennego pola równa po prostu . Znajdujemy więc, że w naszym kondensatorze wystąpi pole magnetyczne

------------------------------------------------------------------- --------
(23.5)
------------------------------------------------------------------- --------

Innymi słowy, pole magnetyczne także oscyluje, a jego natężenie jest proporcjonalne do .

Jakie są tego konsekwencje? Gdy istnieje zmienne pole magnetyczne, będą także indukowane pola elektryczne i kondensator zacznie działać nieco podobnie do cewki indukcyjnej. Ze wzrostem częstości rośnie natężenie pola magnetycznego; jest ono proporcjonalne do szybkości zmian pola , a więc do częstości . Oporność pozorna kondensatora nie będzie już po prostu równa .

Zwiększajmy w dalszym ciągu częstość i rozpatrzmy dokładniej, co się wówczas będzie działo. Mamy pole magnetyczne o zmiennym natężeniu. Ale wtedy pole elektryczne nie może być jednorodne, tak jak to zakładaliśmy! Gdy istnieje zmienne pole magnetyczne, musi, zgodnie z prawem Faradaya, istnieć także całka krzywoliniowa z pola elektrycznego. Jeżeli więc istnieje znaczne pole magnetyczne, jak to się zaczyna dziać przy wielkich częstościach, pole elektryczne nie może być takie samo w różnych odległościach od środka. Pole elektryczne musi zmieniać się z , tak aby całka krzywoliniowa z pola elektrycznego była równa zmiennemu strumieniowi pola magnetycznego.

Zobaczymy, czy potrafimy obliczyć poprawne pole elektryczne. Można to zrobić, obliczając „poprawkę” do jednorodnego pola, którego istnienie pierwotnie założyliśmy w przypadku małych częstości. Oznaczmy to jednorodne pole przez i przyjmijmy, że jest ono w dalszym ciągu równe ; poprawne pole możemy wtedy zapisać jako

gdzie jest poprawką pochodzącą od zmiennego pola magnetycznego. Pole na osi kondensatora zapiszemy dla każdego jako (określając w ten sposób , a więc na osi nie będziemy mieć poprawki; dla .

Aby znaleźć pole , możemy skorzystać z całkowej postaci równania Faradaya:

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
strumienia
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----

Całki te będą łatwe do obliczenia, jeżeli weźmiemy je wzdłuż pokazanej na rys. 23.4b krzywej , która przebiega w górę wzdłuż osi, następnie wzdłuż promienia górnej płytki na odległość od osi, opada pionowo do dolnej płytki i powraca do osi. Całka krzywoliniowa z pola wzdłuż tej krzywej jest oczywiście równa zeru; a więc jedyny przyczynek do całki pochodzi od pola i jest równy , gdzie jest odległością pomiędzy płytkami. ( przyjmiemy za dodatnie, jeżeli ma zwrot ku górze.) Całka ta jest równa szybkość zmian strumienia , który znajdujemy obliczając całkę po zakreślonej powierzchni wewnątrz pętli na rys. 23.4b. Strumień przez pionowy pasek o szerokości jest równy , a więc całkowity strumień jest równy

----------------------------------------- -----

----------------------------------------- -----

Przyrównując strumienia do całki krzywoliniowej z pola , mamy

----------------------------------------------------------------------------- --------
(23.6)
----------------------------------------------------------------------------- --------

Zauważmy, że znikło; pola nie zależą od odstępu pomiędzy płytkami. Podstawiając z równania (23.5), otrzymamy

------------------------------------------------------------------------------------------------------------ -----

------------------------------------------------------------------------------------------------------------ -----

Pochodna względem czasu „dorzuca” jeszcze jeden czynik ; otrzymujemy

--------------------------------------------------------------------------- --------
(23.7)
--------------------------------------------------------------------------- --------

Tak jak mogliśmy się tego spodziewać, indukowane pole działa w kierunku _zmniejszenia_ pierwotnego pola eletrycznego na większych odległościach od osi. Poprawione pole jest zatem równe

-------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------
(23.8)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------

RYS. 23.5. Pole elektryczne pomiędzy płytkami kondensatora przy wielkiej częstości (pominięto efekty krawędziowe)PRZYPISY

W elektrotechnice i elektronice funkcjonuje pojęcie impedancji (przyp. red. wyd. polskiego).

Chodzi o rozdz. 20 i 21, które w polskim przekładzie znalazły się w cz. 1 tomu II (przyp. red. wyd. polskiego).

Zarówno w języku polskim, jak i w angielskim istnieją w tym przypadku pewne niekonsekwencje w używanej terminologii. I tak, wydawałoby się, że poprawnie należy stosować takie terminy, jak „indukcyjność”, „pojemność” do określania pojęć (własności obiektów), a terminy „cewka indukcyjna”, „kondensator” – do „nazywania” tych właśnie obiektów (elementów obwodu). Sam jednak autor twierdzi, że w tym przypadku lepiej używać terminów, które choć stosowane nie zawsze poprawnie, zdobyły sobie pełne prawo obywatelstwa. Dlatego mówimy „indukcyjność”, rozumiejąc pod tym zarówno cewkę indukcyjną, jak i jej oporność indukcyjną L. Z drugiej strony, nikt nie używa terminu „oporność pojemnościowa”, pozostając przy zwykłej „pojemności” (przyp. tłum.).

W elektrotechnice i elektronice obwód taki jest nazywany obwodem drabinkowym (przyp. red. wyd. polskiego).

Są to tak zwane filtry drabinkowe (przyp. red. wyd. polskiego).

Pokazany układ zastępczy ma zastosowanie tylko dla małych częstości. Dla wielkich częstości układ zastępczy staje się o wiele bardziej skomplikowany i zawiera różne tzw. „pasożytnicze” pojemności i indukcyjności.