Finanse przedsiębiorstw w modelach i zadaniach - ebook
Wydawnictwo:
Data wydania:
1 stycznia 2020
Format ebooka:
EPUB
Format
EPUB
czytaj
na czytniku
czytaj
na tablecie
czytaj
na smartfonie
Jeden z najpopularniejszych formatów e-booków na świecie.
Niezwykle wygodny i przyjazny czytelnikom - w przeciwieństwie do formatu
PDF umożliwia skalowanie czcionki, dzięki czemu możliwe jest dopasowanie
jej wielkości do kroju i rozmiarów ekranu. Więcej informacji znajdziesz
w dziale Pomoc.
Multiformat
E-booki w Virtualo.pl dostępne są w opcji multiformatu.
Oznacza to, że po dokonaniu zakupu, e-book pojawi się na Twoim koncie we wszystkich formatach dostępnych aktualnie dla danego tytułu.
Informacja o dostępności poszczególnych formatów znajduje się na karcie produktu.
Format
MOBI
czytaj
na czytniku
czytaj
na tablecie
czytaj
na smartfonie
Jeden z najczęściej wybieranych formatów wśród czytelników
e-booków. Możesz go odczytać na czytniku Kindle oraz na smartfonach i
tabletach po zainstalowaniu specjalnej aplikacji. Więcej informacji
znajdziesz w dziale Pomoc.
Multiformat
E-booki w Virtualo.pl dostępne są w opcji multiformatu.
Oznacza to, że po dokonaniu zakupu, e-book pojawi się na Twoim koncie we wszystkich formatach dostępnych aktualnie dla danego tytułu.
Informacja o dostępności poszczególnych formatów znajduje się na karcie produktu.
Multiformat
E-booki sprzedawane w księgarni Virtualo.pl dostępne są w opcji
multiformatu - kupujesz treść, nie format. Po dodaniu e-booka do koszyka
i dokonaniu płatności, e-book pojawi się na Twoim koncie w Mojej
Bibliotece we wszystkich formatach dostępnych aktualnie dla danego
tytułu. Informacja o dostępności poszczególnych formatów znajduje się na
karcie produktu przy okładce. Uwaga: audiobooki nie są objęte opcją
multiformatu.
czytaj
na tablecie
Aby odczytywać e-booki na swoim tablecie musisz zainstalować specjalną
aplikację. W zależności od formatu e-booka oraz systemu operacyjnego,
który jest zainstalowany na Twoim urządzeniu może to być np. Bluefire
dla EPUBa lub aplikacja Kindle dla formatu MOBI.
Informacje na temat zabezpieczenia e-booka znajdziesz na karcie produktu
w "Szczegółach na temat e-booka". Więcej informacji znajdziesz w dziale
Pomoc.
czytaj
na czytniku
Czytanie na e-czytniku z ekranem e-ink jest bardzo wygodne i nie męczy
wzroku. Pliki przystosowane do odczytywania na czytnikach to przede
wszystkim EPUB (ten format możesz odczytać m.in. na czytnikach
PocketBook) i MOBI (ten fromat możesz odczytać m.in. na czytnikach Kindle).
Informacje na temat zabezpieczenia e-booka znajdziesz na karcie produktu
w "Szczegółach na temat e-booka". Więcej informacji znajdziesz w dziale
Pomoc.
czytaj
na smartfonie
Aby odczytywać e-booki na swoim smartfonie musisz zainstalować specjalną
aplikację. W zależności od formatu e-booka oraz systemu operacyjnego,
który jest zainstalowany na Twoim urządzeniu może to być np. iBooks dla
EPUBa lub aplikacja Kindle dla formatu MOBI.
Informacje na temat zabezpieczenia e-booka znajdziesz na karcie produktu
w "Szczegółach na temat e-booka". Więcej informacji znajdziesz w dziale
Pomoc.
Czytaj fragment
Pobierz fragment
Pobierz fragment w jednym z dostępnych formatów
Finanse przedsiębiorstw w modelach i zadaniach - ebook
Syntetyczny podręcznik, który pozwala studentom kierunków ekonomicznych na szybkie i efektywne przyswojenie umiejętności narzędziowych i obliczeniowych. Autorzy kładą duży nacisk na praktykę, a nie opisowe przedstawianie teorii z tego zakresu. Książka zwiera kanon wzorów do obliczeń podstawowych wielkości ekonomicznych i finansowych związanych z funkcjonowaniem przedsiębiorstwa. Co niezwykle istotne, ujęte są w niej aktualne podejścia do wyceny przedsiębiorstw, a także modele predykcji upadłości podmiotów gospodarczych.
Książka koncentruje się na praktycznych zagadnieniach rozwiązywania typowych problemów analizy finansowej. Jest wartościową publikacją uzupełniającą teoretyczne podręczniki. Będzie cennym źródłem wiedzy nie tylko dla studentów, ale i praktyków. Tekst podręcznika zawiera wiele ciekawych przykładów rozwiązywania problemów praktycznych oraz jest jasno i przejrzyście przedstawiony.
dr hab. Ewa Miklaszewska, prof. UEK
| Kategoria: | Ekonomia |
| Zabezpieczenie: |
Watermark
|
| ISBN: | 978-83-01-21246-9 |
| Rozmiar pliku: | 2,6 MB |
FRAGMENT KSIĄŻKI
Wstęp
Bogaty wybór prac teoretycznych z zakresu finansów przedsiębiorstw ukazujących się na rynku wydawniczym w ostatnich latach powoduje, że trudno jest czytelnikom usystematyzować wiedzę z tego zakresu i skupić uwagę na najważniejszych zagadnieniach. Autorzy dostrzegli potrzebę opracowania książki zawierającej kluczowe praktyczne aspekty finansów przedsiębiorstw. Stąd położenie nacisku na doskonalenie obliczeniowych umiejętności odbiorców publikacji. Intencją autorów było napisanie książki, która stanie się obowiązkową pozycją wielu księgozbiorów naukowych i podręcznych bibliotek finansistów oraz przedsiębiorców, ceniących szybki dostęp do poszukiwanych treści oraz praktycznej wiedzy.
Książka ma służyć pomocą zarówno studentom w nauce finansów, jak i w prowadzeniu ćwiczeń oraz wykładów przez pracowników naukowo-dydaktycznych. Może być przydatna w wielu przedmiotach wykładowych na uczelniach wyższych, takich jak np. finanse przedsiębiorstw, analiza fundamentalna, zarządzanie wartością przedsiębiorstwa, spółką na rynku kapitałowym, rachunkowość menedżerska, audyt w przedsiębiorstwie, zarówno na kierunkach ekonomicznych czy technicznych.
Książka składa się z czterech części. Część pierwsza zawiera podstawowe modele i zadania z zakresu teorii wartości pieniądza w czasie. Więcej miejsca poświęcono dyskontu, które jest współcześnie nieodzownym narzędziem każdego ekonomisty.
Część druga dotyczy analizy fundamentalnej przedsiębiorstwa. Stąd zadania dotyczą bilansu, rachunku zysków i strat, przepływów pieniężnych, kosztu kapitału, wartości progowych oraz analizy wskaźnikowej (zwanej też fundamentalną lub miernikową). Ważną częścią są modele predykcji bankructwa przedsiębiorstwa.
Część trzecia prezentuje szeroki zestaw modeli wykorzystywanych do zarządzania wartością przedsiębiorstwa, w tym do wyceny metodami ekonomicznymi. Ważnym dla praktyki uzupełnieniem są modele stress testów, stosowane m.in. w feasibility study oraz do weryfikacji prognoz będących podstawą wyceny przedsiębiorstwa. Przedstawiono także formuły i modele obliczania wielkości pomocy publicznej dla przedsiębiorstw.
Część czwarta obejmuje operacje dewizowe i rynek kapitałowy (w tym rynek terminowy i rentowność obligacji).
W pracy szeroko potraktowano zarówno analizę fundamentalną, jak i obliczanie stóp procentowych oraz dyskonta (według różnych modeli) ze względu na praktyczną przydatność tej wiedzy w zarządzaniu finansami, w tym opracowywania prognoz.
Znajomość metod obliczania wartości oraz analizy dynamiki różnych zjawisk i procesów finansowych jest ważną umiejętnością każdego menedżera zarządzającego nie tylko dużymi korporacjami, lecz także mikroprzedsiębiorstwami i małymi podmiotami. Wiedza matematyczna z tego zakresu powinna być też stale pogłębiana przez analityków finansowych.
Autorzy wyrażają nadzieję, że publikacja będzie przydatna nie tylko dla studentów i słuchaczy na studiach podyplomowych, lecz także na kursach dla maklerów, szkoleniach dla kandydatów na członków rad nadzorczych oraz kursach analizy finansowej przedsiębiorstw dla analityków rynku kapitałowego, inspektorów kredytowych w bankach czy też doradców restrukturyzacyjnych.
Zawarty w książce zestaw podstawowych modeli i wzorów może być także użyteczny w bieżącej pracy firm consultingowych, pracowników banków, ubezpieczeń, funduszy inwestycyjnych i innych instytucji finansowych. Zastosowanie praktyczne większości modeli i wzorów zostało przedstawione w formie zadań (ponad 100) do rozwiązania przez czytelników. Załączone na końcu książki odpowiedzi do zadań stwarzają możliwość weryfikacji poprawności ich rozwiązania. Autorzy będą wdzięczni za ewentualne krytyczne uwagi i sugestie dotyczące rozszerzenia zakresu książki.
Wyrażamy podziękowanie dla konsultantów fragmentów książki, a szczególnie dla dr. hab. prof. SGH, Andrzeja Fierli, kierownika Zakładu Zarządzania Finansami Przedsiębiorstwa w Instytucie Finansów Korporacji i Inwestycji SGH oraz dla dr hab. prof. SGH, Magdaleny Mikołajek-Gocejny, wicedyrektora Instytutu Zarządzania Wartością SGH. Recenzentowi książki należą się wyrazy wdzięczności za cenne uwagi i sugestie.
Wydanie publikacji było możliwe dzięki życzliwości i pomocy redaktorów Wydawnictwa Naukowego PWN, za co autorzy serdecznie dziękują.
Paweł Dec
Piotr MasiukiewiczRozdział 1 Wartość przyszła kapitału
Obliczanie wartości przyszłej kapitału polega na przyjęciu danej stopy procentowej i okresowym powiększaniu kapitału o odsetki (nazywanym kapitalizacją). Ponieważ odsetki z poprzedniego okresu są także dalej oprocentowane, używa się wzoru na procent składany (tzw. kapitalizacja odsetek).
Kapitalizacja może następować z różną częstotliwością, raz do roku, dwa razy do roku, co kwartał, codziennie, ciągle. W zależności od sposobu kapitalizacji mogą być używane w praktyce różne wzory na wartość przyszłą bieżącego kapitału (np. kapitalizacja z okresową wypłatą odsetek)¹.
1.1. Kapitalizacja i stopa efektywna
1.1.1. Procent składany
Wartość przyszłą kapitału K_(o) można obliczyć za pomocą formuły procentu składanego, tj. w postaci równania:
gdzie:
K_(n) – wartość przyszła kapitału,
K_(o) – wartość bieżąca kapitału (kapitał początkowy),
r – stopa procentowa zgodna dla okresu kapitalizacji n,
n – liczba okresów kapitalizacji (np. lat, miesięcy, kwartałów, w których dolicza się bieżące odsetki do kapitału początkowego), na którą zainwestowano kapitał na procent składany.
1.1.2. Efektywna stopa procentowa
Efektywna stopa procentowa (inaczej: efektywny koszt pożyczki albo lokaty) jest maksymalnym kosztem lub przychodem, jaki byłby zapłacony przy danych okresach kapitalizacji i wysokości stopy procentowej, gdyby odsetki były doliczone do kapitału po każdym okresie kapitalizacji i wypłacone na koniec okresu lokaty lub pożyczki. Zależy ona zatem od wysokości stopy procentowej i liczby okresów kapitalizacji. Na przykład dla banku jest to jednocześnie efektywny dochód z kredytu, tj. dochód, jaki uzyskałby on natychmiast, lokując w nowe kredyty środki uzyskane ze spłat odsetek (na takich samych warunkach).
Stopę tę zwykle liczy się dla okresu podstawowego (rocznego), ale można też przyjąć inne okresy. Wzór na obliczanie stopy efektywnej jest następujący:
gdzie:
SE – stopa procentowa efektywna,
r – stopa procentowa nominalna zgodna dla podokresu kapitalizacji n (np. kwartalna; jeśli roczna stopa wynosi np. 10%, to stopa tzw. zgodna dla kwartału wynosi 2,5%),
n – liczba podokresów kapitalizacji.
1.1.3. Wartość kapitału po n dniach
Inwestor lokujący w papiery wierzycielskie chce niekiedy sprzedać je przed terminem wykupu, a nie otrzymał jeszcze wypłaty odsetek za dany okres. Chciałby wiedzieć, ile jest wart kapitał z odsetkami do dnia, w którym go odsprzeda.
Taki problem pojawia się przy odsprzedaży obligacji. Cena obligacji jest sumą kursu (tj. procentu ceny nominalnej powiększonej o niewypłacone odsetki). Wobec obligacji skarbowych, listy emisyjne ministra finansów podają poniższe zasady obliczania dziennej ceny sprzedaży tego papieru, tj.:
gdzie:
C_(d) – dzienna cena sprzedaży obligacji w dniu d,
C_(e) – cena emisyjna sprzedaży,
N – wartość nominalna obligacji,
r – stopa procentowa obligacji w danym okresie odsetkowym,
a – rzeczywista liczba dni od pierwszego dnia danego okresu odsetkowego, z wyłączeniem tego dnia, do dnia d z wyłączeniem tego dnia d,
D – rzeczywista liczba dni w danym okresie odsetkowym, z wyłączeniem pierwszego dnia danego okresu odsetkowego i z wyłączeniem ostatniego dnia okresu odsetkowego,
F – częstotliwość (okresy) płatności kuponowych w roku.
1.1.4. Wartość kapitału przy procencie składanym
Do obliczenia wartości kapitału przyszłego (końcowego) po n okresach przy kapitalizacji częstszej niż raz w roku (tj. po danym roku) korzysta się z następującego wzoru:
gdzie:
KF – kapitał końcowy,
KP – kapitał początkowy,
r – roczna stopa procentowa,
c – liczba okresów kapitalizacji w ciągu roku,
n – liczba lat.
Rozważmy następujący przykład. Inwestor założył lokatę bankową 100 zł według stopy 20% rocznie. Jaka będzie wartość kapitału zgromadzonego na koniec trzeciego roku, jeżeli odsetki kapitalizowane są co kwartał. Wynik jest następujący:
Zatem po upływie trzech lat, przy rocznej stopie procentowej równej 20% i przy kapitalizacji kwartalnej, inwestując 100 zł, inwestor otrzyma 179,59 zł.
1.2. Raty annuitetowe
Dla kredytobiorców wygodnym rozwiązaniem jest spłata zobowiązania w wysokości równych kwot wpłacanych w kolejnych okresach n spłat raty kapitałowej i odsetek przez określony czas w umowie kredytowej lub pożyczkowej.
Spłata wierzytelności kredytowej, czyli rat kapitałowych i odsetek, może być dokonywana w formie równych płatności okresowych. Jeżeli są to płatności częstsze niż raz w roku przy ustalonej rocznej stopie procentowej, niezbędne jest obliczenie zgodnej stopy procentowej dla okresu płatności (np. kwartału).
Równe płatności okresowe są określane także jako raty annuitetowe. Ogólne wzory dla obliczania rat annuitetowych oraz ich przekształcenia są następujące:
gdzie:
– (tzw. zgodna stopa procentowa dla n okresów),
K – kwota kredytu,
n – liczba podokresów w roku,
m – liczba okresów płatności (n×liczba lat spłaty),
S_(p) – roczna stopa procentowa,
A – równa płatność okresowa (O_(n) + K_(n)),
K_(n) – rata kredytu w okresie n,
O_(n) – odsetki w okresie n.
Kredyt pozostały do spłacenia w okresie m można obliczyć następująco:
Ratę kredytu Kn i odsetki On w okresie n można obliczyć według wzorów:
Wyliczenie okresu spłaty kredytu na podstawie stałej kwoty płatności dokonywane jest następująco:
gdzie:
– (tzw. zgodna stopa procentowa dla n okresów),
K – kwota kredytu,
Lq – logarytm dziesiętny (tj. lq₁₀ y),
n – liczba podokresów w roku,
m – liczba okresów płatności (n×liczba lat spłaty),
S_(p) – roczna stopa procentowa,
A – równa płatność okresowa (O_(n) + K_(n)),
K_(n) – rata kredytu w okresie n,
O_(n) – odsetki w okresie n.
Banki często stosowały ten model spłaty m.in. przy kredytach samochodowych.
1.3. Kapitalizacja ciągła
Kiedy liczba naliczonych odsetek rocznie jest nieskończona, wtedy wartość przyszła kapitału KF jest związana z wartością bieżącą kapitału K_(b) funkcją wykładniczą od liczby matematycznej e, tj.:
gdzie:
KF – wartość przyszła kapitału przy kapitalizacji ciągłej,
K_(b) – wartość bieżąca kapitału,
e – liczba matematyczna (dostępna w tabelach matematycznych wzorów),
a – stopa procentowa roczna,
n – liczba lat.
Na przykład wartość przyszła za cztery lata zainwestowanych 10 000 zł, przy stopie rocznej 10% oraz kapitalizacji w trybie ciągłym, wynosi:
10 000(e)^(0,1×4) = 14 918,25 zł.
W przypadku kiedy kapitalizacja nie następowałaby w trybie ciągłym, a odsetki byłyby naliczane raz do roku, to wartość kapitału byłaby następująca:
KF=K_(b)×(1+i)^(n)=10 000 zł×(1+0,1)⁴=14 641 zł.
Przedstawiona kapitalizacja ciągła w praktyce nie jest stosowana.
Zadania
Zadanie 1.1
Inwestycja pięcioletnia w papier wartościowy spółki Often zapewnia stałą stopę procentową w wysokości 15% rocznie, przy czym odsetki są dodawane do kapitału początkowego corocznie.
Ile wyniesie wartość kapitału po upływie pięciu lat, jeżeli zainwestujemy 1000 zł kapitału?
Zadanie 1.2
Inwestor wybrał do dalszej analizy trzy inwestycje; mając 100 tys. zł do dyspozycji:
1. lokata bankowa roczna, oprocentowanie 5%, odsetki wypłacane (kapitalizowane) co kwartał,
2. zakup akcji X, przewidywana dywidenda, wypłacana rocznie 5%,
3. lokata we franki szwajcarskie, przewidywany wzrost kursu średnio 2,4% rocznie w stosunku do złotych, możliwość wypłaty nadwyżki wartości kursu co miesiąc.
Ile wynoszą roczne efektywne stopy zwrotu tych inwestycji oraz która inwestycja jest najkorzystniejsza?
Zadanie 1.3
Obliczyć należne odsetki za cały okres od kredytu 3-letniego w wysokości 100 mln zł spłacanego co miesiąc przy rocznej stopie 5%.
Bogaty wybór prac teoretycznych z zakresu finansów przedsiębiorstw ukazujących się na rynku wydawniczym w ostatnich latach powoduje, że trudno jest czytelnikom usystematyzować wiedzę z tego zakresu i skupić uwagę na najważniejszych zagadnieniach. Autorzy dostrzegli potrzebę opracowania książki zawierającej kluczowe praktyczne aspekty finansów przedsiębiorstw. Stąd położenie nacisku na doskonalenie obliczeniowych umiejętności odbiorców publikacji. Intencją autorów było napisanie książki, która stanie się obowiązkową pozycją wielu księgozbiorów naukowych i podręcznych bibliotek finansistów oraz przedsiębiorców, ceniących szybki dostęp do poszukiwanych treści oraz praktycznej wiedzy.
Książka ma służyć pomocą zarówno studentom w nauce finansów, jak i w prowadzeniu ćwiczeń oraz wykładów przez pracowników naukowo-dydaktycznych. Może być przydatna w wielu przedmiotach wykładowych na uczelniach wyższych, takich jak np. finanse przedsiębiorstw, analiza fundamentalna, zarządzanie wartością przedsiębiorstwa, spółką na rynku kapitałowym, rachunkowość menedżerska, audyt w przedsiębiorstwie, zarówno na kierunkach ekonomicznych czy technicznych.
Książka składa się z czterech części. Część pierwsza zawiera podstawowe modele i zadania z zakresu teorii wartości pieniądza w czasie. Więcej miejsca poświęcono dyskontu, które jest współcześnie nieodzownym narzędziem każdego ekonomisty.
Część druga dotyczy analizy fundamentalnej przedsiębiorstwa. Stąd zadania dotyczą bilansu, rachunku zysków i strat, przepływów pieniężnych, kosztu kapitału, wartości progowych oraz analizy wskaźnikowej (zwanej też fundamentalną lub miernikową). Ważną częścią są modele predykcji bankructwa przedsiębiorstwa.
Część trzecia prezentuje szeroki zestaw modeli wykorzystywanych do zarządzania wartością przedsiębiorstwa, w tym do wyceny metodami ekonomicznymi. Ważnym dla praktyki uzupełnieniem są modele stress testów, stosowane m.in. w feasibility study oraz do weryfikacji prognoz będących podstawą wyceny przedsiębiorstwa. Przedstawiono także formuły i modele obliczania wielkości pomocy publicznej dla przedsiębiorstw.
Część czwarta obejmuje operacje dewizowe i rynek kapitałowy (w tym rynek terminowy i rentowność obligacji).
W pracy szeroko potraktowano zarówno analizę fundamentalną, jak i obliczanie stóp procentowych oraz dyskonta (według różnych modeli) ze względu na praktyczną przydatność tej wiedzy w zarządzaniu finansami, w tym opracowywania prognoz.
Znajomość metod obliczania wartości oraz analizy dynamiki różnych zjawisk i procesów finansowych jest ważną umiejętnością każdego menedżera zarządzającego nie tylko dużymi korporacjami, lecz także mikroprzedsiębiorstwami i małymi podmiotami. Wiedza matematyczna z tego zakresu powinna być też stale pogłębiana przez analityków finansowych.
Autorzy wyrażają nadzieję, że publikacja będzie przydatna nie tylko dla studentów i słuchaczy na studiach podyplomowych, lecz także na kursach dla maklerów, szkoleniach dla kandydatów na członków rad nadzorczych oraz kursach analizy finansowej przedsiębiorstw dla analityków rynku kapitałowego, inspektorów kredytowych w bankach czy też doradców restrukturyzacyjnych.
Zawarty w książce zestaw podstawowych modeli i wzorów może być także użyteczny w bieżącej pracy firm consultingowych, pracowników banków, ubezpieczeń, funduszy inwestycyjnych i innych instytucji finansowych. Zastosowanie praktyczne większości modeli i wzorów zostało przedstawione w formie zadań (ponad 100) do rozwiązania przez czytelników. Załączone na końcu książki odpowiedzi do zadań stwarzają możliwość weryfikacji poprawności ich rozwiązania. Autorzy będą wdzięczni za ewentualne krytyczne uwagi i sugestie dotyczące rozszerzenia zakresu książki.
Wyrażamy podziękowanie dla konsultantów fragmentów książki, a szczególnie dla dr. hab. prof. SGH, Andrzeja Fierli, kierownika Zakładu Zarządzania Finansami Przedsiębiorstwa w Instytucie Finansów Korporacji i Inwestycji SGH oraz dla dr hab. prof. SGH, Magdaleny Mikołajek-Gocejny, wicedyrektora Instytutu Zarządzania Wartością SGH. Recenzentowi książki należą się wyrazy wdzięczności za cenne uwagi i sugestie.
Wydanie publikacji było możliwe dzięki życzliwości i pomocy redaktorów Wydawnictwa Naukowego PWN, za co autorzy serdecznie dziękują.
Paweł Dec
Piotr MasiukiewiczRozdział 1 Wartość przyszła kapitału
Obliczanie wartości przyszłej kapitału polega na przyjęciu danej stopy procentowej i okresowym powiększaniu kapitału o odsetki (nazywanym kapitalizacją). Ponieważ odsetki z poprzedniego okresu są także dalej oprocentowane, używa się wzoru na procent składany (tzw. kapitalizacja odsetek).
Kapitalizacja może następować z różną częstotliwością, raz do roku, dwa razy do roku, co kwartał, codziennie, ciągle. W zależności od sposobu kapitalizacji mogą być używane w praktyce różne wzory na wartość przyszłą bieżącego kapitału (np. kapitalizacja z okresową wypłatą odsetek)¹.
1.1. Kapitalizacja i stopa efektywna
1.1.1. Procent składany
Wartość przyszłą kapitału K_(o) można obliczyć za pomocą formuły procentu składanego, tj. w postaci równania:
gdzie:
K_(n) – wartość przyszła kapitału,
K_(o) – wartość bieżąca kapitału (kapitał początkowy),
r – stopa procentowa zgodna dla okresu kapitalizacji n,
n – liczba okresów kapitalizacji (np. lat, miesięcy, kwartałów, w których dolicza się bieżące odsetki do kapitału początkowego), na którą zainwestowano kapitał na procent składany.
1.1.2. Efektywna stopa procentowa
Efektywna stopa procentowa (inaczej: efektywny koszt pożyczki albo lokaty) jest maksymalnym kosztem lub przychodem, jaki byłby zapłacony przy danych okresach kapitalizacji i wysokości stopy procentowej, gdyby odsetki były doliczone do kapitału po każdym okresie kapitalizacji i wypłacone na koniec okresu lokaty lub pożyczki. Zależy ona zatem od wysokości stopy procentowej i liczby okresów kapitalizacji. Na przykład dla banku jest to jednocześnie efektywny dochód z kredytu, tj. dochód, jaki uzyskałby on natychmiast, lokując w nowe kredyty środki uzyskane ze spłat odsetek (na takich samych warunkach).
Stopę tę zwykle liczy się dla okresu podstawowego (rocznego), ale można też przyjąć inne okresy. Wzór na obliczanie stopy efektywnej jest następujący:
gdzie:
SE – stopa procentowa efektywna,
r – stopa procentowa nominalna zgodna dla podokresu kapitalizacji n (np. kwartalna; jeśli roczna stopa wynosi np. 10%, to stopa tzw. zgodna dla kwartału wynosi 2,5%),
n – liczba podokresów kapitalizacji.
1.1.3. Wartość kapitału po n dniach
Inwestor lokujący w papiery wierzycielskie chce niekiedy sprzedać je przed terminem wykupu, a nie otrzymał jeszcze wypłaty odsetek za dany okres. Chciałby wiedzieć, ile jest wart kapitał z odsetkami do dnia, w którym go odsprzeda.
Taki problem pojawia się przy odsprzedaży obligacji. Cena obligacji jest sumą kursu (tj. procentu ceny nominalnej powiększonej o niewypłacone odsetki). Wobec obligacji skarbowych, listy emisyjne ministra finansów podają poniższe zasady obliczania dziennej ceny sprzedaży tego papieru, tj.:
gdzie:
C_(d) – dzienna cena sprzedaży obligacji w dniu d,
C_(e) – cena emisyjna sprzedaży,
N – wartość nominalna obligacji,
r – stopa procentowa obligacji w danym okresie odsetkowym,
a – rzeczywista liczba dni od pierwszego dnia danego okresu odsetkowego, z wyłączeniem tego dnia, do dnia d z wyłączeniem tego dnia d,
D – rzeczywista liczba dni w danym okresie odsetkowym, z wyłączeniem pierwszego dnia danego okresu odsetkowego i z wyłączeniem ostatniego dnia okresu odsetkowego,
F – częstotliwość (okresy) płatności kuponowych w roku.
1.1.4. Wartość kapitału przy procencie składanym
Do obliczenia wartości kapitału przyszłego (końcowego) po n okresach przy kapitalizacji częstszej niż raz w roku (tj. po danym roku) korzysta się z następującego wzoru:
gdzie:
KF – kapitał końcowy,
KP – kapitał początkowy,
r – roczna stopa procentowa,
c – liczba okresów kapitalizacji w ciągu roku,
n – liczba lat.
Rozważmy następujący przykład. Inwestor założył lokatę bankową 100 zł według stopy 20% rocznie. Jaka będzie wartość kapitału zgromadzonego na koniec trzeciego roku, jeżeli odsetki kapitalizowane są co kwartał. Wynik jest następujący:
Zatem po upływie trzech lat, przy rocznej stopie procentowej równej 20% i przy kapitalizacji kwartalnej, inwestując 100 zł, inwestor otrzyma 179,59 zł.
1.2. Raty annuitetowe
Dla kredytobiorców wygodnym rozwiązaniem jest spłata zobowiązania w wysokości równych kwot wpłacanych w kolejnych okresach n spłat raty kapitałowej i odsetek przez określony czas w umowie kredytowej lub pożyczkowej.
Spłata wierzytelności kredytowej, czyli rat kapitałowych i odsetek, może być dokonywana w formie równych płatności okresowych. Jeżeli są to płatności częstsze niż raz w roku przy ustalonej rocznej stopie procentowej, niezbędne jest obliczenie zgodnej stopy procentowej dla okresu płatności (np. kwartału).
Równe płatności okresowe są określane także jako raty annuitetowe. Ogólne wzory dla obliczania rat annuitetowych oraz ich przekształcenia są następujące:
gdzie:
– (tzw. zgodna stopa procentowa dla n okresów),
K – kwota kredytu,
n – liczba podokresów w roku,
m – liczba okresów płatności (n×liczba lat spłaty),
S_(p) – roczna stopa procentowa,
A – równa płatność okresowa (O_(n) + K_(n)),
K_(n) – rata kredytu w okresie n,
O_(n) – odsetki w okresie n.
Kredyt pozostały do spłacenia w okresie m można obliczyć następująco:
Ratę kredytu Kn i odsetki On w okresie n można obliczyć według wzorów:
Wyliczenie okresu spłaty kredytu na podstawie stałej kwoty płatności dokonywane jest następująco:
gdzie:
– (tzw. zgodna stopa procentowa dla n okresów),
K – kwota kredytu,
Lq – logarytm dziesiętny (tj. lq₁₀ y),
n – liczba podokresów w roku,
m – liczba okresów płatności (n×liczba lat spłaty),
S_(p) – roczna stopa procentowa,
A – równa płatność okresowa (O_(n) + K_(n)),
K_(n) – rata kredytu w okresie n,
O_(n) – odsetki w okresie n.
Banki często stosowały ten model spłaty m.in. przy kredytach samochodowych.
1.3. Kapitalizacja ciągła
Kiedy liczba naliczonych odsetek rocznie jest nieskończona, wtedy wartość przyszła kapitału KF jest związana z wartością bieżącą kapitału K_(b) funkcją wykładniczą od liczby matematycznej e, tj.:
gdzie:
KF – wartość przyszła kapitału przy kapitalizacji ciągłej,
K_(b) – wartość bieżąca kapitału,
e – liczba matematyczna (dostępna w tabelach matematycznych wzorów),
a – stopa procentowa roczna,
n – liczba lat.
Na przykład wartość przyszła za cztery lata zainwestowanych 10 000 zł, przy stopie rocznej 10% oraz kapitalizacji w trybie ciągłym, wynosi:
10 000(e)^(0,1×4) = 14 918,25 zł.
W przypadku kiedy kapitalizacja nie następowałaby w trybie ciągłym, a odsetki byłyby naliczane raz do roku, to wartość kapitału byłaby następująca:
KF=K_(b)×(1+i)^(n)=10 000 zł×(1+0,1)⁴=14 641 zł.
Przedstawiona kapitalizacja ciągła w praktyce nie jest stosowana.
Zadania
Zadanie 1.1
Inwestycja pięcioletnia w papier wartościowy spółki Often zapewnia stałą stopę procentową w wysokości 15% rocznie, przy czym odsetki są dodawane do kapitału początkowego corocznie.
Ile wyniesie wartość kapitału po upływie pięciu lat, jeżeli zainwestujemy 1000 zł kapitału?
Zadanie 1.2
Inwestor wybrał do dalszej analizy trzy inwestycje; mając 100 tys. zł do dyspozycji:
1. lokata bankowa roczna, oprocentowanie 5%, odsetki wypłacane (kapitalizowane) co kwartał,
2. zakup akcji X, przewidywana dywidenda, wypłacana rocznie 5%,
3. lokata we franki szwajcarskie, przewidywany wzrost kursu średnio 2,4% rocznie w stosunku do złotych, możliwość wypłaty nadwyżki wartości kursu co miesiąc.
Ile wynoszą roczne efektywne stopy zwrotu tych inwestycji oraz która inwestycja jest najkorzystniejsza?
Zadanie 1.3
Obliczyć należne odsetki za cały okres od kredytu 3-letniego w wysokości 100 mln zł spłacanego co miesiąc przy rocznej stopie 5%.
więcej..
