Fizyka wokół nas. Zadania - ebook

DO STUDENTA, UCZNIA

Najpierw koncepcje, pomysły, a później obliczenia. To zawsze było credo podręcznika Fizyka wokół nas. Celem tej książki jest pogłębienie znajomości fizyki poprzez zastosowanie jej pojęć do rozwiązywania zadań z fizyki. Zadania mogą być sposobem na zrozumienie powiązań między pojęciami. Każdy rozdział zawiera wprowadzenie, które podkreśla ważne idee, i kilka przykładowych problemów ilustrujących, jak te idee mogą być stosowane. Naszym celem nie są szybkie obliczenia. Nie podajemy liczb w głównej części zadań, raczej formułujemy zadania w kategoriach wielkości fizycznych: masy m, prędkości υ, siły F itd., skupiając się na samych pojęciach. Ogólne rozwiązania są wyrażone za pomocą symboli. W drugiej części większości zadań podane są liczby, dzięki czemu można przekształcić rozwiązanie koncepcyjne w liczbowe. Posługiwanie się symbolami zamiast liczbami może wymagać przyzwyczajenia, ale to jest nasz sposób, który pomaga zauważyć, że wiele pozornie różnych problemów to odmiany tej samej koncepcji, które wymagają podobnych rozwiązań. (To jest sposób myślenia fizyka!)

Każdy rozdział zawiera również zadania typu wykaż, że..., w których odpowiedź jest częścią zadania, a twoim celem jest wykorzystanie podanych wcześniej informacji do uzyskania tejże odpowiedzi. Wykorzystaj te zadania, aby sprawdzić, czy „jesteś na dobrej drodze”.

W każdym rozdziale znajdziesz do wyboru zadania o różnym stopniu trudności – od łatwiejszych do trudniejszych,

Miłej zabawy!

DO WYKŁADOWCY, NAUCZYCIELA

Podręcznik Fizyka wokół nas jest przeznaczony dla studentów, którzy nie studiują kierunków ścisłych. Jego celem jest zapewnienie solidnego kursu fizyki dla przyszłych księgowych, prawników, techników medycznych, biznesmenów, dziennikarzy i nauczycieli, wiele bowiem można zrozumieć ze świata fizyki bez zagłębiania się w rachunki i rozwiązywanie zadań. Chociaż zestawy zadań w podręczniku nie są liczne, matematyczna struktura fizyki jest integralną częścią Fizyki wokół nas z jej wieloma równaniami postrzeganymi jako „przewodniki myślenia”. Równania jednoznacznie ukazują powiązania między pojęciami. Rozwiązywanie problemów algebraicznych jest sprawą drugorzędną. Z uwagi na to, że podręcznik Fizyka wokół nas akcentuje pojęcia, to jest powszechnie stosowany przede wszystkim na kierunkach czy w klasach niezwiązanych z naukami ścisłymi.

Wielu wykładowców i nauczycieli wyraziło zainteresowanie uzupełnieniem podręcznika o zadania i problemy, tak aby mógł on być wykorzystywany jako tekst na zajęciach algebry i trygonometrii – stąd niniejsza część z zadaniami. Zebrane tu zadania kładą nacisk na fizykę, a nie na algebrę i trygonometrię. Phil Wolf i ja unikaliśmy łamigłówek, w których najważniejsze byłyby działania matematyczne, gdyż w rezultacie byłyby to zadania bardziej matematyczne niż fizyczne. Zadania tu zawarte mają na celu nauczenie przeciętnych uczniów czy studentów, a nie tylko rzucenie wyzwania najlepszym i najzdolniejszym. Niektóre z nich stanowią wyzwanie i są oznaczone gwiazdką (*). Głównym tematem tej książki jest jednak fizyka, a nie matematyka.

Często mówi się, że liczba strategii rozwiązywania zadań jest mniej więcej równa liczbie osób, które tego uczą. Na moich kursach algebry i rachunku różniczkowego przez lata wypróbowałem kilka strategii i zredukowałem je do prostej metody zilustrowanej w poniższych przykładowych rozwiązaniach. Podstawową trudnością dla studentów jest to, jak zacząć, z czym można sobie poradzić, skupiając się na tym, czego szukamy. Na przykład, jeśli zadanie wymaga podania prędkości, pierwszym krokiem jest napisanie υ = ?. Daję moim uczniom 40% punktów, jeśli rozpoczną rozwiązanie w ten sposób. Następnie należy zidentyfikować pojęcie fizyczne, które leży u podstaw problemu. Jeśli problem dotyczy zderzeń, trzeba rozważyć zachowanie pędu. Jeśli problem dotyczy sił i ruchu, należy wziąć pod uwagę twierdzenie o pracy i energii itd. (W ten sposób odzwyczajam uczniów od kategoryzowania problemów jako problemy z bloczkami, problemy z równią pochyłą itd.). Następnie należy zapisać tę zależność w postaci równania. O ile równanie nie wskazuje inaczej, trzeba unikać szukania brakującej masy, przyspieszenia lub czegokolwiek innego, jeśli nie jest to niezbędne. Gdy równanie ma więcej niż jeden człon reprezentujący nieznane wielkości, procedurę należy powtórzyć. Każdy krok wyprowadzenia powinien wynikać z kroku go poprzedzającego.

Niektórzy wykładowcy fizyki konceptualnej bagatelizują równania i zniechęcają do sięgania po równania w obliczu problemu. Ja jestem przeciwnego zdania. Uważam, że należy zachęcać do sięgania po równania, zwłaszcza gdy są one postrzegane jako skrócone stwierdzenia dotyczące sposobu, w jaki zmienne łączą się i odnoszą do siebie nawzajem. Wyrażenia w równaniu przypominają nuty w skali muzycznej. Tak jak nuty kierują palcami na klawiaturze, tak równania mogą kierować myśleniem. Moich studentów uczę postrzegania głównych zależności fizycznych w formie równań, preferując te, które określają główne zasady: drugie prawo dynamiki Newtona, zasada zachowania pędu, zasada zachowania energii, twierdzenie o pracy i energii, prawo grawitacji Newtona, prawo Boyle’a, prawo Ohma, prawo Faradaya itd. Równania mogą ukierunkować myślenie studenta.

Zauważ, że przykładowe rozwiązania w tej książce są zgodne z tą procedurą, koncentrując się najpierw na υ = ?, t = ?, F = ?, i tak dalej. Następnie główne zasady są przedstawiane w postaci równań. Następnie wyprowadzamy uogólnione rozwiązanie, wyrażone za pomocą symboli. Kolejny krok wymaga rozwiązania liczbowego z odpowiednimi jednostkami miar. Tak więc procedura polega na WYPROWADZENIU i ROZWIĄZANIU, z mniejszym naciskiem na dalsze obliczenia.

Rozdziały 1. i 2. nie zawierają problemów, więc zaczynamy od rozdziału 3.: ruch prostoliniowy. Jest to jedyny rozdział, w którym nie opisujemy żadnych praw fizycznych. Zawiera on jednak definicje, które stanowią podstawę praw podanych w kolejnych rozdziałach. Kolejny rozdział, który zatytułowaliśmy 4/5, ponieważ odnosi się do rozdziałów 4. i 5. w dwunastym wydaniu Fizyki wokół nas, jest poświęcony elementarnej trygonometrii. Numery rozdziałów w tej książce odpowiadają numerom rozdziałów w podręczniku.

Zaczynajmy!

DO WYKŁADOWCY, NAUCZYCIELA

Fizyka konceptualna ma na celu pomóc uczącym się docenić sposób, w jaki działa świat, wiele bowiem można zrozumieć ze świata fizyki bez zagłębiania się w rachunki i rozwiązywanie zadań. Jednak dobrze dobrane zadania mogą prowadzić studentów i uczniów do głębszego zrozumienia fizyki, a równania mogą służyć jako przewodniki ich myślenia.

Zaproponowaliśmy dobre zadania, które pomogą lepiej powiązać pojęcia omawiane w Fizyce wokół nas. Każdy rozdział zawiera wiele prostych zadań, jak również kilka trudniejszych. Rozszerzyliśmy materiał przedstawiony w podręczniku o tematy, które są tradycyjnie poruszane przy rozwiązywaniu zadań podczas ćwiczeń (na przykład współczynniki tarcia, energia rozciągniętych i ściśniętych sprężyn oraz oporniki w układzie równoległym i szeregowym). Delikatnie wprowadzamy też trygonometrię i włączamy odpowiednie zadania wykorzystujące ją.

Mamy nadzieję, że ty i twoi uczniowie będziecie mogli cieszyć się tym, co najlepsze w obu światach – bogactwem podejścia do fizyki skoncentrowanego na pojęciach oraz lepszym zrozumieniem, które wynika z wykorzystywania pojęć do rozwiązywania problemów.

PODZIĘKOWANIA

W tym wydaniu dziękujemy za pomoc Tomowi Helliwellowi, Peterowi Hopkinsonowi, Evanowi Jonesowi, Alexowi Lee i Johnowi Perry’emu za ich nieocenione opinie i sugestie. Jesteśmy wdzięczni Martinowi Masonowi i Karen Schnurbusch za przejrzenie rękopisu oraz za wnikliwy wkład i wiele cennych sugestii. Specjalne podziękowania dla Lillian Lee Hewitt za wkład redakcyjny oraz Yongxi Hu i Sung A. Kim za korektę wielu rozdziałów i rozwiązań zadań. Jesteśmy wdzięczni wielu studentom z Mount San Antonio College, którzy dostarczyli nam cennych opinii. Dziękujemy żonie Phila Mali Arthur i synowi Zephramowi Wolfowi za wsparcie, zachętę i cierpliwość.

Za materiały przeniesione z pierwszego wydania pozostajemy wdzięczni Kenowi Fordowi, Herbowi Gottliebowi, Davidowi Housdenowi i Diane Riendeau. Za cenne sugestie i opinie dziękujemy Tsingowi Bardinowi, Howie Brandowi, George’owi Curtisowi, Marshallowi Ellensteinowi, Jimowi Hicksowi, Chelcie Liu, Fredowi Myersowi, Stanowi Schiocchio i Davidowi Williamsonowi. Dziękujemy również Jesse David Wall i córce Ellender za adaptację kilku oryginalnych i wnikliwych zadań z ich książki Introductory Physics – A Problem-Solving Approach (Analog Press, 1997). Wyrazy uznania należą się nieżyjącemu już Ernie'emu Brownowi, projektantowi nagłówków rozdziałów i charakterystycznego logo fizyki, któremu zadedykowano jedenaste wydanie Fizyki wokół nas.4/5
Podstawy trygonometrii

Krótkie wprowadzenie do trygonometrii

Trygonometria łączy w sobie odrobinę geometrii z dużą dozą zdrowego rozsądku. Pozwala rozwiązywać problemy, które w innym przypadku byłyby nie do rozwiązania. Część trygonometrii, która będzie przydatna w tej książce, dotyczy zależności między długościami boków trójkąta prostokątnego.

Rozważmy następujące dwa podobne trójkąty prostokątne:

Symbol θ to grecka litera „theta”. Używamy θ do oznaczania kąta. Ponieważ trójkąty są podobne, kąt θ jest taki sam w obu trójkątach.

Interesującym faktem (związanym z podobieństwem trójkątów) jest to, że stosunek długości boku leżącego naprzeciwko kąta θ do długości przeciwprostokątnej daje ten sam wynik dla obu trójkątów:

=

Dla każdego trójkąta prostokątnego, który ma kąt θ o takiej samej mierze, ten stosunek ma taką samą

wartość. Temu stosunkowi nadajemy nazwę funkcja sinus kąta θ i zwykle

zapisujemy jako sinθ. Dwie inne funkcje trygonometryczne, które okazują się przydatne, to:

w tym przykładzie

oraz

w tym przykładzie.

Możemy więc traktować sinus, cosinus i tangens jako funkcje pewnego kąta, ponieważ są one takie same dla każdego trójkąta prostokątnego zawierającego dany kąt.

Jeśli wybierzemy inny trójkąt prostokątny, to otrzymamy inny zestaw wartości tych funkcji:

Warto wyobrazić sobie, że ludzie narysowali każdy możliwy trójkąt prostokątny, zmierzyli wszystkie te współczynniki dla każdego możliwego kąta i zapisali te informacje w formie tablic trygonometrycznych albo w kalkulatorze, aby można było uzyskać do nich dostęp, naciskając klawisze sin, cos i tg (w rzeczywistości tak się tego nie robi, ale warto to sobie wyobrazić).

Przykładowe zadanie 1

Opierasz drabinę o długości 2,1 metra o ścianę w taki sposób, że tworzy kąt 65° z podłogą.

(a) Na jakiej wysokości na ścianie oparty jest wierzchołek drabiny?

Szukane: y = ? Możemy drabinę opartą o ścianę uznać za przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego.

Rozwiązanie: sin 65° = ; y = (2,1 m) sin 65° = 2,1 m ⋅ 0,906 = 1,9026 m.

(b) Jak daleko od ściany znajduje się podstawa drabiny?

Rozwiązanie: x = ? Ze wzoru cos 65° = = (2,1 m) cos 65° = 2,1 m ⋅ 0,423 = 0,89 m.

Przykładowe zadanie 2

Leżysz na równym podłożu i patrzysz na drzewo oddalone o 45 metrów. Aby zobaczyć wierzchołek drzewa, musisz spojrzeć pod kątem 32° w górę powyżej poziomu gruntu.

(a) Jak wysokie jest drzewo?

Szukane: y = ? (y jest wysokością drzewa)

Modelujemy sytuację jako trójkąt prostokątny.

y jest bokiem trójkąta przeciwległym do kąta 32°.

Znamy kąt i bok przylegający do kąta 32°.

Ze wzoru tg θ =

⇒ y = tgθ ⋅ 45 m.

Rozwiązanie: y = (tg 32°)(45 m) = (0,625)(45 m) = 28,1 m ≈ 28 m.

(b) Wbiłeś słupek w ziemię trochę krzywo, tak, że słupek tworzy z ziemią kąt 83°. Wystająca część słupka ma 180 cm długości. Jak długi jest cień słupka, gdy w południe Słońce znajduje się bezpośrednio nad głową?

Szukane: x = ? (x oznacza długość cienia słupka)

Ponownie narysuj trójkąt prostokątny, gdzie x jest bokiem trójkąta przylegającym do kąta. Znamy przeciwprostokątną i kąt.

Ze wzoru cosθ =

⇒ x = cos θ ⋅ 180 cm.

Rozwiązanie: x = (cos 83°)(180 cm) = (0,122)(180 cm) = 22 cm.

Odwrotne funkcje trygonometryczne

Rozważmy ponownie jeden z trójkątów, którym już się zajmowaliśmy:

Wiemy, że dla powyższego trójkąta . Ale jak znaleźć θ ?

Tak naprawdę pytamy: Jaki to kąt, którego sinus wynosi 0,60?

Na to pytanie odpowiadają odwrotne funkcje trygonometryczne. Odwrotność sinusa liczby 0,60, zapisana jako arcsin (0,60), daje w wyniku kąt, którego sinus wynosi 0,60. Podobnie arccos (0,80) daje kąt, którego cosinus wynosi 0,80, a arctg (0,75) daje kąt, którego tangens wynosi 0,75.

W przypadku większości kalkulatorów można uzyskać funkcję odwrotną, naciskając najpierw odpowiedni przycisk, a następnie żądaną funkcję trygonometryczną. Powinieneś to potwierdzić na swoim kalkulatorze lub skorzystać z tablic trygonometrycznych.

θ = arcsin (0,60) = arccos (0,80) = arctg (0,75) = 36,9° że ≈ 37°.

Zadania praktyczne

Biorąc pod uwagę bok i kąt na rysunkach (a) i (b), znajdź pozostałe dwa boki.

Biorąc pod uwagę dwa boki na rysunkach (c) i (d), znajdź brakujące kąty i boki.

Rozwiązania:

(a) x = ? h = ?

(b) x = ? h = ?

(c) θ = ? α = ?; h = ?

(d) y = ? x = ?

Przemieszczenie

Przykładowe zadanie 3

Załóżmy, że jesteś na pustyni i szukasz pewnego miasta. Najbliższe miasto znajduje się 5,0 km na północ, a miasto, którego szukasz, znajduje się 8,0 km na zachód od niego. Zamiast iść najpierw od miejsca, w którym się znajdujesz, do miasta na północy, a następnie do szukanego miasta leżącego na zachód od niego, decydujesz się pójść skrótem bezpośrednio do tego drugiego miasta.

(a) W jakim kierunku powinieneś iść?

Rozwiązanie: Ze schematu wynika, że , więc nasze θ to kąt, którego tangens wynosi 1,6, a zatem jest odwrotnością tangensa 1,6, czyli arctg (1,6). Zatem θ = arctg (1,6). Kalkulator lub tablice trygonometryczne powiny dać odpowiedź 58°.

Kierunek powinien wynosić 58° na zachód od północy.

(b) Jaką odległość „zaoszczędzisz”, wybierając ten skrót?

Rozwiązanie: Aby obliczyć odległość, można użyć wzoru Pitagorasa

Przejedziesz więc ≈ 9,4 km. Pozwala to zaoszczędzić (5,0 km + 8,0 km) – 9,4 km, czyli 3,6 km wędrówki przez pustynię. Znajomość trygonometrii może skrócić o godzinę marsz w gorącym słońcu!

Przykładowe zadanie 4

Przypuśćmy, że dotarłeś do szerokiej rzeki, która porusza się ze stałą prędkością 3,0 km/h. Pewien mężczyzna wynajmuje łódź, która może płynąć z prędkością 7,0 km/h. Miłość twojego życia czeka na ciebie dokładnie naprzeciwko po drugiej stronie rzeki. W jakim kierunku należy skierować łódź, aby jak najszybciej dotrzeć do celu?

Rozwiązanie: Gdybyś płynął łodzią przez 1 godzinę, przepłynąłbyś 7 km w stosunku do rzeki, ale rzeka zniosłaby cię 3 km w dół rzeki. Chcesz płynąć prosto, więc musisz skierować łódź nieco w górę rzeki, jak pokazano na rysunku.

Z rysunku wynika, że żądany kąt ma sinus równy 3,0/7,0. To znaczy,

Przykładowy problem 5

Rozważmy następujące trzy sytuacje. W każdym przypadku mamy wagonik o masie 1000 kg poruszający się w prawo, ciągnięty siłą 100 N w pokazanych kierunkach. Jak przyłożona siła w każdym przypadku wpływa na ruch wagonu?

Rozwiązania:

Przypadek 1:

Cała siła 100 N działa poziomo i przyczynia się do przyspieszania wózka.

Przypadek 2:

Cała siła 100 N nie przyczynia się do przyspieszania wózka. Siła ta ciągnie wózek w górę, ale ani nie podnosi go z ziemi, ani nie przyspiesza, ani nie spowalnia.

Przypadek 3:

Wózek przyspieszy nieco, ale mniej niż w przypadku 1, ponieważ tylko skierowana do przodu część siły 100 N (składowa pozioma) przyczynia się do przyspieszania wózka.

Siła 100 N działająca pod kątem 37° ma dwie składowe: poziomą składową x (która przyczynia się do przyspieszania wózka) i pionową składową y (która w tym przypadku nie przyspiesza wózka).

Wielkość składowej poziomej Fx można znaleźć ze wzoru

.

Składowa pozioma siły działającej na wózek jest mniejsza od 100 N, więc przyspieszenie wózka jest mniejsze niż w przypadku 1.

Zadania dotyczące składowych wektora

Dla każdego z tych zadań należy narysować wektor siły działającej i naszkicować jej składowe przed rozwiązaniem zadania.

4&5-1. Joe pcha kosiarkę z siłą F skierowaną w dół wzdłuż rączki urządzenia. Siła pchająca tworzy kąt θ z powierzchnią ziemi.

(a) Jaka jest wielkość składowej siły F równoległej do ziemi?

(b) Jaka jest wielkość składowej siły F prostopadłej do ziemi?

(c) Znajdź wielkość poziomej i pionowej składowej siły, jeśli Joe naciska uchwyt kosiarki siłą 55 N skierowaną pod kątem 53° do poziomu.

4&5-2. W wietrzny dzień balon wypełniony helem wywiera siłę T w górę na sznurek mocujący balon do ziemi. Wiatr sprawia, że sznurek balonu tworzy kąt θ w stosunku do jego pierwotnego położenia pionowego.

(a) Jak duża jest pozioma składowa siły działającej na balon?

(b) Jak duża jest pionowa składowa siły działającej na balon?

(c) Oblicz poziomą i pionową składową siły 1,2 N działającej na balon, gdy sznurek tworzy kąt 20° do początkowego położenia pionowego.

4&5-3. Bryła lodu o ciężarze W zsuwa się po stoku nachylonym pod kątem θ.

(a) Jak duża jest składowa ciężaru działająca równolegle do zbocza?

(b) Jak duża jest składowa ciężaru działająca prostopadle do zbocza?

(c) Znajdź składowe ciężaru: równoległą i prostopadłą do stoku o nachyleniu 26°, dla bryły lodu o masie 200 N.

4&5-4. Juan rzuca owoc kiwi z prędkością początkową υ₀ pod kątem θ do podłoża.

(a) Jaka jest wielkość składowej x (poziomej) początkowej prędkości kiwi?

(b) Jaka jest wielkość składowej y (pionowej) początkowej prędkości kiwi?

(c) Oblicz składowe x i y początkowej prędkości kosmatego owocu rzuconego z prędkością 18,0 m/s pod kątem 17° do podłoża.PRZYPISY

Na przykład przyspieszenie 2 m/s² przez 3 sekundy daje zmianę prędkości o 6 m/s.

Jeśli przyjmiemy, g = 10 m/s², to d = 5t ². Dla g = 9,8 m/s² otrzymujemy d = 4,9 t ².

To nie oznacza, że ziemniak się zatrzymał! Zatrzymanie oznaczałoby, że ziemniak spędza pewną skończoną ilość czasu w tym samym miejscu, tzn. że mógłbyś spojrzeć na niego na jego maksymalnej wysokości, odwrócić się, a następnie spojrzeć ponownie, a ziemniak nadal znajdowałby się dokładnie w tym samym miejscu, ale to zdarza się tylko w kreskówkach! Na maksymalnej wysokości ziemniaka jego „stan” ruchu jest między wznoszeniem się a opadaniem, bez żadnego zatrzymywania, lecz z chwilową prędkością równą zero. Ziemniak nie spędza żadnego czasu, mając prędkości 0 m/s, tak jak nie spędza żadnego czasu, mając inne wartości prędkości chwilowej. Ciągle się porusza!

Dwa trójkąty są uważane za podobne, gdy miary kątów w jednym trójkącie są takie same jak miary kątów w drugim trójkącie.

W tej książce przyjmujemy rozsądne podejście do znaczących cyfr. Rozsądna osoba powiedziałaby, że masa tego wózka wynosi około 1000 kg, plus lub minus 50 lub 100 kg (a więc 2 cyfry znaczące). Moglibyśmy napisać 1,0 ⋅ 10³ kg, ale ta wielkość jest mniej zrozumiała niż „1000 kg”. W wykładzie fizyki konceptualnej przyjmujemy podejście, że liczby powinny ułatwiać zrozumienie pojęć, a bycie zbyt wybrednym w kwestii cyfr znaczących może przeszkadzać w zrozumieniu pojęć zawartych w zadaniu.