Igrzyska matematyczne - ebook

Wstęp

Igrzyska matematyczne to zbiór zadań matematycznych do… czytania. Zawiera 381 zadań, które są rozwiązane metodami matematyki elementarnej znanymi uczniom ostatnich klas szkoły podstawowej lub liceum ogólnokształcącego. Zadania, które wykraczają swoją tematyką poza program szkolny, a jednocześnie są na poziomie konkursowym, są poprzedzone krótkimi teoretycznymi wstępami. Starałem się bardzo, aby zadania umieszczone w tym zbiorze miały charakter prawdziwych, aktualnych opowieści. Nic bowiem bardziej nie odstrasza (w mojej ocenie) od nudnego, staromodnie sformułowanego zadania matematycznego z tzw. treścią.

I właśnie sposób podania i sformułowania zadań jest cechą charakterystyczną tej książki. W tym widzę jej ewentualną zaletę, chociaż z pewnością nie wszyscy podzielą moje zdanie. Chociażby Witek – syn moich znajomych chodzący obecnie do III klasy szkoły podstawowej. Jest bardzo ciekawy świata i uwielbia lekcje matematyki. Pewnego dnia prosi Tatę o pomoc w rozwiązaniu zadania. Polega ono na obliczeniu liczby ptaków siedzących na drucie, gdy do siedmiu siedzących doleciało jeszcze sześć. Zdziwiony Tata odpowiada: To łatwe: Przecież 7 + 6 = 13. Oczywiście Tato, mówi Witek, wiem, że 7 + 6 = 13. Ale po co w tym wszystkim ten drut i ptaki!

Książka jest podzielona na 14 rozdziałów, z których przedostatni – używając tematyki sportowej – jest dziesięciobojem zawierającym przegląd wszystkich dyscyplin, tematyk obecnych w zbiorze. Ostatnia część to rebusy, zagadki i sztuczki matematyczne. Dodatkowo w różnych, czasami nieoczekiwanych miejscach pojawiają się opisy ciekawych własności pewnych liczb naturalnych. Czytelnikowi zmęczonemu czytaniem polecamy przerywniki, gdzie znajdzie (mam nadzieję) anegdotyczne, dziwne historie związane ze światem matematyki.

Jak wspomniałem, starałem się dobrać tak tematykę zadań, aby tworzyły one spójne, aktualne historie dotyczące wielu aspektów codziennego życia. Tu widzę dodatkową szansę dla tej książki, gdyż marzy mi się, żeby oprócz uczniów zainteresowanych matematyką i ich nauczycieli również dojrzały Czytelnik dostrzegł w niej coś przydatnego dla siebie.

Wyobrażałem sobie (pisząc książkę), że sięgną po nią Uczniowie i ich Rodzice. Mam nadzieję, że dorosły Czytelnik poza sentymentalną podróżą do czasów szkolnych znajdzie w tej książce argumenty potwierdzające, że warto czytać o matematyce, bo jest ciekawa, atrakcyjna, czasami wesoła i dowcipna. Bardzo się starałem, aby problemy poruszane w książce stanowiły podstawę do refleksji, że matematykę możemy dostrzec wszędzie: w szkole, w restauracji, na płocie, na ulicy itd.

Część problemów zawartych w tej książce była prezentowana w trakcie trzech edycji Konkursu Matematycznego „First Step to Fields Medal” i „First Step to Success” organizowanych przez Stowarzyszenie Nauczycieli Fizyki Ziemi Łódzkiej wraz z Wydziałem Elektrotechniki, Elektroniki, Informatyki i Automatyki Politechniki Łódzkiej i adresowanych do uczniów szkół licealnych oraz ostatnich klas szkół podstawowych.

Jak wspomniałem, książka zawiera 381 zadań. Jak każda z liczb naturalnych 381 też jest liczbą wyjątkową. Ot chociażby:

a) Jest 19. liczbą niezrozumiałą (inconsummate), tzn. taką, że nie istnieje dla niej liczba naturalna, która podzielona przez sumę swoich cyfr daje iloraz równy 381. Początkowe elementy listy liczb niezrozumiałych to: 62, 63, 65, 75, 84, 95, 161,…

(Książka podzielona jest na 16 części, a 16 nie jest liczbą niezrozumiałą,gdyż potrafimy znaleźć liczbę naturalną, która podzielonaprzez sumę swoich cyfr daje iloraz równy 16. Faktycznie

b) Gdy dodamy do 381 sumę jej cyfr, otrzymamy: 381 + 3 + 8 + 1 = 393 – liczbę palindromiczną (czytana z lewej do prawej strony daje taką samą wartość).

Kończę ten wstęp, gdyż matematyka jest jak dobry trunek: po pierwsze, lepiej go skonsumować niż o nim pisać lub opowiadać, a po drugie, traci swoje krzepiące i zbawcze właściwości, gdy jest używany w zbyt dużych dawkach. Zapraszam do spokojnej i umiarkowanej lektury.

Jakub Szczepaniak1 . Zadania tekstowez kontekstem realistycznym

Zadania znajdujące się w tym rozdziale mają jedną wspólną cechę: są problemami z tzw. kontekstem realistycznym. Od lat spotykałem się z zarzutami uczniów, że matematyka jest oderwana od życia codziennego. Rozwiązujemy równania, wykonujemy skomplikowane działania, ale nie ma to żadnego przełożenia na problemy, z którymi spotykamy się w przyszłości w życiu zawodowym czy prywatnym.

Te zadania, być może mocno naciągane i z przymrużeniem oka, stanowią próbę zaintrygowania Czytelnika, a następnie skłonienia Go do poszukiwań obecności Matematyki w otaczającym nas świecie.

1. Tajemniczy kod

Na lotnisku obserwowałem koleżankę mocującą się z kłódką zamykającą walizkę. Należało ustawić pięć cyfr w odpowiedniej kolejności i ten kod otwierał jej bagaż. Po chwili przypomniała sobie, że pierwszą cyfrą jest liczba jej dzieci, następne dwie wyznaczają liczbę dwucyfrową określającą jej wiek, a ostatnie dwie to rok jej ślubu. Gdy uszczęśliwiona pokazała mi właściwy kod, spostrzegłem co następuje:

a) Czwarta cyfra jest o 4 większa od drugiej.

b) W kodzie są 3 pary cyfr o sumie 11.

c) Trzecia cyfra jest o 3 mniejsza od drugiej.

d) Pierwsza cyfra jest 3 razy większa od piątej.

Jak wygląda kod? Ile dzieci ma koleżanka i w którym roku wyszła za mąż?

Rozwiązanie

Zauważmy, że oznaczając przez x drugą cyfrę, przez y zaś piątą cyfrę kodu, możemy układ cyfr zapisać jako: 3y, x, x – 3, x + 4, y.

Wypisując sumy wszystkich możliwych par, otrzymamy: 3y + y, 3y + x + 4, 3y + x – 3, 3y + x, x + y, 2x + 4, 2x – 3, 2x + 1, x – 3 + y, x + y + 4. Zauważmy, że 2x + 4, 3y + y są parzyste, zatem nie mogą się równać 11.

Z sum grupy pierwszej: 3y + x, 3y + x – 3, 3y + x + 4 tylko jedna może być równa 11.

Z sum grupy drugiej: x + y + 4, x + y – 3, x + y tylko jedna może być równa 11.

Z sum grupy trzeciej: 2x – 3, 2x + 1 tylko jedna może być równa 11.

W przypadku 2x – 3 = 11 mamy x = 7 oraz x + 4 = 11 > 9 – sprzeczność.

Zatem 2x + 1 = 11, czyli x = 5.

Otrzymujemy wtedy: 5 + y + 4 = 11, czyli y = 2 i 3y = 6 albo 5 + y – 3 = 11, czyli y = 9 i 3y = 27 – sprzeczność, albo 5 + y = 11, czyli y = 6 i 3y = 18 – sprzeczność. Zatem y = 2.

Dla x = 5, y = 2 mamy 3y + x = 11, a pozostałe warunki sum z pierwszej grupy są sprzeczne.

Zatem kod jest następujący: 65292. Pani ma szóstkę dzieci, wyszła za mąż w 1992 roku i obecnie ma 52 lata.

2. Monako, Lichtenstein, Andora czy inny?

W pewnym małym kraju każda stacja kolejowa prowadziła sprzedaż biletów do wszystkich pozostałych stacji. Gdy pewnego dnia utworzono kilka nowych stacji, to liczba typów biletów wzrosła o 52. Ile było stacji przed utworzeniem nowych i ile nowych stacji przybyło?

Rozwiązanie

Niech x będzie liczbą istniejących stacji, y zaś niech będzie liczbą stacji, które przybyły.

Zatem liczba wszystkich typów nowych biletów wynosi 52 = 2xy + y(y – 1). Otrzymujemy:

y² + (2x – 1)y – 52 = 0.

Równanie ma dwa rozwiązania, gdyż Δ = (2x – 1)² + 4 · 52 > 0. Korzystając ze wzorów Viète’a, mamy y₁ · y₂ = –52 oraz y₁ + y₂ = 2x + 1. Oznacza to, że rozwiązania są różnych znaków i suma rozwiązań jest liczbą nieparzystą.

Rozkładając 52 na iloczyn dwóch czynników całkowitych, dostajemy:

−52 = 4 · (–13) = 13 · (–4) = 2 · (–26) = (–2) · 26 = 1 · (– 52) = (– 1) · 52.

Zatem y może przyjąć wartości: 1, 2, 4, 13, 52.

Następnie dobierając parami sumy, mamy:

1 – 52 = – 51, 2 – 26 = – 24, 4 – 13 = – 9, 13 – 4 = 9, 52 – 1 = 51.

Tylko pary (1, –52) oraz (4, –13) spełniają warunki.

Zatem rozwiązaniami równania y² + (2x – 1)y – 52 = 0 są (1, –52) lub (4, –13), gdzie 1 lub 4 są domniemaną liczbą nowych stacji. Wiemy, że przybyła więcej niż jedna stacja, czyli y = 4 i wtedy –2x + 1 = 4 – 13 = –9, co daje x = 5 – liczbę wcześniej istniejących stacji.

3. Gazowana czy niegazowana

Czterech przyjaciół w trakcie upalnego majowego weekendu wypiło 45 butelek… wody mineralnej. Gdyby Adam wypił o 2 więcej, Bogdan o 2 mniej, Czesiek dwa razy więcej, a Darek dwa razy mniej, to każdy by wypił po tyle samo. Ile butelek wody każdy z nich wypił?

Rozwiązanie

Oznaczając przez a, b, c, d liczbę butelek wody wypitych przez chłopców: Adama, Bogdana, Cześka i Darka, otrzymujemy:

Oznacza to, że

oraz

co daje b = 12. Zatem a = 8, c = 5, d = 20.

4. Znowu woda… mineralna

W skrzynce było 15 butelek wody mineralnej. Kuba wziął dla siebie część butelek, Adam też wziął sobie trochę, ale mniej niż Kuba. Paweł wziął dla siebie najmniej, bo nie był tak spragniony. Razem wzięli więcej niż 10 butelek, ale nie wszystkie. Gdyby Kuba z Adamem oddali część butelek Pawłowi, wszyscy mieliby po tyle samo butelek. Po ile butelek wziął każdy z nich?

Rozwiązanie

Razem wzięli 12, bo 10 < 12 < 15 i jest jedyną wielokrotnością liczby 3 z tego przedziału. Jedynym układem trzech różnych liczb naturalnych, z których dwie są większe od 4, i jednocześnie sumujących się do 12 jest: 6, 5, 1.

Okazuje się, że Kuba wziął 6 butelek, Adam 5, Paweł zaś 1 butelkę.

5. Zakupy

Idąc do sklepu RTV celem zakupu telewizora, miałem w portfelu około 1500 zł w setkach i dwudziestkach. Po dokonaniu zakupu miałem tyle dwudziestek, co poprzednio setek i tyle setek, co poprzednio dwudziestek. Jednocześnie wydałem 2/3 wszystkich pieniędzy. Ile kosztował telewizor?

Rozwiązanie

Oznaczmy przez x liczbę setek, a przez y liczbę dwudziestek po dokonaniu zakupu. Mamy: 3(100x + 20y) = 100y + 20x, czyli 7x = y.

Zakładając x = 1, otrzymalibyśmy, że suma pieniędzy, jaką dysponowałem przed zakupem, wynosiłaby 720, dla x = 2 suma wynosiłaby 1440, dla x > 2 suma będzie wynosić co najmniej 2160. Dalej nie ma sensu liczyć ze względu na warunki zadania. Tylko liczba 1440 je spełnia. Wydałem 2/3 całej kwoty, czyli 960 zł.

6. Pudełko zapałek

Historia polskiego przemysłu zapałczanego rozpoczyna się w 1845 roku. Wraz z powstającymi i upadającymi fabrykami zmieniała się liczba zapałek w pudełkach. Obecnie najczęściej stosowaną średnią liczbą zapałek w standardowym pudełku jest 48.

Niech zatem w pudełku będzie 48 zapałek. Wysypujemy je, tworząc 3 kupki. Jeśli z pierwszej kupki usuniemy tyle zapałek, ile jest w drugiej i dołożymy je do drugiej, następnie z drugiej usuniemy tyle zapałek, ile jest w trzeciej kupce i przełożymy je do trzeciej i ostatecznie, jeśli na końcu usuniemy z trzeciej kupki tyle zapałek, ile jest w pierwszej i dodamy je do pierwszej, to w każdej będzie tyle samo zapałek. Ile zapałek było początkowo w każdej kupce?

Rozwiązanie

Początkowo kupki zawierały po x, y, z zapałek.

------------ ---------- -------- --------------
I II III
początkowo x y z
następnie x – y 2y z
potem x – y 2y – z 2z
dalej 2(x – y) 2y – z 2z – (x – y)
------------ ---------- -------- --------------

Ostatecznie otrzymujemy układ równań:

Rozwiązaniem jest x = 22, y = 14, z = 12.

Uwaga: Przerywnik

Który guzik otwiera sejf?

Oczywiście macie rację. Jest to guzik

7. Obóz przetrwania

W czasie wakacji trzech przyjaciół przebywało na tzw. obozie przetrwania. Pewnej nocy wszyscy trzej pełnili wartę jeden po drugim. Najstarszy pełnił wartę pierwszy i podczas obchodu w krzakach znalazł pewną liczbę pysznych jajek z niespodzianką. Uczciwie zabrał z tego swoją część, czyli 1/3, wrócił po warcie do namiotu i zasnął. Następnie skarb ujrzał kolejny z trzech przyjaciół, który jako drugi pełnił wartę. Oczywiście zabrał sobie 1/3 z pozostałych jajek, wrócił po warcie do namiotu i zasnął. Domyślacie się, że najmłodszy, który pełnił wartę jako ostatni, też natknął się na skarb i myśląc podobnie jak pozostali (że jest pierwszym odkrywcą), zabrał 1/3 jajek i po warcie zasnął. Gdy się obudzili i wyjaśnili, co się stało, podzielili 8 pozostałych jajek w ten sposób, że ostatecznie każdy z nich miał tyle samo jajek. Ile jajek liczył skarb? Jak podzielono pozostałe 8 jajek?

Rozwiązanie

Mamy Pierwszy wziął i zostawił 18, drugi wziął i zostawił 12. Trzeci chłopiec wziął Zatem najmłodszy chłopiec dostał 5 jajek, średni 3, a ostatni 0 z pozostałych 8.

Nie komentujemy sposobu rozwiązania. Odsyłamy zaintrygowanego Czytelnika do rozdziału pt. Strategia wsteczna, gdzie ze szczegółami opisujemy ten rodzaj podejścia do zadań, które opisują historię ubywania, zmniejszania się pewnej liczby w taki sposób, że każdy następny ruch jest powiązany z poprzednim. Dodajmy jeszcze, że zadanie 6 (Pudełko zapałek) też może być rozwiązywane inaczej – techniką opisaną w rozdziale Strategia wsteczna.

8. Egzamin

Na egzaminie było 100 pytań. Za poprawną odpowiedź przyznawano 1 punkt, za błędną – 2 punkty ujemne. Należało udzielić odpowiedzi na każde pytanie. Otrzymano wynik 85. Na ile pytań udzielono odpowiedź poprawną, a na ile pytań udzielono błędnej odpowiedzi?

Rozwiązanie

Oznaczając przez x liczbę poprawnych odpowiedzi, a przez 100 – x – liczbę odpowiedzi błędnych, mamy

x – 2(100 – x) = 85,

co daje w konsekwencji x = 95, 100 – x = 5.

9. Spadek

Do podziału spadku uprawniona jest wdowa, cztery córki i trzech synów. Każda córka ma otrzymać 3 razy więcej pieniędzy niż każdy syn, a każdy syn dwa razy więcej niż matka. Ukochany mąż i ojciec zostawił do podziału 7936 zł. Ile dostała wdowa?

Rozwiązanie

Oznaczając przez x kwotę, którą otrzyma wdowa, otrzymujemy równanie

x + 6x + 24x = 7936,

z czego wynika, że x = 256.

10. Spadek 2

Spadkobiercy dzielili się spadkiem w następujący sposób. Pierwszy z nich otrzymał x zł oraz n-tą część pozostałych pieniędzy. Drugi otrzymał 2x zł oraz n-tą część pozostałych pieniędzy. Podobnie kolejni. Zatem spadkobierca k-ty otrzymał kx zł oraz n-tą część pozostałych pieniędzy. Okazało się, że wszyscy otrzymali takie same sumy pieniędzy. Ilu było spadkobierców, ile wynosił spadek i ile pieniędzy dostał każdy z nich?

Rozwiązanie

Oznaczmy wielkość spadku przez s.

Pierwszy spadkobierca dostał

Drugi dostał

Wobec tego, że każdy ze spadkobierców dostał tyle samo pieniędzy, możemy ułożyć równanie:

Otrzymamy wówczas s = x(n – 1)².

Pierwszy spadkobierca dostał

Zatem każdy ze spadkobierców dostał

x(n – 1) zł.

Liczba spadkobierców wynosi

Sprawdźmy obecnie poprawność naszych wyliczeń. Wiemy, że k-ty spadkobierca otrzymał kx zł oraz n-tą część pozostałych pieniędzy. Zatem dostał

Po wykonaniu działań dostajemy

11. Wakacje

W czasie wakacji mieliśmy 13 dni, w których padał deszcz. Zaobserwowaliśmy taką zależność, że jak rano padało, to po południu było słonecznie, natomiast jak padało po południu, to następnego dnia przed południem było słonecznie. W sumie mieliśmy 11 słonecznych przedpołudni i 12 słonecznych popołudni. Jak długo trwały nasze wakacje?

Rozwiązanie

Mieliśmy 3 typy dni:

Rano deszcz, po południu słońce: typ A.

Rano słońce, po południu słońce: typ B.

Rano słońce, po południu deszcz: typ C.

Liczba dni z deszczem: A + C = 13, liczba dni ze słonecznym przedpołudniem: B + C = 11, liczba dni ze słonecznym popołudniem: A + B = 12.

Dostajemy układ równań:

Dodając stronami, otrzymujemy: 2A + 2B + 2C = 36, czyli A + B + C = 18. Wakacje trwały 18 dni.

12. Średnia pensja

W spotkaniu integracyjnym pracowników firmy X uczestniczy n osób. Jak się dowiedzieć, ile wynosi średnia pensja w tej grupie osób bez ujawniania publicznie niczyich przychodów?

Rozwiązanie

Wszyscy stają w kole. Będą porozumiewać się, szepcząc sobie nawzajem do uszu. Pierwsza osoba mówi na ucho kolejnej osobie pewną liczbę x, a pozostali dodają do usłyszanej sumy swoja pensję. Gdy suma ta dotrze znowu do pierwszej, ta dodaje swoją pensję, odejmuje x i dzieli przez liczbę osób.

13. Cukierki znanych polskich firm

Cukierek marki Wedel kosztuje 22 gr, marki Wawel 28 gr, a marki Mieszko 37 gr. Ile najmniej pełnych złotych musimy wydać, by nabyć po co najmniej jednym cukierku każdej marki?

Rozwiązanie

Zauważmy, że musimy kupić parzystą liczbę cukierków Mieszko, by ceny sumowały się do pełnych złotych. Kupując dwa cukierki Mieszko i po jednym Wawel i Wedel, wydamy 124 gr. Zatem musimy wydać co najmniej 2 zł. Różnica pomiędzy 200 gr a 124 gr wynosi 76 gr, których nie mamy jak wydać na cukierki. Czyli 2 zł odpada. Zatem próbujemy wydać 3 zł. Wówczas różnica pomiędzy 300 gr a 124 gr wynosi 176 gr, które możemy zagospodarować jako: 4 · 37 gr + 1 · 28 gr = 176 gr lub 8 · 22 gr = 176 gr.

Ostatecznie najmniej musimy wydać 3 zł.

14. Wakacyjna praca

Trzech studentów: Adam, Kuba i Paweł podczas długich, trzymiesięcznych wakacji pracowało w restauracji. Właściciel, który był matematykiem amatorem, zaproponował im następujący sposób wyliczania miesięcznej pensji:

Adamowi przyporządkuję A zł, Kubie – B zł, Pawłowi zaś – C zł. Wszystkie liczby są mniejsze od 25 zł.

Po pierwszym miesiącu Waszej pracy wypłacę wam do podziału A · B · C zł, a po każdym następnym miesiącu (jeśli uznam, że dobrze wykonujecie swoją pracę) kwota przyporządkowana każdemu z Was wzrośnie o 1 zł i wypłacać Wam będę iloczyn tych stawek.

Po pierwszym miesiącu właściciel nie był zadowolony z zaangażowania Adama i zamroził mu do końca umowy stawkę. Innych zmian nie było. Koledzy są wściekli na Adama.

Paweł mówi: Co prawda moja wyjściowa stawka jest największa, o 8 większa od Twojej, ale przecież umówiliśmy się dzielić po równo wypłacane przez Szefa pieniądze.

Kuba mówi: Stracimy na tym 1382 zł – szkoda wielka.

Jakie były pierwotne liczby przyporządkowane studentom? Ile mieli pierwotnie razem zarobić przez trzy miesiące?

Rozwiązanie

(A + 1)(B + 1)(C + 1) + (A + 2)(B + 2)(C + 2)

– A(B + 1)(C + 1) – A(B + 2)(C + 2) = 1382.

Oznacza to, że (B + 1)(C + 1) + 2(B + 2)(C + 2) = 1382.

5B + 5C + 3BC = 1373.

Mnożąc obie strony równania przez 3 i dodając do obu stron 25, otrzymujemy:

15B + 15C + 9BC + 25 = 4144 → (3C + 5)(3B + 5) = 2 · 2 · 2 · 2 · 7 · 37.

Analizując wszystkie możliwości, dochodzimy do wniosku, że

3C + 5 = 74, 3B + 5 = 56,

czyli B = 17, C = 23. Wobec powyższego: A = 23 – 8 = 15.

Studenci mieli razem zarobić:

15 · 17 · 23 + 16 · 18 · 24 + 17 · 19 · 25 = 20 852 (zł).

15. Stowarzyszenie ZZ

Wiadomo, że dla osobników lubiących pić alkohol najważniejsze jest wymyślenie okazji stwarzającej okoliczności sprzyjające biesiadowaniu. W grupie znajomych kawalerów o wspólnych zainteresowaniach alkoholowych powstał pewnego razu taki niebanalny pomysł. Otóż każdy z nich na swoje urodziny zaprasza kolejno pojedynczo swoich znajomych. Dzięki temu w grupie przykładowo składającej się z trójki przyjaciół zamiast tylko trzech spotkań urodzinowych odbędzie się ich sześć – gdyż każdy zaprasza wszystkich kolegów pojedynczo. Pomysł tak się spodobał, że po roku panowie zdobyli nowych przyjaciół i grupa się bardzo powiększyła. Ktoś z nich podczas noworocznego spotkania wszystkich członków grupy poczynił takie spostrzeżenie.

Panowie – rzekł – W tym roku, gdy przyjęliśmy do naszego klubu nowych członków, liczba spotkań wzrosła. O ile? – pewnie się zapytacie – Otóż wzrosła o szesnastokroć liczby nowych członków. Obecnie, gdy dodamy liczbę spotkań z ubiegłego roku do liczby naszych tegorocznych spotkań, wówczas otrzymamy liczbę spotkań tegorocznych w sytuacji, w której dochodzi do nas nowy hipotetyczny członek pomniejszoną o 4 spotkania.

Jego wypowiedź potraktowano jako kolejny toast i nikt nie zaprzątał sobie głowy prawdziwością jego spostrzeżeń. Zakładając, że były prawdziwe, obliczmy, ilu było członków założycieli i ile osób przyjęto po roku.

Rozwiązanie

Oczywiście zauważmy, że gdy w klubie jest m osób, wówczas liczba spotkań w roku równa jest m(m – 1) – każdy się spotyka z każdym kolegą u siebie i u niego.

Niech n to liczba członków założycieli, k – liczba nowo przyjętych (k > 0, n > 0).

Pierwszy warunek daje nam:

(n + k)(n + k – 1) - n(n – 1) = 16k.

Drugi warunek opisany jest równaniem

n(n – 1) + (n + k)(n + k – 1) = (n + k + 1)(n + k) – 4.

Z pierwszego warunku dostajemy: k = 17 – 2n, natomiast przekształcając drugie równanie, otrzymujemy n² – 3n – 2k + 4 = 0, czyli

n² – 3n – 2(17 – 2n) + 4 = n² + n – 30 = 0.

Rozwiązując, otrzymujemy n = 5, k = 17 – 10 = 7.

W pierwszym roku klub liczył 5 członków, w następnym roku przyjęto 7 nowych.

16. Dzienne spożycie piwa

Okolice campusu Politechniki Łódzkiej obfitują w miejsca przyjazne studentom. Każdy umęczony zajęciami przyszły inżynier znajdzie dla siebie przytulny kąt, gdzie serwowane jest jego ulubione piwo. Pewnego razu, tuż po otwarciu najbliższego pubu, zastałem barmana zmieniającego akurat opróżnioną beczkę piwa na nową – pełną. Powiedział mi, że do pubu przychodzą obecnie studenci z Hiszpanii przebywający na uczelni w ramach programu Erasmus i oczywiście nasi studenci. Beczka, którą akurat zmienia, wystarczyła na 4 dni. Została opróżniona (tak się akurat składa) przez 3 Hiszpanów i 5 naszych rodaków. Poprzednia beczka wystarczyła na 5 dni. Była opróżniana przez 4 Hiszpanów i 3 naszych studentów. Zakładając, że pragnienie studentów zarówno z Hiszpanii, jak i z Polski jest stałe, obliczmy, którzy z nich mieli w trakcie tych dni większe zapotrzebowanie na piwo.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez x oraz y porcje piwa wypijane odpowiednio przez studenta z Hiszpanii i naszego rodzimego żaka podczas pobytu w pubie.

Mamy wówczas 4(3x + 5y) = 5(4x + 3y), czyli Zatem nasi studenci o 60% przewyższają kolegów z Hiszpanii w dziennym spożyciu.

17. Armwrestling

Film Over the top z 1987 roku jest historią kierowcy ciężarówki (w tej roli Sylvester Stallone), który bierze udział w mistrzostwach świata w siłowaniu się na ręce. Film ten ogromnie spopularyzował tę formę zapasów. W Polsce od 2000 roku działa FAP – Federacja Armwrestling Polska. Jak dotąd naszym największym sukcesem na arenie międzynarodowej jest zdobycie 17 medali (w różnych kategoriach) na mistrzostwach Europy w 2009 roku. Widziałem kiedyś grupę 24 zawodników armwrestlingu, którzy zorganizowali sobie wewnętrzne zawody. Podzielili się na dwie kategorie wiekowe. Każdy w swojej kategorii odbywał po jednym pojedynku z wszystkimi pozostałymi. Za wygraną zwycięzcy przyznawano 1 punkt. Gdy pojedynek przedłużał się powyżej 90 sekund, ogłaszano remis i przyznawano każdemu zawodnikowi po 1/2 punktu. W grupie juniorów rozegrano o 69 meczów więcej niż w grupie seniorów. W grupie seniorów zwyciężył niepokonany przez nikogo Wątły Janek, osiągając końcowy wynik 5,5 punktów. Ciekawi jesteśmy, ile meczów Janek wygrał i ile zremisował.

Rozwiązanie

Niech x będzie liczbą zawodników w grupie juniorów. Zatem w grupie seniorów było 24 – x zawodników. W każdej grupie każdy grał z każdym dokładnie raz, zatem juniorzy rozegrali meczów, a seniorzy meczów.

Rozwiązując proste równanie

otrzymamy x = 15.

W grupie seniorów było zatem 24 – 15 = 9 zawodników. Janek rozegrał 8 pojedynków. Liczbę zwycięstw oznaczymy przez n, remisów przez 8 – n. Mamy wówczas

Po przekształceniu dostaniemy n = 3. Oznacza to, że niepokonany Janek wygrał 3 pojedynki i 5 zremisował.

18. Bony śniadaniowe

W pewnej firmie postanowiono przyznać bony śniadaniowe wszystkim 350 pracownikom. Ustalono, że każdemu mężczyźnie będzie przyznany dodatek w wysokości 10 zł, a każda kobieta otrzyma 8,15 zł. Część mężczyzn zaprotestowała przeciwko takiej dyskryminacji kobiet i odmówiła przyjęcia dodatku. Dzięki temu okazało się, że całkowita wartość wypłaconych dodatków nie zależała od liczby panów pracujących w firmie. Ilu mężczyzn i ile kobiet pracuje w tej firmie? Ile wynosiła kwota dodatku wypłaconego wszystkim paniom?

Rozwiązanie

Niech m oznacza liczbę mężczyzn pracujących w firmie, x – to ułamek mężczyzn, którzy odmówili przyjęcia dodatku. Zatem kwota dodatków wypłaconych wszystkim pracownikom firmy wynosi:

8,15(350 – m) + 10(1 – x)m = 2852,5 – 8,15m + 10m – 10xm

= 2852,5 + m(1,85 – 10x).

W związku z tym, że ostateczna kwota nie zależała od liczby mężczyzn, mamy

1,85 – 10x = 0,

czyli x = 0,185. Całkowita kwota wypłaconych dodatków to 2852,5 zł. Wiemy, że m < 300 jest liczbą naturalną oraz 0,185m też jest liczbą naturalną.

co oznacza, że m jest podzielne przez 200. Jedyna możliwa wartość m to 200. Zatem w firmie pracuje 150 kobiet, wypłacono im 150 · 8,15 = 1222,5 (zł).

19. Krawaty

Na rynku dwaj bracia sprzedawali krawaty. Młodszy brat sprzedawał krawaty parami po 10 zł, starszy trójkami po 10 zł. Każdy z nich miał po 30 krawatów. Sprzedali wszystkie krawaty. Czy opłacałoby im się sprzedawać piątkami po 20 zł?

Rozwiązanie

Bracia zarobili razem: zł.

Sprzedając krawaty piątkami po 20 zł, zarobiliby: zł.

20. Sklep papierniczy

W sklepie z ozdobami świątecznymi za 2 gwiazdki i 1 księżyc zapłacono 10 zł, za jedną gwiazdkę, jeden księżyc i jedno słońce zapłacono 9 zł, natomiast za jedną gwiazdkę i 2 księżyce zapłacono 8 zł oraz za jedną gwiazdkę, jedno słońce i jednego aniołka zapłacono 12 zł. Ile kosztowała każda ozdoba?

Rozwiązanie

Oznaczając odpowiednio przez g, k, s, a ceny gwiazdki, księżyca, słońca i aniołka, otrzymamy:

(1) 2g + 1k = 10,

(2) 1g + 1k + 1s = 9,

(3) 1g + 2k = 8,

(4) 1g + 1s + 1a = 12.

Dodając (1) + (3), mamy 3g + 3k = 18, czyli

(5) 11g + 1k = 6.

Dalej (1) – (5) daje nam g = 4. (2) – (5) daje nam s = 3. Dalej już łatwo znajdziemy wartości: k = 2, a = 5.

21. Firmowe przyjęcie

Z okazji bardzo ekskluzywnego przyjęcia zakupiono 72 butelki białego wina z Burgundii. Jednemu z gości przez moment mignął przed oczami rachunek ze sklepu, w którym kupowano wina. Wie, że na rachunku była liczba pięciocyfrowa, nie pamiętał pierwszej i ostatniej cyfry, natomiast pozostałe to 679 – w tej kolejności. Wiedząc, że cena trunku wyrażona była w pełnych złotych, pomóżmy ciekawskiemu gościowi obliczyć, ile kosztowała butelka wina.

Rozwiązanie

72 = 8 · 9 = 2 · 4 · 9, zatem liczba X679Y musi być podzielna przez 8. Liczba dzieli się przez 8, jeśli jej ostatnie trzy cyfry 79Y tworzą liczbę podzielną przez 8. Zatem Y = 2. Następnie wiemy, że liczba X6792 musi być podzielna przez 9. Możliwe jest to tylko wtedy, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 9. Zatem X = 3. Cena pojedynczej butelki wynosi (zł).

22. Płyty winylowe

Kolekcja płyt Jacka jest ogromna. W sumie się nie dziwię. Od lat zajmuje się handlem, wymianą i sprzedażą płyt winylowych. Można go spotkać na każdej giełdzie, winylowym swapie (bo tak obecnie nazywamy targi wymiany płyt) nie tylko w Łodzi, ale całej centralnej Polsce. Jest również miłośnikiem muzyki i jak twierdzi, pewnych płyt nigdy nie sprzeda. Te ulubione, które chowa dla swoich dzieci, przechowuje w trzech szafach. W pierwszej trzyma 20% wszystkich płyt, w drugiej kilka siódmych całej kolekcji, a w trzeciej tylko bluesa – raptem 303 płyty. Ile płyt Jacek ma nie do sprzedania?

Rozwiązanie

Niech n oznacza liczbę płyt Jacka, x zaś to liczba siódmych części płyt znajdujących się w drugiej szafie. Mamy wówczas:

Po przekształceniu otrzymujemy Możliwymi wartościami x są: 1, 2, 3, 4, 5, gdyż dla x = 6 mamy 56 – 6 · 10 < 0.

Dla x = 1 mamy – nie jest liczbą całkowitą.

Dla x = 2 mamy – nie jest liczbą całkowitą.

Dla x = 3 mamy – nie jest liczbą całkowitą.

Dla x = 4 mamy – nie jest liczbą całkowitą.

Dla x = 5 mamy

Kolekcja Jacka liczy 3535 płyt.

23. Piątkowy wieczór

To było bardzo udane wieczorne piątkowe spotkanie. Cztery pary wspólnie zjadły razem 44 kanapki. Ania przyznała się do zjedzenia dwóch, Beata trzech, Jolka zjadła cztery, a Dorota 5. Kowalski zjadł tyle samo kanapek co jego żona, ale każdy inny pan zjadł więcej od swojej żony. Wiśniewski zjadł dwa razy więcej od swojej żony, Malinowski trzy razy więcej, a Borewicz cztery razy więcej. Jakie nazwisko nosi każda z pań?

Rozwiązanie

Niech k, w, m, b oznaczać będą liczby kanapek zjedzonych przez panie. Otrzymujemy wówczas układ równań opisujący liczby kanapek wypitych (przepraszam za przejęzyczenie) przez żony i mężów:

Odejmując stronami, dostaniemy:

w + 2m + 3b = 16.

2m jest liczbą parzystą, zatem w + 3b też musi być parzysta. Zachodzi to tylko wtedy, gdy obydwie są parzyste albo obydwie nieparzyste. Mając na uwadze fakt, że mamy do czynienia z następującymi możliwościami:

--- --- --------------------- --------------------
w b m = (16 – 3b – w)/2 k = 14 – w – m – b
2 4 1 7
4 2 3 5
3 5 –1 7
5 3 1 5
--- --- --------------------- --------------------

widzimy, że warunki zadania spełnia tylko wybór: w = 4, b = 2, m = 3, k = 5. Zatem Dorota jest żoną Kowalskiego, Jolka Wiśniewskiego, Beata Malinowskiego, a Ania Borewicza.

24. Podwyżka

Cała ekipa dziekanatu, czyli 10 pracowitych pań zasiadło wokół okrągłego konferencyjnego stołu w pokoju Dyrektora Administracyjnego. Dyrektor ma dzisiaj ogłosić, jak będzie dzielił podwyżki. Dyrektor wyjął i pokazał wszystkim najnowszy model telefonu komórkowego i stwierdził co następuje:

Kwota podwyżek wynosi 1000 zł. Kto ile dostanie, to wynika tylko i wyłącznie ze sprytu i operatywności. Otóż macie 5 minut na ponowne wybranie sobie miejsc przy stole. Ja potem zrobię zdjęcie, aby wiedzieć, jakie Państwo wybraliście sobie miejsca. Podwyżki będą przyznawane w ten sposób, że każda Pani dostanie średnią z podwyżek sąsiadek: z lewej oraz prawej strony.

Układ miejsc widoczny jest na rysunku. Gdzie należy usiąść, aby mieć gwarancję największej podwyżki? W grupie pań są dwie sekretarki, 2 samodzielne referentki, 3 starsze referentki i 3 starsze specjalistki.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez a, b, c, d, e, f, g, h, i, j kwoty podwyżek dla osób zajmujących przy stole odpowiednio miejsca A, B, C, D, E, F, G, H, I, J. Mamy:

Z równości wynika bezpośrednio, że każda z trójek liczb:

a, b, c; b, c, d; c, d, e; d, e, f; e, f, g; f, g, h; g, h, i; h, i, j; i, j, a; j, a, b

tworzy ciąg arytmetyczny o tej samej różnicy r.

Oznacza to, że: b = a + r, c = a + 2r, d = a + 3r, e = a + 4r, f = a + 5r, g = a + 6r, h = a + 7r, i = a + 8r, j = a + 9r, a = a + 10r, b = a + 11r. Warunki te są spełnione tylko w przypadku r = 0.

Okazuje się, że wybór miejsca przy stole nie jest ważny. Wszystkie panie dostaną taką samą podwyżkę.

25. Rynek

Targowiska miejskie wciąż nie pozostawiają mieszkańców w obojętności. Dla jednych są ozdobą miasta, dla innych są kwintesencją złego gustu i smaku. Nikt nie kwestionuje jednak faktu, że świeże owoce i warzywa z indywidualnych, nieupapranych chemią upraw najlepiej kupować właśnie tam. Cztery panie: Agata, Basia, Celina i Dorota – miłośniczki robienia zimowych zapasów, wybrały się na zakupy na rynek. Agata kupowała ogórki po 3 zł, Basia – wiśnie po 4 zł, Celina – wyjątkowo tanie czereśnie po 6 zł i Dorota – bób po 8 zł za kilogram. Wydały razem 161 zł. Torby miały różne wagi. Wśród pań były dwie siostry. Młodsza z nich zrobiła najlżejsze zakupy i wydała 24 zł, a starsza zrobiła najcięższe zakupy i wydała 72 zł. Które z pań są siostrami?

Rozwiązanie

Oznaczając przez a, b, c, d liczby kilogramów owoców czy warzyw zakupionych przez panie, otrzymujemy równanie:

3a + 4b + 6c + 8d = 161,

3a + 6c + 4b + 8d – 8 = 153,

3(a + 2c) + 4(b + 2d – 2) = 3 · 51.

Analizując ostatnie równanie, dostrzegamy, że liczba b + 2d – 2 musi być podzielna przez 3.

Wiadomo, że najlżejsze zakupy wynoszą 24/8 = 3 kilogramy, najcięższe zaś wynoszą 72/3 = 24 kilogramy. Analizując wszystkie możliwe przypadki, dochodzimy do trzech możliwych rozwiązań:

(1) a = 11, b = 8, c = 12, d = 3,

(2) a = 7, b = 11, c = 12, d = 3,

(3) a = 11, b = 18, c = 4, d = 4.

Zauważmy, że układ (3) jest wykluczony, bo każda z pań kupiła inną liczbę kilogramów. Natomiast układ (1) oraz (2) opisuje te same panie robiące najlżejsze i najcięższe zakupy. Zatem siostrami są Celina i Dorota. Dorota jest młodsza. Pozostaje jeszcze do rozstrzygnięcia, w jakim miesiącu panie rozbiły zakupy, skoro na straganach dostępne były świeże czereśnie, wiśnie, ogórki i bób.