Jak czesać włochatą kulę. Matma bez liczb - ebook

Kształt

Kształt

My, mate­ma­tycy, lubimy dzie­lić włos na czworo. Tak już mamy. Bie­rzemy na warsz­tat powszech­nie zro­zu­miałe poję­cie, takie jak syme­tria lub rów­ność, i roz­kła­damy je na czę­ści w poszu­ki­wa­niu głęb­szego sensu.

Weźmy na przy­kład kształt. Każdy przy­naj­mniej z grub­sza ma poję­cie, co się pod tym kryje. Wystar­czy, że rzu­cimy okiem na daną figurę geo­me­tryczną i od razu wiemy, czy to kwa­drat, trój­kąt, okrąg czy cokol­wiek innego. Mate­ma­tycy będą jed­nak drą­żyć temat: czym wła­ści­wie jest kształt? Co spra­wia, że dana figura ma go taki, a nie inny? Kla­sy­fi­ku­jąc przed­mioty według kształtu, nie zwa­żamy na ich roz­miar, kolor, prze­zna­cze­nie, wagę ani wiek. Nie zaprzą­tamy sobie też głowy innymi, bar­dziej przy­ziem­nymi fak­tami na ich temat, jak cho­ciażby tym, kto przy­niósł te kla­moty i czy zabie­rze je ze sobą. Na co zatem zwra­camy uwagę? Co dokład­nie pró­bu­jemy zako­mu­ni­ko­wać naszym roz­mów­com, gdy stwier­dzamy, że coś ma na przy­kład kształt okręgu?

Odpo­wie­dzi na te pyta­nia nie mają oczy­wi­ście żad­nej prak­tycz­nej war­to­ści. Na co dzień spraw­dza się bowiem nasze intu­icyjne poj­mo­wa­nie kształtu – życie nie wymaga od nas pre­cy­zyj­nego zde­fi­nio­wa­nia poję­cia kształtu. Jest to po pro­stu cie­kawy pro­blem teo­re­tyczny, jeżeli mamy aku­rat czas i ochotę myśleć o takich rze­czach.

Skoro czy­tasz tę książkę, pozwolę sobie zało­żyć, że dys­po­nu­jesz jed­nym i dru­gim. Zacznijmy od takiego oto pro­stego pyta­nia:

Wbrew pozo­rom nie ma ono pro­stej odpo­wie­dzi. Choć nad hipo­tezą Poincarégo – bo tak nazy­wana jest pre­cy­zyj­nie sfor­mu­ło­wana i zawę­żona wer­sja tego pyta­nia – mate­ma­tycy gło­wią się od dobrych stu lat, nikt na­dal sobie z nią nie pora­dził. A wielu pró­bo­wało swo­ich sił. Pewien mate­ma­tyk zgar­nął nie­dawno nagrodę w wyso­ko­ści miliona dola­rów za istotny wkład w prace nad roz­wią­za­niem czę­ści tego pro­blemu. Liczne inne kate­go­rie kształ­tów wciąż pozo­stają jed­nak nie­zgłę­bione, więc jako glo­balna mate­ma­tyczna spo­łecz­ność wciąż nie wiemy, ile tak naprawdę jest kształ­tów.

Spró­bujmy mimo to zmie­rzyć się z tym pyta­niem. To ile mamy kształ­tów? Skoro nie bar­dzo wia­domo, jak w ogóle zabrać się za ten pro­blem, pomocne może być nary­so­wa­nie kilku figur. Zoba­czymy, do czego nas to dopro­wa­dzi.

Wszystko wska­zuje na to, że nasza odpo­wiedź będzie zale­żeć od tego, jakie kry­te­ria podziału przyj­miemy. Czy duży okrąg jest tym samym kształ­tem co mały okrąg? Czy wszyst­kie zawi­jasy two­rzą jedną wielką rodzinę, czy należy podzie­lić je ze względu na spo­sób, w jaki się zawi­jają? Aby roz­strzy­gnąć te i podobne wąt­pli­wo­ści, musimy przy­jąć ogólną regułę, która uchroni nas przed podej­mo­wa­niem subiek­tyw­nych, jed­nost­ko­wych decy­zji.

Możemy zabrać się za to na kilka róż­nych spo­so­bów. Sto­la­rze i inży­nie­ro­wie kie­rują się ści­słymi kry­te­riami, zgod­nie z któ­rymi dwa kształty można uznać za jed­na­kowe jedy­nie wtedy, gdy wszyst­kie ich dłu­go­ści, kąty oraz krzywe są dokład­nie takie same.

Takie podej­ście pro­wa­dzi nas do dzie­dziny mate­ma­tyki zwa­nej geo­me­trią, która zaj­muje się sztyw­nymi, dokład­nie zde­fi­nio­wa­nymi figu­rami oraz zagad­nie­niami takimi jak na przy­kład pro­sto­pa­dłość i pole powierzchni.

Potrze­bu­jemy cze­goś ogól­niej­szego. Spró­bu­jemy zna­leźć wszyst­kie moż­liwe kształty, nie zawra­ca­jąc sobie głowy skru­pu­lat­nym ana­li­zo­wa­niem tysięcy prze­róż­nych zawi­ja­sów. Przy­jęta przez nas reguła musi na tyle swo­bod­nie trak­to­wać kwe­stię iden­tycz­no­ści kształ­tów, by pozwo­lić wydzie­lić nie nazbyt dużą liczbę sze­ro­kich kate­go­rii.

Nowa reguła

Dwa kształty są jed­na­kowe, jeżeli jeden można prze­kształ­cić w drugi poprzez roz­cią­ga­nie i ści­ska­nie, ale bez roz­ry­wa­nia i skle­ja­nia.

Reguła ta leży u pod­staw topo­lo­gii – ogól­niej­szej i bar­dziej odje­cha­nej wer­sji geo­me­trii. W topo­lo­gii przyj­muje się, że kształty zbu­do­wane są z cien­kiego, nie­skoń­cze­nie roz­cią­gli­wego mate­riału, który można skrę­cać, ugnia­tać i nacią­gać jak gumę lub surowe cia­sto. Sam ich roz­miar nie ma żad­nego zna­cze­nia.

W tym uję­ciu kwa­drat i pro­sto­kąt są jed­na­kowe, podob­nie jak okrąg i owal.

Dalej robi się dziw­nie. Zasada roz­cią­ga­nia i ści­ska­nia pozwala nam bowiem prze­kształ­cić okrąg w kwa­drat.

Zanim jed­nak zaczniesz prze­ko­ny­wać zna­jo­mych, że kwa­drat i okrąg to ten sam kształt, bo tak napi­sane było w książce o mat­mie, pamię­taj, że zna­cze­nie ma tutaj kon­tekst. Kwa­drat i okrąg są w topo­lo­gii tym samym kształ­tem. W archi­tek­tu­rze, sztuce, codzien­nym życiu czy nawet geo­me­trii sprawy mają się ina­czej. Na rowe­rze o kwa­dratowych kołach za daleko nie zaje­dziesz.

Teraz jed­nak zaj­mu­jemy się topo­lo­gią, więc nie musimy przej­mo­wać się takimi dro­bia­zgami jak wierz­chołki, które można prze­cież zaokrą­glić. Sta­ramy się wznieść ponad te powierz­chowne róż­nice w postaci dłu­go­ści, zakrzy­wień linii i miar kątów, sku­pia­jąc się wyłącz­nie na isto­cie kształtu – na naj­bar­dziej pod­sta­wo­wych cechach defi­niu­ją­cych dany kształt. W kwa­dra­tach i okrę­gach topo­lo­go­wie widzą jedy­nie zamkniętą pętlę. Jej wszel­kie inne wła­ści­wo­ści są wyni­kiem tego, jak w danym momen­cie została roz­cią­gnięta i ści­śnięta.

To tro­chę jak z zasta­na­wia­niem się nad kształ­tem naszyj­nika. Wszystko zależy od tego, jak go chwy­cimy: w jed­nym uło­że­niu może być kwa­dra­tem, a w innym okrę­giem. Bez względu na to, jak będziemy go ukła­dać – w kwa­drat, okrąg, serce, pół­księ­życ, kleksa czy stu­dwu­dzie­sto­kąt – wciąż będziemy mogli mówić o pew­nym fun­da­men­tal­nym i nie­zmien­nym kształ­cie naszyj­nika.

Ponie­waż przy­biera on różne formy, nazwy typo­wych figur geo­me­trycz­nych nie­zbyt dobrze go opi­sują. Choć nie­kiedy i tak mówimy o nim jako o okręgu, w topo­lo­gii przy­jęło się bar­dziej pre­cy­zyjne okre­śle­nie: „S-jeden”¹. Kształt S-jeden przyj­mują naszyj­niki, bran­so­letki, gumki recep­turki, tory wyści­gowe, zam­kowe fosy, gra­nice państw (z wyklu­cze­niem eks­klaw takich jak Ala­ska), litery O i wiel­kie litery D oraz wszel­kie pętle. Geo­me­tryczne kształty tych przed­mio­tów są szcze­gól­nymi przy­pad­kami S-jeden – podob­nie jak kwa­drat jest szcze­gól­nym przy­pad­kiem pro­sto­kąta, a okrąg owalu.

Czy ist­nieją jakie­kol­wiek inne kształty niż S-jeden? Kiep­sko by było, gdyby zasada roz­cią­ga­nia i ści­ska­nia oka­zała się na tyle ogólna, żeby spro­wa­dzać całą róż­no­rod­ność kształ­tów topo­lo­gicz­nie do jed­nej nie­zwy­kle sze­ro­kiej kate­go­rii. Mamy jed­nak farta: w naszej defi­ni­cji znaj­dzie się miej­sce dla kształ­tów innych niż okrąg.

Weźmy na przy­kład linię.

Możemy ją zakrzy­wić tak, by jej końce nie­mal się ze sobą sty­kały. Aby stwo­rzyć okrąg, musie­li­by­śmy jed­nak je ze sobą połą­czyć, a tego zro­bić nam nie wolno, bo będzie to już skle­ja­nie. Choć­by­śmy nie wiem jak zgi­nali i skrę­cali linię, na jej koń­cach zawsze pozo­staną dwa punkty, ozna­cza­jące zakoń­cze­nie kształtu. Nie spo­sób się ich pozbyć. Możemy je prze­miesz­czać i odda­lać od sie­bie, ale zawsze gdzieś będą – są nie­zmienną wła­ści­wo­ścią tego kształtu.

Z podob­nego względu odręb­nym kształ­tem jest ósemka. Zamiast punk­tów koń­co­wych w środku tej figury znaj­duje się spe­cjalny punkt prze­cię­cia linii, z któ­rego roz­cho­dzą się cztery odnogi, a nie dwie. Ósemkę możemy roz­cią­gać i ści­skać, ile dusza zapra­gnie, ale nie pozbę­dziemy się jej punktu prze­cię­cia.

W sumie to możemy już roz­pra­wić się z naszym pier­wot­nym pyta­niem: ile mamy kształ­tów? Odpo­wiedź brzmi: nie­skoń­cze­nie wiele. A oto dowód.

Dowód

Przyj­rzymy się pew­nej rodzi­nie kształ­tów. Jej każdy kolejny czło­nek two­rzony jest przez doda­nie do poprzed­niego dodat­ko­wej pozio­mej kre­ski.

Powstałe w ten spo­sób kształty mają wię­cej punk­tów prze­cię­cia i punk­tów koń­co­wych niż ich „przod­ko­wie”, a zatem rze­czy­wi­ście mamy do czy­nie­nia z róż­nymi kształ­tami. Pro­ces ten możemy powta­rzać w nie­skoń­czo­ność, two­rząc nie­skoń­cze­nie wielką rodzinę kształ­tów. Ergo, kształ­tów jest nie­skoń­cze­nie wiele.

Q.E.D.²

Brzmi prze­ko­nu­jąco, co nie? Wystar­czy, że znaj­dziemy dowolną rodzinę kształ­tów, która wyraź­nie pokaże, iż jej nowe formy można gene­ro­wać w nie­skoń­czo­ność, powie­la­jąc ten sam sche­mat.

Rów­nież taka rodzina kształ­tów spraw­dzi­łaby się jako dowód:

Albo taka:

Ta też by się nadała:

Jak byśmy się do tego nie zabrali, naszym dowo­dem kie­ro­wać będzie ta sama logika. Pró­bu­jemy wyka­zać ist­nie­nie nie­skoń­czo­nej liczby przy­pad­ków pew­nego rodzaju, więc opi­su­jemy sys­te­ma­tyczny pro­ces ich powsta­wa­nia.

Taki spo­sób dowo­dze­nia twier­dzeń, zwany dowo­dem przez wska­za­nie nie­skoń­czo­nej rodziny, jest powszech­nie sto­so­wany w mate­ma­tyce do wyka­zy­wa­nia, że dany zbiór zawiera nie­skoń­cze­nie wiele ele­men­tów. Mnie on prze­ko­nuje, bo nie potra­fię nawet sobie wyobra­zić żad­nych kontr­ar­gu­men­tów, które można by prze­ciw niemu wyto­czyć. Musi ist­nieć nie­skoń­czona liczba ele­men­tów okre­ślo­nego typu, skoro możemy bez końca two­rzyć ich kolejne warianty.

Taki dowód prze­ma­wia nie tylko do mnie: spo­łecz­ność mate­ma­ty­ków uznaje wyka­za­nie ist­nie­nia nie­skoń­czo­nej rodziny za poprawną metodę dowo­dze­nia twier­dzeń. Nie jest to by­naj­mniej jedyna metoda tego typu – ta sama logika jest czę­sto sto­so­wana także w innych kon­tek­stach. Ludzie para­jący się mate­ma­tyką z cza­sem zaczy­nają dostrze­gać pewne powta­rzalne sche­maty dowo­dowe i zwy­kle są zgodni co do tego, które z nich są spoko.

Jeżeli przyj­mu­jesz przed­sta­wiony przeze mnie dowód, to mamy odpo­wiedź, któ­rej szu­ka­li­śmy: kształ­tów jest nie­skoń­cze­nie wiele. Nie jest to może szcze­gól­nie inte­re­su­jąca odpo­wiedź, ale innej nie będzie. Tak to już jest: kiedy zada się pyta­nie i okre­śli para­me­try pro­blemu, odpo­wiedź jest z góry usta­lona. Wystar­czy ją tylko zna­leźć. Pierw­sze pyta­nie, które przyj­dzie nam do głowy, nie­ko­niecz­nie dopro­wa­dzi nas do cie­ka­wej bądź poucza­ją­cej odpo­wie­dzi. W takiej sytu­acji można się pod­dać i poszu­kać sobie innego zaję­cia albo sfor­mu­ło­wać lep­sze pyta­nie.Rozmaitości

Roz­ma­ito­ści

Kształ­tów jest zbyt wiele, żeby wni­kli­wie prze­ana­li­zo­wać je wszyst­kie, więc topo­lo­go­wie sku­piają się jedy­nie na tych naj­waż­niej­szych: roz­ma­ito­ściach. Choć nazwa ta koja­rzy się raczej z pudłem sta­rych bibe­lo­tów na pchlim targu, roz­ma­ito­ści są nam wszyst­kim bar­dzo bli­skie – tak się składa, że miesz­kamy na roz­ma­ito­ści. Okręgi, linie, płasz­czy­zny i sfery to wszystko roz­ma­ito­ści – gład­kie, pro­ste, jed­no­lite kształty, które dziw­nym tra­fem poja­wiają się zawsze wtedy, gdy nauki ści­słe biorą się za bada­nie fizycz­nych prze­strzeni.

Skoro są tak pro­ste, to pew­nie już zna­leź­li­śmy je wszyst­kie? By­naj­mniej. Topo­lo­gom jest tak głu­pio z tego powodu, że zaofe­ro­wali nagrodę w wyso­ko­ści miliona dola­rów, by zachę­cić mate­ma­tycz­nie uzdol­nio­nych śmiał­ków do wytę­żo­nych poszu­ki­wań. Jest to naj­więk­sza, wciąż nie­roz­wi­kłana topo­lo­giczna zagadka, spę­dza­jąca sen z powiek eks­per­tom od ponad stu lat:

Lub ujmu­jąc pro­blem nieco bar­dziej pre­cy­zyj­nie:

Celem mate­ma­ty­ków nie jest poli­cze­nie ich wszyst­kich, tylko odna­le­zie­nie, nazwa­nie i podzie­le­nie na kate­go­rie – stwo­rze­nie topo­lo­gicz­nego prze­wod­nika po roz­ma­ito­ściach.

Czym w zasa­dzie jest roz­ma­itość? Aby kształt zała­pał się do tej kate­go­rii, musi speł­nić ści­śle okre­ślone kry­te­ria. Selek­cja jest tak ostra, że więk­szo­ści się to nie udaje.

Nowa reguła

Kształt jest roz­ma­ito­ścią, jeżeli nie ma żad­nych punk­tów spe­cjal­nych: koń­co­wych, prze­cię­cia lub roz­ga­łę­zie­nia ani punk­tów na kra­wę­dziach. Musi w każ­dym frag­men­cie być dokład­nie taki sam.

Możemy zatem z miej­sca wyklu­czyć nie­skoń­czone rodziny kształ­tów z poprzed­niego pod­roz­działu. Kształty z pozio­mymi kre­skami, wie­loma ramio­nami i podob­nymi ele­men­tami nie mogą być roz­ma­ito­ściami. A w związku z tym nasze pyta­nie o to, ile jest roz­ma­ito­ści, może mieć defi­ni­tywną odpo­wiedź – poten­cjal­nie ist­nieje ich skoń­czona liczba. Może kie­dyś się prze­ko­namy, czy rze­czy­wi­ście tak jest.

Przed­sta­wiona defi­ni­cja nie ogra­ni­cza się jedy­nie do pła­skich, „dru­cia­nych” kształ­tów, jak te, które dotych­czas roz­wa­ża­li­śmy. Roz­ma­ito­ściami mogą być także figury wyko­nane z mate­riału przy­po­mi­na­ją­cego arkusz papieru lub kawa­łek suro­wego cia­sta. Nasz wszech­świat jest naj­pew­niej trój­wy­mia­rową roz­ma­ito­ścią. No chyba że jest czymś fizycz­nie ogra­ni­czony lub w jakiś spo­sób prze­nika sam sie­bie.

Na razie zostańmy jed­nak przy dru­cia­nych kształ­tach – takich, które można stwo­rzyć, roz­gi­na­jąc spi­na­cze lub ukła­da­jąc kawa­łek nitki. W topo­lo­gii nazy­wamy je jed­no­wy­mia­ro­wymi, mimo że rysu­jemy je na dwu­wy­mia­ro­wej kartce. Klu­czowe zna­cze­nie ma bowiem mate­riał, z jakiego kształt jest wyko­nany.

Jakie roz­ma­ito­ści możemy zatem stwo­rzyć z nitki? Nie mamy zbyt wielu moż­li­wo­ści. Więk­szość tego, co przyj­dzie nam do głowy, ma jakieś spe­cjalne punkty.

Zakrzy­wie­nia i zawi­jasy są okej, bo zawsze można je napro­sto­wać. Naj­więk­szym pro­ble­mem są punkty koń­cowe. Jak się ich pozbyć?

Ist­nieją tylko dwa rodzaje roz­ma­ito­ści jed­no­wy­mia­ro­wych. Jeżeli nie wiesz jesz­cze, o jakie kształty cho­dzi, ode­rwij wzrok od tek­stu i daj sobie chwilę na zasta­no­wie­nie, zanim przej­dziesz dalej.

Okrąg (alias S-jeden) i nie­skoń­cze­nie długa linia (R-jeden) to jedyne roz­ma­ito­ści jed­no­wy­mia­rowe. Punk­tów koń­co­wych można unik­nąć, tylko robiąc pętelkę lub roz­cią­ga­jąc linię w nie­skoń­czo­ność. Nic innego nie wcho­dzi w grę. A, i pamię­taj: ponie­waż kształty w topo­lo­gii są roz­cią­gliwe, do roz­ma­ito­ści jed­no­wy­mia­ro­wych zali­czymy także wszyst­kie waria­cje na temat pętli oraz nie­skoń­cze­nie dłu­gich krzy­wych, a nie tylko okręgi i pro­ste.

I to tyle, jeśli cho­dzi o pierw­szy wymiar. Nie­źle poszło! Jak widać, dość mocno zawę­zi­li­śmy nasze począt­kowe topo­lo­giczne poszu­ki­wa­nia. Pierw­sze pyta­nie o liczbę kształ­tów było zbyt ogólne i zanadto pojemne, ale to, któ­rym kie­ru­jemy się teraz, wydaje się o wiele bar­dziej poręczne, przy­naj­mniej na razie. Przejdźmy na wyż­szy wymiar.

W prze­strzeni dwu­wy­mia­ro­wej szu­kać będziemy roz­ma­ito­ści wyko­na­nych z mate­riału podob­nego do arku­sza papieru. Nie możemy zapo­mi­nać, że cho­dzi nam wła­śnie o mate­riał, a nie o wymiary prze­strzenne figury. W oko­licz­no­ściach nie­to­po­lo­gicz­nych więk­szość tych kształ­tów uzna­li­by­śmy za trój­wy­mia­rowe. Są one jedy­nak wyko­nane z dwu­wy­mia­ro­wego mate­riału i tego będziemy się trzy­mać.

A zatem: jakie roz­ma­ito­ści możemy stwo­rzyć w ten spo­sób? Nasz mate­riał musi być arku­szem jed­no­rod­nym, pozba­wio­nym kra­wę­dzi i usko­ków, za któ­rymi płasz­czy­zna nagle się urywa. Wróć pamię­cią do stwier­dze­nia z początku pod­roz­działu, że miesz­kamy na roz­ma­ito­ści. Nie było w tym cie­nia prze­sady: powierzch­nia Ziemi jest sferą, a ta zali­czana jest do dwu­wy­mia­ro­wych roz­ma­ito­ści.

Roz­cią­ga­jąc i ści­ska­jąc, możemy ją (sferę, nie Zie­mię) prze­kształ­cić także w powierzch­nię cał­ko­witą jakiej­kol­wiek innej bryły: sze­ścianu, stożka, walca czy innego hitu z geo­me­trycz­nej listy prze­bo­jów. Musimy tylko uwa­żać na ter­mi­no­lo­gię. W mate­ma­tyce sfera jest kształ­tem pustym w środku – samą powierzch­nią – nato­miast kula jest wypeł­niona. W uję­ciu topo­lo­gicz­nym kula jest trój­wy­mia­rowa (stwo­rzona z mate­riału podob­nego do suro­wego cia­sta), więc wró­cimy do niej póź­niej.

Uogól­niona sfera nosi nazwę S-dwa, co nie jest wybo­rem przy­pad­ko­wym, bo w końcu sfera jest jak okrąg (czyli S-jeden) na wyż­szym pozio­mie. Ta sama logika pozwoli nam odkryć kolejną dwu­wy­mia­rową roz­ma­itość. Jeśli pod­nie­siemy nie­skoń­cze­nie długą linię do dru­giego wymiaru, otrzy­mamy nie­skoń­czoną płasz­czy­znę.

Tę rodzinę kształ­tów nazy­wamy R-dwa i wśród jej człon­ków znaj­dziemy wszel­kie nie­skoń­czone płasz­czy­zny dzie­lące prze­strzeń na dwa nie­skoń­czone obszary.

Pła­sko­ziemcy – ludzie prze­ko­nani, że Zie­mia tak naprawdę jest pła­skim dys­kiem – czę­sto stają się przed­mio­tem drwin, zasłu­że­nie zresztą. Z punktu widze­nia topo­lo­gii ich twier­dze­nia nie brzmią jed­nak aż tak absur­dal­nie. Roz­ma­itość nie ma żad­nych spe­cjal­nych punk­tów, więc jeśli wyobra­zimy sobie, że zosta­li­śmy zrzu­ceni na jej powierzch­nię niczym czło­wie­czek z mapy Google, wszyst­kie ota­cza­jące nas punkty będą dla nas iden­tyczne. Nawet jeżeli roz­ma­itość ta ma krzy­wi­zny, nie dostrze­żemy ich lokal­nie, z „poziomu ulicy”, bo jeste­śmy na to za mali. Bez względu, w któ­rym punk­cie się znaj­dziemy, nasze oto­cze­nie będzie wyglą­dać na pła­skie.

Ist­nieją też inne roz­ma­ito­ści dwu­wy­mia­rowe. Wię­cej wymia­rów to więk­sza swo­boda ruchu, a to ozna­cza, że możemy stwo­rzyć roz­ma­ito­ści dwu­wy­mia­rowe nie­ma­jące żad­nych odpo­wied­ni­ków jed­no­wy­mia­ro­wych.

Weźmy na przy­kład roz­ma­itość w kształ­cie skórki obwa­rzanka. Gołym okiem widać, że mamy do czy­nie­nia z nowym rodza­jem roz­ma­ito­ści – w środku kształtu znaj­duje się pusta prze­strzeń, któ­rej nie spo­sób wypeł­nić przez roz­cią­ga­nie i ści­ska­nie. Otwór ten ma jed­nak pewną oso­bliwą wła­ści­wość: nie posiada żad­nych wyraź­nych kra­wę­dzi. Nie przy­po­mina dziury wycię­tej nożycz­kami w kartce – ta ma brzeg wypeł­niony spe­cjal­nymi punk­tami. Otwór w środku obwa­rzanka jest bar­dziej sub­telny, bo widoczny jedy­nie z zewnątrz. Gdy­by­śmy miesz­kali na powierzchni pla­nety w kształ­cie obwa­rzanka, ni­gdy byśmy z niej nie widzieli żad­nego otworu. Lokal­nie nie róż­ni­łoby się to od miesz­ka­nia na sfe­rze bądź cał­ko­wi­cie pła­skiej płasz­czyź­nie.

Ten nowy rodzaj roz­ma­ito­ści nazy­wany jest toru­sem lub T-dwa i uwzględ­nia wszyst­kie kształty z gład­kim otwo­rem w środku.

Ale to jesz­cze wcale nie koniec dwu­wy­mia­ro­wych roz­ma­ito­ści. Możemy też stwo­rzyć podwój­nego torusa:

A to oczy­wi­ście ozna­cza, że możemy rów­nież stwo­rzyć torusa potrój­nego, poczwór­nego i tak dalej. Sło­wem, ist­nieje nie­skoń­czona rodzina toru­sów.

No dobra, czyli nie ma skoń­czo­nej liczby roz­ma­ito­ści. To jed­nak nie powód do zmar­twień, ponie­waż nie musimy ich wszyst­kich poli­czyć, żeby je zna­leźć. Naszym celem jest kate­go­ry­za­cja – sta­ramy się stwo­rzyć listę moż­li­wych roz­ma­ito­ści, więc nie szko­dzi, jeżeli znajdą się na niej nie­skoń­czone rodziny. W mate­ma­tyce abs­trak­cyj­nej nie­skoń­czo­no­ści są na porządku dzien­nym, więc trzeba się z nimi po pro­stu pogo­dzić.

Wierz lub nie, ale na­dal się nie upo­ra­li­śmy ze wszyst­kimi roz­ma­ito­ściami dwu­wy­mia­ro­wymi. Ist­nieje jesz­cze jeden kształt, który można stwo­rzyć z mate­riału przy­po­mi­na­ją­cego arkusz. Jest tylko pewien szko­puł: to naprawdę dziwna roz­ma­itość. Nazy­wana jest płasz­czy­zną rzu­tową rze­czy­wi­stą. Nie­stety nie wiem, jak wygląda, więc nie mogę ci jej poka­zać. Nikt zresztą tego nie wie, bo w naszym wszech­świe­cie taki kształt nie może ist­nieć.

Ist­nieje on jedy­nie w prze­strzeni czte­ro­wy­mia­ro­wej. Bez względu na mate­riał, z jakiego został wyko­nany, każdy kształt wymaga pew­nej mini­mal­nej liczby wymia­rów prze­strzen­nych, w któ­rych można go zmie­ścić. Płasz­czy­zna zmie­ści się w co naj­mniej dwóch wymia­rach prze­strzen­nych, sfera – w trzech, a płasz­czy­zna rzu­towa rze­czy­wi­sta – w czte­rech.

To skąd w ogóle wiemy, że taka roz­ma­itość poten­cjal­nie ist­nieje? Spró­buję to wyja­śnić.

Wyobraź sobie koło, czyli wypeł­niony okrąg. Choć koło można stwo­rzyć z kawałka arku­sza, nie jest ono roz­ma­ito­ścią, ponie­waż na jego brzegu znaj­dują się spe­cjalne punkty. Jeżeli jed­nak weź­miemy dwa koła i dokład­nie zszy­jemy je ze sobą, otrzy­mamy jed­no­lity kształt bez żad­nych brze­gów, czyli roz­ma­itość.

W tym wypadku będzie to sfera, co samo w sobie nie jest szcze­gól­nie poucza­jące – o tym, że sfery są roz­ma­ito­ściami, już wiemy. Przyda nam się jed­nak kon­cep­cja leżąca u pod­staw tego prze­kształ­ce­nia: zszy­cie (skle­je­nie) dwóch kształ­tów zbli­żo­nych do roz­ma­ito­ści i mają­cych taki sam brzeg daje roz­ma­itość.

No to teraz wyobraź sobie cienką wstęgę z arku­sza skrę­coną w jed­nym miej­scu. Na pierw­szy rzut oka może się wyda­wać, że ma dwa brzegi, ale prze­su­wa­jąc pal­cem po gór­nej kra­wę­dzi, zje­dziemy na dół, a potem wró­cimy w to samo miej­sce – czyli tak naprawdę jest tylko jeden brzeg³.

Bierzmy się zatem do stwo­rze­nia płasz­czy­zny rzu­to­wej rze­czy­wi­stej. Brzeg koła ma kształt S-jeden (okręgu), podob­nie jak brzeg naszej skrę­co­nej wstęgi. Możemy zatem zszyć je ze sobą, żeby stwo­rzyć nową roz­ma­itość.

Jeśli spró­bu­jesz sobie wyobra­zić to prze­kształ­ce­nie albo prze­śle­dzić pal­cami jego prze­bieg, bar­dzo szybko napo­tkasz prze­szkodę: koło musi prze­ciąć wła­sną płasz­czy­znę, a to stwo­rzy­łoby spe­cjalne punkty, któ­rych roz­ma­ito­ści mieć nie mogą. Gdy­by­śmy jed­nak zro­bili to samo w czte­rech wymia­rach, nie napo­tka­li­by­śmy żad­nych pro­ble­mów.

Jak to moż­liwe? Można to przy­rów­nać do podob­nej sytu­acji w trzech wymia­rach. Ósemka nary­so­wana na pła­skiej powierzchni ma środ­kowy punkt prze­cię­cia. Jeżeli jed­nak unie­siemy jedną z linii ponad kartkę, dosłow­nie pod­no­sząc całą figurę do trze­ciego wymiaru, punkt prze­cię­cia znik­nie. Z płasz­czy­zną rzu­tową rze­czy­wi­stą jest tak samo, tylko w czte­rech wymia­rach. Ta oso­bliwa, skrę­cona roz­ma­itość prze­nika wła­sną powierzch­nię tylko wtedy, gdy tkwimy w prze­strzeni trój­wy­mia­ro­wej. Pod­nie­siona do czwar­tego wymiaru staje się ide­al­nie gładką, nie­prze­ci­na­jącą się roz­ma­ito­ścią dwu­wy­mia­rową.

Zapraszamy do zakupu pełnej wersji książkiZapraszamy do zakupu pełnej wersji książki

1.

Zob. „Nota tłu­ma­cza”.

2.

Na końcu dowodu mate­ma­tycz­nego zwy­cza­jowo umiesz­czany jest skrót łaciń­skiej for­muły „quod erat demon­stran­dum” (w wol­nym tłu­ma­cze­niu: „co było do udo­wod­nie­nia”). W pol­skiej nomen­kla­tu­rze sto­so­wane są także skróty c.n.d. („co nale­żało dowieść”) lub c.b.d.u. („co było do udo­wod­nie­nia”; przyp. tłum.).

3.

Tego typu powierzch­nia nazy­wana jest wstęgą Möbiusa (przyp. tłum.).