Krótka historia wielkich umysłów. Genialni matematycy i ich arcydzieła - ebook

PRZEDMOWA

Źródeł wszystkich gałęzi nauki można szukać w bardzo odległych czasach, jednak w odniesieniu do większości dyscyplin naukowych ich historyczne osiągnięcia kwitowane są stwierdzeniami w rodzaju „teraz wiemy, że było to błędne” albo „kiedyś tak uważaliśmy, ale dzisiaj pogląd jest inny”. Na przykład grecki filozof Arystoteles sądził, że galopujący koń nigdy nie może całkowicie stracić kontaktu z podłożem. Pogląd ten obalił w 1878 roku Eadweard Muybridge, posłużywszy się szeregiem aparatów fotograficznych podłączonych do przewodu wyzwalającego migawkę. Teoria ruchu Arystotelesa została obalona przez Galileusza i Isaaca Newtona, a jego teorie umysłu nie mają żadnych użytecznych związków ze współczesnymi poglądami neurobiologii i psychologii.

Matematyka jest inna. Wiedza matematyczna nie traci na znaczeniu. Kiedy starożytni Babilończycy znaleźli sposób na rozwiązanie równań kwadratowych – prawdopodobnie około 2000 roku p.n.e., choć najstarsze wiarygodne źródła datowane są na 1500 rok p.n.e. – odkrycie to nigdy się nie zestarzało. Sposób był poprawny i jego twórcy wiedzieli, dlaczego taki jest. Dzisiaj nadal jest poprawny. Owszem, obecnie zapisujemy rozwiązania symbolicznie, ale rozumowanie jest identyczne. Nieprzerwana linia rozwoju myś­li matematycznej łączy dzień dzisiejszy z czasami Babilonii. Kiedy Archimedes obmyślił sposób wyznaczenia objętości sfery, nie użył symboli algebraicznych, nie pomyślał o jakiejś szczególnej liczbie π, jak robimy to obecnie. Wyraził wynik geometrycznie, w kategoriach proporcji, co było powszechną praktyką w starożytnej Grecji. Nie zmienia to faktu, że jego rozwiązanie jest natychmiast rozpoznawalne jako odpowiednik dzisiejszego zapisu 4/3πr3.

Zdecydowanie niewiele antycznych odkryć z innych dziedzin poza matematyką jest podobnie długowiecznych. Jednym z nich jest prawo Archimedesa, mówiące, że siła wyporu jest równa ciężarowi wypartej cieczy, drugim jego zasada dźwigni. Wciąż zachowują aktualność niektóre fragmenty fizyki i inżynierii starożytnych Greków, lecz w tych dziedzinach długowieczność jest wyjątkiem, podczas gdy w matematyce – niemal regułą. Elementy Euklidesa, w których zostały zawarte podstawy logiczne geometrii, wciąż warte są bliskiego poznania. Znajdujące się tam twierdzenia pozostają prawdziwe i wiele z nich wciąż jest użytecznych. W matematyce idziemy naprzód, ale nie odrzucamy naszej historii.

Zanim zaczniecie myśleć, że matematyka stale tkwi w przeszłości, muszę podkreślić dwie sprawy. Po pierwsze, postrzeganie rangi jakiejś metody lub twierdzenia może się zmieniać. Całe działy matematyki zniknęły lub wyszły z mody, stały się przestarzałe, gdy doszło do przesunięcia granic badań naukowych albo pojawienia się nowych technik. Wiedza ta jednak wciąż jest prawdziwa, toteż od czasu do czasu jakaś przykurzona dziedzina matematyki przeżywa odrodzenie, zwykle za sprawą odkrycia jej związków z innym obszarem badań, znalezienia nowych zastosowań albo przełomu w metodologii. Po drugie, w miarę jak matematycy rozwijali swoją dziedzinę, nie tylko ją unowocześniali, lecz także wytwarzali gigantyczne zasoby nowej, ważnej, pięknej i przydatnej wiedzy.

Gdy mamy w pamięci te dwie kwestie, bezsporne pozostaje podstawowe stwierdzenie: kiedy jakieś twierdzenie matematyczne zostaje prawidłowo udowodnione, staje się fundamentem, na którym można budować, i jest nim już zawsze. Chociaż więc od czasów Euklidesa rygory dowodzenia zostały znacznie zaostrzone, aby pozbyć się ukrytych założeń, to możemy wypełnić miejsca, które obecnie postrzegamy jako luki, a wyniki wciąż są poprawne.

* * *

Niniejsza książka analizuje niemal mistyczny proces, w wyniku którego powstają nowe zasoby wiedzy matematycznej. Matematyka nie rodzi się w próżni, tworzą ją ludzie. Są wśród nich osoby wyróżniające się zdumiewającą oryginalnością i jasnością umysłu, ci, których kojarzymy z wielkimi przełomami w nauce – pionierzy, przecierający szlaki pomysłodawcy, postacie znaczące. Historycy słusznie tłumaczą, że praca wielkich naukowców zależy od ogromnej rzeszy ludzi należących do obsady drugoplanowej, którzy dokładają niewielkie elementy składające się na ogólny efekt. Nawet nieznane i przypadkowe osoby mogą zadawać ważne i owocne pytania, a główne idee bywają sygnalizowane przez ludzi, którym brak odpowiedniego przygotowania fachowego, aby przekształcić te idee w potężne nowe metody i niepospolite punkty widzenia. Newton stwierdził kiedyś, że „stoi na barkach gigantów”. Do pewnego stopnia wypowiedź ta nosi znamiona sarkazmu, kilku z tych gigantów bowiem (w szczególności Robert Hooke) uskarżało się, że Newton nie tyle stoi na ich barkach, ile depcze im po palcach, nie uznając ich zasług albo wypaczając publiczną debatę przez cytowanie ich osiągnięć we własnych publikacjach. Newton mówił jednak szczerze: jego wielka synteza zjawiska ruchu, grawitacji i światła nie powstałaby bez ogromnej liczby spostrzeżeń dokonanych przez jego poprzedników na ścieżkach intelektualnych dociekań. Nie wszyscy musieli być gigantami. Zwykli ludzie też odgrywali znaczące role.

Nie zmienia to faktu, że giganci wyróżniają się, wskazują drogę, a reszta z nas za nimi podąża. Dzięki wglądowi w życiorysy i prace wybranych znaczących postaci możemy dostrzec, jak powstają nowe osiągnięcia matematyczne, kto jest ich twórcą i jakie miał życie. Nie myślę o nich jako o pionierach wyłącznie w tym sensie, iż wskazywali nam drogę, ale widzę w nich ludzi, którzy przecierali szlaki w splątanych zaroślach rozległej dżungli matematycznej myśli. Mnóstwo swego życia poświęcili na przedzieranie się przez cierniste krzaki i mokradła, lecz od czasu do czasu trafiali na Zaginione Miasto Słoni lub na El Dorado, znajdując cenne klejnoty ukryte w poszyciu. Penetrowali obszary rozumu, jakich ludzkość wcześniej nie poznała.

Co więcej, oni te obszary stworzyli. Matematyczna dżungla nie jest podobna do lasów deszczowych Amazonii ani do dzikich ostępów afrykańskiego Konga. Pionier matematyki nie przypomina Davida Livingstone’a, wyrąbującego maczetą ścieżkę wzdłuż rzeki Zambezi lub poszukującego źródeł Nilu. Livingstone „odkrywał” coś, co już tam było. Lokalni mieszkańcy doskonale wiedzieli o istnieniu tych miejsc, ale w tamtych czasach europejscy podróżnicy interpretowali „odkrywanie” następująco: „Europejczycy uświadamiają istnienie tych rzeczy innym Europejczykom”. Pionierzy matematyki nie eksplorowali dżungli, która już istniała. W pewnym sensie oni tę dżunglę tworzyli w miarę przedzierania się przez nią, zupełnie jakby pod ich stopami wyrastały nowe rośliny, błyskawicznie strzelały do góry i stawały się potężnymi drzewami. Można jednak odnieść wrażenie, że jakaś dżungla już tam rosła, ponieważ nie da się dowolnie wybierać, które rośliny miałyby kiełkować. Możemy wybrać kierunek marszu, ale nie zdecydować, że „odkryjemy” zagajnik drzew mahoniowych, kiedy w rzeczywistości natrafimy na bagno namorzynowe.

Jest to, jak sądzę, źródło wciąż popularnego sposobu postrzegania idei matematycznych, typowego dla Platona: prawdy matematyczne istnieją „naprawdę”, ale istnieją w idealnej formie w swego rodzaju równoległej rzeczywistości, która istniała od zawsze i będzie istnieć wiecznie. Zgodnie z tym poglądem, kiedy udowadniamy jakieś nowe twierdzenie, odkrywamy tylko coś, co od zawsze tam było. Nie wydaje mi się, aby platonizm należało odczytywać dosłownie, ale oddaje on wiernie przebieg procesu badań matematycznych. Jakikolwiek wybór jest iluzją: jedyne, co można zrobić, to potrząsnąć zaroślami i zobaczyć, czy coś z nich wypadnie. W książce What is Mathematics, Really? (Czym naprawdę jest matematyka?) Reuben Hersh przedstawia bardziej realistyczną wizję tej nauki: jest to wspólny wytwór ludzkiego umysłu. W takim wypadku matematyka bardziej przypomina pieniądze. Pieniądze nie są „tak naprawdę” kawałkami metalu, świstkami papieru lub cyferkami w komputerze. To dzielony przez ludzi zbiór umów społecznych, dotyczących zasad wymiany kawałków metalu, świstków papieru i cyferek w komputerze pomiędzy sobą lub na różne dobra.

Hersh oburzył wielu matematyków, którzy skupili się na sformułowaniu „wytwór ludzkiego umysłu” i zaprotestowali, twierdząc, że matematyka w żadnym razie nie jest arbitralna. Relatywizm społeczny z nią sobie nie radzi. To prawda, ale Hersh wyjaśnił w sposób doskonale jasny, że matematyka nie jest jakimkolwiek tworem umysłu człowieka. Od nas zależy, czy zajmiemy się Wielkim Twierdzeniem Fermata, ale nie mamy wpływu na to, czy jest ono prawdziwe, czy nie. Wytwór ludzkiego umysłu, jakim jest matematyka, jest obwarowany rygorystycznym systemem uwarunkowań logicznych. Nowe elementy można do niego dodać tylko wtedy, gdy spełniają te uwarunkowania. Potencjalnie uwarunkowania pozwalają nam odróżniać prawdę od fałszu, ale hałaśliwe deklaracje, iż tylko jedna z tych ewentualności jest możliwa, nie wystarczą do stwierdzenia, która z nich rzeczywiście zachodzi. Wielkie pytanie brzmi: która z nich? Straciłem rachubę, ileż to razy ktoś przypuszczał atak na kontrowersyjny artykuł z dziedziny matematyki, który mu się nie spodobał, wskazując, że matematyka jest tautologią: wszystko, co jest w niej nowe, logicznie wynika z dotychczasowej wiedzy. Owszem, to prawda. To, co nowe, wynika ze starego. Autentycznie ciężka praca czeka jednak każdego, kto zechce wykazać to w sposób jawny. Zapytajcie Andrew Wilesa. Nikt go nie przekona, że status Wielkiego Twierdzenia Fermata zawsze był z góry określony przez logiczną strukturę matematyki. Uczony stracił siedem lat na wykazanie, iż z góry określony status to „prawdziwe”. Zanim uda się to wykazać, ów z góry określony status jest równie użyteczny jak wtedy, gdy chcąc trafić do Biblioteki Brytyjskiej, zapytamy przechodnia, gdzie się ona znajduje, i dowiemy się, że w Wielkiej Brytanii.

* * *

Znaczące postacie nie są książką aspirującą do miana uporządkowanej historii matematyki, ale próbą zaprezentowania zagadnień matematycznych w zrozumiały i przejrzysty sposób, tak więc zakres pojęć systematycznie wzrasta wraz z kolejnymi rozdziałami. Zasadniczo wymaga to zachowania porządku chronologicznego. Książka opisująca tematy badań matematycznych w porządku chronologicznym byłaby bardzo trudną lekturą, nieustannie bowiem przeskakiwalibyśmy od jednego matematyka do drugiego, tak więc uporządkowałem rozdziały według dat urodzenia bohaterów i sporadycznie dodałem odnośniki.

Wybrałem 25 znaczących postaci, od starożytności do współczesności, mężczyzn i kobiety, pochodzących ze Wschodu i Zachodu. Przegląd historii opisujących ich życie zaczynam w starożytnej Grecji, od wielkiego geometry i inżyniera Archimedesa (do jego osiągnięć zalicza się przybliżenie wartości liczby π oraz obliczenie powierzchni i objętości kuli, a także skonstruowanie śruby do czerpania wody i podobnej do dźwigu machiny do niszczenia wrogich okrętów). Potem mamy trzech przedstawicieli Dalekiego Wschodu, w średniowieczu głównej areny działań na polu matematyki. Są to: chiński uczony Liu Hui, perski matematyk Muhammad ibn Musa al-Chuwarizmi, z którego prac wywodzą się słowa „algorytm” i „algebra”, oraz indyjski matematyk Madhawa z Sangamagramy, który pierwszy odkrył rozwinięcia funkcji trygonometrycznych w nieskończone szeregi – ponownego odkrycia na Zachodzie dokonał Newton jakieś trzysta lat później.

W czasach włoskiego renesansu Europa znowu stała się głównym ośrodkiem postępu matematycznego. Spotkamy tu Girolama Cardana, jednego z największych łobuzów zasiadających w matematycznym panteonie. Cardano był hazardzistą i awanturnikiem, ale też autorem jednej z najważniejszych prac w dziedzinie algebry, jaka kiedykolwiek ukazała się drukiem, oraz praktykującym lekarzem. Żył tak, jak dzisiaj żyją gwiazdy tabloidów. I jeszcze stawiał horoskopy. Pierre de Fermat, który zasłynął wielkim twierdzeniem nazwanym jego nazwiskiem, był natomiast prawnikiem. Jego pasją była jednak matematyka, co często prowadziło do zaniedbywania obowiązków. To dzięki niemu teoria liczb została uznana za gałąź matematyki. Oprócz tego przyczynił się do rozwoju optyki i opracował podstawy analizy matematycznej, rozwinięte później przez Newtona, którego najważniejsze dzieło nosi tytuł Philosophiae naturalis principia mathematica (Matematyczne zasady filozofii naturalnej), zwykle występujący w skróconej postaci, Principia. To tutaj Newton sformułował zasady dynamiki i prawo powszechnego ciążenia, a następnie zastosował je do opisu Układu Słonecznego. Prace tego uczonego wyznaczają przełom w fizyce matematycznej, przekształcając ją w uporządkowaną dziedzinę badań matematycznych, którą nazwał on „Systemem świata”.

Sto lat po Newtonie najważniejsze ośrodki badań matematycznych znajdowały się w Europie kontynentalnej i Rosji. Leonhard Euler, najpłodniejszy matematyk w historii, publikował ważne prace naukowe z częstotliwością prasy publicystycznej, systematyzując wiele obszarów matematyki serią napisanych przejrzystym językiem, eleganckich podręczników. Żadna dziedzina matematyki nie umknęła jego uwadze. Euler przewidział nawet pojawienie się niektórych idei sformułowanych potem przez Josepha Fou­riera, którego badania nad przewodzeniem ciepła doprowadziły do powstania jednej z najważniejszych technik wykorzystywanych we współczesnej inżynierii, analizy Fouriera. Pozwala ona przedstawić drgania okresowe o dowolnym kształcie w postaci sumy nieskończonego szeregu trygonometrycznego o wyrazach będących tylko funkcjami sinus lub cosinus. Fourier też pierwszy zrozumiał, jak ważną rolę w równowadze termicznej Ziemi odgrywa ziemska atmosfera.

Nowożytną erę w rozwoju matematyki otwiera badacz niemający sobie równych, Carl Friedrich Gauss, mocny kandydat do miana matematyka wszech czasów. Gauss rozpoczął od teorii liczb, swoją reputację w dziedzinie mechaniki nieba zbudował dzięki przewidzeniu ponownego pojawienia się świeżo odkrytej planetoidy Ceres, przyczynił się do znacznych postępów w dziedzinie liczb zespolonych, szacowania metodą najmniejszych kwadratów i geometrii nieeuklidesowej, choć na temat tej ostatniej nie opublikował żadnych prac, ponieważ obawiał się, że jego pomysły za mocno wyprzedzają swój czas i wystawiłby się na pośmiewisko. Nikołaj Iwanowicz Łobaczewski nie był tak nieśmiały. Publikował jedną pracę za drugą na temat geometrii alternatywnej wobec euklidesowej, teraz nazywanej geometrią hiperboliczną. On i Janós Bolyai są odtąd uważani za właściwych twórców geometrii nieeuklidesowej, którą można interpretować jako naturalną geometrię powierzchni o stałej krzywiźnie. Gauss miał prawo sądzić, że idea rzeczywiście wyprzedza swoje czasy, ani Łobaczewski, ani Bolyai nie zostali bowiem za życia docenieni. Wizytę w tej epoce kończymy tragiczną historią rewolucjonisty Évariste’a Galois, który w wieku lat dwudziestu zginął w pojedynku o honor pewnej młodej kobiety. Dokonał znacznego postępu w algebrze, który doprowadził do przyjętego dzisiaj ujęcia kluczowego pojęcia symetrii w kategoriach grupy przekształceń.

W tym miejscu pojawia się w naszej opowieści nowy wątek i pierwsza w tym zestawieniu matematyczka. Nowy wątek dotyczy matematyki obliczeniowej, a pionierka, o której mowa, to Augusta Ada King, hrabina Lovelace, w zasadzie pełniąca funkcję asystentki Charlesa Babbage’a, pełnego determinacji naukowca, doskonale rozumiejącego potencjał maszyn obliczeniowych. Miał on w planach zbudowanie maszyny analitycznej, programowalnego komputera, skonstruowanego z mechanizmów zapadkowych i kół zębatych, obecnie kluczowego gadżetu odmiany fantastyki naukowej funkcjonującej pod nazwą steampunk. Adzie powszechnie przypisuje się miano pierwszego programisty komputerowego w historii, jednak łączą się z tym pewne kontrowersje. Temat komputerów jest kontynuowany w rozdziale poświęconym George’owi Boole’owi, który w Laws of Thought (Prawa myślenia) zawarł podstawy formalizmu matematycznego dla logiki cyfrowej, wykorzystywanej przez dzisiejsze komputery.

Matematyka staje się coraz bardziej zróżnicowana, taka też jawi się nasza opowieść, gdy przedzieramy się w nowe obszary stale rozrastającej się dżungli. Bernhard Riemann wspaniale potrafił wydobyć proste, ogólne idee kryjące się za pozornie złożonymi pojęciami. Jego wkład obejmuje prace w zakresie podstaw geometrii, zwłaszcza zakrzywione „rozmaitości”, bez których Albert Einstein nie sformułowałby swej rewolucyjnej teorii grawitacji, czyli ogólnej teorii względności. Oprócz tego znacznie przyczynił się do rozwoju teorii liczb pierwszych, wiążąc teorię liczb z analizą zespoloną za pośrednictwem wprowadzonej przez siebie „funkcji dzeta”. Hipoteza Riemanna, dotycząca miejsc zerowych tej funkcji, jest jednym z największych i najważniejszych nierozwiązanych problemów w całej matematyce, za którego rozwiązanie przewidziano nagrodę w wysokości miliona dolarów.

Następnym matematykiem jest Georg Cantor, który wprowadzając do matematyki teorię mnogości, przyczynił się do zmiany sposobu, w jaki matematycy myślą o podstawach swojej dziedziny wiedzy. Zdefiniował też nieskończone odpowiedniki liczb porządkowych 1, 2, 3, …, co doprowadziło do odkrycia, że niektóre nieskończoności są większe niż inne – w rygorystycznym, konstruktywnym i użytecznym sensie. Jak wielu nowatorów, Cantor był za życia niezrozumiany i wyśmiewany.

Teraz na scenie pojawia się nasza druga matematyczka, cudownie uzdolniona Zofia Kowalewska. Miała dość skomplikowane życie, zaplątała się bowiem w działalność rewolucyjną i musiała się borykać z przeszkodami, jakie wyrastały przed genialnymi intelektualistkami w zdominowanym przez mężczyzn społeczeństwie. Niesamowite jest już to, że w ogóle coś udało jej się osiągnąć w matematyce. Tym czymś były niezwykłe odkrycia dotyczące rozwiązania równań różniczkowych cząstkowych, ruchu bryły sztywnej, struktury pierścieni Saturna i załamania promieni świetlnych w kryształach.

Nasza opowieść nabiera tempa. Na przełomie wieków XIX i XX jednym z czołowych matematyków na świecie był Francuz Henri Poincaré. Z pozoru ekscentryk, w rzeczywistości był szalenie bystry. Docenił znaczenie rodzącej się gałęzi topologii – „geometrii gumowej płachty”, w której kształt może być deformowany w sposób ciągły – i znalazł jej rozszerzenie z dwóch wymiarów na trzy i więcej. Zastosował ją do równań różniczkowych, badając zagadnienie trzech ciał dla grawitacji newtonowskiej. Dzięki temu odkrył możliwość istnienia deterministycznego chaosu, pozornie losowego zachowania w nielosowym układzie. Był również bliski odkrycia przed Einsteinem szczególnej teorii względności.

Niemieckim odpowiednikiem Poincarégo był David Hilbert, w którego karierze można wyróżnić pięć osobnych okresów. W pierwszym poszedł linią rozumowania zapoczątkowaną przez Boole’a, a dotyczącą „niezmienników” – wyrażeń algebraicznych, które pozostają takie same mimo zmian współrzędnych. Następnie przygotował systematyczne opracowanie najważniejszych gałęzi teorii liczb. Później zabrał się do aksjomatów Euklidesa w geometrii, stwierdził, że są niepełne, i dodał jeszcze jeden, aby wypełnić luki logiczne. Potem zajął się logiką i podstawami matematyki, inicjując program, który miał dowieść, że można dokonać pełnej aksjomatyzacji i formalizacji całej matematyki, zachowując spójność (żadna dedukcja logiczna nie może prowadzić do sprzeczności) i zupełność (każde stwierdzenie można albo udowodnić, albo obalić). Na koniec zwrócił się ku fizyce matematycznej i niewiele brakowało, by wyprzedził Einsteina i sformułował ogólną teorię względności. Wprowadził pojęcie przestrzeni Hilberta, kluczowe dla mechaniki kwantowej.

Emmy Noether jest naszą trzecią matematyczką w zestawieniu, żyjącą w czasach, gdy większość wpływowych mężczyzn wciąż krzywo patrzyła na udział kobiet w życiu akademickim. Podobnie jak Hilbert zaczęła od teorii niezmienników i zdarzyło się, że w późniejszym czasie z nim współpracowała. Hilbert usilnie starał się przebić szklany sufit i zapewnić jej stałą posadę na uczelni, co częściowo się powiodło. Noether przecierała szlaki w algebrze abstrakcyjnej, wprowadzając struktury aksjomatyczne znane dzisiaj jako grupy, pierścienie i pola. Udowodniła też istotne twierdzenie wiążące symetrie praw fizyki z zachowywanymi wielkościami fizycznymi, takimi jak energia.

Nasza opowieść weszła w wiek XX. Aby pokazać, że wielkie zdolności matematyczne nie dotyczą tylko wykształconych przedstawicieli świata Zachodu, przyjrzymy się życiu i karierze hinduskiego geniusza, Srinivasy Ramanujana, który był samoukiem i pochodził z biednej rodziny. Miał niezwykłą umiejętność intuicyjnego odkrywania dziwnych, ale prawdziwych formuł. Jeśli ktokolwiek w historii matematyki mógł się z nim pod tym względem równać, to tylko giganci w rodzaju Eulera lub Carla Jacobiego. Dość mgliście pojmował zasady dowodzenia, ale znajdował formuły, o których ktokolwiek inny nie mógł nawet marzyć. Jego artykuły i zeszyty do dzisiaj eksploatowane są w poszukiwaniu świeżego spojrzenia.

Dwóch matematyków z zacięciem filozoficznym sprawia, że wracamy do podstaw tej dziedziny wiedzy i jej związku z obliczeniami. Pierwszym jest Kurt Gödel, który udowodnił, że każdy aksjomatyczny system arytmetyki musi być niezupełny i nierozstrzygalny, czym zdemolował program Hilberta, zmierzający do wykazania czegoś odwrotnego. Drugi to Alan Turing, którego badania zdolności programowalnego komputera doprowadziły do prostszego i bardziej naturalnego dowodu tych rezultatów. Znany jest zwłaszcza, oczywiście, z udziału w pracach zespołu łamiącego szyfry w Bletchley Park podczas drugiej wojny światowej. Jest też autorem testu Turinga, mającego wykrywać, czy sztuczna inteligencja opanowała sposób myślenia podobny do ludzkiego. Po wojnie pracował nad zagadnieniami biologii matematycznej. Był gejem, okoliczności jego tragicznej śmierci nie są do końca wyjaśnione.

Postanowiłem nie umieszczać w zestawieniu żadnych żyjących badaczy, ale na zakończenie opowieści pojawią się dwaj współcześni matematycy, którzy odeszli niedawno: jeden uprawiający matematykę czystą, drugi stosowaną (lecz również niekonwencjonalną). Tym drugim jest Benoît Mandelbrot, szeroko znany z prac nad fraktalami, strukturami geometrycznymi, które zachowują kształt we wszystkich skalach powiększenia. Fraktale często modelują naturę znacznie lepiej niż tradycyjne, gładkie powierzchnie, takie jak powierzchnie sfery lub walca. Choć kilku innych matematyków pracowało nad strukturami, które dzisiaj nazywamy fraktalami, Mandelbrot dokonał znacznego postępu, gdy dostrzegł ich potencjał w zakresie modelowania świata natury. Nie był typem matematyka swobodnie przeprowadzającego rygorystyczne dowody twierdzeń, ale miał za to intuicyjne wyczucie geometrii, które pozwalało mu dostrzegać zależności i formułować hipotezy. Był też po trosze showmanem i energicznie promował swoje idee. Nie zaskarbił sobie tym sympatii w środowisku matematyków, ale nie da się zadowolić wszystkich.

Na zakończenie opowieści wybrałem przedstawiciela czystej matematyki, matematyka matematyków, Williama Thurstona. Thurston również miał intuicyjne wyczucie geometrii, w szerszym i głębszym sensie niż Mandelbrot. Potrafił uprawiać matematykę opartą na rygorystycznych dowodach w najlepszym wydaniu, ale na późniejszych etapach kariery miał tendencję do skupiania się na twierdzeniach, a dowody nakreślał jedynie w ogólnym zarysie. W szczególności zajmował się topologią, w której dostrzegł niespodziewany związek z geometrią nieeuklidesową. Koniec końców idee te zainspirowały Grigorija Perelmana do znalezienia dowodu pewnej nieuchwytnej hipotezy w topologii, autorstwa Poincarégo. Zastosowana przez niego metoda pozwalała dowieść również bardziej ogólną hipotezę Thurstona, dotyczącą niespodziewanego spostrzeżenia na temat wszystkich rozmaitości trójwymiarowych.

* * *

W ostatnim rozdziale zbieram wątki, które pojawiały się we wszystkich 25 opowieściach o tych nadzwyczajnych osobach, starając się sformułować wnioski wynikające z obserwacji pionierów matematyki – kim są ci ludzie, jak pracują, skąd biorą swoje szalone pomysły, a przede wszystkim co motywuje ich do zajmowania się matematyką.

W tym miejscu jednak chciałbym dodać dwa zastrzeżenia. Po pierwsze, musiałem w dużym stopniu przeprowadzać selekcję materiałów, mając na uwadze fakt, że nie było miejsca na spisanie wyczerpujących biografii, wyszczególnienie wszystkich zagadnień, nad którymi moi pionierzy pracowali, albo zagłębienie się w szczegóły opisu, jak ich pomysły ewoluowały i jak wyglądały na przykład relacje z kolegami po fachu. Zamiast tego przedstawiam reprezentatywną próbkę najważniejszych – lub najbardziej interesujących – odkryć i koncepcji, dostarczając wystarczająco dużo szczegółów historycznych, aby nakreślić obraz ludzi i umiejscowić ich w społeczeństwie. W odniesieniu do niektórych matematyków żyjących w starożytności nawet taki szkic musi mieć bardzo szczątkowy charakter, ponieważ przetrwało niewiele materiałów źródłowych zawierających informacje o ich życiu (często brakuje nawet oryginalnych dokumentów dotyczących ich prac).

Po drugie, dokonanego przeze mnie wyboru 25 nazwisk żadną miarą nie należy traktować jako zestawienia jedynych znaczących postaci, które przyczyniły się do rozwoju matematyki. Mój wybór podyktowany był wieloma czynnikami – znaczeniem dla matematyki, własnym zainteresowaniem daną gałęzią, urokiem ludzkiej historii, okresem historycznym, poszukiwaniem różnorodności i tą nieuchwytną cechą, „równowagą”. Jeśli pominąłem waszych ulubionych matematyków, to najprawdopodobniej stało się to z powodu ograniczonej objętości i chęci dobrania bohaterów opowieści w taki sposób, aby jak najszerzej pokryć trójwymiarową rozmaitość, której współrzędnymi są położenie geograficzne, okres historyczny i płeć. Wierzę, że każdy w tym zestawieniu w pełni zasługuje na miejsce na kartach książki, choć jedna czy dwie postacie mogą wywoływać kontrowersje. Nie mam żadnych wątpliwości, że na podstawie porównywalnych kryteriów można by wybrać wielu innych matematyków.