Krótki kurs. Liczby - ebook

WPROWADZENIE

Celem tej niewielkiej książki jest wyjaśnienie, w języku, który będzie dla każdego zrozumiały, czym są różnego rodzaju liczby i jak się one zachowują. Liczby pozwalają na dokonywanie porównań między rzeczami, a każdy, kto nie rozumie liczb, będzie zagubiony w dzisiejszym świecie, w którym wszystko pojawia się przed nami w formie cyfrowej. Powinniśmy sobie jednak zdawać sprawę, że mimo obycia z nimi, liczby nie istnieją fizycznie, a raczej są abstrakcjami, uzyskiwanymi ze świata, w którym się znajdujemy. Aby pokazać jasny obraz tego, jak działają, czasami lepiej jest traktować je na ich własny sposób, bez odwoływania się do czegokolwiek innego.

To krótkie wprowadzenie nie ma na celu odświeżenia kursu arytmetyki, nie jest też opowieścią o historii systemów liczbowych. Jego celem jest raczej wyjaśnienie samych liczb i zachowań, które wykazują. Już pobieżne spojrzenie na tytuły rozdziałów pokazuje, że pierwsza część książki dotyczy przede wszystkich zwykłych obliczeń liczbowych, a druga idzie dalej. Dzięki analizie naturalnych problemów, które pojawiają się w biznesie i w nauce, potrzeba swobodnego wykonywania obliczeń zabiera nas, etapami, na arenę liczb zespolonych, co jest zasadniczym bazowym modelem większości zagadnień liczbowych. Może się to wydawać nieco przerażające, ale zapewniam, że cała ciężka praca została wykonana za was.

Nowoczesnego systemu liczbowego nie otrzymaliśmy w postaci zapakowanego prezentu, rozwijano go przez wiele wieków. Były w tym czasie długie okresy niezrozumienia, które miały dwie podstawowe przyczyny. Pierwszą był brak skutecznych sposobów reprezentowania liczb, który jest potrzebny do manipulowania nimi. Drugi, powiązany z pierwszym, to udręka filozoficzna związana z interpretacją różnych rodzajów liczb i tego, czy mają one istotne znaczenie, czy nie. Dziś jesteśmy znacznie bardziej pewni siebie w kwestii tego, co stanowi kłopot, a co nie, a to umożliwia nam otrzymanie pełnego obrazu świata liczb w krótkim podsumowaniu, takim jak to. Nie chcę przez to powiedzieć, że znikła cała tajemnica – z pewnością nie, o czym się zresztą przekonacie w miarę czytania.

Peter M. Higgins
Colchester, Anglia 2011ROZDZIAŁ 1
JAK NIE MYŚLEĆ O LICZBACH

Jesteśmy przyzwyczajeni, aby myśleć o liczbach w postaci pisanej i wyciągać z tego sens. Jednak cyfra taka jak 6 i liczba, którą ona reprezentuje, to dwie różne sprawy. Na przykład w systemie liczb rzymskich zapisalibyśmy liczbę sześć jako VI, ale zdajemy sobie sprawę, że to taka sama liczba jak 6 w nowoczesnym zapisie. Obie symbolizują pewnego rodzaju zestaw odpowiadający sześciu patyczkom: I I I I I I. Najpierw spędzimy trochę czasu, rozpatrując różne sposoby prezentowania liczb i myślenia o nich.

Czasami rozwiązujemy problemy, nawet nie zdając sobie z tego sprawy. Przypuśćmy na przykład, że prowadzimy spotkanie i chcemy wszystkim dać kopię agendy. Możemy sobie z tym poradzić, oznaczając każdą kopię inicjałami osoby, dla której jest przeznaczona. Jeśli nie zabraknie nam kopii przed ukończeniem tego procesu, będziemy wiedzieć, że mamy wystarczającą liczbę egzemplarzy. Rozwiązaliśmy więc ten problem bez wykorzystywania arytmetyki i jawnego liczenia. Do wykorzystania są liczby, które nam pomagają i pozwalają na precyzyjne porównanie jednego zestawu z drugim, choć elementy obu są zupełnie innego rodzaju, jak w tym przypadku, gdzie jeden zbiór jest zestawem ludzi, a drugi składa się z kawałków papieru. Liczby pozwalają na porównywanie względnej wielkości jednego zbioru z drugim.

W poprzednim scenariuszu nie musieliśmy się martwić, ilu ludzi jest na spotkaniu, bo nie musieliśmy tego wiedzieć – nasz problem dotyczył tego, czy liczba kopii agendy jest nie mniejsza niż liczba ludzi, a same liczby nie były potrzebne. Będziemy jednak musieli policzyć ludzi przy zamawianiu obiadu dla piętnastu osób, a zwłaszcza gdy przyjdzie do regulowania rachunku za posiłek, gdzie ktoś będzie musiał wykorzystać arytmetykę, by wyliczyć jego dokładny koszt, nawet jeśli sumowanie wykonywane jest na kalkulatorze.

Nasz nowoczesny system liczbowy pozwala wyrażać liczby w skuteczny i jednolity sposób, co ułatwia porównywanie ich ze sobą i wykonywanie działań arytmetycznych, które pojawiają się podczas obliczeń. W codziennym świecie stosujemy w naszej arytmetyce podstawę równą dziesięć, czyli liczymy dziesiątkami, a robimy tak ze względu na to, że mamy dziesięć palców. To, co sprawia, że liczby są tak wydajne, nie wynika jednak z naszego wyboru podstawy, lecz z wykorzystania wartości pozycyjnej w reprezentacji liczb, gdzie wartość cyfry zależy od miejsca w łańcuchu cyfr. Na przykład 1984 jest skrótem od 4 jedynek plus 8 zestawów po dziesięć plus 9 setek plus 1 tysiąc.

Trzeba koniecznie zrozumieć, co mamy na myśli, gdy piszemy liczby w określony sposób. W tym rozdziale pomyślimy o tym, co one reprezentują, odkryjemy różne podejścia do liczenia, napotkamy bardzo ważne zbiory liczb (liczby pierwsze) i wprowadzimy pewne proste triki ich znajdowania.

Jak rozwiązano problem liczenia

Warto poświęcić kilka chwil na to, aby zdać sobie sprawę, że istnieją dwa oddzielne etapy procesu budowania systemu liczenia opartego na, przykładowo, dziesięciu. Dwa podstawowe zadania, które zadajemy dzieciom, to zapamiętanie kolejności liter w alfabecie i nauka liczenia. Nasz język opiera się na alfabecie złożonym z 26 liter, a każda litera odpowiada, z grubsza biorąc, dźwiękowi używanemu przy wymawianiu słów. Język angielski rozwinął się tak, aby można go było zapisać za pomocą 26 symboli. Jednak bez ustale-nia kolejności liter w alfabecie nie możemy tworzyć słowników. Nie ma naturalnej kolejności, a ta, której nauczono nas w szkole – a, b, c, d, … – jest z pewnością dość arbitralna. Litery występujące na początku alfabetu są częściej używane niż te z jego drugiej połowy, ale tylko z grubsza, bo popularne litery, takie jak s czy t, znajdują się na końcu kolejki. Natomiast liczniki, czyli tak zwane liczby naturalne, 1, 2, 3, …, otrzymujemy w kolejności, na przykład 3 oznacza liczbę, która następuje po 2, więc musi być podana po niej. Do pewnego momentu możemy utworzyć nową nazwę dla kolejnej liczby. Prędzej czy później jednak musimy się poddać i zacząć grupowanie liczb, aby dać sobie radę z niekończącymi się ciągami. Grupowanie dziesiątkami reprezentuje pierwszy etap rozwoju solidnego systemu liczbowego, a podejście to stało się niemal uniwersalne w całej historii i na całym świecie.

Było jednak wiele różnic w szczegółach. System rzymski opiera się na grupowaniu w piątki i dziesiątki jednocześnie, z zastosowaniem specjalnych symboli V i L, oznaczających odpowiednio pięć i pięćdziesiąt. Starożytni Grecy używali określonych liter do oznaczania liczb, czasami przekreślonych, żeby było wiadomo, że symbol należy czytać jako liczbę, a nie literę w zwykłym słowie. Na przykład π oznaczało 80, a γ 3, a więc mogli napisać πγ, aby oznaczyć 83. Może to wyglądać tak samo wydajnie i bardzo podobnie jak w naszym zapisie, ale tak nie jest. Grecy także nie dostrzegali idei systemu pozycyjnego, gdyż wartość każdego z ich symboli była ustalona. W szczególności γπ mogło dla nich nadal oznaczać 3 + 80, podczas gdy dla nas przestawienie cyfr daje inną liczbę: z 83 robi się 38.

W systemie indyjsko-arabskim osiągnięto drugi etap reprezentacji liczb. Wspaniałą ideą tego systemu jest to, aby wartość symbolu zależała od miejsca, jakie zajmuje on w ciągu. Pozwala to na wyrażenie każdej liczby za pomocą ustalonej liczby symboli. Ustaliliśmy zbiór dziesięciu cyfr 0, 1, …, 9, więc zwykły system liczbowy jest opisany dla podstawy 10, ale można zbudować system liczbowy z większym lub mniejszym zestawem podstawowych symboli. Możemy dać sobie radę z tylko dwoma symbolami, powiedzmy 0 i 1, co jest znane jako system binarny, czyli dwójkowy, tak często używany przy obliczeniach komputerowych. Jednak to nie wybór podstawy był rewolucyjny, ale idea wykorzystania pozycji, aby podać dodatkowe informacje o tożsamości liczb.

Na przykład gdy piszemy liczbę jako 1905, wartość każdej cyfry zależy od jej miejsca w ciągu liczbowym. Jest tu 5 jednostek, 9 setek (które mają wartość 10 × 10) i jeden tysiąc (czyli 10 × 10 × 10). Użycie symbolu zera jest ważne dla zaznaczenia pozycji. W przypadku 1905 nie ma żadnych dziesiątek, ale nie możemy zignorować tego faktu i napisać 195, gdyż reprezentuje to całkiem inną liczbę. W istocie każdy ciąg cyfr reprezentuje inną liczbę, a dzięki temu zapisowi ogromne liczby mogą być reprezentowane w postaci krótkich ciągów. Na przykład możemy przypisać unikatową liczbę każdemu człowiekowi na ziemi, wykorzystując ciągi nie dłuższe niż dziesięć cyfr, nadając w ten sposób każdej osobie należącej do tego ogromnego zbioru osobisty identyfikator.

Społeczeństwa używały w przeszłości innych podstaw do zapisu liczb, ale jest to znacznie mniej istotne niż fakt, że niemal żadne z nich nie używały pełnego systemu pozycyjnego z pełnym wykorzystaniem zera do zaznaczenia miejsca. Biorąc pod uwagę, jak dawno temu powstała cywilizacja babilońska, niezwykłe jest to, że wśród wszystkich ludów starożytnego świata jej uczeni byli najbliżej systemu pozycyjnego. Nie potrafili jednak w pełni ująć nienaturalnej liczby, jaką jest 0, i unikali stosowania pustego rejestru na ostatniej pozycji, pozwalającego odróżnić na przykład 830 od 83.

Przeszkodą koncepcyjną, konieczną do pokonania, było uświadomienie sobie, że zero jest w istocie liczbą. Trzeba zwrócić uwagę, że zero nie jest ani dodatnie, ani ujemne, ale mimo to jest liczbą i bez włączenia jej do systemu liczbowego w całkiem spójny sposób pozostajemy upośledzeni. Ten ważny końcowy krok został wykonany w Indiach około XI wieku naszej ery. Nasz system liczbowy, zwany indyjsko-arabskim, dotarł do Europy przez Arabię.

Życie z ułamkami dziesiętnymi i bez nich

Oczywiście rozszerzyliśmy ideę systemu pozycyjnego przy podstawie dziesięć na części ułamkowe, co dało znany nam system dziesiętny. Gdy na przykład piszemy 3,14, to 1 po przecinku oznacza wielkość , część dziesiętną, a 4 analogicznie oznacza . Ta postać dwóch miejsc dziesiętnych tworzy dobrze nam znany umowny dziesiętny system walutowy, gdzie najmniejszą jednostką nie jest jeden dolar, funt czy euro, ale „pens” lub „cent”, będący jedną setną podstawowej jednostki pieniężnej. Arytmetyka dziesiętna jest naturalnym przedłużeniem systemu przy podstawie dziesięć i w praktyce reprezentuje najlepszy sposób wykonywania zwykłych sumowań. Mimo swoich zalet podejście dziesiętne rodziło się powoli i wśród wahań. Pozostawało na uboczu matematycznej elity aż do drugiej połowy XVI wieku, gdy wreszcie przebiło się do komercyjnej arytmetyki i weszło do powszechnego zastosowania. Nawet potem utrzymywało się grupowanie liczb przy innych podstawach niż dziesięć. Wielka Brytania nie przyjęła systemu dziesiętnego do roku 1971. Część anglojęzycznego świata nadal trzyma się jardów, stóp i cali. W obronie jednostek imperialnych trzeba powiedzieć to, że mają wygodne rozmiary i są dostosowane do ludzkiej skali. Nasze ręce mają długość od sześciu do ośmiu cali i mamy pięć do sześciu stóp wzrostu, więc jesteśmy otoczeni przedmiotami o znajomych rozmiarach, które potem łatwo można zmierzyć w takich jednostkach jak stopy czy cale. Jednak dziesięć cali w stopie całkiem dobrze by pasowało, a byłoby łatwiej się nimi posługiwać, wykorzystując współczesne kalkulatory.

Przyjęcie określonej postawy systemu liczb przypomina umieszczenie na mapie siatki o określonej skali. Nie jest ona czymś nieodłącznym dla obiektu, ale pasuje do systemu współrzędnych nałożonego na niego jako środek kontrolny. Nasz wybór podstawy ma charakter arbitralny, a wyłączne używanie systemu przy podstawie dziesięć sytuuje nas w wąskich ramach zbioru liczebników: 1, 2, 3, 4, … Dopiero po odsłonięciu tej zasłony możemy zobaczyć liczby bezpośrednio, takimi, jakie są naprawdę. Gdy wspominamy o konkretnych liczbach, powiedzmy o czterdzieści dziewięć, każdy z nas ma w głowie obraz dwóch cyfr 49. Jest to dość nieuczciwe wobec tej liczby, że natychmiast rzutujemy 49 na (4 × 10) + 9. Ponieważ 49 = (4 × 12) + 1, można by łatwo myśleć o tej liczbie, stosując podstawę dwanaście, zapisując ją jako 41, gdzie cyfra 4 oznacza 4 zestawy po 12. Jednak tym, co liczbie czterdzieści dziewięć nadaje charakter, jest fakt, że stanowi ona iloczyn 7 × 7, znany jako 7 do kwadratu. Ten aspekt jej osobowości jest wyrażany przy podstawie siedem, a wtedy liczba czterdzieści dziewięć jest reprezentowana jako 100, gdyż 1 oznacza teraz jeden zestaw 7 × 7.

Równie dobrze moglibyśmy w naszym systemie liczbowym używać innej podstawy, takiej jak 12. Majowie używali 20, a Babilończycy 60. W jednym aspekcie 60 to dobry wybór do obliczeń, gdyż podstawa 60 ma wiele podzielników, będąc najmniejszą liczbą podzielną przez liczby od 1 do 6. Względnie duża liczba 60 ma jednak tę wadę, że wymaga wprowadzenia 60 oddzielnych symboli oznaczających wartości od 0 do 59.

Jedna liczba jest dzielnikiem drugiej, jeśli pierwsza z nich może podzielić drugą całkowitą liczbę razy. Na przykład 6 jest dzielnikiem 42 = 6 × 7, ale 8 nie jest dzielnikiem 28, gdyż 8 mieści się w niej 3 razy i daje resztę 4. Cecha posiadania wielu dzielników w podstawie systemu jest wygodna i dlatego 12 mogłoby być lepszym wyborem niż 10, gdyż na liście podzielników 12 są 1, 2, 3, 4, 6 i 12, podczas gdy 10 jest podzielne tylko przez 1, 2, 5 i 10.

Skuteczność i zwykła znajomość naszego systemu liczbowego wypełnia nas błędnym przekonaniem z pewnymi ograniczeniami. Czujemy się lepiej z pojedynczą liczbą całkowitą niż z wyrażeniem arytmetycznym. Na przykład większość ludzi woli mówić o 5969 niż o 47 × 127, choć oba wyrażenia przedstawiają to samo. Dopiero po „uzyskaniu odpowiedzi”, 5969, czujemy, że „mamy” tę liczbę i możemy się z nią zmierzyć. Jest w tym jednak złudny element, gdyż jedynym, co zrobiliśmy, jest zapisanie liczby w postaci potęg dziesięciu. Ogólny kształt liczby i inne jej cechy można lepiej wywnioskować z postaci alternatywnej, w której liczba jest rozłożona na iloczyn czynników. Z pewnością standardowa postać, 5969, pozwala na bezpośrednie porównanie z innymi liczbami wyrażonymi w ten sam sposób, ale nie ujawnia to w pełni natury liczby. W rozdziale 4 zobaczymy powód, dla którego postać rozłożona na czynniki może być cenniejsza niż reprezentacja przy podstawie dziesięć, co pozostawia w ukryciu istotne elementy.

Jedna przewaga, jaką mieli nad nami starożytni, polega na tym, że nie znajdowali się w mentalnej pułapce myślenia dziesiętnego. Było dla nich naturalne, że gdy chodziło o wzorce liczbowe, rozumowali w kategoriach cech geometrycznych, które może przejawiać dana liczba. Na przykład liczby takie jak 10 i 15 są trójkątne, co można zobaczyć w trójkątnym ustawieniu dziesięciu kręgli i trójkątnym pojemniku na piętnaście kul bilardowych. Ale nie przychodzi to do głowy na podstawie samych liczb w systemie przy podstawie dziesięć. Swobodę, którą w sposób naturalny przejawiali starożytni, odzyskamy, odkładając na bok nasze przesądy związane z podstawą dziesięć i mówiąc sobie, że możemy myśleć o liczbach na bardzo różne sposoby.

Uwolniwszy się więc w ten sposób, możemy się skupić na rozkładzie liczby na czynniki, czyli na sposobie zapisania liczby w postaci iloczynu mniejszych liczb. Rozkład na czynniki, inaczej faktoryzacja, ujawnia nieco z wewnętrznej struktury liczby. Jeśli przestaniemy myśleć o liczbach jako o czymś służebnym wobec handlu i nauki, a poświęcimy trochę czasu na badanie ich jako takich, bez odniesienia się do czegokolwiek innego, ujawni się wiele rzeczy, które wcześniej pozostawały w ukryciu. Natura pojedynczych liczb może się przejawiać w uporządkowanych wzorcach występujących w naturze, bardziej subtelnie niż tylko jako trójkąty i kwadraty, jak na przykład spiralna tarcza słonecznika, która reprezentuje tak zwany ciąg liczb Fibonacciego, omawiany w rozdziale 5.

Spojrzenie na ciągi liczb pierwszych

Jedna z zalet liczb jest tak oczywista, że można ją łatwo przeoczyć – każda liczba jest wyjątkowa. Każda ma własną strukturę, inaczej mówiąc własny charakter. Osobowość poszczególnych liczb jest ważna, gdyż gdy liczba się pojawia, jej natura ma wpływ na strukturę zbioru, do którego ta liczba się zalicza. Istnieją też związki między liczbami, które ujawniają się podczas przeprowadzania podstawowych działań dodawania i mnożenia. Jasne jest, że każda liczba naturalna większa od 1 może być wyrażona jako suma mniejszych liczb. Jednak gdy zaczniemy mnożyć liczby przez siebie, szybko zauważmy, że niektóre nigdy pojawią się jako odpowiedź na mnożenie. Te liczby to liczby pierwsze i stanowią podstawowe elementy mnożenia.

Liczba pierwsza to taka liczba jak 7, 23 lub 103, która ma dokładnie dwa dzielniki – są nimi 1 i ona sama (czasami dzielnik określa się słowem czynnik, co jest równoważne). Liczby 1 nie zaliczamy do liczb pierwszych, gdyż ma tylko jeden dzielnik. Pierwszą liczbą pierwszą jest więc 2, która jest jedyną parzystą liczbą pierwszą, a potem mamy trzy liczby nieparzyste 3, 5 i 7. Liczby większe od 1, które nie są pierwszymi, nazywa się liczbami złożonymi, gdyż składają się z mniejszych liczb. Liczba 4 = 2 × 2 = 2² to pierwsza liczba złożona, a 9 to pierwsza nieparzysta liczba złożona, przy czym 9 = 3² to także kwadrat. W przypadku liczby 6 = 3 × 2 mamy do czynienia z pierwszą naprawdę złożoną liczbą, która składa się z dwóch różnych czynników, większych od 1, ale mniejszych od samej liczby, a 8 = 2³ jest pierwszym sześcianem foremnym, co jest określeniem na liczbę równą innej liczbie podniesionej do potęgi 3.

Po liczbach złożonych z jednej cyfry mamy naszą wybraną podstawę systemu liczbowego 10 = 2 × 5, która jest również szczególna jako liczba trójkątna 10 = 1 + 2 + 3 + 4 (pamiętajmy o ustawieniu dziesięciu kręgli). Potem mamy parę bliźniaczych liczb pierwszych 11 i 13, które są kolejnymi liczbami nieparzystymi pierwszymi, oddzielonymi przez liczbę 12 (mającą jak na swoją wielkość wiele czynników). Istotnie 12 jest pierwszą tak zwaną liczbą obfitą, gdyż suma jej właściwych czynników przekracza samą liczbę: 1 + 2 + 3 + + 4 + 6 = 16. Liczba 14 = 2 × 7 wydaje się niczym nie wyróżniać, ale paradoksalny żart mówi, że jako pierwsza niewyróżniająca się liczba tym właśnie się wyróżnia. Liczba 15 = 3 × 5 to kolejna liczba trójkątna i jest to pierwsza liczba nieparzysta będąca iloczynem dwóch właściwych czynników. Oczywiście 16 = 2⁴ i jest ona nie tylko kwadratem, lecz także jest pierwszą czwartą potęgą (poza 1), co sprawia, że jest w istocie szczególna. Para 17 i 19 to kolejna para bliźniaczych liczb pierwszych. Czytelnikom pozostawiam wnioski na temat dziwnej natury liczb 18, 20 i tak dalej. Każda z nich może się ubiegać o sławę.

Wracając do liczb pierwszych, oto pierwszych dwadzieścia:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71.

Jest jasne, że blisko początku liczby pierwsze występują częściej, gdyż jest mała szansa, że małe liczby mają dzielniki. Dalej liczby pierwsze są coraz rzadsze. Na przykład jest tylko jedna trójka kolejnych nieparzystych liczb pierwszych: 3, 5, 7, gdyż każda co trzecia liczba nieparzysta jest wielokrotnością 3, więc nie może to się więcej zdarzyć. Proces coraz rzadszego występowania liczb pierwszych jest jednak ciekawie i zaskakująco nieregularny. Na przykład wśród trzydziestek mamy tylko dwie liczby pierwsze: 31 i 37, ale zaraz po liczbie 100 występują dwie „kolejne” pary bliźniaczych liczb pierwszych: 101, 103 i 107 i 109.

Liczby pierwsze były przez tysiące lat źródłem fascynacji, gdyż nigdy się nie wyczerpują (twierdzenie to uzasadniam w następnym rozdziale), ale pojawiają się wśród liczb naturalnych w pewien chaotyczny sposób. Ta tajemnicza i nieprzewidywalna strona ich natury jest wykorzystywana we współczesnej kryptografii do ochrony tajemnicy komunikowania się przez internet, co jest tematem rozdziału 4.

Sprawdzanie, czy liczba jest pierwsza: test podzielności

Najprostszy sposób znajdowania liczb pierwszych do danej wartości, na przykład do 100, polega na zapisaniu wszystkich liczb i wykreśleniu znalezionych liczb złożonych. Standardowa metoda oparta na tej idei nazywa się sitem Eratostenesa i ma następujący przebieg. Zaczynamy od zakreślenia kółkiem liczby 2, a następnie wykreślenia z naszej listy wszystkich wielokrotności dwóch (liczb parzystych). Następnie wracamy do początku, zakreślamy pierwszą niewykreśloną liczbę (którą jest 3), a potem wykreślamy z listy jej wielokrotności. Dzięki powtarzaniu tego procesu wystarczająco dużo razy liczby pierwsze pojawią się jako te, które nie zostały wykreślone, choć niektóre mogą być zakreślone, a inne nie. Rysunek 1 pokazuje przykład działania tego sita do 60.

Skąd wiadomo, kiedy skończyć przesiewanie? Trzeba powtarzać ten proces do momentu, w którym zakreślimy kółkiem liczbę większą od pierwiastka kwadratowego największej liczby na liście. Jeśli na przykład zrobicie własne sito do liczby 120, trzeba działać, idąc po sicie mnożników 2, 3, 5 i 7. Gry zakreślicie 11, możecie się zatrzymać, gdyż 11² = 121. W tym punkcie zakreśliliście liczby do pierwszej liczby pierwszej przekraczającej pierwiastek kwadratowy największej liczby (w tym przypadku było to 120). Wszystkie liczby złożone są teraz wykreślone, gdyż każda jest wielokrotnością 2, 3, 5 i 7.

Rysunek 1. Sito liczb pierwszych: liczby pierwsze do 60 to te, które nie są wykreślone