Matematyka finansowa - ebook

WSTĘP

W dzisiejszych czasach, kiedy praktycznie wszystko sprowadza się do pieniędzy, świadomość finansowa staje się podstawową kompetencją, którą powinien posiadać każdy, zwłaszcza w gospodarce rozwijającej się – takiej jak polska – wyrównującej zaległości rozwojowe, gdzie świadomość ekonomiczna jest niska i bezwzględnie wykorzystywana przez otoczenie gospodarcze na każdym kroku – zarówno przez bankowców, ubezpieczycieli, jak i, a może przede wszystkim, polityków. Każdemu przydałaby się umiejętność samodzielnego oszacowania, ile pieniędzy można by uzbierać dziecku na 18. urodziny, inwestując od jego narodzin „500+”, zweryfikowania opłacalności oferty funduszu emerytalnego, w którym chce się odkładać pieniądze na starość, czy ustalenia wielkości możliwych do uzyskania odsetek od lokat bankowych. Przydatna w tym względzie jest właśnie matematyka finansowa. To ona dowodzi również, że kapitał nie przyrasta wcale tak szybko, jak się wydaje, a na jego podwojenie, przy niskich stopach procentowych, które mamy obecnie, trzeba czekać przeszło pół wieku, a także, że odsetki od 30-letniego kredytu mieszkaniowego wyniosą praktycznie drugie tyle co pożyczona kwota. To ona pozwala wreszcie określić, o ile mniej korzystna jest spłata kredytu w ratach równych niż w malejących, jak bardzo musiałaby się osłabić złotówka, by kredyt walutowy stał się droższy od złotówkowego, czy aby na pewno stać nas na kolejny kredyt, mimo że stopy procentowe są niskie jak nigdy dotąd, i wreszcie – ile wart jest instrument finansowy, w który chcielibyśmy zainwestować swoje pieniądze.

Znajomość zasad matematyki finansowej pozwala na spokojnie, w zaciszu domowym oszacować swoje możliwości i potrzeby finansowe, a także obiektywnie porównać różne możliwości, bez ulegania naciskom pracowników instytucji finansowych (reprezentujących przecież interes instytucji, a nie nasz) i polegania na ich nierzadko ograniczonej wiedzy (bo być może – jak wielu – nie lubili matematyki w szkole). Pozwala wreszcie trafniej ocenić skutki działań polityków i ich propozycji wyborczych, a tym samym zapobiec szkodliwej dla przyszłego rozwoju gospodarczego i poziomu życia następnych pokoleń nadmiernej ekspansji fiskalnej. A powyższe przykłady to zaledwie tylko kilka wybranych dylematów finansowych, przed którymi stajemy na co dzień i których z dekady na dekadę będzie coraz więcej. To skutek dynamicznego wzrostu ilości kapitału na światowych rynkach finansowych, co ułatwia dostęp do niego, a tym samym zwiększa możliwości inwestycyjne oraz przyśpiesza spiralę zadłużeniową. Dlatego znajomość podstaw matematyki, a przede wszystkim przełamanie powszechnej w Polsce niechęci do niej i finansów, jest dziś nieodzowne. Warunkuje bowiem sukces finansowy każdego obywatela i całej gospodarki. Oddajemy więc w ręce czytelnika książkę, której wiodącym celem jest pokazanie, że matematyka, a zwłaszcza matematyka finansowa, jest przydatna w życiu codziennym i wcale nie taka trudna.

Książka powstała na bazie wieloletnich doświadczeń zawodowych i dydaktycznych jej autorów, którzy postanowili stworzyć opracowanie prezentujące w łatwy i przystępny sposób zawiłe nieraz zagadnienia matematyki finansowej, pokazując jednocześnie ich praktyczny wymiar i możliwość wykorzystania w codziennych decyzjach finansowych. Autorzy chcieli pokazać, że zabawa z prostymi obliczeniami wystarczy, by nabyć wprawy wystarczającej do tego, aby samodzielnie szacować wielkości finansowe, porównywać i oceniać opłacalność inwestycji, a tym samym bardziej świadomie podejmować decyzje ważące na naszym życiu. To naprawdę nietrudne, potrzebna jest tylko praktyka. Wystarczy umiejętność mnożenia, dzielenia, dodawania i odejmowania oraz obsługi kalkulatora lub arkusza kalkulacyjnego nawet do obliczania wyników piętrowych wzorów, które po rozwiązaniu kilku przykładów przestają straszyć. I nikt nie każe znać ich na pamięć. Internet daje nam do nich stały swobodny dostęp.

Książka jest przeznaczona dla każdego, kto już inwestuje pieniądze lub chciałby to robić w przyszłości, kto potrzebuje kapitału i planuje go pozyskać, zaciągając kredyt lub pożyczkę. Zawarte w niej informacje pomogą zrozumieć otaczające nas zależności finansowe i podejmować optymalne decyzje. Mogą z niej korzystać zarówno studenci matematyki, jak i kierunków ekonomicznych. Tym pierwszym pokaże ona praktyczny wymiar teorii matematycznych, zazwyczaj zupełnie pomijany w trakcie ich studiów, tym drugim natomiast, że to właśnie matematyka stoi u podstaw współczesnych finansów, bo to na niej bazują np. dochodowe metody wyceny wartości przedsiębiorstwa, instrumentów finansowych czy opłacalności inwestycji. Ze względu na sposób przedstawiania poruszanych zagadnień mogą z niej korzystać zarówno osoby, które dopiero rozpoczynają naukę matematyki finansowej, jak i te, które chcą utrwalić i rozszerzyć poznane wcześniej zagadnienia. Prezentowane treści mogą być również przydatne osobom zajmującym się zawodowo finansami lub doradztwem inwestycyjnym, a zwłaszcza pracownikom zatrudnionym w sektorze bankowym i ubezpieczeniowym. Książka będzie również niezwykle cenna dla kandydatów przygotowujących się do organizowanych przez Komisję Nadzoru Finansowego egzaminów na maklera papierów wartościowych, doradcę inwestycyjnego, brokera ubezpieczeniowego oraz brokera reasekuracyjnego, aktuariusza czy pośrednika kredytu hipotecznego. Skorzystają z niej także osoby starające się o uzyskanie licencji certyfikowanego analityka inwestycyjnego (CAI) oraz licencji CIIA (udzielanej przez międzynarodową instytucję _Association of Certified International Investment Analysts_), do której przygotowuje w Polsce (i certyfikuje) Związek Maklerów i Doradców, jak również cenionej w świecie finansów licencji CFA (udzielanej przez amerykański _Chartered Financial Analyst Institute_).

Książka składa się z sześciu rozdziałów prezentujących najważniejsze zagadnienia matematyki finansowej i praktyczne możliwości jej wykorzystania. Każdy rozdział rozpoczyna się od przedstawienia zagadnień teoretycznych, omówienia najczęściej stosowanych metod i wzorów, z jednoczesnym pokazaniem, skąd się wzięły i dlaczego mają taką postać. Ich prawidłowe zrozumienie mają ułatwić liczne przykłady liczbowe pokazujące praktyczne sposoby wykorzystania omawianej problematyki. Przykłady są dostosowane do aktualnej sytuacji gospodarczej i uwzględniają istniejące obecnie uwarunkowania prawne. Autorzy, omawiając zagadnienia teoretyczne, zwracają również uwagę na stosowane często uproszczenia, które przy niskich kwotach kapitału wydają się nieistotne, bo dają wyniki zbliżone do rzeczywistych, ale jednak nie są zgodne z kluczowymi zasadami matematyki finansowej. Po każdym rozdziale zebrano pytania kontrolne, wskazujące na najważniejsze informacje i umiejętności, jakie czytelnik powinien zdobyć, a także liczne zadania do samodzielnego rozwiązania wraz z odpowiedziami.

Pierwszy rozdział został poświęcony omówieniu pojęcia stopy procentowej – najważniejszego parametru mającego wpływ na zmianę wartości pieniądza w czasie. Przedstawiono w nim rodzaje stóp procentowych występujących w gospodarce oraz główne czynniki wpływające na ich poziom. Zwrócono uwagę na różnice w pojęciach procentu i punktu procentowego, wciąż przez wielu niedostrzegane, a także pokazano, jak korzystać z kalkulatora matematycznego czy arkusza kalkulacyjnego. W rozdziale drugim omówiono sposoby wyznaczania zmiany wartości pieniądza w czasie dla pojedynczych płatności. Na przykładach zaprezentowano zasady naliczania odsetek prostych i złożonych, stanowiących trzon matematyki finansowej, oraz przedstawiono pojęcia kapitalizacji i związanej z nią efektywnej stopy procentowej, a także powiązanie stopy efektywnej z dochodowością. Kolejny rozdział porusza problematykę przepływów pieniężnych – czyli szeregów płatności. Pokazano w nim zasady wyznaczania ich wartości przyszłej i obecnej, na których bazuje wiele współczesnych koncepcji finansów przedsiębiorstwa i rynku finansowego. Rozdział czwarty został poświęcony bardzo ważnemu w matematyce finansowej zagadnieniu rent, czyli szeregom jednakowych płatności. Przedstawiono ich szczegółową klasyfikację, uwzględniającą różne istniejące kryteria podziału, a następnie teoretycznie i praktycznie omówiono każdy wyodrębniony rodzaj. W rozdziale tym przedstawiono również kwestie dotychczas pomijane w innych książkach z zakresu matematyki finansowej, tj. renty niekapitalizowane, czyli bazujące na rachunku odsetek prostych, a także możliwości ich połączenia z powszechnie wykorzystywanymi rentami kapitalizowanymi, czyli bazującymi na rachunku odsetek złożonych. W ten sposób autorzy pokazali właściwą ścieżkę dojścia do prawidłowego wyniku końcowego w przypadku bardziej zaawansowanych rent, konfrontując zaproponowane rozwiązania z licznymi uproszczeniami i wprowadzając nowe nazewnictwo stosowanych metod i zasad, jak np. metoda dekompozycji pionowej i poziomej renty czy zasada jednego kierunku.

Dwa ostatnie rozdziały pokazują natomiast możliwości wykorzystania omówionych wcześniej zagadnień. Rozdział piąty w całości poświęcono kredytom i pożyczkom, skupiając się na ukazaniu zasad ustalania ich kosztów. Szczegółowo omówiono zasady sporządzania planu spłaty, a także pokazano jak dokonać jego modyfikacji w sytuacji zmiany oprocentowania lub pojawienia się trudności finansowych kredytobiorcy. Zwrócono również uwagę na nabierające coraz większego znaczenia pozaodsetkowe koszty kredytu, które stanowią szczególny problem w przypadku bardzo krótkoterminowych pożyczek zwanych potocznie chwilówkami. Wskazano więc na rozwiązania prawne regulujące maksymalne pozaodsetkowe koszty kredytu konsumenckiego i duże trudności w porównywaniu dostępnych ofert przy wykorzystaniu obowiązującego miernika, jakim jest RRSO. Zasady wyliczania jego wartości, ujęte w ustawie o kredycie konsumenckim, poddano wnikliwej analizie wykazując, że nie pokazuje on rzeczywistego rocznego oprocentowania lecz oprocentowanie efektywne, co zawyża koszt długu i powoduje, że wartość RRSO dla pożyczek na bardzo krótkie terminy sięga tysięcy procent. W rozdziale wyjaśniono też problem kredytów walutowych, które wciąż stanowią istotne obciążenie dla wielu Polaków, zwłaszcza że zrozumienie zasad rządzących światem zobowiązań walutowych w zglobalizowanym dziś świecie warunkuje rozwój gospodarczy Polski – kraju silnie uzależnionego od handlu zagranicznego i zewnętrznego kapitału, a nieposiadającego euro.

Ostatni rozdział pokazuje praktyczne możliwości wykorzystania matematyki finansowej w wycenie instrumentów finansowych rynku kapitałowego. Zagadnienie to jest niezwykle ważne dla każdego inwestora – pozwala skonfrontować rzeczywistą wartość instrumentu finansowego z jego ceną rynkową i ułatwia podjęcie trudnej decyzji inwestycyjnej. W rozdziale przedstawiono wypracowane przez teorię i stosowane w praktyce modele wyceny dwóch najbardziej popularnych instrumentów rynku kapitałowego – akcji i obligacji, zwracając również uwagę na poprawność zastosowania w obliczeniach zasad matematyki finansowej.

Mamy nadzieję, że nasza książka spełni zakładane cele, a czytelnikom życzymy pożytku z wdrożenia jej treści w praktyce.

AutorzyPRZYPISY

Rozdział 1

1 Przy założeniu, że całą kwotę spłacimy jednorazowo po roku.

2 Polityka pieniężna to obok polityki fiskalnej druga najsilniejsza polityka wchodząca w skład polityki gospodarczej państwa – tzn. dysponująca najsilniejszymi narzędziami oddziaływania na przebieg procesów gospodarczych.

3 Dane te dotyczą zadłużenia 113 gospodarek, które odpowiadają za 94% globalnego PKB.

4 ON (ang. _over night_) – oprocentowanie jednodniowego depozytu złożonego od zaraz na jeden dzień (stopa w tabelach podawana jest w ujęciu rocznym, więc by wyznaczyć oprocentowanie jednodniowego depozytu, należy roczną stopę podzielić przez 365).

5 TN (ang. _tommorow next_) – oprocentowanie jednodniowej pożyczki od jutra na jeden dzień (także podawana w ujęciu rocznym).

6 Pochodzących z Francji (6), Hiszpanii (4), Niemiec (2), Włoch (2), Holandii, Belgii, Luksemburga, Portugalii i W. Brytanii (po 1) – stan na koniec stycznia 2020 r.

7 Obecnie jest to 20 największych światowych banków, także spoza Europy (z USA, Japonii i Kanady). Nie wszystkie jednak współtworzą stawki LIBOR w każdej walucie, a jedynie w tych walutach, w których dokonują odpowiednio dużych obrotów na londyńskim rynku (Intercontinental Exchange 2020).

8 Od nazwiska inicjatora tego podatku, ówczesnego ministra finansów prof. Marka Belki (podatek ten zaczął obowiązywać w 2002 r.).

9 Podrozdział 1.5.1 oraz 1.5.2 został opracowany na podstawie Redo 2021.

10 Ustawa z dnia 12 maja 2011 r. o kredycie konsumenckim (tekst jedn. Dz. U. 2019, poz. 1083) – dalej jako ustawa o kredycie konsumenckim z 2011 r. __

11 Dyrektywa Komisji 2011/90/UE z dnia 14 listopada 2011 r. zmieniająca część II załącznika I do dyrektywy 2008/48/WE Parlamentu Europejskiego i Rady, zawierającą dodatkowe założenia do obliczania rzeczywistej rocznej stopy oprocentowania (Dz. Urz. UE z 15.11.2011, L 296/35).

12 Art. 5, ust. 12 ustawy o kredycie konsumenckim z 2011 r.

13 Przedstawia go załącznik nr 4 do ustawy o kredycie konsumenckim z 2011 r.

14 Art. 359 § 2 ustawy z dnia 23 kwietnia 1964 r. – Kodeks cywilny (tekst jedn. Dz. U. 2020, poz. 1740) – dalej jako kodeks cywilny z 1964 r.

15 Art. 36a ustawy o kredycie konsumenckim z 2011 r.

16 Art. 359 § 21 kodeksu cywilnego z 1964 r.

17 Art. 36a ust. 1 ustawy o kredycie konsumenckim z 2011 r.

18 Uregulowania w tym zakresie znajdują się w art. 30a i 30b ustawy z dnia 26 lipca 1991 r. o podatku dochodowym od osób fizycznych (tekst jedn. Dz. U. 2020, poz. 1426 ze zm.).