Matematyka życia - ebook

Wstęp

Teoria matematyczna i postęp techniczny zawsze szły ze sobą ramię w ramię. Ta współpraca rozpoczęła się już wtedy, gdy ludzie pierwotni zaczęli wydrapywać na kościach znaki opisujące fazy Księżyca, i trwa aż po dzień dzisiejszy, czego dobrym przykładem mogą być poszukiwania bozonu Higgsa w Wielkim Zderzaczu Hadronów. Gdy Isaac Newton wymyślił rachunek całkowy i różniczkowy, poznaliśmy działanie kosmosu, a w ciągu minionych trzech stuleci następcy Newtona rozwinęli zupełnie nową dziedzinę: fizykę matematyczną, która zajęła się opisem takich zjawisk jak ciepło, światło, dźwięk, mechanika płynów, a później umożliwiła sformułowanie teorii względności i mechaniki kwantowej. Myślenie matematyczne stało się podstawowym sposobem uprawiania nauk fizycznych.

Jeszcze nie tak dawno nauki biologiczne wyglądały zupełnie inaczej. Matematyka w najlepszym wypadku odgrywała w nich rolę służebną. Wykorzystywano ją do przeprowadzenia rutynowych obliczeń i szukania sensu prawidłowości statystycznych w danych. Nie wnosiła zbyt wiele do obrazu pojęciowego czy rozumienia różnych zjawisk. Nie była natchnieniem do formułowania wielkich teorii lub opracowywania przełomowych doświadczeń. W większości wypadków równie dobrze mogłaby w ogóle nie istnieć.

Ten obraz ulega jednak obecnie zmianie. Z najnowszymi odkryciami z dziedziny biologii wiąże się wiele ważnych pytań i wydaje się, że znalezienie na nie odpowiedzi bez zastosowania matematyki będzie w wielu wypadkach niemożliwe. W naukach biologicznych stosuje się obecnie bardzo szeroki wachlarz pojęć matematycznych, a z kolei najnowsze problemy z dziedziny biologii są bodźcem stymulującym rozwój nieznanych dotąd obszarów matematyki, szczególnie w zakresie procesów opisujących istoty żywe. Obecnie matematycy i biolodzy wspólnie rozwiązują jedne z najbardziej skomplikowanych problemów naukowych, z jakimi zetknęła się ludzkość – między innymi starają się wyjaśnić naturę i pochodzenie samego życia.

W XXI wieku to właśnie biologia będzie dziedziną stymulującą rozwój matematyki.

W książce Matematyka życia przedstawimy obraz całego tego bogactwa istniejących już różnorodnych związków między matematyką i biologią, od projektu poznania ludzkiego genomu, poprzez badanie struktury wirusów i działania komórek, po analizę budowy i funkcjonowania całych organizmów i ich oddziaływań w globalnym ekosystemie. Powiemy również, w jaki sposób matematyka może rzucić nowe światło na skomplikowane problemy związane z ewolucją, w wypadku których wiele ważnych procesów zachodzi tak powoli, że ich obserwacja nie jest możliwa albo też zaszły już przed wieloma milionami lat i pozostały po nich tylko niejasne ślady.

Początkowo biologia była nauką zajmującą się roślinami i zwierzętami. Później w obszarze jej zainteresowań znalazły się również komórki. Teraz biologowie zajmują się głównie badaniem złożonych cząsteczek. Aby odzwierciedlić te zmiany w myśleniu naukowym na temat tajemnicy życia, rozpoczniemy naszą opowieść od zagadnień bliskich każdemu z nas, a następnie podążymy historyczną drogą rozwoju biologii i tak jak biologowie coraz bardziej będziemy skupiali uwagę na mikroskopowych strukturach organizmów żywych, by ostatecznie dotrzeć do DNA – „cząsteczki życia”.

Nietrudno więc zgadnąć, że znaczna część materiału omawianego w początkowej części książki będzie dotyczyła głównie biologii. Matematyka pojawi się w naszej opowieści jednak już dość wcześnie i pozwoli nam na przykład prześledzić ewolucję pojęć związanych z geometrią roślin od epoki wiktoriańskiej do współczesności, pokazując, jak biologia przyczyniała się do rozwoju nowych idei matematycznych. Po omówieniu podstawowych zagadnień z zakresu biologii głównym bohaterem naszej opowieści stanie się matematyka i przy jej pomocy przemieścimy się w górę skali odległości, od atomów do poziomu, który jest nam najlepiej znany, czyli tego, który opisuje nasze otoczenie: świat trawy, drzew, owiec, krów, kotów, psów… i ludzi.

W biologii wykorzystuje się bardzo różne zagadnienia matematyczne: teorię prawdopodobieństwa, układy dynamiczne, teorię chaosu, symetrię, teorię grafów, mechanikę, elastyczność – a nawet teorię węzłów. Większość omawianych tu zastosowań dotyczy głównego nurtu biomatematyki: badania budowy i działania złożonych cząsteczek kierujących skomplikowanym procesem życia, określania kształtów wirusów, analizowania procesów ewolucyjnych, które już doprowadziły do powstania olbrzymiej różnorodności życia na Ziemi i wciąż jeszcze zachodzą, charakterystyki działania układu nerwowego i mózgu oraz opisu dynamiki ekosystemów. W książce znalazły się również rozdziały poświęcone naturze życia i możliwości istnienia jego obcych form.

Obszar wymiany myśli między matematyką i biologią jest jedną z najprężniej rozwijających się dziedzin nauki. W bardzo krótkim czasie udało się na tym polu wiele osiągnąć. Przyszłość pokaże, jak daleko zdołamy zajść, idąc tą drogą. Bez względu na wszystko, jednego możemy być pewni: to będzie bardzo interesująca podróż.

Ian Stewart

Coventry, wrzesień 20101. Matematyka i biologia

Początkowo biologia zajmowała się roślinami, zwierzętami i owadami, jednak pięć wielkich rewolucji zupełnie zmieniło sposób, w jaki obecnie uczeni myślą o życiu.

Właśnie nadchodzi szósta rewolucja.

Pierwsze pięć było wywołanych kolejno wynalezieniem mikroskopu, wprowadzeniem systematycznej klasyfikacji istot żywych zamieszkujących naszą planetę, ogłoszeniem teorii ewolucji, odkryciem genu i wreszcie odkryciem struktury DNA. Zanim przejdziemy do wspomnianej przeze mnie bardziej kontrowersyjnej, szóstej rewolucji, przyjrzyjmy się z osobna każdemu z pięciu poprzednich przewrotów.

• • •

Mikroskop

Pierwsza rewolucja w biologii miała miejsce trzysta lat temu, gdy dzięki wynalezieniu mikroskopu ujrzeliśmy zdumiewającą złożoność życia w najmniejszych skalach. Od tej chwili mogliśmy obserwować niewidoczną wcześniej złożoność życia dzięki temu, że nowy wynalazek wzmocnił nasz zmysł wzroku.

Wynalezienie mikroskopu umożliwiło nam poznanie zadziwiającej wewnętrznej złożoności poszczególnych organizmów. Jedną z pierwszych niespodzianek było odkrycie, że istoty żywe zbudowane są z komórek – maleńkich zbiorniczków substancji chemicznych zamkniętych w błonie pozwalającej wybranym substancjom przedostawać się do środka i na zewnątrz. Niektóre organizmy składają się z jednej komórki, ale nawet one są zaskakująco złożone, ponieważ komórka sama w sobie jest całym układem chemicznym, a nie czymś prostym i oczywistym. Wiele organizmów zbudowanych jest z gigantycznej liczby komórek: nasze ciało zawiera ich około 75 bilionów. Każda komórka jest maleńkim mechanizmem biologicznym, zawierającym własne urządzenia genetyczne, które mogą spowodować jej rozmnożenie lub śmierć. W przyrodzie występuje ponad dwieście rodzajów komórek: komórki mięśniowe, nerwowe, krwi i tak dalej.

Komórki odkryto bardzo szybko po wynalezieniu mikroskopu – to zresztą nic dziwnego, bo gdy się ogląda jakiś organizm w dużym powiększeniu, wprost trudno ich nie zauważyć.

• • •

Klasyfikacja

Drugą rewolucję wywołał Karol Linneusz, szwedzki botanik, lekarz i zoolog. W 1735 roku ukazało się jego przełomowe dzieło Systema Naturae. Jego pełny tytuł brzmi po polsku następująco: „Układ przyrody oparty na trzech królestwach natury z podziałem na typy, rzędy, rodzaje i gatunki, z cechami charakterystycznymi, różnicami, synonimami i lokalizacjami”. Linneusz był tak zafascynowany światem przyrody, że uznał, iż należy go skatalogować. W całości. Pierwsze wydanie jego katalogu liczyło zaledwie 11 stron; trzynaste i ostatnie zawierało już 3000 stron. Linneusz wyraźnie zaznaczył, że jego dzieło nie jest próbą odkrycia jakiegoś ukrytego porządku naturalnego – chciał jedynie poukładać wszystko, co już istnieje, w systematyczny, uporządkowany sposób. Postanowił sklasyfikować obiekty występujące w przyrodzie w oparciu o pięciostopniowy podział na królestwo, typ, rząd, rodzaj i gatunek. Wyróżnił trzy królestwa: zwierzęta, rośliny i minerały. W ten sposób narodziła się nowa dziedzina nauki: systematyka, czyli nauka zajmująca się klasyfikacją organizmów żywych na powiązane ze sobą grupy.

Obecnie minerałów nie klasyfikuje się już według metody Linneusza, a w odniesieniu do roślin i zwierząt szczegóły wprowadzonej przez niego systematyki uległy zmianom. W ostatnim okresie pojawiło się kilka alternatywnych systemów, ale żaden z nich nie przyjął się powszechnie. Linneusz zdał sobie sprawę, że systematyczna klasyfikacja organizmów żywych jest bardzo ważna z naukowego punktu widzenia, i wprowadził swój pomysł w czyn. Nie obyło się jednak bez wpadek: początkowo zaliczył wieloryby do ryb. Jednak zanim w 1758 roku ukazało się dziesiąte wydanie Systema Naturae, znajomy ichtiolog zwrócił mu uwagę na tę pomyłkę i wieloryby trafiły już do ssaków.

Najbardziej znaną i najużyteczniejszą cechą systematyki Linneusza jest użycie podwójnych nazw, takich jak Homo sapiens, Felis catus, Dendrocopos major i Quercus robur – chodzi o gatunki: człowiek, kot, dzięcioł i dąb1. Najważniejsze w klasyfikacji nie jest sporządzenie listy ani przyjęcie dziwacznych nazw, by dowieść swej mądrości, ale wprowadzenie logicznych, jednoznacznych reguł odróżniania od siebie całego bogactwa istniejących stworzeń. Zwyczajne nazwy, takie jak „dzięcioł”, nie nadają się do tego celu: nie wiadomo, czy chodzi o najczęściej spotykanego w Polsce dzięcioła dużego, czy o dzięcioła czarnego, białogrzbietego, himalajskiego, czy o przedstawiciela jeszcze jakiegoś innego gatunku dzięciołów zamieszkujących Eurazję. Jednak linneuszowska nazwa Dendrocopos major jednoznacznie odnosi się do dzięcioła dużego i nie może być mowy o jakiejkolwiek pomyłce.

• • •

Ewolucja

Trzecia rewolucja wisiała w powietrzu już od pewnego czasu, ale wydarzeniem, które doprowadziło do jej wybuchu, było ukazanie się w 1859 roku książki Karola Darwina O powstawaniu gatunków. Ostatecznie ukazało się jej sześć wydań i obecnie zalicza się ją do grona najważniejszych prac naukowych wszech czasów, na równi z dziełami z dziedziny fizyki autorów takich jak Galileusz, Kopernik, Newton i Einstein. W swojej książce Darwin zaproponował nowe wyjaśnienie źródła różnorodności życia na Ziemi.

Za jego czasów wśród uczonych i zwyczajnych ludzi panowało przekonanie, że każdy odrębny gatunek został stworzony oddzielnie przez Boga, w chwili gdy stwarzał Wszechświat. W myśl tego poglądu gatunki nie mogą się zmieniać z upływem czasu: owca była, jest i zawsze będzie owcą; pies był, jest i zawsze będzie psem. Gdy jednak Darwin przeanalizował liczne dowody naukowe, których większość zebrał samodzielnie podczas wieloletnich podróży, doszedł do wniosku, że taki wygodny obraz świata jest coraz trudniejszy do obrony.

Miłośnicy gołębi wiedzieli od dawna, że stosując odpowiednią hodowlę, można doprowadzić do powstania zupełnie nowego rodzaju gołębia. To samo dotyczyło krów, psów i w zasadzie wszystkich udomowionych zwierząt. Oczywiście uzyskanie takiej zmiany wymagało odpowiedniego działania ze strony ludzi. Zwierzęta nie zmieniały się w ten sposób „z własnej woli”. Ktoś musiał je bardzo starannie wyselekcjonować – dobrać. Darwin uświadomił sobie jednak, że sama przyroda bez pomocy z zewnątrz również mogłaby w zasadzie doprowadzić do pojawienia się podobnych zmian, a bodźcem do ich dokonania się byłaby rywalizacja o zasoby. W trudnych czasach jedynie zwierzęta lepiej przystosowane do przeżycia mogą osiągnąć wiek pozwalający im na wydanie na świat potomstwa i to nowe pokolenie będzie w takim razie nieco lepiej przystosowane do środowiska.

Darwin sądził, że takie zmiany powinny zachodzić znacznie łagodniej niż zmiany wprowadzane przez hodowców, ale w długich okresach zmiany środowiska mogłyby doprowadzić do przekształcenia pewnych organizmów danego gatunku w osobniki o wyraźnie odmiennym wyglądzie i zachowaniu. Postrzegał ten proces jako powolne gromadzenie się mnóstwa niewielkich zmian. Dzięki znajomości geologii dobrze wiedział, że nasza planeta istnieje już od niezliczonych wieków, brak czasu więc nie był problemem. Nawet niezwykle powolne zmiany mogły ostatecznie wywołać bardzo wyraźny efekt.

Nazwał ten proces „doborem naturalnym”. Obecnie stosujemy określenie „ewolucja” – sam Darwin nie użył tego słowa, choć warto zauważyć, że ostatnie słowo w książce O powstawaniu gatunków brzmi: „wyewoluowały”. Dowody na potwierdzenie teorii ewolucji są tak liczne i pochodzą z tak wielu niezależnych źródeł, że dzisiejsza biologia nie miałaby bez niej żadnego sensu. Obecnie niemal wszyscy biologowie (i większość uczonych, bez względu na rodzaj prowadzonych badań) uznają, że mamy wprost przytłaczające dowody na to, iż ewolucja jest najważniejszym mechanizmem, który doprowadził do wykształcenia się obecnej różnorodności gatunków. Jednak wyjaśnienie, jak ewolucja działa, to już zupełnie inna kwestia i na tym polu pozostało jeszcze wiele do zrobienia.

• • •

Genetyka

Czwartą rewolucję wywołało odkrycie genów przez Gregora Mendla. Mendel opublikował wyniki swoich prac w 1865 roku, ale przez kolejne pięćdziesiąt lat nie wzbudziły one większego zainteresowania.

Organizmy żywe mają wiele łatwo zauważalnych cech charakterystycznych, takich jak kolor, rozmiar, faktura czy kształt. Darwin nie miał pojęcia, w jaki sposób cechy te przechodzą z rodziców na potomstwo, choć kilka niezależnych wywodów logicznych wskazywało na to, że taki proces musi zachodzić. W chwili gdy pisał O powstawaniu gatunków, Mendel badał już mechanizm dziedziczenia cech, ale Darwin nie miał o tym pojęcia. Wiedza ta bez wątpienia wywarłaby ogromny wpływ na jego rozważania.

Około roku 1860 czeski ksiądz Gregor Mendel hodował już od siedmiu lat groch – w sumie miał 29 tysięcy roślin – i zliczał, ile roślin w każdym pokoleniu przejawia określone cechy. Czy zebrane z nich ziarna grochu mają kolor żółty, czy zielony? Czy groszki są gładkie, czy pomarszczone? W obserwacjach Mendla pojawiły się pewne interesujące prawidłowości liczbowe i uczony nabrał przeświadczenia, że w każdym żywym organizmie występują pewne „czynniki” – obecnie nazywamy je genami – które w jakiś sposób decydują o wielu jego cechach. Czynniki te przechodzą z poprzednich pokoleń, a u organizmów rozmnażających się płciowo występują parami: jeden pochodzi od „ojca” (męskiego organu rośliny), drugi zaś od „matki” (organu żeńskiego). Każdy czynnik może wystąpić w kilku różnych postaciach. To właśnie przypadkowa mieszanka takich „alleli” – różnych wersji genu – prowadzi do powstania zaobserwowanego wzorca w danych.

Początkowo uczeni nie mieli najmniejszego pojęcia, jaką postać fizyczną mają czynniki Mendla. Ich istnienie wynikało pośrednio z zaobserwowanych w danych prawidłowości – wartości określających w każdym pokoleniu względną liczbę roślin obdarzonych określoną kombinacją cech.

• • •

Struktura DNA

Piąta rewolucja była bardziej oczywista i, podobnie jak pierwszą, wywołało ją wynalezienie nowej techniki doświadczalnej. Nowa metoda prowadzenia badań, opierająca się na wykorzystaniu zjawiska dyfrakcji promieni rentgenowskich, pozwoliła biochemikom odkryć szczegółową strukturę złożonych, ważnych w biologii cząsteczek. Urządzenie wykorzystujące dyfrakcję promieni rentgenowskich działa w istocie jak „mikroskop” pozwalający wykryć położenie pojedynczych atomów w cząsteczce.

W latach pięćdziesiątych XX wieku Francis Crick i James Watson zaczęli się zastanawiać nad strukturą złożonej cząsteczki występującej w komórkach praktycznie wszystkich istot żywych: kwasu deoksyrybonukleinowego, znanego powszechnie jako DNA (od ang. deoxyribonucleic acid). Crick był brytyjskim fizykiem, który podczas pisania pracy doktorskiej niemal zanudził się na śmierć mierzeniem lepkości wody w wysokich temperaturach i w 1947 roku postanowił zająć się biochemią. Watson był Amerykaninem, który ukończył zoologię i zainteresował się pewnym rodzajem wirusów zarażających bakterie – wirusy takie określa się mianem bakteriofagów (czyli „pożeraczy bakterii”). Postawił przed sobą ambitny cel zrozumienia fizycznej natury genu takiego wirusa – poznania jego struktury cząsteczkowej.

W tamtych czasach wiedziano już, że geny znajdują się w obszarach komórki zwanych chromosomami i że głównymi składnikami genów są białka i DNA. Wśród biologów panowało przekonanie, że organizmy mogą się rozmnażać dlatego, iż geny są białkami zdolnymi do samopowielania, natomiast DNA uważano powszechnie za „głupi tetranukleotyd”, którego jedyną funkcją było tworzenie swego rodzaju rusztowania łączącego białka w odpowiedni sposób.

Pojawiły się już jednak pierwsze dowody świadczące o tym, że geny powstają właśnie z cząsteczki DNA, i uczeni zaczęli się zastanawiać nad kluczową kwestią: jak właściwie wygląda cząsteczka DNA? Jak są ułożone tworzące ją atomy?

Watson zajął się tym zagadnieniem wspólnie z Crickiem. Razem przeprowadzili analizę DNA opartą na kluczowych doświadczeniach z dyfrakcją promieni rentgenowskich przeprowadzonych przez innych naukowców (w szczególności Maurice’a Wilkinsa i Rosalind Franklin), poprawnie odgadli kilka ważnych faktów i zaczęli budować modele w dosłownym tego słowa znaczeniu: łączyli ze sobą papierowe lub metalowe elementy w kształcie prostych cząsteczek, o których wiadomo było, że stanowią część DNA. Tym sposobem wpadli na hipotezę istnienia słynnej obecnie struktury podwójnej helisy – doszli do wniosku, że DNA tworzą dwie nici, niczym połączone ze sobą dwa ciągi spiralnych schodów. Każda z nici (pojedyncze schody) zawiera ciąg zasad azotowych występujących w czterech odmianach: adenina (A), cytozyna (C), guanina (G) i tymina (T). Cząsteczki te łączą się parami: adenina (A) w jednej nitce zawsze łączy się z tyminą (T), w drugiej zaś cytozyna (C) zawsze łączy się z guaniną (G).

Crick i Watson opublikowali swoją hipotezę w czasopiśmie naukowym „Nature” w 1953 roku. Artykuł zaczyna się następująco: „Pragniemy przedstawić propozycję struktury soli deoksyrybozowego kwasu nukleinowego (D.N.A.). Struktura ta przejawia nowe cechy, które mają istotne znaczenie z punktu widzenia biologii”. Pod koniec zaś zamieścili takie zdanie: „Nie umknęło naszej uwadze, że proponowane tu konkretne łączenie w pary jednoznacznie sugeruje możliwość istnienia mechanizmu kopiowania materiału genetycznego”2.

Podstawowa idea jest prosta: ciąg zasad w jednej z tych dwóch nici jednoznacznie określa całą strukturę cząsteczki. W drugiej nitce ciąg zasad musi być dopełnieniem tego z pierwszej nitki – wystarczy zamienić A z T oraz C z G. Gdyby się udało rozdzielić obie nici DNA, każda z nich będzie zawierała całą „informację” potrzebną do odtworzenia brakującej nitki. Aby uzyskać dwie dokładne kopie, wystarczy sporządzić dwa dopełniające łańcuchy zasad i ponownie połączyć ze sobą odpowiednie pary.

Okazało się, że hipoteza Cricka i Watsona na temat struktury DNA, opierająca się w istocie na pewnych kluczowych wnioskach z doświadczeń i dużej liczbie sporządzonych modeli, jest poprawna. Podobnie jak wspomniany mechanizm kopiowania, który wydawał się tak spekulatywny, że nie opisali go jawnie w swoim artykule na wypadek, gdyby okazał się niepoprawny. Okazuje się, że nie można jednak tak po prostu rozdzielić dwóch splątanych nici podwójnej helisy i jej powielenie wymaga działania dość skomplikowanych mechanizmów. Dopiero w odległej przyszłości miało się okazać, jak przebiega ten proces.

Niemal natychmiast biolodzy skupili uwagę na strukturze cząsteczkowej kluczowych substancji: DNA, białek i związanych z nimi cząsteczek. Na uniwersyteckich wydziałach biologii zwalniano lub wysyłano na emeryturę botaników, zoologów i specjalistów od systematyki – zajmowanie się całymi zwierzętami wyszło całkowicie z mody. Nastała epoka cząsteczek. Tylko one się liczyły. Po tym przewrocie biologia już nigdy nie była taka sama. Crick i Watson odkryli „tajemnicę życia”, jak przechwalał się sam Crick w pubie Pod orłem (mieszczącym się przy Benet Street w Cambridge) kilka dni przed tym, zanim udało im się odkryć poprawną strukturę.

Dokonanie Cricka i Watsona pociągnęło za sobą wiele kolejnych odkryć, które stały się możliwe często dzięki zastosowaniu najświeższych zdobyczy nauki. Niemniej nasz punkt widzenia w niewielkim tylko stopniu różni się od tego, jaki zaprezentowali Crick i Watson, zatem tych najnowszych odkryć, choć są fascynujące, nie można nazwać prawdziwie rewolucyjnymi. Na przykład w 2006 roku uczeni pracujący przy projekcie poznania ludzkiego genomu przedstawili pełny ciąg genów człowieka – w sumie trzy miliardy jednostek informacji genetycznej3. Fakt ten ma doniosłe znaczenie choćby dlatego, że otwiera zupełnie nowe możliwości przed medycyną. Biologia stała się najciekawszym obszarem badań naukowych XXI stulecia, które mogą doprowadzić do olbrzymiego postępu w medycynie i rolnictwie, a także do zrozumienia natury samego życia. Jednak wszystkie te dokonania w prostej linii wywodzą się z odkrycia struktury DNA.

• • •

Oto pokrótce wspomniane przeze mnie pięć rewolucji.

Odstępy między nimi, po uwzględnieniu (w przypadku Mendla) czasu potrzebnego, by zostały zauważone, wynoszą w przybliżeniu odpowiednio pięćdziesiąt, sto, pięćdziesiąt i pięćdziesiąt lat. Piąta z nich dokonała się nieco ponad pięćdziesiąt lat temu. Świat zmienia się coraz szybciej, można by więc odnieść wrażenie, że szósta rewolucja w biologii jest już spóźniona. Ja jednak sądzę, że ona już się dokonała. Pytania o naturę życia przestały być zagadnieniami wyłącznie z zakresu biochemii – wiele innych dziedzin nauki odgrywa istotną rolę w próbach wyjaśnienia, co sprawia, że istoty żywe są żywe. Wszystkie je zaś łączy i otwiera przed nami zupełnie nowe możliwości szósta rewolucja w biologii: rewolucja matematyczna.

• • •

Matematyka jest z nami od tysiącleci – starożytni Babilończycy potrafili rozwiązywać równania kwadratowe już cztery tysiące lat temu. Biologowie posługują się metodami matematycznymi, głównie statystyką, od ponad stulecia. Mówienie w tym miejscu o „rewolucji” mogłoby się więc wydawać nadużyciem. Jednak to, co mam na myśli – proces zachodzący właśnie w tej chwili – sięga znacznie głębiej. Matematyczny sposób myślenia staje się standardowym podejściem w arsenale metod wykorzystywanych w biologii: przestał już być jedynie sposobem analizy danych opisujących istoty żywe – obecnie podejście takie służy zrozumieniu badanych organizmów.

W społeczeństwie pokutuje fałszywe rozumienie tego, czym jest matematyka i do czego można ją wykorzystać. Nie służy ona jedynie do „przeprowadzania obliczeń”, jak uczono nas w szkole – tym zajmuje się arytmetyka. Nawet jeśli dodamy do tego algebrę, trygonometrię, geometrię i różne bardziej współczesne działy, takie jak rachunek macierzowy, to i tak okaże się, że w szkole poznajemy jedynie bardzo ograniczony wycinek całej dziedziny. Nawet stwierdzenie, że jest to jedna dziesiąta procent, byłoby na wyrost. Poza tym matematyka nauczana w szkołach pod wieloma względami nie jest reprezentatywną próbką całej dziedziny, tak jak ćwiczenie gam na fortepianie nie ma zbyt wiele wspólnego z prawdziwą muzyką, nie wspominając już o jej komponowaniu. Ludzie sądzą często, że całą matematykę wymyślono (lub odkryto) już bardzo dawno temu, prawda jest jednak taka, że obecnie nowe obszary tej dziedziny rozwijają się w imponującym tempie. Lekko licząc, rocznie publikuje się milion stron artykułów poświęconych matematyce, a to oznacza milion stron zawierających nowe idee, nie jedynie modyfikacje rutynowych obliczeń.

Liczby odgrywają w matematyce podstawową rolę, tak jak gamy mają podstawowe znaczenie w muzyce, ale pełny zakres zagadnień, którymi zajmuje się matematyka, jest znacznie szerszy: kształt, logika, procesy… wszystko, co ma jakąś strukturę bądź przejawia prawidłowości. Możemy do tego dołożyć jeszcze przypadkowość, która, jak się zdawało, nie przejawia żadnych prawidłowości, a jednak statystycy odkryli już dawno, że nawet w zdarzeniach losowych, po uśrednieniu obserwacji przeprowadzanych w długim okresie, pojawiają się pewne wzorce. Jedną z niezwykłych cech matematyki wykorzystywanej obecnie w biologii jest jej różnorodność. Inną – fakt, że zwykle korzysta się tu z jej najnowszych osiągnięć. Znaczna część używanej tu matematyki nie liczy nawet pięćdziesięciu lat, a w niektórych wypadkach wykorzystuje się rozwiązania wymyślone dosłownie przed tygodniem. Korzysta się tu z przeróżnych jej obszarów: od teorii węzłów po teorię gier, od rachunku różniczkowego po grupy symetrii. Nierzadko znajdują tu zastosowanie idee, o których większość z nas nigdy nie słyszała i zapewne nie rozpoznałaby w nich zagadnień matematycznych. Obecnie matematyka wpływa na nasze myślenie o biologii, nie tylko na uzyskiwane wyniki.

Takie podejście nie jest niczym nowym w naukach fizycznych, które w znacznym stopniu opierają się na matematyce. W istocie obie te dziedziny nauki rozwijają się wspólnie już od tysięcy lat. Jeszcze do niedawna biologia była – a przynajmniej wydawała się – inna. Była dziedziną nauki polecaną zwykle studentom, którzy pragnęli trzymać się jak najdalej od matematyki. Można badać cykl rozwojowy motyla bez przeprowadzania jakichkolwiek obliczeń. W biologii wciąż nie ma jeszcze podstawowych równań matematycznych, odpowiedników newtonowskiego prawa powszechnego ciążenia. Nie oblicza się „trajektorii ewolucyjnej” danej ryby przez zastosowanie „równań Darwina”. Jednak we współczesnej biologii matematyki jest w bród i coraz trudniej jej uniknąć, tyle tylko, że jej obecność nie przypomina tego, w jaki sposób wykorzystuje się ją w fizyce. Jest inna, ma własną, szczególną właściwość. I coraz częściej musi się rozwijać, by sprostać potrzebom biologów, którym przestało już wystarczać spokojne obserwowanie motyli.

Wykorzystanie matematyki w biologii często wymaga użycia nowoczesnych urządzeń, głównie oczywiście komputerów. Wymaga również nowego aparatu pojęciowego, nowych metod matematycznych. W niektórych wypadkach są to rozwiązania przygotowane specjalnie na potrzeby biologii, a w innych techniki opracowane z zupełnie innego powodu, które, jak się okazało, mają istotne znaczenie w naukach biologicznych. Matematyka pozwala spojrzeć na badane zagadnienia z nowego punktu widzenia – zajmuje się nie tylko składnikami tworzącymi istoty żywe, ale również procesami korzystającymi z tych składników.

Wierzę, że szósta rewolucja w biologii jest już w toku i polega na zastosowaniu wiedzy matematycznej do procesów biologicznych. Chciałbym w tym miejscu pokazać, jak metody i pojęcia matematyczne pomagają nam w zrozumieniu nie tylko tego, z czego składa się życie, ale również tego, jak ono działa w każdej skali, od cząsteczek do całej planety – a może i dalej.

• • •

Do niedawna większość biologów wątpiła, czy matematyka będzie miała kiedykolwiek coś ciekawego do powiedzenia na temat życia. Organizmy żywe zdawały się zbyt wszechstronne i zmienne, by można je było zawrzeć w jakimś sztywnym matematycznym formalizmie (stąd słynne harwardzkie prawo zachowania się zwierząt: „w starannie kontrolowanych warunkach laboratoryjnych zwierzęta doświadczalne robią, co im się żywnie podoba”). Oczywiście narzędzia matematyczne, takie jak metody statystyczne, znalazły tu swoje miejsce, ale rola matematyki w biologii była czysto służebna, bez większego wpływu na główne nurty rozwoju tej dziedziny. Nieszablonowych uczonych, takich jak D’Arcy Went­worth Thompson, który w książce On Growth and Form (O wzroście i kształcie) skatalogował liczne matematyczne prawidłowości – prawdziwe i domniemane – w organizmach żywych, po prostu ignorowano lub zbywano. W najlepszym wypadku ich prace uważano za dziwactwo, w najgorszym – za stek bzdur. W końcu książka Thompsona ukazała się w 1917 roku, czterdzieści lat przed odkryciem struktury DNA, i autor nie wspomina w niej zbyt często o ewolucji, z wyjątkiem krytyki pod adresem pojawiającej się jego zdaniem tendencji, by dopasowywać tę teorię do dowolnych faktów, jakie ktoś akurat miał pod ręką. Bliżsi naszych czasów krytycy ściśle molekularnego podejścia do biologii, na przykład amerykański ewolucjonista Richard Lewontin, również zostali wypchnięci poza główny nurt badań biologicznych. Uważano powszechnie, że genom jest „informacją potrzebną do określenia organizmu”, i wydawało się wszystkim całkiem oczywiste, że gdy go już poznamy, będziemy w zasadzie wiedzieli wszystko.

Gdy jednak w końcu biolodzy pokonali olbrzymie trudności związane z odczytaniem sekwencji genów i ustaleniem, jakie funkcje spełniają geny i białka – co faktycznie robią w danym organizmie – wyraźniej niż kiedykolwiek dostrzegli prawdziwą głębię problemu zrozumienia życia. Sporządzenie listy białek tworzących kota nie powie nam wszystkiego, co chcielibyśmy wiedzieć o tych zwierzętach. Nie mówi nam wszystkiego nawet w wypadku mniej skomplikowanych stworzeń, takich jak bakterie.

Nie ulega wątpliwości, że genom zwierzęcia ma zasadniczy wpływ na jego wygląd i zachowanie, ale zawarta w genomie „informacja” nie mówi nam wszystkiego o tym stworzeniu, tak jak lista elementów nie powie nam, jak należy złożyć dostarczony w paczce mebel do samodzielnego montażu. Prawdę mówiąc, przepaść między organizmem żywym a jego genomem jest znacznie głębsza niż między meblem a listą desek, śrub i podkładek. Od kilku lat wiadomo na przykład, że informacja „epigenetyczna”, czyli niezapisana w DNA i być może nawet „niezakodowana” w żaden oczywisty, symboliczny sposób, również odgrywa kluczową rolę w istotach żywych zamieszkujących Ziemię. Każdy, kto kiedykolwiek składał meble do samodzielnego montażu, również musiał wykazać się wiedzą, której nie było w dostarczonej instrukcji.

Lista składników nie wystarcza do zrozumienia biologii, ponieważ tak naprawdę liczy się to, jak owe składniki są wykorzystywane – procesy, którym podlegają w żywym organizmie. Najlepszym zaś dostępnym nam narzędziem pozwalającym odkryć, jak przebiegają takie procesy, jest matematyka. W ciągu mniej więcej ostatniego półwiecza nowe odkrycia w dziedzinie matematyki pozwoliły nam dostrzec wiele bogatych i zaskakujących zachowań, pokazując tym samym, że pozornie proste procesy mogą prowadzić do zdumiewająco złożonych rezultatów. W efekcie bardzo trudno byłoby obecnie obronić tezę, że matematyka jest zbyt prosta i uporządkowana, by mogła być źródłem wiedzy na temat złożoności organizmów żywych. Przeciwnie, z coraz większym zaangażowaniem próbuje się znaleźć sposoby na wykorzystanie matematyki do uzyskania prawdziwie istotnej wiedzy z zakresu biologii.

W niektórych obszarach badań matematykę wykorzystuje się w roli narzędzia wspierającego metody naukowe używane w biologii. Z takimi zastosowaniami mamy do czynienia już od czasów, gdy fizycy rozwinęli optykę, a producenci sprzętu wykorzystali wiedzę zdobytą przez fizyków do poprawienia konstrukcji mikroskopu. Współczesnym przykładem tego typu może być „bioinformatyka”, która zajmuje się opracowaniem metod usprawniających przechowywanie i obróbkę gigantycznych zbiorów danych komputerowych. Samo sporządzenie listy genów nie wystarcza – trzeba jeszcze w jakiś sposób odnaleźć na tej liście szukany ciąg, porównać go z innymi fragmentami informacji na liście i tak dalej. Gdy taka lista zawiera trzy miliardy pozycji (i mówimy tu jedynie o samym kodzie genetycznym, bez uwzględnienia wszystkiego, co wiemy na temat jego działania), zadanie takie staje się nietrywialne. Większość metod stosowanych w informatyce opiera się silnie na wykorzystaniu niewidocznej na pierwszy rzut oka matematyki i bioinformatyka nie jest pod tym względem wyjątkiem.

Takie podejście jest cenne, użyteczne, konieczne… ale w świetle obecnego rozwoju nauki nieinspirujące. Matematyka powinna odgrywać bardziej twórczą rolę. I tak faktycznie jest. Wykorzystuje się ją nie tylko jako narzędzie pomagające biologom zapanować nad danymi czy usprawnić urządzenia doświadczalne, ale także na znacznie głębszym poziomie do uzyskania wiedzy istotnej dla samej biologii – do wyjaśnienia, jak funkcjonują istoty żywe. W ciągu ostatnich dziesięciu lat nastąpił olbrzymi rozwój „biomatematyki” – czyli biologii matematycznej. Na całym świecie powstały nowe instytuty i centra badawcze poświęcone tej dziedzinie. Jest ich tak dużo, że pojawiły się problemy ze skompletowaniem odpowiedniej liczby wykwalifikowanych pracowników naukowych. Choć biomatematyka nie należy do głównego nurtu badań biologicznych, zajmuje ważne, należne sobie miejsce wśród różnych technik i podejść potrzebnych do zrozumienia, jak powstało życie, jak ono działa i jak organizmy żywe oddziałują ze środowiskiem.

Jeszcze dziesięć czy dwadzieścia lat temu stwierdzenie, że matematyka mogłaby odegrać istotną rolę w biologii, zostałoby przyjęte obojętnym wzruszeniem ramion. Dzisiaj ta konkretna bitwa została już w zasadzie wygrana, czego najlepszym dowodem jest rosnące szybko zapotrzebowanie na biomatematyków. Nie trzeba już przekonywać biologów, że matematyka może im się przydać. Wielu z nich wciąż nie ma ochoty, by samemu się nią posługiwać, z wyjątkiem sytuacji, gdy została wygodnie upakowana w odpowiednim oprogramowaniu, ale nie mają nic przeciw temu, by inni ją wykorzystywali. Matematyk może być bardzo użytecznym członkiem zespołu badawczego. Wciąż można spotkać nielicznych biologów, którzy sprzeciwiają się ingerencji matematyki w ich dziedzinę i z pewnością zdecydowanie zaprzeczyliby temu, co napisałem, ale taka postawa szybko traci na popularności i wpływ tak myślących uczonych gwałtownie słabnie.

Matematycy natomiast przekonali się, że jedynym skutecznym sposobem zastosowania ich dziedziny w biologii jest ustalenie, czego w istocie chcą się dowiedzieć biolodzy, i odpowiednie przystosowanie do tego metod matematycznych. Biomatematyka nie polega jedynie na nowym zastosowaniu istniejących metod. Nie można po prostu zdjąć z półki opracowanej wcześniej techniki matematycznej i zastosować jej do nowego problemu – najpierw należy ją odpowiednio zmodyfikować, by pasowała do danego zagadnienia. Biologia potrzebuje – ba, nawet wymaga – wprowadzenia zupełnie nowych pojęć i metod matematycznych, stawia również przed matematykami nowe, fascynujące problemy.

Jeśli w XX wieku główną siłą napędową rozwoju matematyki były nauki fizyczne, to w XXI stuleciu rolę taką odegrają nauki badające organizmy żywe. Jako matematyka, perspektywa taka napawa mnie dużą radością i nadzieją. Dla matematyków nie ma nic lepszego niż uzyskanie dostępu do bogatego źródła nowych pytań. Biolodzy będą oczekiwali od nas odpowiedzi – i mają do tego pełne prawo.

1 Mówiąc precyzyjnie, kot domowy to Felis sylvestris catus, ale jego dwuczłonowa nazwa brzmi: Felis catus.

2 James D. Watson, Francis H. Crick, Molecular structure of nucleic acids: a structure for deoxyribose nucleic acid (Struktura cząsteczkowa kwasów nukleinowych: struktura de­oksyrybozowego kwasu nukleinowego), „Nature” 1953, tom 171, s. 737–738.

3 To, który rok należy uznać za datę opublikowania pełnego genomu, zależy od tego, jak rozumiemy określenie „pełny”. W 2000 roku opublikowano wstępną wersję sekwencji, a tak zwaną pełną wersję wstępną poznaliśmy w 2003 roku. Sekwencję ostatniego chromosomu – chromosomu 1 – opublikowano w maju 2006 roku w magazynie „Nature”. Wciąż jednak pozostają pewne luki, można więc w zasadzie twierdzić, że zadanie nie zostało jeszcze w pełni wykonane. Specjalny zespół biologów zajmuje się obecnie usuwaniem kilku tysięcy wykrytych luk, niespójności i błędów.