Matma dla Loozaków, czyli jak zdać Maturę na minimum 30% - ebook
Wydawnictwo:
Data wydania:
7 października 2022
Format ebooka:
EPUB
Format
EPUB
czytaj
na czytniku
czytaj
na tablecie
czytaj
na smartfonie
Jeden z najpopularniejszych formatów e-booków na świecie.
Niezwykle wygodny i przyjazny czytelnikom - w przeciwieństwie do formatu
PDF umożliwia skalowanie czcionki, dzięki czemu możliwe jest dopasowanie
jej wielkości do kroju i rozmiarów ekranu. Więcej informacji znajdziesz
w dziale Pomoc.
Multiformat
E-booki w Virtualo.pl dostępne są w opcji multiformatu.
Oznacza to, że po dokonaniu zakupu, e-book pojawi się na Twoim koncie we wszystkich formatach dostępnych aktualnie dla danego tytułu.
Informacja o dostępności poszczególnych formatów znajduje się na karcie produktu.
Format
PDF
czytaj
na laptopie
czytaj
na tablecie
Format e-booków, który możesz odczytywać na tablecie oraz
laptopie. Pliki PDF są odczytywane również przez czytniki i smartfony,
jednakze względu na komfort czytania i brak możliwości skalowania
czcionki, czytanie plików PDF na tych urządzeniach może być męczące dla
oczu. Więcej informacji znajdziesz w dziale Pomoc.
Multiformat
E-booki w Virtualo.pl dostępne są w opcji multiformatu.
Oznacza to, że po dokonaniu zakupu, e-book pojawi się na Twoim koncie we wszystkich formatach dostępnych aktualnie dla danego tytułu.
Informacja o dostępności poszczególnych formatów znajduje się na karcie produktu.
Format
MOBI
czytaj
na czytniku
czytaj
na tablecie
czytaj
na smartfonie
Jeden z najczęściej wybieranych formatów wśród czytelników
e-booków. Możesz go odczytać na czytniku Kindle oraz na smartfonach i
tabletach po zainstalowaniu specjalnej aplikacji. Więcej informacji
znajdziesz w dziale Pomoc.
Multiformat
E-booki w Virtualo.pl dostępne są w opcji multiformatu.
Oznacza to, że po dokonaniu zakupu, e-book pojawi się na Twoim koncie we wszystkich formatach dostępnych aktualnie dla danego tytułu.
Informacja o dostępności poszczególnych formatów znajduje się na karcie produktu.
Multiformat
E-booki sprzedawane w księgarni Virtualo.pl dostępne są w opcji
multiformatu - kupujesz treść, nie format. Po dodaniu e-booka do koszyka
i dokonaniu płatności, e-book pojawi się na Twoim koncie w Mojej
Bibliotece we wszystkich formatach dostępnych aktualnie dla danego
tytułu. Informacja o dostępności poszczególnych formatów znajduje się na
karcie produktu przy okładce. Uwaga: audiobooki nie są objęte opcją
multiformatu.
czytaj
na laptopie
Pliki PDF zabezpieczone watermarkiem możesz odczytać na dowolnym
laptopie po zainstalowaniu czytnika dokumentów PDF. Najpowszechniejszym
programem, który umożliwi odczytanie pliku PDF na laptopie, jest Adobe
Reader. W zależności od potrzeb, możesz zainstalować również inny
program - e-booki PDF pod względem sposobu odczytywania nie różnią
niczym od powszechnie stosowanych dokumentów PDF, które odczytujemy
każdego dnia.
Informacje na temat zabezpieczenia e-booka znajdziesz na karcie produktu
w "Szczegółach na temat e-booka". Więcej informacji znajdziesz w dziale
Pomoc.
czytaj
na tablecie
Aby odczytywać e-booki na swoim tablecie musisz zainstalować specjalną
aplikację. W zależności od formatu e-booka oraz systemu operacyjnego,
który jest zainstalowany na Twoim urządzeniu może to być np. Bluefire
dla EPUBa lub aplikacja Kindle dla formatu MOBI.
Informacje na temat zabezpieczenia e-booka znajdziesz na karcie produktu
w "Szczegółach na temat e-booka". Więcej informacji znajdziesz w dziale
Pomoc.
czytaj
na czytniku
Czytanie na e-czytniku z ekranem e-ink jest bardzo wygodne i nie męczy
wzroku. Pliki przystosowane do odczytywania na czytnikach to przede
wszystkim EPUB (ten format możesz odczytać m.in. na czytnikach
PocketBook) i MOBI (ten fromat możesz odczytać m.in. na czytnikach Kindle).
Informacje na temat zabezpieczenia e-booka znajdziesz na karcie produktu
w "Szczegółach na temat e-booka". Więcej informacji znajdziesz w dziale
Pomoc.
czytaj
na smartfonie
Aby odczytywać e-booki na swoim smartfonie musisz zainstalować specjalną
aplikację. W zależności od formatu e-booka oraz systemu operacyjnego,
który jest zainstalowany na Twoim urządzeniu może to być np. iBooks dla
EPUBa lub aplikacja Kindle dla formatu MOBI.
Informacje na temat zabezpieczenia e-booka znajdziesz na karcie produktu
w "Szczegółach na temat e-booka". Więcej informacji znajdziesz w dziale
Pomoc.
Czytaj fragment
Pobierz fragment
Pobierz fragment w jednym z dostępnych formatów
Matma dla Loozaków, czyli jak zdać Maturę na minimum 30% - ebook
Nie każdy musi być orłem z matematyki. Wielu z nas jest mistrzem w innych dziedzinach i jest to całkowicie normalne. Jednak maturę wypadałoby zdać, tylko pytanie brzmi jak? Odpowiedzią są treści zawarte w książce, którą trzymasz w ręce „Matma dla Loozaków, czyli jak zdać Maturę na minimum 30%”.
Nie trzeba siedzieć po nocach żeby zdać maturę. Lepiej jest zrozumieć i wypracować pewne schematy, dzięki którym da się rozwiązać nawet najtrudniejsze zadania. Zagadnienia te, są rdzeniem tej książki, obejmującej cały zakres matematyki, obowiązujący na maturze. Bogactwo przykładów, ćwiczeń oraz zadań pomoże opanować i zrozumieć wszystkie niezbędne treści i nauczy Cię prostych rozwiązań. Cenną wartością dodaną do książki są quizy online, dostępne w łatwy sposób dzięki linkom zapisanych w postaci kodów QR.
Autorką książki jest nauczycielka matematyki, Oliwia Ibrom, która skończyła studia na Politechnice Śląskiej w Gliwicach i obecnie jest nauczycielką, pracującą w swoim wymarzonym zawodzie w Zespole Szkół Nr 1 w Piekarach Śląskich.
| Kategoria: | Matematyka |
| Zabezpieczenie: |
Watermark
|
| ISBN: | 978-83-65645-75-3 |
| Rozmiar pliku: | 19 MB |
FRAGMENT KSIĄŻKI
6 Równania wielomianowe
Innymi słowy, równanie wielomianowe to nic innego jak suma jednomianów przyrównana do 0. Równanie wielomianowe czasem bardzo trudno jest obliczyć i trzeba użyć do niego wielu metod. W tym miejscu chciałabym wymienić kilka metod rozwiązywania równań wielomianowych m z czego pierwsze 3 obowiązują uczniów po gimnazjum, natomiast ostatnia uczniów po podstawówce:
wyciąganie czynnika przed nawias
metoda grupowania
dzielenie wielomianów
Zacznijmy po kolei omawiać metody. Przyłóż się do tego tematu bo dotychczas zadanie z równania wielomianowego było zawsze jako jedno z zadań otwartych na maturze !
6.1 Metoda wy łą czania czynnika przed nawias Metodę wyłączania czynnika przed nawias wykorzystujemy, gdy mamy do czynienia z wielomianem, w którym każdy element ma x. Wówczas możemy go wyłączyć przed nawias i przedstawić wielomian jako iloczyn dwóch elementów: wyłączonego x i nawiasu. Wtedy każdy z elementów możemy przyrównać do 0 tworząc dwa osobne równania. Pokażę to na przykładzie.
+2 + = 0
Jak widzimy możemy tutaj wyłączyć x przed nawias. Otrzymamy wówczas:
( +2 +1) =0
Mnożenie dwóch elementów jest równe 0 wtedy i tylko wtedy kiedy któryś z elementów przez które mnożymy jest zerem, czyli:
= 0 +2 +1 = 0
W przypadku pierwszego równania mamy jasność, drugie musimy rozwiązać korzystając z delty.
=2 −4⋅1⋅1 = 4−4 = 0
Mamy zatem jedno rozwiązanie:
= 2⋅1 −2 =− 2 =−1
Nasze równanie wielomianowe ma zatem 2 rozwiązania: x=0 oraz x=-1. Spróbujmy na jeszcze jednym przykładzie:
+5 +6 =0
W tym przypadku możemy wyłączyć wyższą potęgę x przed nawias, bo możemy wyłączyć aż .
( +5 +6) =0
Otrzymujemy zatem dwa osobne równania:
= 0 +5 +6 = 0
Zacznijmy od pierwszego równania :
= 0 \
=0
Drugie równanie ponownie wymaga obliczenia delty: +5 +6 = 0
Δ=5 −4⋅1⋅6 = 25−24 = 1
√Δ =1
Mamy tu zatem 2 rozwiązania:
= 2⋅1 =− 2 =−2
= −5 2⋅1 − 1 =− 62 =−3
Nasze równanie ma zatem aż trzy rozwiązania: x=0, x=-2, x=-3.
6.2 Metoda grupowania
Metoda grupowania jest troszkę trudniejsza, lecz po zrozumieniu jej zasad działa bardzo intuicyjnie. Na maturze podstawowej korzystamy z niej kiedy mamy parzystą ilość elementów w sumie i nie możemy nic wyłączyć przed nawias. Aby rozwiązać równanie metodą grupowania należy podzielić naszą sumę na 2 części i z każdej z nich wyciągnąć maksymalnie dużo przed nawias tak, aby w nawiasach zostało to samo. Najlepiej wytłumaczyć daną metodę na przykładzie: Zadanie ( matura maj 2010, zadanie 27):
−7 −4 + 28 =0
Dzielimy nasze równanie na 2 grupy:
Wyciągamy maksymalnie dużo przed nawias z grupy pierwszej oraz drugiej:
( −7) −4( −7) =0
Zauważmy, że z drugiej grupy przed nawias wyciągamy -4, zatem aby iloczyn był dodatni i wynosił 28, musimy w nawiasie mieć liczbę ujemną ponieważ tylko −⋅−= +. Jak widzimy teraz w nawiasach występuje dokładnie to samo. Spróbujemy zatem wyciągnąć nasz nawias przed nawias.
Zauważmy, że jak wyciągniemy x-7 z pierwszego elementu to pozostanie nam , natomiast jak wyciągniemy to z drugiego elementu zostanie -4 Otrzymujemy zatem:
( −7)( −4) =0
Dzielimy równanie na 2 osobne (podobna sytuacja jak w metodzie wyciągania przed nawias):
− 7 = 0 −4 = 0
Z pierwszego równania wychodzi nam, że x=7. Z drugiego równania: −4 = 0
=4
Musimy się zastanowić co podniesione do kwadratu da nam 4, zatem = 2 = −2.
Nasze równanie ma zatem 3 rozwiązania: x=7, x=-2 oraz x=2 . Zróbmy jeszcze jeden przykład. Zanim opanujecie tą metodę trzeba będzie zrobić wiele przykładów. Pamiętajcie, że jeżeli w nawiasach nie pojawia wam się to samo, to coś jest źle ;)
Zadanie (matura sierpie ń 2010, zadanie 27). Rozwiąż równanie:
−3 +2 −6 = 0
Możemy zastanawiać się, czy cokolwiek podniesione do kwadratu da nam -2, ale to równanie sprzeczne! Nigdy nie otrzymamy liczby ujemnej w wyniku potęgi parzystego stopnia !
Zatem tutaj nasze równanie ma tyko jedno rozwiązanie: x=3. Tu w tym miejscu umieścimy równania wielomianowe dla osób, które są po gimnazjum. Oczywiście obowiązują również one osoby po podstawówce, z tym, że niestety, te drugie osoby mają trochę więcej materiału na podstawie.
6.3 ZADANIA: RÓWNANIA WIELOMIANOWE Zadanie 1. (matura czerwiec 2015, zadanie 27). Rozwiąż równanie:
( −2 +3) =0
Zadanie 2. (matura maj 2016, zadanie 28). Rozwiąż równanie:
(4− )( +2 −15) =0
Zadanie 3. (matura sierpie ń 2017, zadanie 27). Rozwiąż równanie:
( −6)( 3 +2) =0
Zadanie 4. (matura próbna grudzie ń 2014, zadanie 3).
Rozwiązaniami równania:
( −8)( −5)(2 + 1) =0
są liczby:
. −8; −5; 1 . −1; 5; 8 . − 12 ; 2; 5 . − 12 ; 2; 8
Zadanie 5.
Rozwiąż równanie:
( −5 +6)( −1)( +3) =0
Zadanie 6.
Rozwiąż równanie:
( −8)( −4)( −8) =0
Zadanie 7. (matura maj 2019, zadanie 26) Rozwiąż równanie:
−5 −9 +45 = 0
Zadanie 8. (matura czerwiec 2020, zadanie 27). Rozwiąż równanie:
( −1)( −2 ) =0
6.4 Rozwi ą zania
Zadanie 1.
( −2 +3) =0
Rozpatrujemy 2 osobne równania:
= 0
−2 +3 = 0
W pierwszym mamy jasność, zabieramy się za drugie: −2 +3 = 0
Δ=(−2) −4⋅1⋅3 = 4−12 = −8
Δ<0
Brak rozwiązań z równania kwadratowego, zatem jedynym rozwiązaniem jest x=0.
Zadanie 2.
Ponownie rozpatrujemy 2 przypadki:
4 − = 0
+2 −15 = 0
Z pierwszego:
4− = 0
− = −4 \⋅ (−1)
=4
Z drugiego:
+2 −15 = 0
Δ=2 −4⋅1⋅(−15) =4+60=64
√Δ =8
= −2 2⋅1 + 8 = 62 =3
= −2 2⋅1 − 8 =− 10 2 =−5
Mamy zatem 3 rozwiązania:
Odpowiedź: x=4, x=3 oraz x=-5 .
Zadanie 3.
Rozpatrujemy 2 równania:
− 6 = 0 3 + 2 = 0
Pierwsze równanie:
=6
Co podniesione do kwadratu da nam 6?
=√6 = −√6
Drugie równanie:
3 + 2 = 0
3 = −2 \: 3
Odpowiedź: =√ , = −√ , = −
Zadanie 4.
Rozpatrujemy 3 równania:
−8 = 0
=8
=2
−5=0
=5
2 + 1 = 0
2 = −1 \: 2
=− 12
Odpowiedź: C.
Zadanie 5.
− 5 + 6 = 0 − 1 = 0 + 3 = 0
1) −5 +6 = 0
Δ=(−5) −4⋅1⋅6=25−24=1
√Δ =1
= −(−5) 2⋅1 −1 = 5−1 2 = 42 =2
= −(−5) 2⋅1 +1 = 5+1 2 = 62 =3
2) −1=0
=1
3) +3=0
=−3
Odpowiedź: Rozwiązaniami równania są x=2, x=3, x=1 oraz x=-3. Zadanie 6.
Rozpatrujemy trzy równania:
1) −8=0
2) −4 = 0
3) −8 = 0
1. −8=0
=8
2. −4 = 0
=4
=2 =−2
3. −8 = 0
=8
=2
Odpowiedź: Rozwiązaniami równania są x=2, x=-2. Zadanie 7.
Łączymy po 2 elementy i z nich wyciągamy maksymalnie dużo przed nawias:
( −5) −9( −5) =0
Wyciągamy (x-5) przed całość otrzymując:
( −5)( −9) =0
Teraz rozpatrujemy 2 równania:
1) −5=0→ =5
2) −9 = 0 → =9
=3 =−3
Odpowiedź: Mamy 3 rozwiązania: x=5, x=3 i x=-3. Zadanie 8.
Rozpatrujemy dwa przypadki:
1) −1 = 0
=1
= 1 = −1
2) −2 = 0
Wyciągamy x przed nawias lub rozwiązujemy deltą. Ja wyłączę x przed nawias.
( −2) =0
Zatem:
=0 −2=0
Naszymi rozwiązaniami są zatem:
Odpowiedź: x=1, x=-1, x=0, x=2.
6.5 Dzielenie wielomianów
Dzielenie wielomianów wygl ą da bardzo podobnie jak dzielenie pisemne liczb. do otrzymania reszty lub te ż do braku
Jeżeli już wcześniej miałeś „pod górkę” z dzieleniem pisemnym przedstawię tutaj jeszcze jedną alternatywną metodę dzielenia wielomianów, czyli schemat Hornera. Jest on wyjątkowo korzystny dla osób z dysleksją lub dysgrafią. Zacznijmy jednak od dzielenia pisemnego.
6.6 Dzielenie pisemne wielomianów
W przypadku dzielenia pisemnego liczb schemat wyglądał następująco:
Rysunek 6.1 Schemat dzielenia pisemnego
Dzielenie pisemne liczb na egzaminie maturalnym nie ma żadnego sensu, gdyż możemy mieć na nim kalkulator, natomiast identyczny schemat wykorzystamy w dzieleniu wielomianów. Spróbujemy wytłumaczyć to na przykładzie dzielenia wielomianu: − − − przez wielomian − .
Rysunek 6.2 Schemat dzielenia pisemnego
Rysunek 6.3 Schemat dzielenia pisemnego
Rysunek 6.4 Schemat dzielenia pisemnego
W tym przypadku nie wyszła nam żadna reszta z dzielenia, zatem możemy powiedzieć, że :
( −3 −3 −35): ( −5) = +2 +7
Dla pewności możemy zrobić sprawdzenie mnożąc nasz wynik z dzielenia przez dzielnik, czyli:
( −5)( +2 +7) = +2 +7 −5 − 10 − 35 = −3 −3 −35
Wyszedł nam dokładnie ten sam wielomian, którego dzieliliśmy, zatem rozwiązanie jest poprawne.
Spróbujmy inny przykład zrobić. Tym razem podzielimy wielomian: ( ) = + + − przez wielomian : + .
Rysunek 6.5 Schemat dzielenia pisemnego
Rysunek 6.6 Schemat dzielenia pisemnego
Rysunek 6.7 Schemat dzielenia pisemnego
Możemy zatem powiedzieć, że wielomian w(x) dzielony przez dwumian (x+4) daje resztę 4. Skoro dzielenie dało nam resztę, to oznacza, podobnie jak w liczbach, że wielomian niestety nie jest podzielny przez (x+4). Wielomian w(x) możemy zapisać jako:
+7 +7 −16 = ( −4)( +3 −5) +4
Oprócz mnożenia wyniku, który nam powstał i dzielnika, musimy pamiętać o reszcie która pozostała. Zaznaczona została ona w naszym wielomianie na żółto.
6.7 Pierwiastek ca ł kowity wielomianu
W przypadku wielomianów, których dzielnik wyrazu wolnego wielomianu. Liczba b ę dzie wielomianem, gdy
Weźmy przykład: wielomian: ( ) = − + − . Szukamy dzielników wyrazu wolnego, czyli w tym przypadku -1. Pamiętajmy, że interesują nas dzielniki całkowite, więc uwzględniamy zarówno dzielniki ujemne jak i dodatnie. Oznaczymy je jako p. Jedynym dzielnikiem -1 jest 1 i -1 zatem ∈ 1 .
Sprawdźmy zatem, czy wielomian od -1 lub 1 jest równy 0. (−1) = (−1) −3∗(−1) +3⋅(−1) −1 = −1−3∗1−3−1
= −1−3−3−1 = −8 ≠ 0
Sprawdzamy zatem nasz drugi możliwy pierwiastek, czyli 1. (1) =1 −3⋅1 +3⋅1−1 = 1−3+3−1 = 0
Zatem możemy powiedzieć, że 1 jest pierwiastkiem wielomianu a co za tym idzie, nasz wielomian W(x) będzie podzielny przez x-a, gdzie a jest pierwiastkiem wielomianu, czyli x-1. Wykonujemy dzielenie pisemne.
Wynikiem dzielenia jest kolejny wielomian, tutaj akurat trójmian kwadratowy. Aby obliczyć jego pierwiastki liczymy deltę.
6.7.1.1.1.1 =(−2) −4⋅1⋅1= 4−4 =0
Mamy zatem jeden pierwiastek:
= 2 =1
Nasz wielomian ma zatem 1 pierwiastek: x=1.
Weźmy inny przykład wielomianu i spróbujmy znaleźć jego pierwiastek. ( ) =2 +4 −3 −3
∈ 1. 3
(1) =2∗1 +4∗1 −3−3 = 2+4−3−3 = 0 Ponownie dzielnikiem wielomianu okazuje się x=1, zatem nasz wielomian musi być podzielny przez x-1. Wykonujemy dzielenie jak w poprzednich tematach i otrzymujemy trójmian kwadratowy. Liczymy zatem deltę, miejsca zerowe i koniec zadania. Spróbuj dokończyć je sam.
6.8 Równania wymierne
Równania wymierne to równania, w których w mianowniku występuje x. Przykładami równań wymiernych mogą być: − = lub = itd. Zaczynając obliczać rozwiązanie takiego równania, należy zacząć od wyznaczenia dziedziny, czyli wyznaczenia dla jakich x równanie ma sens. Pewnie wiele razy słyszeliście wierszyk, którego na potrzeby szkoły i tej książki lekko ocenzuruje:
Pami ę taj kolego, nigdy nie dziel przez Kreska ułamkowa to inaczej znak dzielenia, zatem możemy powiedzieć, że to co jest w mianowniku odpowiada temu, przez co dzielimy. Zatem zawsze chcąc obliczać równanie wymierne zaczynamy od ustalenia dziedziny czyli napisania ≠ 0. Takie równanie, mimo że
znak = jest przekreślony liczymy dokładnie tak samo jak każde inne, czyli doprowadzamy do postaci ≠⋯ . Przeanalizujmy ten krok na jakimś przykładzie. Załóżmy, że mamy równanie:
−3 =3
+2
Wiemy, że nasz mianownik nie może się równać 0, zatem otrzymujemy: +2≠0
Przerzucamy 2 na drugą stronę ze zmienionym znakiem i otrzymujemy: ≠−2.
Zatem można powiedzieć, że naszą dziedziną jest dowolny x oprócz x=-2. Możemy też zapisać ∈ \ −2 .
Najszybszą metodą rozwiązywania równań wymiernych jest tzw. metoda „na krzyż”. Załóżmy, że mamy rozwiązać równanie podane powyżej. Wówczas warto zapisać je sobie w nieco inny sposób tzn.: = . Mnożąc dane równanie na krzyż otrzymamy :
( −3) ⋅1 = ( +2) ⋅3
Wykonujemy działania i wyliczamy x.
−3=3 +6
−3 =6+3
−2 = 9 \: (−2)
=− lub jak kto woli = −4,5.
Rozwiązanie jest zgodne z dziedziną, ponieważ z niej wynika, że x nie mógł być równy tylko -2, zatem to koniec naszego równania. Zadanie ( matura sierpie ń 2012, zadanie 11).
Równanie (\ )(\ ) =0 ma
A. Dokładnie jedno rozwiązanie
B. Dokładnie dwa rozwiązania
C. Dokładnie trzy rozwiązania
D. Dokładnie cztery rozwiązania
Tradycyjnie zaczynamy od dziedziny:
( −3)( +2) ≠0
− 3 ≠ 0 + 2 ≠ 0
≠ 3 ≠ −2
Zatem naszą dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste za wyjątkiem x =3 i x=-2, możemy to zapisać jako ∈ \ 3,−2 . Przechodzimy do naszego równania:
( +3)( −2) =0 \⋅( −3)( +2)
( −3)( +2)
( +3)( −2) =0
+3=0 −2=0
= −3 = 2
Mamy zatem 2 rozwiązania i oba są zgodne z dziedziną funkcji. Odpowiedź: B.
6.9 ZADANIA: RÓWNANIA WYMIERNE
Zadanie 1. (matura sierpie ń 2014, zadanie 6). Rozwiązaniem równania : = jest liczba:
. −11 . 2 . 11 . 11
Zadanie 2. ( matura maj 2015, zadanie 7) Rozwiązaniem równania: = jest liczba :
. = 0 . = 12 5 . = 2 . = 2511
Zadanie 3. ( matura maj 2015, zadanie 7). Równanie: = −
A. Ma dokładnie jedno rozwiązanie x=1
B. Ma dokładnie jedno rozwiązanie x=0
C. Ma dokładnie jedno rozwiązanie x=-1
D. Ma dokładnie dwa rozwiązania x=0, x=1
Zadanie 4.
Rozwiązaniem równania: = , ≠ , jest liczba należąca do
przedziału :
. (−∞, −2) . < −2, −1) . < −1,0) . (0, ∞)
Zadanie 5. (matura sierpie ń 2015, zadanie 26). Rozwiąż równanie = , gdzie ≠ ≠ .
6.10 SPRAWD Ź SI Ę ! ZESKANUJ KOD I ZRÓB QUIZZ!
6.11 Rozwi ą zania
Zadanie 1.
−5 = 1
7− 3
3( −5) =1(7− )
3 − 15 = 7 −
4 = 22\: 4
= 22 4
= 11 2
Odpowiedź: B.
Zadanie 2.
2 − 4 = 4
3− 3
3(2 − 4) =4(3− )
6 − 12 = 12 − 4
6 + 4 = 12 + 12
10 = 24
= 2410
= 12 5
Odpowiedź: B.
Zadanie 3.
+1 = −1
D: +1≠0 ,
≠−1
−1=( +1)( −1)
−1= −1
−1− +1 = 0
− + = 0
(− + 1) =0
= 0 − + 1 = 0
=1
Z dziedziny wynikało, że ≠− zatem oba rozwiązania które nam wyszły są poprawne.
Odpowiedź: D
Zadanie 4.
: ≠ 0
−7 =5 \⋅
−7=5
−5 =7
−4 = 7\: (−4)
=− 74 =−1 34
Odpowiedź: B .
Zadanie 5.
≠ 0 2 − 4 ≠ 0
2 ≠ 4
≠2
: ∈ \ 0,2
Mnożymy równanie na krzyż:
(2 − 4)(2 − 4) = ⋅
4 −8 −8 +16 =
Przerzucamy na jedną stronę i przyrównujemy do 0. 3 − 16 + 16 = 0
Δ=(−16) − 4 ⋅ 3 ⋅ 16 = 256 − 192 = 64
√Δ =8
= 16 2⋅3 − 8 = 86 = 43
= 16 6+ 8 = 24 6 =4
Innymi słowy, równanie wielomianowe to nic innego jak suma jednomianów przyrównana do 0. Równanie wielomianowe czasem bardzo trudno jest obliczyć i trzeba użyć do niego wielu metod. W tym miejscu chciałabym wymienić kilka metod rozwiązywania równań wielomianowych m z czego pierwsze 3 obowiązują uczniów po gimnazjum, natomiast ostatnia uczniów po podstawówce:
wyciąganie czynnika przed nawias
metoda grupowania
dzielenie wielomianów
Zacznijmy po kolei omawiać metody. Przyłóż się do tego tematu bo dotychczas zadanie z równania wielomianowego było zawsze jako jedno z zadań otwartych na maturze !
6.1 Metoda wy łą czania czynnika przed nawias Metodę wyłączania czynnika przed nawias wykorzystujemy, gdy mamy do czynienia z wielomianem, w którym każdy element ma x. Wówczas możemy go wyłączyć przed nawias i przedstawić wielomian jako iloczyn dwóch elementów: wyłączonego x i nawiasu. Wtedy każdy z elementów możemy przyrównać do 0 tworząc dwa osobne równania. Pokażę to na przykładzie.
+2 + = 0
Jak widzimy możemy tutaj wyłączyć x przed nawias. Otrzymamy wówczas:
( +2 +1) =0
Mnożenie dwóch elementów jest równe 0 wtedy i tylko wtedy kiedy któryś z elementów przez które mnożymy jest zerem, czyli:
= 0 +2 +1 = 0
W przypadku pierwszego równania mamy jasność, drugie musimy rozwiązać korzystając z delty.
=2 −4⋅1⋅1 = 4−4 = 0
Mamy zatem jedno rozwiązanie:
= 2⋅1 −2 =− 2 =−1
Nasze równanie wielomianowe ma zatem 2 rozwiązania: x=0 oraz x=-1. Spróbujmy na jeszcze jednym przykładzie:
+5 +6 =0
W tym przypadku możemy wyłączyć wyższą potęgę x przed nawias, bo możemy wyłączyć aż .
( +5 +6) =0
Otrzymujemy zatem dwa osobne równania:
= 0 +5 +6 = 0
Zacznijmy od pierwszego równania :
= 0 \
=0
Drugie równanie ponownie wymaga obliczenia delty: +5 +6 = 0
Δ=5 −4⋅1⋅6 = 25−24 = 1
√Δ =1
Mamy tu zatem 2 rozwiązania:
= 2⋅1 =− 2 =−2
= −5 2⋅1 − 1 =− 62 =−3
Nasze równanie ma zatem aż trzy rozwiązania: x=0, x=-2, x=-3.
6.2 Metoda grupowania
Metoda grupowania jest troszkę trudniejsza, lecz po zrozumieniu jej zasad działa bardzo intuicyjnie. Na maturze podstawowej korzystamy z niej kiedy mamy parzystą ilość elementów w sumie i nie możemy nic wyłączyć przed nawias. Aby rozwiązać równanie metodą grupowania należy podzielić naszą sumę na 2 części i z każdej z nich wyciągnąć maksymalnie dużo przed nawias tak, aby w nawiasach zostało to samo. Najlepiej wytłumaczyć daną metodę na przykładzie: Zadanie ( matura maj 2010, zadanie 27):
−7 −4 + 28 =0
Dzielimy nasze równanie na 2 grupy:
Wyciągamy maksymalnie dużo przed nawias z grupy pierwszej oraz drugiej:
( −7) −4( −7) =0
Zauważmy, że z drugiej grupy przed nawias wyciągamy -4, zatem aby iloczyn był dodatni i wynosił 28, musimy w nawiasie mieć liczbę ujemną ponieważ tylko −⋅−= +. Jak widzimy teraz w nawiasach występuje dokładnie to samo. Spróbujemy zatem wyciągnąć nasz nawias przed nawias.
Zauważmy, że jak wyciągniemy x-7 z pierwszego elementu to pozostanie nam , natomiast jak wyciągniemy to z drugiego elementu zostanie -4 Otrzymujemy zatem:
( −7)( −4) =0
Dzielimy równanie na 2 osobne (podobna sytuacja jak w metodzie wyciągania przed nawias):
− 7 = 0 −4 = 0
Z pierwszego równania wychodzi nam, że x=7. Z drugiego równania: −4 = 0
=4
Musimy się zastanowić co podniesione do kwadratu da nam 4, zatem = 2 = −2.
Nasze równanie ma zatem 3 rozwiązania: x=7, x=-2 oraz x=2 . Zróbmy jeszcze jeden przykład. Zanim opanujecie tą metodę trzeba będzie zrobić wiele przykładów. Pamiętajcie, że jeżeli w nawiasach nie pojawia wam się to samo, to coś jest źle ;)
Zadanie (matura sierpie ń 2010, zadanie 27). Rozwiąż równanie:
−3 +2 −6 = 0
Możemy zastanawiać się, czy cokolwiek podniesione do kwadratu da nam -2, ale to równanie sprzeczne! Nigdy nie otrzymamy liczby ujemnej w wyniku potęgi parzystego stopnia !
Zatem tutaj nasze równanie ma tyko jedno rozwiązanie: x=3. Tu w tym miejscu umieścimy równania wielomianowe dla osób, które są po gimnazjum. Oczywiście obowiązują również one osoby po podstawówce, z tym, że niestety, te drugie osoby mają trochę więcej materiału na podstawie.
6.3 ZADANIA: RÓWNANIA WIELOMIANOWE Zadanie 1. (matura czerwiec 2015, zadanie 27). Rozwiąż równanie:
( −2 +3) =0
Zadanie 2. (matura maj 2016, zadanie 28). Rozwiąż równanie:
(4− )( +2 −15) =0
Zadanie 3. (matura sierpie ń 2017, zadanie 27). Rozwiąż równanie:
( −6)( 3 +2) =0
Zadanie 4. (matura próbna grudzie ń 2014, zadanie 3).
Rozwiązaniami równania:
( −8)( −5)(2 + 1) =0
są liczby:
. −8; −5; 1 . −1; 5; 8 . − 12 ; 2; 5 . − 12 ; 2; 8
Zadanie 5.
Rozwiąż równanie:
( −5 +6)( −1)( +3) =0
Zadanie 6.
Rozwiąż równanie:
( −8)( −4)( −8) =0
Zadanie 7. (matura maj 2019, zadanie 26) Rozwiąż równanie:
−5 −9 +45 = 0
Zadanie 8. (matura czerwiec 2020, zadanie 27). Rozwiąż równanie:
( −1)( −2 ) =0
6.4 Rozwi ą zania
Zadanie 1.
( −2 +3) =0
Rozpatrujemy 2 osobne równania:
= 0
−2 +3 = 0
W pierwszym mamy jasność, zabieramy się za drugie: −2 +3 = 0
Δ=(−2) −4⋅1⋅3 = 4−12 = −8
Δ<0
Brak rozwiązań z równania kwadratowego, zatem jedynym rozwiązaniem jest x=0.
Zadanie 2.
Ponownie rozpatrujemy 2 przypadki:
4 − = 0
+2 −15 = 0
Z pierwszego:
4− = 0
− = −4 \⋅ (−1)
=4
Z drugiego:
+2 −15 = 0
Δ=2 −4⋅1⋅(−15) =4+60=64
√Δ =8
= −2 2⋅1 + 8 = 62 =3
= −2 2⋅1 − 8 =− 10 2 =−5
Mamy zatem 3 rozwiązania:
Odpowiedź: x=4, x=3 oraz x=-5 .
Zadanie 3.
Rozpatrujemy 2 równania:
− 6 = 0 3 + 2 = 0
Pierwsze równanie:
=6
Co podniesione do kwadratu da nam 6?
=√6 = −√6
Drugie równanie:
3 + 2 = 0
3 = −2 \: 3
Odpowiedź: =√ , = −√ , = −
Zadanie 4.
Rozpatrujemy 3 równania:
−8 = 0
=8
=2
−5=0
=5
2 + 1 = 0
2 = −1 \: 2
=− 12
Odpowiedź: C.
Zadanie 5.
− 5 + 6 = 0 − 1 = 0 + 3 = 0
1) −5 +6 = 0
Δ=(−5) −4⋅1⋅6=25−24=1
√Δ =1
= −(−5) 2⋅1 −1 = 5−1 2 = 42 =2
= −(−5) 2⋅1 +1 = 5+1 2 = 62 =3
2) −1=0
=1
3) +3=0
=−3
Odpowiedź: Rozwiązaniami równania są x=2, x=3, x=1 oraz x=-3. Zadanie 6.
Rozpatrujemy trzy równania:
1) −8=0
2) −4 = 0
3) −8 = 0
1. −8=0
=8
2. −4 = 0
=4
=2 =−2
3. −8 = 0
=8
=2
Odpowiedź: Rozwiązaniami równania są x=2, x=-2. Zadanie 7.
Łączymy po 2 elementy i z nich wyciągamy maksymalnie dużo przed nawias:
( −5) −9( −5) =0
Wyciągamy (x-5) przed całość otrzymując:
( −5)( −9) =0
Teraz rozpatrujemy 2 równania:
1) −5=0→ =5
2) −9 = 0 → =9
=3 =−3
Odpowiedź: Mamy 3 rozwiązania: x=5, x=3 i x=-3. Zadanie 8.
Rozpatrujemy dwa przypadki:
1) −1 = 0
=1
= 1 = −1
2) −2 = 0
Wyciągamy x przed nawias lub rozwiązujemy deltą. Ja wyłączę x przed nawias.
( −2) =0
Zatem:
=0 −2=0
Naszymi rozwiązaniami są zatem:
Odpowiedź: x=1, x=-1, x=0, x=2.
6.5 Dzielenie wielomianów
Dzielenie wielomianów wygl ą da bardzo podobnie jak dzielenie pisemne liczb. do otrzymania reszty lub te ż do braku
Jeżeli już wcześniej miałeś „pod górkę” z dzieleniem pisemnym przedstawię tutaj jeszcze jedną alternatywną metodę dzielenia wielomianów, czyli schemat Hornera. Jest on wyjątkowo korzystny dla osób z dysleksją lub dysgrafią. Zacznijmy jednak od dzielenia pisemnego.
6.6 Dzielenie pisemne wielomianów
W przypadku dzielenia pisemnego liczb schemat wyglądał następująco:
Rysunek 6.1 Schemat dzielenia pisemnego
Dzielenie pisemne liczb na egzaminie maturalnym nie ma żadnego sensu, gdyż możemy mieć na nim kalkulator, natomiast identyczny schemat wykorzystamy w dzieleniu wielomianów. Spróbujemy wytłumaczyć to na przykładzie dzielenia wielomianu: − − − przez wielomian − .
Rysunek 6.2 Schemat dzielenia pisemnego
Rysunek 6.3 Schemat dzielenia pisemnego
Rysunek 6.4 Schemat dzielenia pisemnego
W tym przypadku nie wyszła nam żadna reszta z dzielenia, zatem możemy powiedzieć, że :
( −3 −3 −35): ( −5) = +2 +7
Dla pewności możemy zrobić sprawdzenie mnożąc nasz wynik z dzielenia przez dzielnik, czyli:
( −5)( +2 +7) = +2 +7 −5 − 10 − 35 = −3 −3 −35
Wyszedł nam dokładnie ten sam wielomian, którego dzieliliśmy, zatem rozwiązanie jest poprawne.
Spróbujmy inny przykład zrobić. Tym razem podzielimy wielomian: ( ) = + + − przez wielomian : + .
Rysunek 6.5 Schemat dzielenia pisemnego
Rysunek 6.6 Schemat dzielenia pisemnego
Rysunek 6.7 Schemat dzielenia pisemnego
Możemy zatem powiedzieć, że wielomian w(x) dzielony przez dwumian (x+4) daje resztę 4. Skoro dzielenie dało nam resztę, to oznacza, podobnie jak w liczbach, że wielomian niestety nie jest podzielny przez (x+4). Wielomian w(x) możemy zapisać jako:
+7 +7 −16 = ( −4)( +3 −5) +4
Oprócz mnożenia wyniku, który nam powstał i dzielnika, musimy pamiętać o reszcie która pozostała. Zaznaczona została ona w naszym wielomianie na żółto.
6.7 Pierwiastek ca ł kowity wielomianu
W przypadku wielomianów, których dzielnik wyrazu wolnego wielomianu. Liczba b ę dzie wielomianem, gdy
Weźmy przykład: wielomian: ( ) = − + − . Szukamy dzielników wyrazu wolnego, czyli w tym przypadku -1. Pamiętajmy, że interesują nas dzielniki całkowite, więc uwzględniamy zarówno dzielniki ujemne jak i dodatnie. Oznaczymy je jako p. Jedynym dzielnikiem -1 jest 1 i -1 zatem ∈ 1 .
Sprawdźmy zatem, czy wielomian od -1 lub 1 jest równy 0. (−1) = (−1) −3∗(−1) +3⋅(−1) −1 = −1−3∗1−3−1
= −1−3−3−1 = −8 ≠ 0
Sprawdzamy zatem nasz drugi możliwy pierwiastek, czyli 1. (1) =1 −3⋅1 +3⋅1−1 = 1−3+3−1 = 0
Zatem możemy powiedzieć, że 1 jest pierwiastkiem wielomianu a co za tym idzie, nasz wielomian W(x) będzie podzielny przez x-a, gdzie a jest pierwiastkiem wielomianu, czyli x-1. Wykonujemy dzielenie pisemne.
Wynikiem dzielenia jest kolejny wielomian, tutaj akurat trójmian kwadratowy. Aby obliczyć jego pierwiastki liczymy deltę.
6.7.1.1.1.1 =(−2) −4⋅1⋅1= 4−4 =0
Mamy zatem jeden pierwiastek:
= 2 =1
Nasz wielomian ma zatem 1 pierwiastek: x=1.
Weźmy inny przykład wielomianu i spróbujmy znaleźć jego pierwiastek. ( ) =2 +4 −3 −3
∈ 1. 3
(1) =2∗1 +4∗1 −3−3 = 2+4−3−3 = 0 Ponownie dzielnikiem wielomianu okazuje się x=1, zatem nasz wielomian musi być podzielny przez x-1. Wykonujemy dzielenie jak w poprzednich tematach i otrzymujemy trójmian kwadratowy. Liczymy zatem deltę, miejsca zerowe i koniec zadania. Spróbuj dokończyć je sam.
6.8 Równania wymierne
Równania wymierne to równania, w których w mianowniku występuje x. Przykładami równań wymiernych mogą być: − = lub = itd. Zaczynając obliczać rozwiązanie takiego równania, należy zacząć od wyznaczenia dziedziny, czyli wyznaczenia dla jakich x równanie ma sens. Pewnie wiele razy słyszeliście wierszyk, którego na potrzeby szkoły i tej książki lekko ocenzuruje:
Pami ę taj kolego, nigdy nie dziel przez Kreska ułamkowa to inaczej znak dzielenia, zatem możemy powiedzieć, że to co jest w mianowniku odpowiada temu, przez co dzielimy. Zatem zawsze chcąc obliczać równanie wymierne zaczynamy od ustalenia dziedziny czyli napisania ≠ 0. Takie równanie, mimo że
znak = jest przekreślony liczymy dokładnie tak samo jak każde inne, czyli doprowadzamy do postaci ≠⋯ . Przeanalizujmy ten krok na jakimś przykładzie. Załóżmy, że mamy równanie:
−3 =3
+2
Wiemy, że nasz mianownik nie może się równać 0, zatem otrzymujemy: +2≠0
Przerzucamy 2 na drugą stronę ze zmienionym znakiem i otrzymujemy: ≠−2.
Zatem można powiedzieć, że naszą dziedziną jest dowolny x oprócz x=-2. Możemy też zapisać ∈ \ −2 .
Najszybszą metodą rozwiązywania równań wymiernych jest tzw. metoda „na krzyż”. Załóżmy, że mamy rozwiązać równanie podane powyżej. Wówczas warto zapisać je sobie w nieco inny sposób tzn.: = . Mnożąc dane równanie na krzyż otrzymamy :
( −3) ⋅1 = ( +2) ⋅3
Wykonujemy działania i wyliczamy x.
−3=3 +6
−3 =6+3
−2 = 9 \: (−2)
=− lub jak kto woli = −4,5.
Rozwiązanie jest zgodne z dziedziną, ponieważ z niej wynika, że x nie mógł być równy tylko -2, zatem to koniec naszego równania. Zadanie ( matura sierpie ń 2012, zadanie 11).
Równanie (\ )(\ ) =0 ma
A. Dokładnie jedno rozwiązanie
B. Dokładnie dwa rozwiązania
C. Dokładnie trzy rozwiązania
D. Dokładnie cztery rozwiązania
Tradycyjnie zaczynamy od dziedziny:
( −3)( +2) ≠0
− 3 ≠ 0 + 2 ≠ 0
≠ 3 ≠ −2
Zatem naszą dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste za wyjątkiem x =3 i x=-2, możemy to zapisać jako ∈ \ 3,−2 . Przechodzimy do naszego równania:
( +3)( −2) =0 \⋅( −3)( +2)
( −3)( +2)
( +3)( −2) =0
+3=0 −2=0
= −3 = 2
Mamy zatem 2 rozwiązania i oba są zgodne z dziedziną funkcji. Odpowiedź: B.
6.9 ZADANIA: RÓWNANIA WYMIERNE
Zadanie 1. (matura sierpie ń 2014, zadanie 6). Rozwiązaniem równania : = jest liczba:
. −11 . 2 . 11 . 11
Zadanie 2. ( matura maj 2015, zadanie 7) Rozwiązaniem równania: = jest liczba :
. = 0 . = 12 5 . = 2 . = 2511
Zadanie 3. ( matura maj 2015, zadanie 7). Równanie: = −
A. Ma dokładnie jedno rozwiązanie x=1
B. Ma dokładnie jedno rozwiązanie x=0
C. Ma dokładnie jedno rozwiązanie x=-1
D. Ma dokładnie dwa rozwiązania x=0, x=1
Zadanie 4.
Rozwiązaniem równania: = , ≠ , jest liczba należąca do
przedziału :
. (−∞, −2) . < −2, −1) . < −1,0) . (0, ∞)
Zadanie 5. (matura sierpie ń 2015, zadanie 26). Rozwiąż równanie = , gdzie ≠ ≠ .
6.10 SPRAWD Ź SI Ę ! ZESKANUJ KOD I ZRÓB QUIZZ!
6.11 Rozwi ą zania
Zadanie 1.
−5 = 1
7− 3
3( −5) =1(7− )
3 − 15 = 7 −
4 = 22\: 4
= 22 4
= 11 2
Odpowiedź: B.
Zadanie 2.
2 − 4 = 4
3− 3
3(2 − 4) =4(3− )
6 − 12 = 12 − 4
6 + 4 = 12 + 12
10 = 24
= 2410
= 12 5
Odpowiedź: B.
Zadanie 3.
+1 = −1
D: +1≠0 ,
≠−1
−1=( +1)( −1)
−1= −1
−1− +1 = 0
− + = 0
(− + 1) =0
= 0 − + 1 = 0
=1
Z dziedziny wynikało, że ≠− zatem oba rozwiązania które nam wyszły są poprawne.
Odpowiedź: D
Zadanie 4.
: ≠ 0
−7 =5 \⋅
−7=5
−5 =7
−4 = 7\: (−4)
=− 74 =−1 34
Odpowiedź: B .
Zadanie 5.
≠ 0 2 − 4 ≠ 0
2 ≠ 4
≠2
: ∈ \ 0,2
Mnożymy równanie na krzyż:
(2 − 4)(2 − 4) = ⋅
4 −8 −8 +16 =
Przerzucamy na jedną stronę i przyrównujemy do 0. 3 − 16 + 16 = 0
Δ=(−16) − 4 ⋅ 3 ⋅ 16 = 256 − 192 = 64
√Δ =8
= 16 2⋅3 − 8 = 86 = 43
= 16 6+ 8 = 24 6 =4
więcej..
