Nie bój się pochodnej - ebook

PRZEDMOWA

Książka ta jest przeznaczona dla osób, które chciałyby poznać podstawowe pojęcia rachunku różniczkowego i całkowego, a nie uczyły się ich w szkole średniej (rachunku całkowego w obecnym liceum po prostu nie ma). A także dla tych, które przez wiele lat tych pojęć nie używały. Nie jest ona podręcznikiem analizy matematycznej. Ma jedynie poglądowo i „obrazkowo” pokazać, o co w tym rachunku różniczkowym chodzi. Mam nadzieję, że przynajmniej część Czytelników sięgnie w przyszłości do prawdziwych podręczników analizy matematycznej, na przykład do starego, świetnego i stale wznawianego Fichtenholtza .

Książka składa się z dwóch części:

1. W pierwszej wprowadza się pojęcia pochodnej i całki, a także omawia podstawowe zasady różniczkowania i całkowania. Wspomina się także o typowych zastosowaniach rachunku różniczkowego.

2. W drugiej – przypomniane są różne wiadomości z matematyki ze szkoły średniej, które są niezbędne do rozumienia części pierwszej.

Przy okazji są także omawiane proste pojęciowo sposoby obliczania ważnych stałych, jak π czy _e,_ a także znajdowania wartości typowych funkcji, jak sin(_x_), _e_x czy lg(_x_).

Pomysł napisania tej książki ma długą historię, związaną z prowadzonymi przeze mnie zajęciami na Wydziale Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego. Wszytko zaczęło się przeszło pięćdziesiąt lat temu, kiedy rozpoczynałem swój pierwszy wykład – dla studentów biologii, geografii i geologii. Doszedłem wtedy do wniosku, że nie będę mógł efektywnie go prowadzić, nie posługując się pojęciem pochodnej i całki. Moi słuchacze tych pojęć nie znali, bo nie nauczono ich wtedy ani w szkole średniej, ani na uczelni. Problem powrócił po kilkudziesięciu latach, kiedy zacząłem prowadzić zajęcia na _Kursie Podyplomowym z Fizyki_ dla nauczycieli. Część uczestników – nie fizyków i nie matematyków – podstaw matematyki nie pamiętała, bo w czasie ich pracy w szkole nie były im one potrzebne. Wynikła stąd konieczność uzupełnienia tego materiału.

Od wspomnianych wyżej zamierzchłych czasów nastąpiła zmiana niezmiernie istotna z dydaktycznego punktu widzenia: komputery stały się sprzętem codziennego użytku. Ich standardowe oprogramowanie stanowią między innymi programy obliczeniowe, jak _Excel_. Za ich pomocą można prowadzić złożone obliczenia czy wykonywać wykresy funkcji. Zostało to wykorzystane w wielu rozumowaniach w treści tej książki.

Pierwszą wersję tej pozycji wydrukowały w roku 2008 nieistniejące już Wydawnictwa Naukowo-Techniczne. Obecna jest nieco zmieniona.

Mam nadzieję, moi drodzy, że po przeczytaniu tej książki nie będziecie się bać ani pochodnych, ani całek!

_Jerzy Ginter_1
POCHODNA

1.1. Pojęcie pochodnej

Nie jest przypadkiem, że Izaak Newton – który położył podwaliny nowożytnej fizyki – stworzył równocześnie rachunek różniczkowy i całkowy. Po prostu ten dział matematyki stanowi podstawowy język zarówno nauk przyrodniczych jak techniki.

Zacznijmy od kilku prostych przykładów.

Prędkość średnia i prędkość chwilowa

Jeżeli ciało się porusza po linii prostej, współrzędna jego położenia _x_ zmienia się wraz z upływem czasu _t_ (rys. 1.1). Przypuśćmy, że w pewnym skończonym przedziale czasu Δ_t_ położenie zmieniło się o Δ_x_, od _x_ do _x_ + Δ_x_. Powiemy, że w przedziale czasu Δ_t_ ciało miało prędkość średnią:

.

(1.1)

Rys. 1.1. Ciało porusza się wzdłuż osi _x_ jednowymiarowego układu współrzędnych

Na przykład: samochód w ciągu minuty, czyli Δ_t_ = 60 s przejechał odcinek o długości 1,2 km, czyli Δ_x_ = 1200 m. Jego prędkość ŚREDNIA wynosiła więc (czyli 72). Jednak w ciągu tej minuty mógł zwalniać i przyspieszać. Można zapytać: jaka była prędkość CHWILOWA na początku omawianego przedziału czasu? Aby na to pytanie odpowiedzieć, należałoby zmierzyć zmianę położenia samochodu w krótszym przedziale czasu. Większą dokładność uzyskalibyśmy, dokonując pomiaru dla Δ_t_ = 1 s (samochód przejechałby w tym czasie około 20 m). Jeszcze większą – dokonując pomiaru w czasie 0,01 s (samochód przejechałby w tym czasie około 20 cm), itp. Interesuje nas więc GRANICA:

.

(1.2)

Symbol oznacza granicę dla Δ_t_ dążącego do zera.

Taką granicę nazywamy pochodną położenia _x_ względem czasu _t_.

Siła elektromotoryczna indukcji

Z podobną sytuacją mamy do czynienia w zjawisku indukcji elektromagnetycznej. Siła elektromotoryczna E indukowana w zwojnicy jest proporcjonalna do zmian w czasie strumienia indukcji magnetycznej B, czyli _Φ_B:

Rys. 1.2. Na skutek zmian strumienia indukcji magnetycznej w zwojnicy powstaje siła elektromotoryczna

(1.3)

Siła elektromotoryczna indukcji jest równa – z przeciwnym znakiem – pochodnej strumienia indukcji magnetycznej względem czasu.

Ciepło właściwe

Analogicznie: ciepłem właściwym _c_ nazywamy ilość ciepła Δ_Q_, która trzeba dostarczyć, aby podnieść temperaturę _T_ JEDNOSTKOWEJ MASY ciała o jednostkową wartość Δ_T_.

Rys. 1.3. Przepływ ciepła powoduje wzrost temperatury ciała

Jeżeli jednak ciepło właściwe nie jest stałe, a zależy od temperatury, musimy wtedy brać nie jednostkowe, ale bardzo małe przyrosty temperatury. Prowadzi to więc do definicji:

(1.4)

Podobne przykłady można by dowolnie mnożyć.

1.2. Definicja pochodnej

Pochodna funkcji w punkcie _x_₀

Spójrzmy na zagadnienie nieco ogólniej. Przypuśćmy, że określona jest funkcja _f_ (_x_), przyporządkowująca wielkości _x_ (zmiennej NIEZALEŻNEJ) pewną inną wielkość _y_ (zmienną ZALEŻNĄ).

_y_ = _f_ (_x_).

(1.5)

POCHODNĄ funkcji _f_ (_x_)względem _x_ w punkcie _x_₀ będziemy nazywać wielkość:

(1.6)

Mówimy o tym, że pochodna jest granicą ILORAZU RÓŻNICOWEGO dla Δ_x_ dążącego do zera. Znajdowanie pochodnej funkcji nazywamy RÓŻNICZKOWANIEM.

Będziemy równolegle używać na oznaczenie pochodnej dwóch symboli:

– _f_ ′(_x_), bardziej „abstrakcyjnego” – pochodzącego od Lagrange’a;

– , pochodzącego od Leibniza, który oznaczał iloraz różnicowy dla „nieskończenie małego” przyrostu wielkości _x_, czyli _dx_.

1.3. Interpretacja geometryczna pochodnej

Pochodna prawostronna

Rozpatrzmy funkcję _y_ = _f_ (_x_), którą przedstawia linia krzywa na rysunku 1.4.

Rys. 1.4. Kąt nachylenia siecznej _α_ (a) dla Δ_x_ > 0 i kąt nachylenia stycznej _α_₀ (b). Pochodna równa jest tangensowi kąta nachylenia stycznej _α_₀

Przyjmijmy na początku, że Δ_x_ > 0. Oznacza to, że rozpatrywać będziemy punkty _x_ > _x_₀, czyli znajdujące się na wykresie funkcji _y_ _=_ _f_ (_x_) ma prawo od punktu _x_₀. Widać na rysunku 1.4a, że wartość ilorazu różnicowego jest równa tangensowi kąta _α_, określającego nachylenie SIECZNEJ, czyli linii przecinającej krzywą _y_ _=_ _f_ (_x_) w punktach o współrzędnych _x_₀, _f_ (_x_₀) oraz _x_₀ + Δ_x_, _f_ (_x_₀ + Δ_x_). Kiedy Δ_x_ dąży do zera, sieczna dąży do stycznej do krzywej w punkcie o współrzędnych _x_₀, _f_ (_x_₀). A zatem pochodna w punkcie _x_₀ równa jest TANGENSOWI KĄTA NACHYLENIA STYCZNEJ do krzywej _y_ = _f_ (_x_). Kąt ten oznaczymy _α_₀ (rys1.4b). Widać, że w naszym przykładzie kiedy Δ_x_ → 0, tg(_α_) jest dodatni i rośnie.

Tangens → D. Funkcje trygonometryczne

Rys. 1.5. Kąt nachylenia siecznej _α_ dla Δ_x_ < 0

Pochodna lewostronna

W podobny sposób można by było obliczać ilorazy różnicowe funkcji _y_ = _f_ (_x_) dla Δ_x_ ujemnych (rys. 1.5). Oznacza to, że rozpatrywać będziemy punkty _x_ < _x_₀, czyli znajdujące się na wykresie funkcji _y_ _=_ _f_ (_x_) ma lewo od punktu _x_₀. Widać, że w tym przykładzie kiedy Δ_x_ → 0, tg(_α_) jest dodatni, ale maleje.

1.4. Numeryczne obliczanie pochodnej w punkcie x₀

Rozpatrzmy teraz proste przykłady numeryczne. Rozważmy funkcję, przedstawioną na rysunkach 1.4 i 1.5, czyli:

_y_ _=_ _f_ (_x_) = 1 – (_x_ – 1)² = – _x_² + 2_x_.

(1.7)

Pochodna prawostronna

Wybierzmy punkt _x_₀ = 0,5 i malejące przyrosty Wynik obliczeń ilorazów różnicowych przedstawia tabela 1.1 i rysunek 1.6.

W naszym przykładzie: kiedy Δ_x_ maleje, iloraz różnicowy jest dodatni i rośnie – o czym mówiliśmy już wyżej. Z rysunku 1.6 wynika też, że dla Δ_x_ → 0 wielkość Δ_y_n _/_Δ_x_n dąży do jedności. Oznacza to, że pochodna w punkcie _x_₀

_f_ ′(_x_₀) = 1.

(1.8)

Tabela 1.1

--- ---------- ---------- ----------------
n Δ_x_n Δ_y_n Δ_y_n _/_Δ_x_n
1 0,5 0,25 0,5
2 0,25 0,1875 0,75
3 0,125 0,109375 0,875
4 0,0625 0,058594 0,9375
5 0,03125 0,030273 0,96875
6 0,015625 0,015381 0,984375
--- ---------- ---------- ----------------

Rys. 1.6 Obliczanie pochodnej prawostronnej

Pochodna lewostronna

Wybierzmy ponownie punkt _x_₀ = 0,5, ale ujemne przyrosty o malejącej wartości bezwzględnej Wynik takich obliczeń ilorazów różnicowych przedstawia tabela 1.2 i rysunek 1.7.

Tabela 1.2

--- ----------- ----------------
n Δ_x_n Δ_y_n _/_Δ_x_n
1 – 0,5 1,5
2 – 0,25 1,25
3 – 0,125 1,125
4 – 0,0625 1,0625
5 – 0,03125 1,03125
6 –0,015625 1,015625
--- ----------- ----------------

Teraz: kiedy wartość bezwzględna Δ_x_ maleje, iloraz różnicowy jest dodatni i maleje – o czym mówiliśmy już wyżej. Z rysunku 1.7 wynika też, że dla Δ_x_ → 0 wielkość Δ_y_n _/_Δ_x_n dąży do jedności (ale od góry, a nie od dołu). Pochodna lewostronna jest równa pochodnej prawostronnej.

Rys. 1.7 Obliczanie pochodnej lewostronnej

1.5. Sieczna symetryczna

Wyżej opisany sposób numerycznego obliczania pochodnych jest raczej żmudny. Zupełnie dobre wyniki można jednak osiągnąć, stosując inny i znacznie prostszy sposób. Wybrać pewną wartość Δ_x_ > 0 i dwa punkty o współrzędnych _x_₀ + Δ_x_, _f_ (_x_₀ + Δ_x_), oraz _x_₀ – Δ_x_, _f_ (_x_₀ –Δ_x_) (rys. 1.8). Przez te punkty można przeprowadzić sieczną „symetryczną” (gruba linia ukośna), której kąt nachylenia _α_s będzie bliski kąta nachylenia stycznej _α_₀ (por. rys.1.4). A więc tg(_α_s) będzie bliski pochodnej _f_ ′(_x_₀).

Rys. 1.8. Sieczna symetryczna

Napiszmy to wprost:

(1.9)

Wzór ten ma prostą interpretację. Iloraz różnicowy w 1.9 można zapisać następująco (odjęliśmy i dodaliśmy w liczniku _f_ (_x_₀)):

(1.10)

Widać, że jest to średnia arytmetyczna ilorazu różnicowego przy obliczaniu pochodnej prawostronnej (rys. 1.4 i górna cienka linia na rysunku 1.8) i ilorazu różnicowego przy obliczaniu pochodnej lewostronnej (rys. 1.5 i dolna cienka linia na rysunku 1.8). W granicy Δ_x_ → 0 oba człony w nawiasie kwadratowym dążą do tej samej granicy, równej _f_ ′(_x_). Zatem: jeżeli Δ_x_ będzie dążyć do zera, sieczna symetryczna będzie dążyć do stycznej. Tak więc dla dostatecznie „porządnych” funkcji będzie obowiązywał wzór:

(1.11)

Przykład 1

Zastosujmy wzór 1.9 do naszej funkcji (wzór 1.7):

_f_ (_x_) = – _x_² + 2_x_.

(1.12)

Mamy więc:

_f_ (_x_₀ + Δ_x_) = – (_x_₀ _+_ Δ_x_)² + 2(_x_₀ + Δ_x_) = – _x_₀² – __ 2_x_₀Δ_x_ – Δ_x_² + 2_x_₀ + 2Δ_x_;

(1.13)

_f_ (_x_₀ __ – Δ_x_) = – (_x_₀ _–_ Δ_x_)² + 2(_x_₀ – Δ_x_) = – _x_₀² + 2₀_x_Δ_x_ – Δ_x_² + 2_x_₀ – 2Δ_x_;

(1.14)

_f_ (_x_₀ + Δ_x_) – _f_ (_x_₀ __ – Δ_x_) = – __ 4_x_₀Δ_x_ + 4Δ_x_ = (– 4_x_₀ + 4)Δ_x_;

(1.15)

(1.16)

Dla _x_₀ = 0,5 pochodna _f_ ′(_x_₀) = 1, zgodnie z poprzednimi rezultatami.

Zwróćmy uwagę: w naszych obliczeniach uzyskaliśmy rezultat niezależny od wyboru wielkości Δ_x_. Jest to wynik ścisły, do czego wrócimy w paragrafie 1.8.

Przykład 2

Wzór 1.12 przedstawia funkcje potęgową drugiego stopnia. Nasuwa się więc pytanie: czy wzór 1.9 daje wynik ścisły na pochodną dla dowolnej funkcji drugiego stopnia o postaci

_f_ (_x_) = _ax_² + _bx_ _+_ _c_;

(1.17)

gdzie _a_, _b_ i _c_ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi? Sprawdźmy to!

_f_ (_x_₀ + Δ_x_) = _a_(_x_₀ _+_ Δ_x_)² + _b_(_x_₀ + Δ_x_) + _c_ =

(1.18)

= _ax_₀² + 2_ax_₀Δ_x_ + _a_Δ_x_² + _bx_₀ + _b_Δ_x_ _+_ _c_;

_f_ (_x_₀ __ – Δ_x_) = _a_(_x_₀ _–_ Δ_x_)² + _b_(_x_₀ – Δ_x_) + _c_ =

(1.19)

= _ax_₀² – __ 2_ax_₀Δ_x_ + _a_Δ_x_² + _bx_₀ – _b_Δ_x_ _+_ _c_;

_f_ (_x_₀ + Δ_x_) – _f_ (_x_₀ __ – Δ_x_) = 4_ax_₀Δ_x_ + 2_b_Δ_x;_

(1.20)

(1.21)

Teraz także uzyskaliśmy wynik niezależny od wyboru wielkości Δ_x_. Jest to wynik ścisły, do czego wrócimy w paragrafie 3.3.

Podsumowując: możemy oczekiwać, że przybliżony wzór na pochodną 1.9 będzie dawał dobre wyniki w sytuacji, kiedy LOKALNIE funkcja _f_ (_x_) może być przybliżona przez funkcję drugiego stopnia – czyli jej wykres da się przybliżyć wycinkiem paraboli. Do problemu wrócimy jeszcze przy omawianiu szeregów potęgowych (rozdział 7).

1.6. Funkcja pochodna

Jeżeli funkcja _y_(_x_) jest dostatecznie „przyzwoita” – a z takimi zwykle mamy do czynienia w fizyce czy technice – możemy w zasadzie dla każdej wartości _x_ obliczyć pochodną . Utworzymy w ten sposób nową FUNKCJĘ zmiennej _x_, którą nazywamy FUNKCJĄ POCHODNĄ funkcji _f_ (_x_), a w skrócie – POCHODNĄ _f_ (_x_).

Z taką sytuacją mamy do czynienia w pierwszym wspomnianym na początku przykładzie. Położenie ciała (samochodu) _x_ zależy od czasu _t_ i opisane jest funkcją _x_(_t_). Prędkość ciała _v_ określona jest oczywiście w każdej chwili _t_, a jej wartość wskazuje szybkościomierz samochodu. Opisana jest funkcją _v_(_t_), która jest funkcją pochodną funkcji opisującej położenie.

W dalszym ciągu tego rozdziału będziemy zajmowali się obliczaniem pochodnych różnych funkcji.

1.7. Numeryczne obliczanie funkcji pochodnej

Nim przystąpimy do poważnych rozważań, proponuję Czytelnikowi wspólną zabawę numeryczną. Obliczanie funkcji pochodnej za pomocą wzoru 1.6 byłoby niezmiernie uciążliwe. Łatwo natomiast to zrobić za pomocą przybliżonego wzoru 1.9.

Aby sporządzić wykres, powinniśmy obliczyć pochodne dla całej siatki równoodległych o _d_ punktów na osi _x_: … , _x_N–1, _x_N, _x_N+1, … (rys. 1.9). Następnie wybieramy sobie Δ_x_ istotnie mniejsze od _d_ i stosujemy wzór 1.9, obliczając pochodne we wszystkich wybranych uprzednio punktach siatki.

Rys. 1.9. Ilustracja numerycznego obliczania pochodnej

Przykład

Wybierzmy sobie jakąś konkretną funkcję, na przykład (rys. 1.10, krzywa górna):

.

(1.22)

Przybliżone wartości pochodnej w punktach _x_N obliczymy stosując wzór, analogiczny do 1.9:

(1.23)

Wyniki tych obliczeń przedstawia krzywa dolna na rysunku 1.10. Przyjęte zostały wartości: _d_ = 0,1 oraz Δ_x_ = 0,001.

Rys. 1.10. Krzywa górna: wykres funkcji w przedziale . Krzywa dolna: jej numerycznie obliczona pochodna

Analityczne wyrażenie na omawianą funkcję pochodną podamy w paragrafie 2.4.

Przeanalizujmy przebieg funkcji _f_ ′(_x_):

1. Dla _x_ > 0 funkcja _f_ (_x_) jest funkcja rosnącą. Pochodna _f_ ′(_x_) jest dodatnia.

a. Kąt nachylenia stycznej jest największy w okolicy punktu _x_ ≈ 0,6 i tam wartość pochodnej jest największa.

b. Dla _x_ → ∞ kąt nachylenia stycznej dąży do zera (przebieg funkcji jest „coraz bardziej poziomy”, bo wartość funkcji dąży do jedności), pochodna _f_ ′(_x_) dąży do zera.

2. Dla _x_ < 0 funkcja _f_ (_x_) jest funkcją malejącą. Pochodna _f_ ′(_x_) jest ujemna.

a. Wartość bezwzględna pochodnej jest największa w okolicy punktu _x_ ≈ –0,6.

b. Dla _x_ → – ∞ kąt nachylenia stycznej dąży do zera (przebieg funkcji jest „coraz bardziej poziomy”), pochodna _f_ ′(_x_) dąży do zera.

3. W punkcie _x_ = 0 styczna jest pozioma, wartość pochodnej _f_ ′(0) = 0.

Możemy dodatkowo zauważyć, że funkcja _f_ (_x_) spełnia relację (bo (–_x_)² = _x_²):

_f_ (–_x_) = _f_ (_x_),

(1.24)

czyli jest funkcją PARZYSTĄ.

Natomiast funkcja _f_ ′(_x_) spełnia relację

_f_ ′(–_x_) = _–f_ ′(–_x_),

(1.25)

czyli jest funkcją NIEPARZYSTĄ. Do sprawy wrócimy jeszcze w paragrafach 1.12 i 2.4.

→ J. Funkcje parzyste, funkcje nieparzyste

1.8. Pochodne funkcji potęgowych o wykładnikach całkowitych

W dalszym ciągu tego rozdziału będziemy obliczać pochodne prostych funkcji. Zacznijmy od funkcji potęgowych o wykładnikach całkowitych nieujemnych, czyli mających postać

_y_ _=_ _f_ (_x_) = _x_n.

(1.26)

→ B. Funkcje potęgowe

„Galerię” takich funkcji dla _n_ = 1, 2, 3, 4 przedstawia rysunek 1.11:

– krzywe z punktami ♦ przedstawiają same funkcje,

– krzywe z punktami ☐ – ich funkcje pochodne.

Nim przejdziemy do rozumowań formalnych, przyjrzyjmy się tym wykresom.

1. Wszystkie omawiane funkcje przyjmują wartość równą zeru dla _x_ = 0 (bo 0n = 0) i wartość równą jedności dla _x_ = 1 (bo 1n = 1).

2. Tylko dla _n_ = 1 kąt nachylenia stycznej w zerze jest różny od zera, a więc pochodna jest różna od zera. Dla _n_ = 2, 3, 4 pochodna w zerze jest równa zeru.

3. Dla _n_ = 2 i 4 (parzystych) w punkcie _x_ = 0 funkcja ma minimum.

4. Dla _n_ = 3 (nieparzystego) w punkcie _x_ = 0 funkcja ma punkt przegięcia. Funkcja jest rosnąca, pochodna dla _x _≠ 0 jest dodatnia.

5. Kiedy _n_ rośnie, nachylenie stycznej w punkcie _x_ = 1 jest coraz większe, a więc wartość pochodnej jest coraz większa.

Rys. 1.11. Wykresy wybranych funkcji potęgowych _f_ (_x_) = _x_n o wykładnikach całkowitych i ich pochodnych

Opiszmy teraz nasze obserwacje w sposób formalny.

Funkcja stała, _n_ = 0

Rozważmy najpierw przypadek najprostszy (nie przedstawiony na rysunku 1.11), czyli funkcję stałą: _f_ (_x_) = 1 (czyli _f_ (_x_) = _x_⁰). Na początku „weźmy sprawę na chłopski rozum”. Wykres funkcji jest prostą poziomą. Styczna do niej jest tą samą prosta poziomą. Kąt nachylenia stycznej i tangens tego kąta są wszędzie równe zeru. Pochodna wszędzie jest równa zeru.

Bardziej formalnie powiemy: licznik ilorazu różnicowego we wzorze 1.6 jest równy zeru dla dowolnego Δ_x_:

Δ_y_ = _f_ (_x_ + Δ_x_) – _f_ (_x_) = 1 – 1 = 0.

(1.27)

Zero podzielone przez dowolną skończoną wartość Δ_x_ też jest równe zeru. A zatem pochodna funkcji stałej jest równa zeru.

Funkcja liniowa, n = 1

Rozważmy teraz przypadek _f_ (_x_) = _x_ (czyli _f_ (_x_) = _x_¹). Wykres funkcji _f_ (_x_) = _x_ jest prostą, nachyloną pod kątem _α_ = 45° = do poziomu (rys. 1.11a). Styczna do tej prostej jest tą samą prostą. Pochodna – czyli tangens nachylenia kąta _α_ – __ jest równa jedności, bo tg () = 1. Jest więc funkcją stałą, nie zależy od _x_.

→ C. Łukowa miara kąta

Bardziej formalnie powiemy: dla naszej funkcji licznik ilorazu różnicowego jest równy:

Δ_y_ = _f_ (_x_ + Δ_x_) – _f_ (_x_) = (_x_ + Δ_x_) – _x_ = Δ_x_.

(1.28)

Stąd iloraz różnicowy

(1.29)

Funkcja kwadratowa, n = 2

Dla funkcji _f_ (_x_) = _x_² rozumowanie jest trochę bardziej skomplikowane. Wykres funkcji jest parabolą. Kąt nachylenia stycznej _α_ i tangens tego kata tg(_α_) rosną ze wzrostem _x_ (rys. 1.11b). Możemy do tego przypadku zastosować program numeryczny, z algorytmem określonym wzorem 1.9 (_Pochodna x^a_). Widzimy, że pochodna funkcji kwadratowej jest funkcją liniową (rys. 1.9), zauważamy przy tym, że _f_ ′(_x_) = 2_x_. Dla _x_ < 0 funkcja maleje, pochodna jest mniejsza od zera. Dla _x_ > 0 funkcja rośnie, pochodna jest większa od zera.

Rys. 1.12. Dla funkcji kwadratowej kąt nachylenia stycznej _α_ i tangens tego kata tg _α_ rosną ze wzrostem _x_

N3 _Pochodna x^a_.

A teraz rozumowanie formalne (wzór 1.6). Licznik ilorazu różnicowego dla funkcji _f_ (_x_) = _x_² jest równy:

Δ_y_ = _f_ (_x_ + Δ_x_) – _f_ (_x_) = (_x_ + Δ_x_)² – _x_² = _x_² + 2_x_Δ_x_ _+_ Δ_x_² – _x_² = 2_x_Δ_x_ _+_ Δ_x_².

(1.30)

Stąd iloraz różnicowy

(1.31)

Pochodna jest granicą tego ilorazu dla Δ_x_ dążącego do zera przy ustalonym _x_. Pierwszy człon od Δ_x_ nie zależy, drugi dąży do zera, kiedy Δ_x_ → 0. Stąd ostatecznie:

_f_ ′(_x_) =

(1.32)

Mogliśmy tego oczekiwać, bo wynika to też ze wzoru 1.21 dla _a_ = 1 oraz _b_ = _c_ = 0.

Funkcja trzeciego stopnia

Podobnie przebiega rozumowanie dla funkcji _f_ (_x_) = _x_³. Numerycznie można obliczyć pochodną za pomocą programu Num.3, zmieniając wartość wykładnika. Wynik przedstawia rysunek 1.11c, funkcja pochodna jest parabolą.

A formalnie: licznik ilorazu różnicowego jest równy

Δ_y_ = _f_ (_x_ + Δ_x_) – _f_ (_x_) = (_x_ + Δ_x_)³ – _x_³ = _x_³ + 3_x_²Δ_x_ _+_ 3_x_Δ_x_² + Δ_x_³ – _x_³ = 3_x_²Δ_x_ + 3_x_Δ_x_² _+_ Δ_x_².

(1.33)

→ A. Potęgi dwumianu

Iloraz różnicowy jest więc równy:

(1.34)

Pochodna jest granicą tego ilorazu dla Δ_x_ dążącego do zera przy ustalonym _x_. Pierwszy człon od Δ_x_ nie zależy, a drugi i trzeci dążą do zera, kiedy Δ_x_ → 0. Stąd ostatecznie:

(1.35)

Funkcja potęgowa dowolnego stopnia

Podsumowując nasze dotychczasowe wyniki możemy się domyślić, że dla funkcji _f_ (_x_) = _x_n, gdzie _n_ jest liczbą całkowitą dodatnią, pochodna jest równa

_f_ ′(_x_) = _nx_n–1.

(1.36)

Wzór ten jest słuszny także dla _n_ ujemnych (patrz niżej) i ułamkowych (patrz §1.9 i §2.3).

Pochodne prostych funkcji zebrane zostały w tabeli w rozdziale M.

Funkcja stopnia –1

Sprawdźmy jeszcze, że wzór 1.23 jest słuszny dla funkcji (ten wynik jest w fizyce ważny dla pola grawitacyjnego i elektrostatycznego). Dla _n_ = –1 oczekujemy wyniku:

_f_ ′(_x_) = _nx_n–1 = (–1) _x_ –1–1 = –_x_ –2 = .

(1.37)

Wykażmy to. Obliczmy najpierw licznik ilorazu różnicowego:

(1.38)

Iloraz różnicowy jest więc równy:

(1.39)

Dla Δ_x_ → 0 wyrażenie w nawiasie w mianowniku dąży do _x_. A więc całość dąży do:

;

(1.40)

czego oczekiwaliśmy.

Spójrzmy jeszcze na rysunek 1.13. Funkcja jest dodatnia, ale maleje. Jej pochodna jest więc ujemna. Kąt nachylenia stycznej jest ujemny, a jego wartość bezwzględna maleje do zera dla _x_ → ∞. Zatem i pochodna funkcji jest ujemna, a jej wartość bezwzględna maleje ze wzrostem _x_.

Rys. 1.13. Krzywa górna: funkcja ; krzywa dolna: jej pochodna.

1.9. Pochodna pierwiastka

Obliczmy jeszcze pochodną funkcji (rys. 1.14,”leżąca” parabola):

(1.41)

Rys. 1.14. Funkcja i jej pochodna

Funkcja _f_ (_x_) jest dodatnia i rosnąca. Jej pochodna jest więc dodatnia. Widać z wykresu także, że dla _x_ → 0 kąt nachylenia stycznej dąży do 90° = . Natomiast maleje ze wzrostem _x_. Oczekujemy, że dla _x_ → 0 pochodna naszej funkcji będzie rosnąć do nieskończoności. Będzie natomiast maleć ze wzrostem _x_.

Opiszmy to bardziej formalnie. Licznik ilorazu różnicowego ma postać:

(1.42)

Użyliśmy tu triku formalnego: licznik ilorazu różnicowego pomnożyliśmy i podzieliliśmy przez , a następnie wykorzystaliśmy wzór (_a_ – _b_)(_a_ + _b_) = _a_² – _b_².

Napiszmy teraz iloraz różnicowy:

(1.43)

Dla Δ_x_ → 0 pierwiastek dąży do , mianownik wyrażenia 1.43 dąży do . Zatem

(1.44)

Dotychczasowe przykłady pozwalają przypuszczać, że spełniony jest wzór trochę ogólniejszy od 1.36, o postaci

_f_ ′(_x_) = _αx_α–1,

(1.45)

w którym _α_ jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Do pochodnych funkcji potęgowych o dowolnych wykładnikach wymiernych powrócimy jeszcze w paragrafie 2.3.

1.10. Pochodne funkcji trygonometrycznych SIN(x) i COS(x)

W paragrafie tym omówimy pochodne funkcji trygonometrycznych sin(_x_) i cos(_x_). Wykresy tych funkcji przedstawia rysunek 1.15. Wartości zmiennej _x_ wyrażone są na nim w mierze łukowej, co jest ogólnie przyjęte i w matematyce i w fizyce.

Sinus i cosinus są funkcjami okresowymi. Mają wiele (nieskończenie wiele) maksimów, odległych o 2π, a także wiele minimów, odległych także o 2π.

Przy okazji wprowadźmy nazwę, której będziemy używać wielokrotnie w przyszłości: minima i maksima funkcji określa się wspólną nazwą EKSTREMUM. Ekstrema funkcji sinus i cosinus odległe są oczywiście o π.

Rys. 1.15. Funkcje sinus i cosinus

→ C. Łukowa miara kąta. D. Funkcje trygonometryczne

Sinus

Nim przystąpimy do formalnych rozważań, przyjrzyjmy się funkcji sinus.

a. Styczna do tej funkcji jest pozioma w maksimach i minimach, czyli w punktach _x_ = … –, –,, , , … ( ≈ 1,57). W tych punktach pochodna funkcji sinus znika. Zauważamy: w tych samych punktach zeruje się cosinus.

b. Dla _x_ = 0, 2π, 4π, … kąt nachylenia stycznej jest równy = 45°. Tangens kąta, czyli pochodna, jest równa 1. W tych punktach wartość 1 przyjmuje cosinus.

c. Dla _x_ = π, 3π, 5π, … kąt nachylenia stycznej jest równy – = –45°. Tangens kąta, czyli pochodna, jest równa –1. W tych punktach wartość –1 przyjmuje cosinus.

Można na tej podstawie przypuszczać, że pochodną funkcji sinus jest funkcja cosinus. Potwierdzają to obliczenia numeryczne, oparte o algorytm 1.9 (Tabela 1.3, Pochodna sinusa obliczona numerycznie to kolumna 3, cosinus to kolumna czwarta; program _Pochodne sinusa i cosinusa_). Przyjęte wartości _d_ = 0,2 oraz Δ_x_ = 0,001.

Opiszmy teraz problem formalnie. Dla funkcji _f_ (_x_) = sin(_x_) licznik ilorazu różnicowego (wzór 1.6) jest równy:

(1.46)

Tabela 1.3. Pochodna sinusa

----- ------------ ---------- ----------
x f = SIN(x) f ′(x) COS(x)
0,0 0 1 1
0,2 0,198669 0,980066 0,980067
0,4 0,389418 0,921061 0,921061
0,6 0,564642 0,825335 0,825336
0,8 0,717356 0,696707 0,696707
1,0 0,841471 0,540302 0,540302
1,2 0,932039 0,362358 0,362358
1,4 0,98545 0,169967 0,169967
1,6 0,999574 –0,0292 –0,0292
1,8 0,973848 –0,2272 –0,2272
----- ------------ ---------- ----------

_Pochodne sinusa i cosinusa_. N.Numeryczne. Num.4

Zastosowaliśmy tu ogólny wzór:

(1.47)

→ E. Tożsamości trygonometryczne

Iloraz różnicowy jest więc równy:

(1.48)

Interesuje nas granica ilorazu różnicowego dla Δ_x_ → 0. Iloraz różnicowy ma postać iloczynu dwóch funkcji. Człon w argumencie funkcji cosinus dąży do zera, pierwszy czynnik dąży więc do cos(_x_). Wyrażenie dla Δ_x_ → 0 dąży do jedności, bo dla małych Δ_x_ funkcja sin(Δ_x_/2) ≈ Δ_x_/2.

Granica sin(_x_)/_x_ dla _x_ dążącego do 0 → D. Funkcje trygonometryczne

(1.49)

Cosinus

Mamy teraz znaleźć pochodną _f_ (_x_) = cos(_x_). Przyjrzyjmy się tej funkcji (rys. 1.15).

a. Styczna do wykresu funkcji jest pozioma w maksimach i minimach, czyli w punktach _x_ = 0, π, 2π, 3π, … . W tych punktach pochodna funkcji cosinus znika. Zauważamy: w tych samych punktach zeruje się sinus.

b. Dla _x_ = , , … kąt nachylenia stycznej jest równy – = –45°. Tangens kąta, czyli pochodna, jest równa –1. W tych punktach funkcja sinus przyjmuje wartość 1.

c. Dla _x_ = , ,… kąt nachylenia stycznej jest równy = 45°. Tangens kąta, czyli pochodna, jest równa 1. W tych punktach funkcja sinus przyjmuje wartość –1.

Można na tej podstawie przypuszczać, że pochodną funkcji cos(_x_) jest funkcja – sin(_x_). Potwierdzają to obliczenia numeryczne, oparte o algorytm 1.9.

_Pochodne sinusa i cosinusa_ N. Numeryczne. Num. 4

A bardziej formalnie: licznik ilorazu różnicowego jest równy

(1.50)

bo:

(1.51)

→ E. Tożsamości trygonometryczne

Stąd

(1.52)

Dla Δ_x_ → 0 pierwszy czynnik wyrażenia dąży do sin(_x_), a drugi do jedności. Zatem

(1.53)

Pochodną funkcji tg(_x_) zajmiemy się w następnym rozdziale.PRZYPISY

Symbol pochodzi od łacińskiego słowa _limes_ – granica.

Do zależności ciepła właściwego od temperatury wrócimy jeszcze w rozdziale 5, paragraf 5.10.

Lagrange Joseph Luis (1736–1813) uczony francuski, zajmował się matematyką i mechaniką teoretyczną..

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) niemiecki filozof i matematyk, jeden z twórców rachunku różniczkowego i całkowego.

W tej książeczce będziemy omijać wszystkie subtelności matematyczne, które można znaleźć w dowolnym podręczniku analizy matematycznej.

Nazwa pochodzi z łaciny: _extremus_ – najdalszy, ostatni. W języku potocznym mówimy o „ekstremalnych zjawiskach pogodowych”. Może to dotyczyć wyjątkowo WYSOKICH temperatur (skrajnych upałów), ale i wyjątkowo NISKICH temperatur (rzadko spotykanych mrozów).