Nieskończoność: koniec alefa jeden - ebook

Nauka to wiara w ignorancję ekspertów

... Po co mi to było? I tak mu chyba nie zaimponuję. Chociaż, kto wie? Jest taki oczytany. A jakie ma oczy...Tylko czasem jeszcze śmiesznie głos mu się łamie. On też się zgłosił. Myślałam, że może będziemy razem pisać ten referat, bo przecież mówiła, że będziemy pracować parami i on pierwszy podniósł rękę przy tym temacie. I co? – wybrała mnie i tę kujonkę. Straszna nudziara – ja z nią nie dam rady. A potem już do niczego się nie zgłaszał. Jest w ogóle taki... nieobecny, nieosiągalny – no chyba nie ma nikogo? Choć Izie widzę też się podoba. Niedoczekanie.

- Elvi, co z tym sprawdzianem? – Mama wyrwała mnie z rozmyślań.

- Nie najlepiej, dostatecznie...

- Szkoda, mówiłam ci...

- Mamo, tylko Mateusz i Viola dostali czwórki a większość pały, więc i tak dobrze... Ale słuchaj, zgłosiłam się do referatu. Tylko myślałam, że będę go pisać razem z Mateuszem, a pani wybrała Violę, no i nie wiem jak się wycofać...

- To, dlaczego się zgłosiłaś?

- Bo Mateusz się zgłaszał i wtedy jeszcze temat nie wydawał się trudny.

- Jaki temat?

- „ Spektakularne odkrycia zmieniają nasz sposób widzenia świata”

- A o czym myślałaś?

- Wideogoglach, ale zaraz się zorientowałam, że to chyba nie o to chodzi...

...Kopernik? Einstein? Chyba. Ale to dawno. A teraz? Nasze czasy? Nie wiem... Mateusz. On pewno by wiedział – może go zapytać? Sam się przecież zgłaszał. Tak, to dobry pomysł – jutro do niego podejdę. Może włosy inaczej upiąć? Dobra myśl.

nazajutrz

....Fryzury nie zmieniłam, bo przecież WF. Viola już kilka razy chciała do nas podejść, ale udałam, że tego nie widzę, choć Monika też w kółko o tym swoim... jaki wysportowany, jaka rodzina... no nie wiem, czy bym chciała być na jej miejscu – przecież z tego, co plecie, to on ją lekceważy... Jutro podejdę do Mateusza – tylko te włosy. Konieczna pachnąca odżywka – ta mamy jest git. Kurczę, ile nauki na jutro...

Następnego dnia problemy jakby same się rozwiązują i komplikują zarazem: w końcu dopada mnie Viola i jakby speszona:

- Wiesz, mamy pisać razem ten referat, ale ja nie mogę. Chcę się wycofać.

Mam ochotę ją walnąć w łeb i jednocześnie uściskać:

- Ale dlaczego się wycofujesz?

- Mam problemy... z tatą.

- Jasne, może Mateusz by się zgodził, bo się przecież zgłaszał – mówię radośnie i już ją ciągnę do niego:

- Mateusz, słuchaj jest taka sprawa: Viola nie może pisać ze mną tego referatu – czy ty zgodziłbyś się pisać go ze mną? No wiesz, ten o widzeniu świata.

- Eee...- Mateusz błądził gdzieś oczami, tylko nie patrzał na mnie, a przecież tak się starałam:

- Tak..., chyba tak, ale ja też się chyba przeliczyłem i nie będę miał wiele czasu...Dam ci odpowiedź we wtorek, jak będziemy mieć zajęcia z „Kreską”, bo i tak trzeba ją powiadomić, co nie?

...Nie, no nie mogę czekać do wtorku, a potem on powie, że nie. Muszę go jakoś przekonać:

- Jasne, ale widziałam, że się zgłaszałeś, więc może to dobry pomysł? Myślałam na początku o Koperniku, Einsteinie, ale to stare dzieje i nikt już dziś nie musi tak zmieniać sposobu widzenia, a ty, o czym myślałeś?

- Pierwszą myślą były okulary wirtualne, nad którymi teraz pracuję na kółku...

- O! to znaczy ja też najpierw pomyślałam o wideogoglach, ale to chyba nie o to chodzi, prawda Mateusz?

- Nie – to zupełnie co innego. Z kolegami chcemy skonstruować okulary dla astygmatyków z korektą wirtualną obrazów wspomagającą prawidłowe ustawienie gałki ocznej. Temat, jaki wrzuciła „Kreska” z tym widzeniem tak mi się skojarzył z naszą robotą, że to właśnie była pierwsza myśl, ale potem zajarzyłem, że dobry byłby aktualny temat rewolucji w teorii mnogości, o której dyskutowali kumple. Nie uczyliśmy się o tym i prawdopodobnie nie będziemy, bo to podobno największa pomyłka naukowców i prawie cała teoria mnogości idzie teraz do kosza.

- Jak to?

- Trzeba by o tym trochę poczytać, bo sam niewiele wiem.

Stojąca z boku Viola utkwiła wzrok w podłodze, a ja zobaczyłam, jakie ma czerwone uszy...

...Czyżby żałowała swojej rezygnacji... Nie, teraz nie odpuszczę. Chcę pracować z Mateuszem. Właściwie, to, jakie jest jego zdrobnienie: Mati?, Mat? A może nie lubi zdrobnień?

Ostatnie zajęcia i do domu... Nieźle się ułożyło, ale nie mogę tego spalić głupią odzywką. I mieliśmy takie same skojarzenia z tym widzeniem. To jakiś znak?

A Viola? O co chodzi z tym ojcem? Choruje? ... „mam problemy z tatą”- zabrania jej? Nieważne.

* * *

W necie znalazłam taką notkę:

MATEMATYCZNA REWOLUCJA

Jesteśmy świadkami kolejnej rewolucji światopoglądowej i to w zdawałoby się niewzruszonej i na wskroś logicznej dziedzinie, jaką jest matematyka. Ciągi AB, niedawno odkryte, wykazują słabe punkty Teorii Mnogości i są szokiem dla wielu wybitnych reprezentantów tej elitarnej gałęzi matematyki, której zrozumienie wymagało dużego wysiłku intelektualnego i było wręcz niedostępne dla większości społeczeństwa. Okazuje się, że powszechnie uznawane dowody Cantora o istnieniu zbiorów nieprzeliczalnych są błędne z powodu autoreferencyjności sformułowań. To z kolei pociągnie za sobą konieczność weryfikacji wszystkich wniosków, twierdzeń i teorii na tej bazie wysnutych.

Prawdopodobnie znikną pojęcia liczb kardynalnych, jako oznaczenia mocy zbiorów o nieprzeliczanej ilości elementów, w tym wielu wręcz kuriozalnie śmiesznych nazw jak: „ogromny kardynał, duży kardynał, wysoki kardynał, niedostępny kardynał, przebiegły kardynał, rozkładany kardynał, hiper-Mahlo kardynał, nieopisany kardynał, niepojęty kardynał, subtelny kardynał, słabo niedostępny kardynał, czy słabo zwarty lub mocno zwarty kardynał”, a także nie mniej śmiesznych całych sformułowań w rodzaju: „Upadek Lévy jest sposobem na zniszczenie kardynała”.

Gwoli wyjaśnienia czytelnikom: Błąd autoreferencji polega na konstrukcji zdania, w którym odwołuje się ono do siebie samego i tworzy antynomię zdań wzajemnie sprzecznych. O ile w antynomii kłamcy, (który mówi: „ja kłamię”), jest łatwo sprawdzić, że zdanie to nie może być uznane za prawdziwe, ani za fałszywe, bo dotyczy tylko jednego podmiotu, to przy paradoksie golibrody („w miasteczku jest golibroda, który goli tych wszystkich, którzy się sami nie golą”) już trudniej zauważyć nieprawidłowość, która pojawia się dopiero wtedy, gdy spytamy: kto goli golibrodę? Czyli w jednym przypadku na parę tysięcy mieszkańców.

„Dowody” nie wprost, nieprzeliczalności liczb rzeczywistych Georga Cantora są zaś autoreferencyjne tylko w jednym przypadku spośród opisywanej nieskończonej ilości elementów. To niestety wystarcza, by taką wypowiedź dyskwalifikować, jako zawsze prawdziwą, skoro zawodzi choćby w jednym miejscu.

Nie wiadomo, kto jest autorem tych rewelacji, gdyż folder z marcowego sympozjum naukowego ICAAMM 2019, wydany z kilkudniowym opóźnieniem podpisany jest tylko dwoma literkami AB, zaś lektor po prelekcji, miast odpowiadać na pytania powiedział: „one moment” i wyszedł z sali i nikt go później już nie widział – nawet kamery monitoringu. Dodatkowo, według słuchaczy, lektor, w swym wykładzie rozpoczął prelekcję od wykazania pomyłki Cantora w dowodzie o większej mocy zbioru potęgowego, którego niestety w folderze nie umieszczono, przy czym organizatorzy twierdzą, że nie zostało to zgłoszone do prelekcji, zaś same dane personalne zgłaszającego są nieznane i podobno pożar uczelnianej drukarni kilka dni przed sympozjum nie miał na to żadnego wpływu.

Bardzo trudno uzyskać komentarz od światowych liderów w tej dziedzinie –nie odbierają telefonów, mejli, są nieobecni w swych macierzystych instytutach, ale jak tylko uzyskam takowe, to napiszemy, co oni o tym sądzą i jakie jest ich stanowisko wobec tych rewelacji.

Red. Sebastian Szary

Tak jak, się spodziewałam, Mateusz również coś przygotował.

- Elvedo, pytałem kumpli o materiały do naszego referatu i zasypali mnie taką ilością informacji i źródeł i to często tak zagmatwanymi, że trudno to będzie rozplątać bez choćby pobieżnego zrozumienia tematu, co z drugiej strony podobno może być teraz dość proste. Ale sugestia jest taka, by zacząć od początku, czyli historii.

- Dobry pomysł, Mateuszu. Zobacz, ściągnęłam z netu artykuł powstały po sympozjum w Stambule i go wydrukowałam. Myślałam, że dużo wiem o liczbach, ale o liczbach kardynalnych nie słyszałam. Słyszałam o błędzie kardynalnym, czyli takim dużym i oczywistym, ale tu tyle tych kardynałów, jakby jakiś kościół tworzyli...

- Albo sektę – dorzucił Mateusz, czytając od dłuższego czasu kartkę, podczas gdy ja studiowałam szczegóły anatomiczne jego twarzy.

- Szkoda lasów, ja nic nie drukowałem, mam te pliki na smartfonie i mogę ci je przesłać, ale to naprawdę gąszcz, więc chyba będzie lepiej, jeśli najpierw ci opowiem, co udało mi się rozkminić. I to proponuję: czasu mamy sporo, ale materiału do przejrzenia też, więc przeglądamy osobno źródła i dyskutujemy potem, jak to rozumiemy i co będzie potrzebne do tego referatu.

- A może lepiej byśmy tego razem szukali i na bieżąco komentowali? – spytałam żałośnie, bo to byłaby okazja do częstszych kontaktów – w świetlicy, albo w Malince?

- Sprawdzę swój grafik i porozmawiamy na długiej przerwie. Ty też sprawdź w swoim.

...Grafik. No tak. W pon. muszę być z siostrą, bo mama ma dłuższy dyżur. Wtorek wolny. W środę hiszpański na 16.30, czwartek dyżur w stajni, piątek sprzątanie chałupy - ale może się uda wymigać, sobota jazdy konne, a niedziela dla rodziców święta...Jeszcze wyjdzie, że w ogóle nie będziemy mieć wspólnego czasu wolnego. Oj, tam. Najwyżej zmienię swój grafik!

- Na razie mam wolne we wtorki i czwartki do 17, ale to się może zmienić.

- Akurat też wolny wtorek, a w czwartek mogę przesunąć pracę w stajni od 17.30, tylko, że po lekcjach wypadałoby najpierw coś wrzucić na ruszt...ale zobaczymy.

- Ty w stajni Elvedo? Co tam robisz?

- Trzeba zmienić ściółkę, dać owsa albo karmę, wyczesać, czasem wyprowadzić, sprawdzić kopyta i ogólnie stan itd.

- A nie boisz się? I w ogóle ten zapach w stajni... A ty... ty tak delikatnie pachniesz...

Serce nieomal ruszyło galopem, ale spokojnie:

- Kocham konie...nie trzeba się ich bać, ale nie wolno też lekceważyć.

- No dobra, trochę ci zazdroszczę tych koni, ale i tak nie miałbym czasu, więc trudno. Skupmy się na teorii mnogości. Wyczaiłem, że ten Cantor wymyślił, jak porównywać wielkości zbiorów nieskończonych i stwierdził, że choć ułamków jest tyle samo, co liczb naturalnych...

- Jak to tyle samo? Przecież ułamków jest więcej?

- To złudzenie światło ćmiące. On to wymyślił tak fajnie, że jeśli wszystkie elementy jednej grupy połączy się w pary ze wszystkimi elementami innej grupy i żaden element nie zostanie bez pary, to znaczy, że te zbiory są równoliczne, albo tej samej mocy. Pokażę ci to po lekcjach, bo zaraz dzwonek, a jeszcze muszę coś przekąsić.

- Smacznego. Ja też coś zjem..

Po lekcjach. Może i my moglibyśmy być parą? Po lekcjach pokazuję Mateuszowi kierunek świetlicy i idę zająć miejsce. Stolik w kącie zajęty. Podchodzę i mówię:

- Zuzka, zwolnij proszę ten plac, mam spotkanie.

- Nie jestem Zuzka, nie widzisz, że...

- Proszę cię. To ważne.

- OK. Ale będziesz mi coś winna.

- Masz jak w banku.

Mateusz siada na wskazanym mu miejscu, tak, że jesteśmy tyłem do sali, wyciąga kartkę i smartfon i zaczyna:

- Może zacznę tak: jakich liczb jest więcej: naturalnych czy parzystych naturalnych?

- Naturalnych, bo składają się z parzystych i nieparzystych.

- No to popatrz: ustawiam je parami:

- Czy znajdziesz jakąkolwiek liczbę naturalną bez pary?

- No nie. OK. Ale mówiłeś, że ułamki też? Przecież, jak weźmiemy po kolei ułamki o liczniku 1 a mianowniku naturalnym to pary będą tak wyglądać:

A gdzie ułamki o liczniku 2, potem 3 itd.?

- Ano właśnie - zaśmiał się Mateusz – bo to zupełnie tak, jak z Hotelem Hilberta. Zastanów się:

W hotelu jest nieskończona ilość pokojów jednoosobowych. Jak przyjedzie wycieczka z nieskończoną ilością gości, to właśnie sztuką jest ich ulokować tak, by każdy miał własny pokój.

- E, no to chyba proste: Pierwszego do jedynki, drugiego do dwójki itd. Co w tym skomplikowanego?

- A jak przyjedzie druga tak samo liczna wycieczka? To powiesz im, że wszystkie pokoje zajęte?

- No, bo tak jest!

- Sprytny menedżer ma na to sposób: prosi gościa z jedynki by przeniósł się do dwójki, z dwójki do czwórki, z trójki do szóstki – ogólnie z numeru n do numeru 2n i w ten sposób zwalnia wszystkie numery nieparzyste, których jest nieskończona ilość, więc pomieści całą nieskończoną wycieczkę! Czyli, przy porównywaniu zbiorów nieskończonych trzeba tylko znaleźć sposób tego porównywania, bo samo zawieranie się jednego zbioru w innym nie mówi, że ten, który zawiera w sobie inny jest liczniejszy, tak jak to było z liczbami parzystymi i naturalnymi.

I tak też jest z ułamkami. Jest sposób ich uporządkowania na jednej numerowanej liście wybierając je kolejno czerwonym wężykiem. Zobacz:

W tabeli zawarte są wszystkie ułamki, a uporządkowanie odbywa się wężykiem. Zobacz Elvi, że tu na tej przekątnej są same jedynki, bo licznik jest równy mianownikowi; a i inne ułamki powtarzają się wielokrotnie w nieskończoność, bo można je poskracać jak 1/2 i 2/4 i 3/6 itd. Czyli, że ułamków nie jest więcej niż liczb naturalnych, bo wartości ułamków się powtarzają dla różnych liczb naturalnych. A ponadto możemy wybierać tylko ułamki nieskracalne.

- Powiedziałeś do mnie Elvi, tak tylko w rodzinie do mnie mówią – miło mi. A czy ja mogę mówić ci Mati? Tworzylibyśmy taką parę z „i” na końcu...

- OK. Podoba mi się, Elvi ten Mati.

- Tak, więc Mati, zgadzam się z tym, co mówisz—tylko gdzie są ułamki ujemne? Bo przecież wszystkie liczby wymierne, to także ułamki ujemne i zero, których tu nie ma...

- Faktycznie...ale to chyba może być tak samo, jak z przyporządkowaniem jeden-do-jednego liczbom naturalnym liczb całkowitych:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ... n

0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4 5 -5 6 -6 7 .(-1)nint(n/2)

- Acha, widzę. Tak samo można zrobić z ułamkami. Rozumiem. To niesamowite, ta nieskończoność wygląda jak z gumy – wszystko pomieści.

- No właśnie Elvi, długo uważano, że nie wszystko, bo Cantor udowodniał w swym dowodzie przekątniowym, że są takie liczby rzeczywiste, których nie można umieścić na jednej numerowanej liście, co właśnie jest tym przyporządkowaniem jeden- do- jednego. A pokazuje to jeszcze, (bo nie wiem, kiedy ulegnie zmianie po aktualizacji), wikipedia:

„Rozumowanie przekątniowe – klasyczny przykład rozumowania w dowodzie nie wprost. Za jego pomocą można wykazać na przykład, że moc zbioru liczb rzeczywistych z przedziału (0;1){\displaystyle } jest większa od mocy zbioru liczb naturalnych; formułuje się to obrazowo: liczb rzeczywistych jest więcej niż liczb naturalnych.

Rozumowanie przekątniowe i jego modyfikacje ma znacznie więcej zastosowań, stosowane jest m.in. w logice, topologii, teorii mnogości. Wykorzystywane jest zwykle do konstrukcji obiektów mających, lub nie, określone własności. Po raz pierwszy w dowodzie matematycznym rozumowania przekątniowego użył twórca teorii mnogości Georg Cantor.

Generalnie, jako metoda dowodzenia metoda przekątniowa polega na skonstruowaniu elementu, o którym wiemy, że nie należy do rozpatrywanego zbioru, dzięki czemu możemy wykazać, że pewne założenie o elementach owego zbioru jest nieprawdziwe: w przykładzie poniższym założeniem jest możliwość ponumerowania liczb rzeczywistych z przedziału {\displaystyle }. Metoda przekątniowa jest narzędziem do konstruowania takich właśnie elementów. Rozumowanie opiera się na następującym fakcie: każda liczba rzeczywista {\displaystyle 0\leq x\leq 1} ma swoje rozwinięcie dziesiętne z zerową cyfrą jedności, skończone lub nie. Jeśli jest ono skończone, to uzupełniamy rozwinięcie o nieskończoną ilość zer tak, by otrzymać rozwinięcie formalnie nieskończone.

Załóżmy, że możemy ponumerować wszystkie liczby rzeczywiste {\displaystyle 0\leq x\leq 1} liczbami naturalnymi, czyli ustawić je w nieskończony ciąg. Na przykład w ten sposób:

1. 0, 2 6 7 8 8 8 9 2 8 7 1 7 7 4 3 ...
2. 0, 2 7 1 6 7 3 8 2 0 9 8 3 0 9 8 ...
3. 0, 2 1 9 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 ...
4. 0, 3 4 2 1 1 1 3 3 4 4 2 3 4 2 2 ...
5. 0, 2 1 3 4 2 1 1 1 3 3 4 4 2 3 4 ...
6. 0, 9 5 4 1 1 2 1 2 2 8 9 3 4 5 7 ...
7. 0, 7 3 9 2 0 8 3 9 6 7 1 6 2 6 3 ...
8. ...

Skonstruujemy teraz liczbę rzeczywistą {\displaystyle 0\leq a\leq 1}, która w powyższym ciągu na pewno nie wystąpi. Mianowicie, kolejne cyfry liczby {\displaystyle a} tworzymy wg zasady:

- jeśli k-ta liczba ciągu ma na k-tym miejscu po przecinku jedną z cyfr 0,1,...8, to liczba {\displaystyle a} ma na k-tym miejscu cyfrę o 1 większą;
- jeśli k-ta liczba ciągu ma na k-tym miejscu po przecinku cyfrę 9, to liczba {\displaystyle a} ma na k-tym miejscu cyfrę 0.

W naszym przykładzie {\displaystyle a} wyglądałaby ona tak:

0,3802334...

W efekcie liczba rzeczywista {\displaystyle a} od pierwszej liczby ciągu różni (co najmniej) pierwszą cyfrą, od drugiej liczby ciągu różni (co najmniej) drugą cyfrą, ... od _k_-tej liczby ciągu różni (co najmniej) _k_-tą cyfrą. Tzn. liczba {\displaystyle a} nie występuje w ciągu, wbrew temu, że ciąg zawierał wszystkie liczby rzeczywiste. Otrzymana sprzeczność pokazuje, że zbiory liczb naturalnych i rzeczywistych z przedziału (0,1){\displaystyle } nie są równoliczne.”

- Zastanawiałem się nad tym, Elvi, tylko chwilę, ale nie wiem, na czym miałby polegać błąd, który zrobił tyle zamieszania – kumple gadali o samoodwołaniu, ale tego nie widzę i o jakimś paradoksie Ryszarda czy coś takiego.

- Hmm, a może tu chodzi o to, że do cyfry dodaje się jedynkę?

- No to, co z tego? Jak do cyfry 2 dodasz jedynkę to dostajesz 3, do 7...

- No, nie! Mati, nie wiesz, jaka jest różnica pomiędzy cyfrą, a liczbą???

- Wiem: cyfra to pojedynczy znak, a liczba jest, co najmniej dwucyfrowa.

- To, czym się w takim razie różni cyfra od liczby jednocyfrowej?

- ??? To to samo przecież!

- Nie! Mati, odpowiedz: co łączy pory roku z asami w talii i z kołami samochodu i z kończynami mojego psa Alexa?

- No,... jest ich cztery.

- OK. Zapisuję to na kartce, ale się nie patrz. Teraz ty zapisz to, co ja zapisałam, tak, by zapisy były identyczne.

Zapisałam na kartce: //// IV cztery.

I wiedziałam, że zapisy nie będą identyczne.

- Popatrz Mati i porównaj. Czy napisałam to samo, co ty?

- No tak, zapisy są różne, a przecież zapisaliśmy to samo, a ty nawet kilkoma sposobami.

- Właśnie. Zapis tylko definiuje pewną własność obiektu, tak byśmy wiedzieli, o czym jest dyskusja, ale nie jest tym obiektem. Zatem różnica jest taka sama, jak między zestawem liter: „ Elveda Set” a mną i to chyba zasadnicza różnica, prawda Mati?

- Kurczę, jesteś genialna Elvi! Skąd ty to wiesz? Przecież w szkole tego nie uczyli, a to jest bardzo ważne!

- Dziadek mi to kiedyś uświadomił. I dlatego dodawanie jedynki do cyfry to absurd. Cyfry tylko służą do zapisu liczb. Zobacz, co oznacza np. polecenie: do cyfry 3 dodaj cyfrę 3.

Tu narysowałam kilka znaków:

W tym momencie belferka „ Słomka”, która zaszła nas od tyłu przerwała nam:

- Ciszej! W świetlicy obowiązuje cisza. Jak macie zamiar krzyczeć to nie tu. Wyjdźcie lub się uspokójcie.

- O rany – zaraz piąta! Przepraszamy i już wychodzimy – powiedział Mateusz i już, jak wyszliśmy z budy spuentował:

- Jednak, to nie o ten błąd chodzi. Można, tam po przekątnej, zamieniać cyfry na ich następniki, a dziewiątkę zastąpić zerem. I powstanie nowa liczba prezentowana tymi zamienionymi cyframi. Tam było coś z tym samoodwołaniem. Poszperajmy osobno i skonfrontujemy to następnym razem. Czyli.. do wtorku. A teraz lecę.

- To do wtorku. Baj Mati.

- Baj, baj Elvi.

W stajni trener chciał mnie zbesztać za spóźnienie, ale go rozbroiłam radosną miną i słowami:

- Wysłałam przecież panu sms, że będę trochę później, a poza tym jestem taka szczęśliwa...wszystko odrobię, choćbym miała zostać do rana.

- Nie sprawdzałem telefonu i się martwiłem, a czemuś taka szczęśliwa Elvedo?

- Rozgryzamy z takim fajnym kolegą z klasy problem matematyczny...

- No to faktycznie: Pełnia szczęścia...współczuć chyba należy?

- Nie, było naprawdę fajnie, a w czwartki będę chyba przychodzić trochę później...

Krzątając się po stajni wspominałam niedawno poruszane problemy i tę chwilę, w której rysowałam Mateuszowi te trójeczki i jednocześnie czułam, jak on dotykał moich włosów i ukradkiem je wąchał...Jakie to było wspaniałe uczucie mu zaimponować. Może jeszcze raz coś takiego wynajdę? A z drugiej strony: ja już nie chcę tylko mieć chłopaka – on musi mnie doceniać, a nie tylko żądać zaspokojenia, jak ten Moniki. Jaka ona głupia – po co to jej, zaraz pewno przesiądzie się na inny kwiatek...No dobra, muszę pogrzebać w necie; może coś jeszcze o tych liczbach, sposobach zapisu.. Dziadek wspominał jeszcze o tych ułamkach egipskich, że one wcale nie były takie głupie, jak nam się teraz wydaje. O co tam chodziło? Acha, każdy ułamek wyrażali, jako sumę kilku ułamków o liczniku 1. Teraz sobie przypominam: np. 2/7 to było jakoś tak: 1/4 + 1/ coś tam. Nadal wydaje się to głupie... Nie przypomnę sobie, dlaczego ten egipski sposób miał być lepszy od normalnego..

- Justa! Nie kręć się tak- i w tym momencie zorientowałam się, że cały czas szczotkuję moją klacz tylko z jednej strony.

Acha, już sobie przypomniałam: ten egipski zapis dawał łatwiejsze porównanie wielkości ułamków...bez konieczności sprowadzania do wspólnego mianownika...

No, ale to chyba nic specjalnego...

Dobra, ściółka zmieniona, konie nakarmione, wyczesane, wodę mają – zbieram się. Baj Justa.

Wracając przypomniałam sobie o wypracowaniu z polaka na jutro. Mama odgrzała obiad, a ja zabrałam się do lekcji jedząc jednocześnie pyszne kluseczki ze szpinakiem, jakie tylko mama umie zrobić. Pycha. Ale oczy same się kleją – jeszcze klika zdań i do wyra.