Obliczenia konstrukcji prętowych - ebook

PRZEDMOWA

Książka niniejsza przeznaczona jest dla studentów kierunków „mechanika i budowa maszyn” i „budownictwo” oraz słuchaczy studiów podyplomowych organizowanych przez wydziały mechaniczne (konstrukcyjne) i budownictwa lądowego wyższych szkół technicznych. Ponadto może okazać się również przydatna dla słuchaczy studiów doktoranckich, pracowników naukowych, inżynierów konstruktorów, pracowników biur projektowych i specjalistów z dziedziny konstrukcji prętowych. Praca stanowi wydanie 2 rozszerzone i poprawione.

W książce omówiono kilka najczęściej stosowanych metod analizy statyki, stateczności, nośności granicznej i dynamiki konstrukcji prętowych. Treść książki ujęto w siedmiu rozdziałach, z których każdy stanowi w zasadzie samodzielną całość i można z niego korzystać niezależnie od pozostałych części książki.

W rozdziale l podano klasyfikację i zakres obliczeń konstrukcji prętowych oraz omówiono metody: sił, przemieszczeń, kolejnych przybliżeń (Crossa), elementów skończonych. Ponadto przedstawiono podstawy geometrii dyskretnego zbioru punktów w ujęciu mechaniki ośrodków siatkowych.

W rozdziałach 2, 3 i 4, poświęconych obliczeniom statycznym tarcz, płyt i powłok prętowych, nawiązano do metod obliczeń tych konstrukcji stosowanych w mechanice technicznej, statyce konstrukcji przestrzennych i mechanice budowli.

W rozdziałach 2 i 3, po krótkim przypomnieniu metod obliczeń dotychczas stosowanych, korzystając z mechaniki ośrodków siatkowych, przedstawiono stan przemieszczenia i napięcia, związki fizyczne, równania równowagi oraz warunki brzegowe.

W zakresie obliczeń powłok prętowych (rozdział 4) zastosowano oprócz metod równoważenia węzłów i przekrojów tzw. metodę integralnych sił wewnętrznych. Bezmomentową teorię powłok omówiono na przykładzie zamkniętych powłok kratowych. Na podstawie momentowej teorii powłok wyprowadzono przemieszczeniowe równania równowagi zamkniętych i otwartych powłok kratowych.

W rozdziale 5 przedstawiono sposoby obliczeń stateczności prętów i omówiono podstawy metody badania stateczności konstrukcji prętowych. W rozdziale tym przedstawiono wyniki obliczeń stateczności płaskiej postaci zginania dźwigarów kratowych o pasach prostych i równoległych. W nowym wydaniu pracy przedstawiono zasady tworzenia równań ruchu stosowane w stateczności statycznej.

Rozdział 6 poświęcony jest obliczeniom nośności granicznej belek ram i łuków. W rozdziale 7 przedstawiono drgania układów o jednym i dowolnej liczbie stopni swobody oraz stateczność dynamiczną układów prętowych. Oprócz przybliżonej metody badania stateczności dynamicznej układów prętowych, omówiono w tym wydaniu metodę bilansu harmonicznych oraz metodę bezpośredniego całkowania Newmarka.

Należytemu zrozumieniu i opanowaniu teorii zawartej w kolejnych rozdziałach służą przykłady zamieszczone w tekście. Na końcu większości rozdziałów znajdują się zadania przeznaczone do samodzielnego rozwiązania, mające na celu ułatwienie studiującemu ocenę stopnia opanowania przez niego materiału.ROZDZIAŁ 1
PODSTAWY MECHANIKI KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH

1.1. Wiadomości ogólne

Mechanika konstrukcji prętowych obejmuje obliczenia statyczne (wyznaczenie sił wewnętrznych i przemieszczeń), geometryczną zmienność, stateczność, nośność graniczną i dynamikę różnego rodzaju układów konstrukcyjnych, takich jak: belki, łuki, ramy, kratownice, tarcze, płyty, powłoki i układy mieszane. Podstawy tej mechaniki omówimy na przykładach liniowosprężystych konstrukcji prętowych o bardzo małych przemieszczeniach. Literatura dotycząca obliczeń statycznych konstrukcji prętowych jest bardzo obszerna. Wiele prac z tego zakresu zebrano w podręcznikach i monografiach . Pierwsze konstrukcje prętowe powstały pod koniec XIX wieku i związane były głównie z budową mostów kolejowych oraz wielkich hal przemysłowych.

Współczesne konstrukcje prętowe charakteryzują się ogromną liczbą elementów oraz powtarzalnością ich kształtów i cyklicznym rozmieszczeniem. Przy obliczaniu konstrukcji budowlanych, mostowych, lotniczych i maszynowych spotykamy się z poszukiwaniem nowych metod obliczeniowych. Zasadniczym kierunkiem w tym zakresie jest zastąpienie modelu dyskretnego, jaki stanowi konstrukcja prętowa, modelem ciągłym. Na szczególną uwagę zasługuje tu cykl prac podsumowany monografią . Zaletą tej metody jest możliwość wykorzystania rachunku różniczkowego, którego teoria pozwala na przeprowadzenie jakościowej analizy zjawisk. Ocenę zakresu stosowalności tej metody podjęto w pracy .

Nowym kierunkiem w traktowaniu konstrukcji prętowych jest zastosowanie matematycznego modelu ośrodka dyskretnego z wykorzystaniem rachunku różnicowego . Model geometryczny opisu węzłów konstrukcji przedstawiony w tych pracach wykorzystuje geometrię liczb. Zastosowany schemat postępowania, zwany siatką punktów, zapewnia opisanie punktów węzłowych liczbami całkowitymi, przy jednoczesnej możliwości zmiany układu współrzędnych. Korzyści wynikające z zastosowania rachunku różnicowego polegają przede wszystkim na możliwości zastosowania obliczeń numerycznych i na teoretycznej analizie konstrukcji.

Szybki rozwój mechaniki ośrodków ciągłych stał się możliwy dzięki zastosowaniu do opisu zjawisk rachunku tensorowego. Rachunek ten, bogaty w pojęcia i zwarty w zapisie, umożliwił opisanie i analizę wielu złożonych zjawisk w sposób prosty i przejrzysty. Przykładem udanego przeniesienia niektórych pojęć, metod i oznaczeń rachunku tensorowego na dyskretny zbiór odpowiednio uporządkowanych punktów jest praca . Podstawą tego modelu jest dyskretny sparametryzowany zbiór punktów, rozłożonych w trójwymiarowej przestrzeni Euklidesa. Punkty takiego zbioru określają położenie węzłów układu prętowego – rozpatrywanego ośrodka dyskretnego. W celu opisania geometrii takiego ośrodka dokonano uogólnienia na dyskretny zbiór punktów takich pojęć jak: tensor metryczny, współczynniki koneksji, pochodne kowariantne itd. W konsekwencji otrzymano rachunek dostatecznie ogólny, równania są użyteczne i zwarte w zapisie. Równania otrzymane dla szczególnych konstrukcji prętowych stanowią równania różnicowe, dla których na ogół łatwo uzyskać rozwiązania numeryczne. Analityczne rozwiązanie jest znacznie trudniej uzyskać, jednak dla szczególnych przypadków rozwiązania takie otrzymano w pracach . W pracy opracowano ogólną teorię tarcz, płyt i powłok siatkowych. Szczególną własność powłok, polegającą na zdolności do takiej zmiany ich konfiguracji, przy której zostaje zachowana metryka powierzchni, nazywamy geometryczną zmiennością. Analizę geometrycznej zmienności powłok na podstawie kryterium statycznego i kinematycznego przeprowadzono w pracach .

Zagadnienia stateczności prętów i konstrukcji prętowych w zakresie sprężystym były badane przez Eulera w wieku XVIII. Od tego czasu, aż po dzień dzisiejszy temat ten był szeroko rozwijany tak teoretycznie, jak i doświadczalnie. Konstrukcje prętowe mogą w wielu przypadkach ulec zniszczeniu nie z powodu przekroczenia naprężeń dopuszczalnych (warunek wytrzymałości materiałów), lecz raczej wskutek utraty stateczności.

We współczesnych konstrukcjach prętowych spotykamy się z różnego rodzaju statecznością, na przykład ram, układu prętów, płyt i powłok. Statyka i stateczność płyt i powłok ciągłych omawiana jest w pracach . Wiele pojedynczych zadań dotyczących statyki i statyczności różnych przypadków płaskich konstrukcji zebrano w pracach . Zagadnienie stateczności płaskiej postaci zginania dźwigarów ciągłych ma bardzo bogatą literaturę, powyżej wymieniono tylko kilka ważniejszych pozycji. Do wyznaczenia krytycznego obciążenia zewnętrznego, powodującego stan krytyczny równowagi, tzn. powstanie przestrzennej giętno-skrętnej postaci równowagi, zastosowano metody ścisłe bądź przybliżone.

Od początku lat sześćdziesiątych XX wieku datuje się gwałtowny rozwój metod numerycznych. Spowodowane zostało to powstaniem coraz lepszych możliwości wykonywania obliczeń dzięki szybkiemu rozwojowi elektronicznych maszyn cyfrowych . W tym zakresie rozwijane są zasadniczo trzy metody: różnic skończonych, bezpośredniego całkowania, elementów skończonych. Ukazało się w tym okresie wiele publikacji i monografii, z których należy wymienić .

Mimo krótkiego czasu, jaki upłynął od opracowania podstaw teorii konstrukcji prętowych, powstało wiele prac wykorzystujących jej dorobek do rozwiązania pewnych zagadnień dotyczących statyki i stateczności tych konstrukcji. Wymienić tu należy pracę , w której autor podał przybliżoną metodę analizy stateczności płyt prętowych. Metoda ta polega na przyjęciu przybliżonego modelu utraty stateczności, umożliwiającego wyznaczenie obciążeń krytycznych za pomocą zależności liniowych. Rozszerzenie tej metody i zbadanie jej dokładności przedstawiono w pracach . Stateczność płaskich i przestrzennych kratownic została omówiona w pracach . Zagadnienie stateczności płyt ramowych przeanalizowano w pracach . Stateczność otwartych i zamkniętych powłok prętowych rozpatrzono w pracach . Dynamika i stateczność dynamiczna prętów i układu prętów omawiana jest w pracach . Zagadnienia drgań, wartości funkcji własnych dla układów belkowych i rusztów regularnych przy dowolnych warunkach brzegowych zostały opisane między innymi w pracach .

Teoria nośności granicznej zajmuje się poszukiwaniem największego obciążenia, przy którym rozpoczyna się ruch konstrukcji, tzn. gdy konstrukcja przekształca się w mechanizm. W przypadku konstrukcji prętowych wyczerpanie nośności następuje z reguły przy występowaniu odkształceń plastycznych w niektórych tylko przekrojach konstrukcji tzw. przegubach plastycznych. Zagadnienie nośności granicznej elementów maszyn, belek, ram i konstrukcji prętowych zostało omówione w pracach .

l.1.1. Klasyfikacja konstrukcji prętowych i definicje sił wewnętrznych

Współczesne konstrukcje prętowe są jedną z najbardziej rozpowszechnionych form rozwiązań konstrukcyjnych. W zależności od rozwoju przenoszonego obciążenia zewnętrznego stosuje się konstrukcje płaskie lub przestrzenne. O nazwie konstrukcji decydują zazwyczaj następujące cechy: warunki zamocowania i sposób połączenia prętów, kształt i geometria układu prętów, sposób obciążenia oraz zdolność konstrukcji do przyjmowania określonych sił wewnętrznych.

Prętem jest bryła geometryczna wypełniona materiałem, której jeden wymiar (długość) jest zdecydowanie większy od dwóch pozostałych. Przekrój pręta może być stały lub zmienny. Najczęściej spotykane są pręty prostoliniowe o stałym przekroju, nazywane prętami pryzmatycznymi (rys. 1.1). W celu zdefiniowania sił wewnętrznych występujących w pręcie przypisujemy je niejako do punktu A₁ (węzła), leżącego z lewej strony pręta i wszystkie siły na niego działające traktujemy jako funkcję współrzędnych tego punktu.

Rys. 1.1. Siły i momenty wewnętrzne działające na pręt

Stanem napięcia w pręcie nazywamy dowolny samozrównoważony układ sił i momentów, który może być przez niego przeniesiony: i – wektory momentów działających na początku i końcu pręta, i – wektory sił poprzecznych i podłużnych (w stosunku do osi pręta). Przedstawiony stan napięcia w pręcie można uznać za stan napięcia w układzie prętowym, jeżeli zostanie on określony układem funkcji opisujących każdy pręt tej konstrukcji. Układy funkcji przedstawiających siły wewnętrzne w prętach będą traktowane jako składowe pewnych obiektów, które nazywać będziemy obiektami napięcia.

Oprócz podanej definicji pręta spotykane są również inne terminy określające szczególne cechy prętów: belką jest pręt o osi prostoliniowej poddany obciążeniu siłami poprzecznymi, łuk stanowi pręt o osi zakrzywionej w pewnej płaszczyźnie, w którym obok zginania i ścinania z reguły występują podłużne siły ściskające, cięgno to pręt mający tylko sztywność rozciągania – przenoszący wyłącznie siły podłużne rozciągające.

Tarczą prętową nazywamy układ prętowy o siatce ukształtowanej na płaszczyźnie, który przenosząc obciążenia zewnętrzne działające w tej płaszczyźnie pozostaje stale płaski. Układ prętów, których końce połączone są przegubami walcowymi w węzłach mający niezmienną geometrycznie postać, nazywamy kratownicą płaską. Założenie przegubowego połączenia prętów jest wyidealizowane, gdyż oznacza, że końce prętów mogą się względem siebie obracać. W prętach obustronnie przegubowo połączonych z resztą konstrukcji występują normalne siły wewnętrzne (rys. 1.2). W stosowanych konstrukcjach inżynierskich połączenia prętów w węzłach są konstruowane w sposób odbiegający od tego założenia (wykonywane za pomocą nitowania, spawania i skręcania na śruby).

Rys. 1.2. Siły wewnętrzne w prętach płaskich kratownic

Założenie to jednak znacznie upraszcza sposób obliczania kratownic. Dodatkowymi założeniami przyjmowanymi w teorii kratownic są: prostoliniowość i nieważkość prętów oraz przyłożenie wszystkich sił zewnętrznych obciążających kratownicę wyłącznie w węzłach. Płaski układ prętów, których końce połączone są w węzłach w sposób sztywny, przenoszący obciążenia zewnętrzne działające w jego płaszczyźnie nazywany jest również ramą płaską płasko obciążoną. W prętach obustronnie utwierdzonych tych ram występują na początku i końcu siły normalne i poprzeczne oraz momenty gnące (rys. 1.3).

Płytą prętową – ramą płaską przestrzennie obciążoną nazwano układ prętowy ukształtowany podobnie jak tarcza prętowa, lecz przenoszący dowolne obciążenie zewnętrzne powodujące jego wygięcie w kierunku prostopadłym do swej płaszczyzny. Przykładem płyty prętowej jest gęsty i regularny ruszt (rys. 1.4). W przestrzennie obciążonych ramach występują na początku i końcu każdego pręta siły poprzeczne i momenty powodujące zginanie i skręcanie.

Rys. 1.3. Siły i momenty wewnętrzne w prętach ram płaskich płasko obciążonych

Rys. 1.4. Siły i momenty wewnętrzne w prętach ram przestrzennie obciążonych

Powłoką prętową – kratownicą przestrzenną nazwano przestrzenny układ prętowy o siatce ukształtowanej na pewnej powierzchni, który może przenosić dowolne obciążenie zewnętrzne. W kratownicach przestrzennych pręty w węzłach połączone są przegubami kulistymi.

Przy takim połączeniu i obciążeniu zewnętrznym przyłożonym w węzłach, każdy pręt przenosi jedynie siły rozciągające lub ściskające działające wzdłuż linii łączącej przeguby prętów (rys. 1.5). W powłokach prętowych o sztywnych węzłach występują na początku i końcu każdego pręta siły normalne i poprzeczne oraz momenty powodujące zginanie i skręcanie (rys. 1.6).

Rys. 1.5. Siły wewnętrzne w prętach powłok prętowych o węzłach przegubowych

Cechą charakterystyczną układów prętowych jest dyskretna, nieciągła struktura siatkowa, wymagająca do ich rozwiązania zastosowania odpowiedniego aparatu matematycznego. Niezaprzeczalne zalety konstrukcji prętowych, jak: lekkość, oszczędność materiału, łatwość wykonania i montażu, spowodowały, iż coraz częściej sięgają po nie projektanci konstrukcji budowlanych czy maszynowych.

Rys. 1.6. Siły i momenty wewnętrzne w prętach powłok prętowych o sztywnych węzłach

1.1.2. Zakres obliczeń konstrukcji prętowych

Z punktu widzenia teorii konstrukcji układ prętowy jest wieloobwodową ramą, odpowiednio podpartą i dowolnie obciążoną. Wyznaczanie w nim rozkładu sił wewnętrznych i przemieszczeń nie przedstawia w zakresie liniowo-sprężystym większych trudności merytorycznych. Obliczenia statyczne polegają na ułożeniu i rozwiązaniu odpowiedniej liczby równań opisujących równowagę poszczególnych prętów i węzłów.

Celem obliczeń konstrukcji jest wyznaczenie w każdym punkcie współrzędnych tensorów naprężenia i odkształcenia oraz wektora przemieszczenia. Ścisłe obliczenia tych wielkości na podstawie równań równowagi, równań geometrycznych i równań fizycznych przy danych warunkach brzegowych w większości przypadków natrafia jednak na pewne trudności natury matematycznej. W zależności od przyjętych równań fizycznych ścisłe rozwiązania podają teorie sprężystości i plastyczności.

Głównym zadaniem wytrzymałości materiałów jest określenie wytrzymałości elementu konstrukcji i jego podatności oraz podanie rozwiązań do bezpośredniego stosowania w praktyce. Stosowane w tej nauce metody umożliwiają dokonanie stosunkowo prostych obliczeń dających ilościową ocenę wytrzymałości i podatności w stosunku do postawionych wymagań. Wprowadza się w niej wiele założeń upraszczających zakres stosowania gotowych wzorów, bądź przybliżających poszukiwane wartości.

Wymagania stawiane elementom i całej konstrukcji na ogół sprowadzają się do gwarancji bezpieczeństwa. W praktyce inżynierskiej do sprawdzania bezpieczeństwa konstrukcji stosuje się metodę naprężeń dopuszczalnych, metodę nośności granicznej i metodę stanów granicznych .

Metoda naprężeń dopuszczalnych

Każda poprawnie zaprojektowana konstrukcja musi spełniać warunki wytrzymałości i sztywności

(1.1)

(1.2)

gdzie: σij – naprężenia wywołane działaniem obciążeń zewnętrznych, n – wymagany współczynnik bezpieczeństwa, k – parametry wytrzymałościowe materiału.

Funkcja F = 0 jest równaniem brzegu obszaru dopuszczalnego w przestrzeni naprężeń. Konkretna postać tej funkcji zależy od przyjętej hipotezy wytężeniowej. W przypadku hipotezy Hubera-Misesa-Hencky'ego warunek (1.1) jest równoznaczny ze spełnieniem nierówności

(1.3)

gdzie: Re oznacza granicę plastyczności dla materiałów ciągliwych lub wytrzymałość doraźną dla materiałów kruchych.

Wartość odkształceń dopuszczalnych fdop jest przyjmowana i powinna być tak dobrana, aby proces odkształcenia był geometrycznie liniowy oraz by konstrukcja spełniała odpowiednie wymagania użytkowe.

Przy obliczaniu naprężeń σij w przypadku obciążeń powodujących utratę stateczności i wywołujących drgania konstrukcji wymagane jest uwzględnienie odpowiednich zwiększających współczynników. Wadą tej metody jest przyjmowanie stałej wartości współczynnika bezpieczeństwa dla wszystkich rodzajów konstrukcji, niezależnie od warunków ich pracy i charakteru obciążeń.

Metoda nośności granicznej

Metoda nośności granicznej służy wyłącznie do oceny wytrzymałości konstrukcji i została wprowadzona w celu wyeliminowania wady, jaką ma metoda naprężeń dopuszczalnych. Warunek wytrzymałości ma charakter globalny i odnosi się do przestrzeni obciążeń konstrukcji. Zagadnienie projektowania konstrukcji polega na znalezieniu takich wymiarów poprzecznych, aby dane obciążenie zewnętrzne znajdowało się w obszarze dopuszczalnym. Warunek wytrzymałościowy w metodzie nośności granicznej można zapisać w postaci nierówności

(1.4)

gdzie: PG jest obciążeniem zewnętrznym. Funkcja F = 0 jest równaniem brzegu obszaru nośności granicznej w przestrzeni obciążeń.

Wartość współczynnika bezpieczeństwa n powinna gwarantować ewentualne przystosowanie się konstrukcji do danego obszaru zmienności obciążeń.

Metoda stanów granicznych

W metodzie stanów granicznych rozróżnia się dwa zasadnicze stany graniczne: stan graniczny nośności i stan graniczny użytkowania .

Stan graniczny nośności jest równoznaczny z wyczerpaniem nośności poszczególnych elementów konstrukcji lub konstrukcji jako całości oraz utratą stateczności w różnej postaci. Wymiarowanie konstrukcji statycznie wyznaczalnych i niewyznaczalnych z uwagi na stan graniczny nośności szczegółowo omówiono w pracach . W ustrojach statycznie niewyznaczalnych istnieje możliwość występowania przegubów plastycznych w stanie granicznym. Zagadnienie utraty stateczności uwzględnia się przez wprowadzenie współczynnika wyboczeniowego, a obniżenie wytrzymałości stali przy obciążeniach pulsujących i przemiennych przez wprowadzenie współczynnika zmęczeniowego. W stanie granicznym użytkowania nośność konstrukcji może nie być wyczerpana, lecz przemieszczenia konstrukcji mogą być na tyle duże, że uniemożliwią normalną eksploatację tej konstrukcji. Warunek bezpieczeństwa w stanie granicznym przemieszczeń polega na spełnieniu następującej nierówności:

(1.5)

1.2. Konstrukcje statycznie wyznaczalne

1.2.1. Obliczenia sił wewnętrznych

W kratownicach płaskich i przestrzennych pręty w węzłach połączone są przegubowo. Przy takim połączeniu i obciążeniu zewnętrznym przyłożonym w węzłach każdy pręt przenosi jedynie siły rozciągające lub ściskające działające wzdłuż linii łączącej przeguby prętów. Rozwiązanie tych kratownic polega na wyznaczeniu sił wewnętrznych we wszystkich prętach. Obliczenia te są najczęściej poprzedzone wyznaczeniem na podstawie równań równowagi reakcji w podporach i nie różni się w przypadku kratownic statycznie wyznaczalnych od obliczeń dla innych statycznie wyznaczalnych konstrukcji.

Przed przystąpieniem jednak do tych obliczeń należy sprawdzić warunek, jaki musi istnieć między liczbą prętów „p’’ a liczbą węzłów „ω”, aby kratownica płaska była układem statycznie wyznaczalnym i sztywnym w swej płaszczyźnie (niezmienna geometrycznie)

p = 2ω – 3.

(1.6)

Do określenia wartości sił w prętach kratownic płaskich istnieje wiele metod analitycznych i wykreślnych . W rozdziale 2 zostanie omówionych kilka metod najczęściej stosowanych. Kratownice przestrzenne stanowią konstrukcje sztywne same w sobie lub są nabudowane na sztywnym podłożu. Warunkiem geometrycznej niezmienności kratownicy przestrzennej jest ustalenie minimalnej niezbędnej liczby prętów potrzebnej do zbudowania sztywnej kratownicy o odpowiedniej liczbie węzłów. Przy budowaniu kratownicy sztywnej samej w sobie trzy pierwsze węzły, stanowiące trójkąt podstawowy, potrzebują tylko trzech prętów. Dobudowanie do tego trójkąta każdego z następujących (ω – 3) węzłów wymaga za każdym razem dodania trzech prętów. W rezultacie liczba prętów w statycznie wyznaczalnej kratownicy sztywnej samej w sobie wynosi

p = 3ω – 6.

(1.7)

W kratownicy przestrzennej nabudowanej na sztywnym podłożu, statycznie wyznaczalnej, do unieruchomienia każdego węzła, leżącego poza podłożem, potrzebne są trzy pręty. Zatem liczba prętów jest równa

p = 3ω.

(1.8)

Metody obliczania sił w prętach kratownic przestrzennych statycznie wyznaczalnych są podobne do metod wyznaczania sił w prętach kratownic płaskich. Przy stosowaniu tych metod do rozwiązywania kratownic przestrzennych należy uwzględniać przestrzenne cechy układu prętowego. Jeżeli kratownica będzie w równowadze, to każdy jej węzeł musi być w równowadze. Przy zastosowaniu metody analitycznej równoważenia węzłów możemy napisać dla każdego z węzłów kratownicy przestrzennej trzy równania równowagi rzutów sił na trzy osie prostokątnego układu współrzędnych. W przypadku kratownic płaskich dysponujemy dla każdego węzła tylko dwoma równaniami równowagi. Ostatecznie otrzymujemy liczbę równań równą liczbie niewiadomych sił normalnych w poszczególnych prętach kratownicy. W rozdziale 4 omówione zostaną najczęściej stosowane metody obliczania kratownic przestrzennych.

Rys. 1.7. Siły i momenty wewnętrzne w prętach i węzłach w ramach płaskich (a i b) oraz przestrzennych (c i d)

Do płaskich ram statycznie wyznaczalnych zaliczamy otwarte i zamknięte ramy, w których reakcje podpór i siły wewnętrzne mogą być obliczone z równań statyki. W prętach obustronnie utwierdzonych występują na początku i końcu siły normalne i poprzeczne oraz momenty gnące (rys. 1.7 a, b). W ramach przestrzennych występują na początku i końcu każdego pręta oprócz sił normalnych , sił poprzecznych i oraz momentów gnących i również momenty skręcające (rys. 1.7 c, d).

Metody obliczania ram płaskich i przestrzennych polegają na analizowaniu równowagi każdej myślowo wydzielonej części konstrukcji. Przy rozwiązywaniu ram płaskich dysponujemy trzema równaniami równowagi (np. dwa równania rzutów sił i jedno równanie równowagi momentów). W przypadku rozwiązywania ram przestrzennych dysponujemy sześcioma równaniami równowagi (trzy równania rzutów sił na osie prostokątnego układu współrzędnych i trzy równania momentów względem tych osi).

PRZYKŁAD 1.1. Obliczyć siły wewnętrzne w prętach kratownicy płaskiej, pokazanej na rysunku 1.8, przy zastosowaniu analitycznej metody równoważenia węzłów.

Rys. 1.8. Do przykładu 1.1

Rozwiązanie. Na podstawie wzoru (1.6) stwierdzamy, że liczba prętów p = 2 · 8 – 3 = 13, czyli kratownica jest statycznie wyznaczalna i niezmienna geometrycznie (sztywna). Po rozpatrzeniu równowagi sił działających na wycięte myślowo węzły kratownicy obliczymy siły w poszczególnych prętach. W celu wyznaczenia reakcji podpór ułożymy trzy równania równowagi całej kratownicy, traktowanej jako ciało sztywne

Z rozwiązania tych równań otrzymujemy RA = 2P, RBx = 0, RBx = 2P.

Siły wewnętrzne w poszczególnych prętach kratownicy wyznaczamy z równań równowagi kolejnych węzłów. Równania równowagi węzła A

Stąd T₁ = 0, T₄ = –2P.

Równania równowagi węzła C

Po uwzględnieniu, że

otrzymamy .

Równania równowagi węzła D

Stąd T₂ = 2P, T₅ = – P.

Równania równowagi węzła E

Stąd T₉ = 0, T₁₂ = –2P.

Po napisaniu równań równowagi dla kolejnych węzłów F, G, B i H i ich rozwiązaniu wyznaczymy wartości sił w pozostałych prętach kratownicy

T₃ = 2P, T₆ = 0, T₇ = –P, T₁₀ = –P T₁₃ = 0.

PRZYKŁAD 1.2. Kratownica przestrzenna sztywna sama w sobie o kształcie ostrosłupa obciążona jest układem sił będących w równowadze (rys. 1.9a). Wyznaczyć siły wewnętrzne we wszystkich prętach kratownicy, jeżeli dane są: P, a i α.

Rozwiązanie. Warunek geometrycznej niezmienności kratownicy jest spełniony, gdyż

p = 3ω – 6 = 3 · 5 – 6 = 9,

a więc kratownica jest geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalna.

Rys. 1.9. Do przykładu 1.2

Na rysunku 1.9b przedstawiono oswobodzone od więzów węzły kratownicy, na które działają siły zewnętrzne i wewnętrzne . Zapis równań równowagi można rozpocząć od dowolnego węzła pod warunkiem, że zbiegają się w nim nie więcej niż trzy pręty, gdyż dla równowagi przestrzennego układu sił zbieżnych potrzeba trzech równań.

Rozpatrujemy równowagę węzła B, w którym zbiegają się trzy niewiadome siły

Stąd

Na podstawie symetrii układu prętowego i symetrii obciążenia zewnętrznego otrzymamy identyczne wartości sił wewnętrznych w prętach zbiegających się w węźle D

Rozpatrujemy równowagę węzła A:

Stąd

Po rozpatrzeniu równowagi węzła C z uwzględnieniem symetrii obciążenia kratownicy otrzymamy T₃ = P/sin α. Pręty 1, 2, 3 i 4 są rozciągane, a pręty 5, 6, 7 i 8 ściskane. Zatem zwroty sił będą przeciwne.

PRZYKŁAD 1.3. Rozwiązać statycznie wyznaczalne ramy płaskie płasko obciążone pokazane na rysunku 1.10. Obliczone wartości momentów gnących , sił tnących i sił normalnych należy przedstawić na odpowiednich wykresach:

a) rama otwarta obciążona dwoma siłami P i momentem Pa (rys. 1.10a),

b) rama jednoobwodowa dwuprzegubowa obciążona dwoma siłami P (rys. 1.10b),

c) rama dwuobwodowa sześcioprzegubowa obciążona układem czterech momentów M (rys. 1.10c).

Rozwiązanie. Na podstawie trzech równań równowagi (dwa równania rzutów sił i jedno równanie momentów) wyznaczamy dla każdego elementu rozpatrywanych ram płaskich płasko obciążonych wartości reakcji podpór i sił wewnętrznych. Obliczone wartości momentów gnących, sił tnących i normalnych przedstawiono na kolejnych wykresach – rysunek 1.10. Należy zaznaczyć, że wykresy momentów gnących narysowano po stronie włókien rozciąganych.

Rys. 1.10. Do przykładu 1.3

Rys. 1.11. Do przykładu 1.4

PRZYKŁAD 1.4. Rozwiązać statycznie wyznaczalne ramy przestrzenne i płaskie przestrzennie obciążone, przedstawione na rysunku 1.11:

a) otwarta rama płaska przestrzennie obciążona układem dwóch sił P i momentem Pa (rys. 1.1l a),

b) jednoobwodowa rama płaska przestrzennie obciążona układem czterech sił P (rys. 1.11b),

c) otwarta rama przestrzenna, obciążona dwoma siłami P i 2P (rys. 1.11c).

Obliczyć wartości reakcji podpór i sił wewnętrznych: sił tnących i normalnych, momentów gnących i skręcających. Otrzymane wyniki z obliczeń zilustrować na odpowiednich wykresach.

Rozwiązanie. Przy zastosowaniu sześciu równań (trzy równania rzutów sił i trzy równania momentów tych sił) wyznaczono dla każdej ramy wartości reakcji podpór i sił wewnętrznych. Obliczone wartości momentów gnących i skręcających przedstawiono na kolejnych wykresach (rys. 1.11). Wykresy momentów gnących narysowano po stronie włókien rozciąganych. Należy zaznaczyć, że zamknięta jednoobwodowa rama płaska przestrzennie obciążona, przedstawiona na rysunku 1.11b, jest statycznie wyznaczalna, ponieważ obciążenie zewnętrzne jest symetryczne względem obu osi symetrii ramy.

1.2.2. Wyznaczanie przemieszczeń konstrukcji

W zagadnieniach statyki konstrukcji prętowych przyczynami wywołującymi przemieszczenia mogą być nie tylko obciążenia zewnętrzne, ale również odkształcenia cieplne, osiadanie podpór lub błędny montaż. Wartości przemieszczeń konstrukcji możemy wyznaczyć analitycznie lub wykreślnie . Najczęściej stosowaną jest analityczna metoda Mohra. Przy omawianiu tej metody ograniczymy się do analizy wyników działania obciążeń zewnętrznych, gdy konstrukcje są liniowosprężyste.

W układach prętowych, w których pręty połączone są przegubowo, gdzie występują siły normalne wzór Mohra określający przemieszczenie na kierunku działania odpowiedniej siły jednostkowej t wywołującej stan napięcia w prętach można napisać w postaci

(1.9)

gdzie znak sumy dotyczy wszystkich prętów danej kratownicy. W przypadku ram płaskich, w których wprowadzenie siły jednostkowej wywołuje stan napięcia w elementach konstrukcji (t – siły normalne, n – siły poprzeczne i m – momenty gnące), przemieszczenia konstrukcji obliczamy ze wzoru

(1.10)

Dla ram przestrzennych, gdzie siła jednostkowa wywołuje następujące siły i momenty wewnętrzne: t – siły normalne, n₁ i n₂ – siły poprzeczne, m₁ i m₂ – momenty gnące oraz m₃ – momenty skręcające, przemieszczenie konstrukcji wyznaczamy ze wzoru

(1.11)

Występujące we wzorach (1.9-1.11) wyrażenia podcałkowe mają dla układów prętowych o stałych sztywnościach postać iloczynu dwóch funkcji. W inżynierskich zastosowaniach co najmniej jedna z tych funkcji jest liniowa. W takich przypadkach całkowanie można uprościć, stosując znany z wytrzymałości materiałów wzór Wereszczagina

(1.12)

PRZYKŁAD 1.5. W kratownicy, przedstawionej na rysunku 1.12, obciążonej siłą P (N) należy wyznaczyć pionowe przemieszczenie węzła A₃. Sztywności prętów na rozciąganie są takie same i wynoszą EA (N).

Rys. 1.12. Do przykładu 1.5

Rozwiązanie. Siły w prętach rozważanej kratownicy od danego obciążenia zewnętrznego P (rys. 1.12), a następnie od siły jednostkowej P' = 1 przyłożonej wzdłuż kierunku poszukiwanego przemieszczenia węzła A₃ (rys. 1.12)

wyznaczymy analitycznym sposobem równoważenia węzłów traktowanych

Tablica 1.1. Wyniki obliczeń pionowego przemieszczenia punktu A₃ kratownicy przedstawionej na rysunku 1.12

Numer pręta

li (mm)

Ti (N)

Ei (MPa)

Ai (m²)

ti

Ti ti li

1

a

0

E

A

0

0

2

a

– P

,,

,,

0

0

3

a

– 2P

,,

,,

0

0

4

a

– 3P

,,

,,

–1

3Pa

5

a

P

,,

,,

0

0

6

a

P

,,

,,

0

0

7

a

P

,,

,,

1

Pa

8

a

P

,,

,,

1

Pa

9

a

0

,,

,,

0

0

10

,,

,,

0

0

11

,,

,,

0

0

12

,,

,,

13

,,

,,

14

a

P

,,

,,

0

0

15

a

2P

,,

,,

0

0

16

a

3P

,,

,,

1

3Pa

17

a

4P

,,

,,

2

8Pa

jako dyskretny zbiór punktów. Od obciążenia zewnętrznego P otrzymano następujące funkcje sił w prętach:

Na podstawie powyższych wyrażeń można wyznaczyć wartości sił w prętach kratownicy od pionowego obciążenia jednostkowego, przyłożonego w węźle A₃. Wyznaczone wartości sił w prętach kratownicy od obciążeń zewnętrznego i jednostkowego zestawiono w tablicy 1.1.

Zgodnie ze wzorem (1.9) poszukiwane przemieszczenie kratownicy wynosi

PRZYKŁAD 1.6. Wyznaczyć pionowe przemieszczenia punktów A, B i E oraz obroty węzłów C i D statycznie wyznaczalnej ramy płaskiej przedstawionej na rysunku 1.13a. W obliczeniach pominąć wpływ sił normalnych i poprzecznych. Sztywności prętów na zginanie są równe i wynoszą EJ (N·m²).

Rozwiązanie. Wykres momentów gnących od siły zewnętrznej P (N) i momentu Pa (N·m) przedstawiono na rysunku 1.13b. Obliczenie pionowego przemieszczenia punktu A rozpoczniemy od narysowania wykresu momentów gnących, pochodzącego od siły jednostkowej P' = 1 przyłożonej w tym punkcie (rys. 1.13c).

Poszukiwane przemieszczenie punktu A wynosi

Wykres momentów gnących od jednostkowej siły P' = 1 przyłożonej w punkcie B przedstawiono na rysunku 1.13d. Pionowe przemieszczenie punktu B jest równe

Przemieszczenie punktu E, zgodnie z rysunkiem 1.13g, wynosi

Kąt obrotu węzła C obliczamy na podstawie wykresu momentów gnących od jednostkowego momentu M' = 1, przedstawionego na rysunku l.13e. Wartość tego kąta obrotu jest równa

Kąt obrotu węzła D, zgodnie z wykresem momentów gnących od jednostkowego momentu M' = 1 (rys. 1.13f), wynosi

Rys. 1.13. Do przykładu 1.6

1.3. Konstrukcje statycznie niewyznaczalne

W praktyce inżynierskiej dość często spotykamy konstrukcje statycznie niewyznaczalne, w których określenie reakcji bądź sił wewnętrznych tylko na podstawie równań równowagi nie jest możliwe. Do ich wyznaczenia należy uwzględnić odkształcenia ustroju prętowego. Istnieje wiele metod rozwiązywania układów statycznie niewyznaczalnych: metoda sił, metoda przemieszczeń, metoda kolejnych przybliżeń (Crossa) i metoda elementów skończonych.

1.3.1. Metoda sił

Podobnie jak i w innych metodach należy określić liczbę niewiadomych, która przewyższa liczbę możliwych do zapisania równań równowagi układu, tzn. krotność statycznej niewyznaczalności. Metodę sił omówimy na przykładzie belki n-krotnie statycznie niewyznaczalnej przedstawionej na rysunku 1.14a. Rozwiązując tę belkę musimy, oprócz wykorzystania równań statyki, zapisać dodatkowe równania o charakterze geometrycznym, wynikające z rozpatrzenia przemieszczeń, wywołanych odkształceniami rozpatrywanej belki. Punktem wyjścia do sformułowania tych równań jest następujące twierdzenie :

TWIERDZENIE. W konstrukcji statycznie niewyznaczalnej zamienionej myślowo na statycznie wyznaczalną przez wprowadzenie dodatkowych przecięć wartości niewiadomych uogólnionych sił statycznie niewyznaczalnych są tak dobrane, iż w miejscach dodatkowych przecięć zachodzi ciągłość przemieszczeń.

W celu zapisania brakujących równań należy dokonać zamiany układu statycznie niewyznaczalnego na statycznie wyznaczalny z nieznanymi co do wartości niektórymi obciążeniami (X₁–Xn) o znanym jednak charakterze i miejscu działania (rys. 1.14b).Odrzucamy podpory usztywniające i zastępujemy je uogólnionymi siłami statycznie niewyznaczalnymi. Następnym krokiem jest określenie nieznanych wartości tych sił z warunków ciągłości przemieszczeń w tym miejscu belki, w którym zostały wprowadzone. Ugięcie belki w punkcie 1, zgodnie z rysunkami 1.14c–l.l4f jest równe

a₁₁X₁ + a₁₂X₂ + .... + a1nXn + a₁₀ = 0.

Wyrażenie na ugięcie belki w punkcie 2 możemy zapisać

a₂₁X₁ + a₂₂X₂ + .... + a2nXn + a₂₀ = 0.

Postępując analogicznie, możemy obliczyć ugięcia belki w kolejnych punktach. Ugięcie belki w punkcie n wynosi

an1X₁ + an2X₂ + .... annXn + an0 = 0.

Rys. 1.14. Przykład belki n-krotnie statycznie niewyznaczalnej analizowanej metodą sił

Ostatecznie powyższe równania dla n-krotnie statycznie niewyznaczalnego układu przybierają postać tzw. równań kanonicznych metody sił, zwanych również równaniami Maxwella-Mohra

(1.13)

W przedstawionym układzie n równań przez aij oznaczono wzajemne przemieszczenia punktów (przekrojów) przyłożenia sił hiperstatycznych Xi, spowodowanych siłą Xj = 1. Do obliczania przemieszczeń aij i ai0 stosujemy omówioną w punkcie 1.2 analityczną metodę Mohra.

Metoda sił jest metodą ogólną. Pozwala ona w sposób uporządkowany rozwiązywać różne rodzaje układów statycznie niewyznaczalnych. Przyczynami wywołującymi siły wewnętrzne w układach statycznie niewyznaczalnych mogą być nie tylko obciążenia zewnętrzne, ale również zmiany temperatury i przemieszczenia podpór.

PRZYKŁAD 1.7. Rozwiązać belkę utwierdzoną na jednym, a podpartą przegubowo na drugim końcu (rys. 1.15a). Obciążenie zewnętrzne stanowi moment 2M (N·m ), sztywność giętna belki wynosi EJ (N·m²), a długość belki jest równa l (m).

Rozwiązanie. Rozpatrywana belka jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalna, gdyż mamy tu 4 reakcje RAx, RAy, MA i RB, a tylko trzy równania równowagi. W pierwszym sposobie rozwiązania jako wielkość statycznie niewyznaczalną obieramy MA = X₁, wobec czego ustrojem podstawowym (statycznie wyznaczalnym) staje się belka na przegubowych podporach A i B, a ustrój równoważny ma postać zgodną z rysunkiem 1.15b.

Wartość momentu X₁ obliczamy z równania

(1.13a)

w którym a₁₀ i a₁₁X₁ są kątami obrotu przekroju A wywołanymi odpowiednio przez momenty 2M i X₁, a całe równanie wyraża warunek ciągłości przemieszczeń w przekroju A. Po wykorzystaniu podanych wykresów momentów gnących i (rys. l.15c,d) oraz pomijając wpływ sił tnących obliczamy wzajemne przemieszczenia przekrojów

Po podstawieniu obliczonych wielkości a₁₁ i a₁₀ do równania (1.13a) otrzymamy

Wypadkowy wykres momentów gnących (rys. 1.15h) otrzymujemy superponując wykres (rys. 1.15c) i zwiększony X₁ razy wykres (rys. 1.15d).

W drugim sposobie rozwiązania jako wielkość statycznie niewyznaczalną przyjmujemy RB = X₁. Ustrojem statycznie wyznaczalnym jest belka wspornikowa zamocowana sztywno w punkcie A (rys. 1.15e). Na podstawie wykresów momentów gnących przedstawionych na rysunkach 1.15f,g obliczamy wzajemne przemieszczenia przekrojów

(N).

Identyczny wypadkowy wykres momentów gnących (rys. 1.15h) otrzymamy superponując wykresy (rys. 1.15f) i zwiększony X₁ razy wykres (rys. 1.15g).

Rys. 1.15. Do przykładu 1.7

PRZYKŁAD 1.8. Rozwiązać ramę o kształcie łuku kołowego utwierdzoną na jednym końcu (w punkcie B), a podpartą przegubowo na drugim końcu w punkcie A (rys. 1.16a). Obciążenie zewnętrzne stanowi moment M (N·m), sztywność giętna ramy wynosi EJ (N·m²), a jej promień jest równy r (m).

Rozwiązanie. Rama jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalna. Jako wielkość statycznie niewyznaczalną przyjmujemy reakcję RA = X₁. Ustrojem statycznie wyznaczalnym jest rama zamocowana sztywno w punkcie B. Na podstawie wykresów momentów gnących i (rys. l.l6c,d) obliczamy wzajemne przemieszczenia przekrojów

Stąd wartość siły statycznie niewyznaczalnej wynosi

(N).

Wypadkowy wykres momentów gnących (rys. l.16e) otrzymamy na podstawie wykresu (rys. 1.16c) i zwiększonego X₁ razy wykresu (rys . 1.16d).

PRZYKŁAD 1.9. Rozwiązać ramę przestrzenną podpartą przegubowo na końcu A i utwierdzoną na drugim końcu w punkcie B (rys. 1.17a). Obciążenie zewnętrzne stanowi siła P (N), sztywności giętne ramy są równe EJx = EJy =EJz= EJ (N · m²), liczba Poissona ν = 0,3, a sztywność na skręcenie GJ₀ = 2GJ.

Rozwiązanie. Analizowana rama jest trzykrotnie statycznie niewyznaczalna, gdyż w podporze A mamy trzy reakcje RAx, RAy i RAz, a w utwierdzeniu w punkcie B występuje sześć reakcji RBx, RBy, RBz, MBx, MBy, MBz. Z sześciu równań statyki wyznaczamy tylko sześć niewiadomych reakcji. Jako wielkości statycznie niewyznaczalne obieramy RAx = X₁, RAy= X₂, RAz= X₃ (rys. 1.17b), zatem ustrojem statycznie wyznaczalnym staje się rama zamocowana sztywno w punkcie B (rys. 1.17c). Niewiadome X₁, X₂ i X₃ określamy z kanonicznego układu równań (1.13), który ma obecnie postać

Rys. 1.16. Do przykładu 1.8

Rys. 1.17. Do przykładu 1.9

Na podstawie podanych wykresów momentów gnących , , , i momentów skręcających , , , (rys. 1.17d–n) oraz omijając wpływ sił normalnych i tnących obliczamy wzajemne przemieszczenie przekrojów

Po podstawieniu obliczanych wyrażeń do równań Maxwella-Mohra otrzymamy

Z rozwiązania powyższego układu trzech równań otrzymano reakcje statystycznie niewyznaczalne: X₁ = 0,48 P (N), X₂ = –0,24 P (N), X₃ = –0,37 P (N).