Optymalizacja operacji wytwórczych - ebook

PRZEDMOWA

Obecnie firmy wytwarzające maszyny i urządzenia techniczne działają w trudnych warunkach, muszą spełniać oczekiwania wymagającego nabywcy. Te nowe warunki działania oznaczają dla firm przemysłowych konieczność położenia nacisku na jakość, zaspakajanie różnorodnych życzeń nabywców oraz nieustanne ulepszanie swojej działalności.

Osiągnięcie i utrzymanie wysokiej jakości wyrobów produkowanych w dużej różnorodności i mających krótki cykl życia przy jednoczesnym spełnieniu warunków ekonomicznego wytwarzania decydują o utrzymaniu się firmy na rynku, jej pozycji i rozwoju. Często wymieniana koncepcja doskonalenia funkcjonowania przedsiębiorstwa Lean Production lub Lean Manufacturing oznacza oszczędne lub po prostu optymalne wytwarzanie. Przez pojęcie „optymalne wytwarzanie” należy rozumieć optymalizację zarówno warunków obróbki (najczęściej parametrów obróbki), jak i struktury procesów wytwarzania.

W książce położono nacisk na możliwie wyczerpujące przedstawienie zasad tworzenia zbiorów rozwiązań dopuszczalnych procesów wytwarzania i doboru funkcji celów (kryteriów optymalizacji) oraz algorytmów i procedur wielokryterialnej optymalizacji struktury procesów wytwarzania części maszyn. Natomiast głównym celem tej książki jest przybliżenie, w sposób jak najprostszy, wybranych i stosowanych w praktyce metod optymalizacji, które mogą być wykorzystane do rozwiązywania zagadnień związanych z optymalizacją parametryczną różnych procesów i operacji oraz zabiegów wytwarzania części maszyn. W odróżnieniu od innych pozycji literatury z tego zakresu ponad 50% objętości książki stanowią przykłady praktyczne, w większości zrealizowane na zlecenie przedsiębiorstw przemysłowych.

Opis metod optymalizacji ograniczono do niezbędnego minimum, natomiast dużo miejsca przeznaczono na przykłady wyznaczania wielkości wejściowych (czynników badanych), które należałoby optymalizować, a przede wszystkim rozwiązania zadań optymalizacji ze względu na jedną funkcję celu (kryterium optymalizacji) oraz 2 i 3 funkcje celu. Inspiracją do jej napisania były prowadzone od wielu lat przez Stanisława Płonkę wykłady i ćwiczenia komputerowe z przedmiotu „Metody optymalizacji w wytwarzaniu” dla studentów Wydziału Budowy Maszyn i Informatyki Akademii Techniczno-Humanistycznej w Bielsku-Białej.

We wstępnej części książki przedstawiono pojęcie optymalizacji procesów wytwarzania. W sposób ogólny scharakteryzowano metody optymalizacji, powołując się na dostępną literaturę z zakresu optymalizacji parametrów obróbki ze względu na 1 i więcej funkcji celów (kryteriów optymalizacji). Zdefiniowano pojęcie modelu matematycznego obiektu badań i sposoby jego wyznaczania. Dokonano klasyfikacji planów doświadczeń i podano najczęściej stosowane postaci modeli matematycznych przy badaniu wpływu jednej i wielu wielkości wejściowych (czynników badanych) oraz omówiono w formie skrótowej podstawowe kryteria, które musi spełniać wybrany plan doświadczenia. Następnie zamieszczono podstawowe informacje z zakresu statystyki matematycznej. Przedstawiono zależności na matematyczne funkcje celu (kryteria optymalizacji) najczęściej podlegające optymalizacji w procesie skrawania i obróbce wykończeniowej przez nagniatanie oraz zamieszczono ograniczenia obszaru rozwiązań występujące w procesie skrawania i nagniatania.

W drugiej części zamieszczono charakterystykę planów stosowanych w badaniach rozpoznawczych do wyznaczania wielkości wejściowych (czynników badanych), które należałoby optymalizować. Szczegółowo omówiono wybrane plany statyczne randomizowane związane z analizą wariancji, które są przeznaczone do oceny istotności wpływu wielkości wejściowych na wielkość wyjściową (czynnik wynikowy). Następnie przedstawiono 2 algorytmy postępowania dotyczące doboru optymalnych parametrów bez wyznaczenia funkcji obiektu badań (2 plany dynamiczne). Podano ogólny algorytm aproksymacji wyników doświadczeń metodą najmniejszych kwadratów stosowany w optymalizacji parametrycznej z wyznaczaniem funkcji obiektu badań oraz procedurę przeprowadzania testu istotności całego równania regresji, ocenę adekwatności wyznaczonego równania oraz ocenę istotności współczynników równania regresji. W bardzo dużym skrócie omówiono wybrane metody wyznaczania ekstremum równania regresji.

W trzeciej części książki opisano podstawy optymalizacji ze względu na 2 i więcej funkcje celu, podano definicję rozwiązania idealnego i rozwiązania optymalnego w sensie Pareto (niezdominowanego). Scharakteryzowano najczęściej stosowane tradycyjne metody optymalizacji wielokryterialnej oraz wybrane metody oparte na obliczeniach ewolucyjnych. Omówiono, nieco szerzej, metody do wyznaczania zbioru rozwiązań optymalnych w sensie Pareto: unormowaną metodę wag i metodę Modified Distance (MDM) oraz metodę optymalizacji hierarchicznej i funkcji dystansowej do wyboru rozwiązania najlepszego ze zbioru Pareto.

Ostatnia część książki zawiera przykłady z zakresu optymalizacji parametrycznej operacji przez nagniatanie i toczenie wykończeniowe dotyczące:

• wyznaczania wielkości wejściowych (czynników badanych), które należy optymalizować z zastosowaniem planów randomizowanych; przedstawiono przykład oceny istotności wpływu cieczy chłodząco-smarującej na chropowatość powierzchni oraz 4 wielkości wejściowych na względny przyrost mezotwardości warstwy wierzchniej w operacji elektromechanicznego nagniatania tocznego, a następnie przykład oceny istotności trzech wielkości wejściowych na chropowatość powierzchni w czasie operacji przeciągania z równoczesnym nagniataniem ślizgowym oraz oceny 4 wielkości wejściowych na chropowatość powierzchni w trakcie nagniatania tocznego;

• doboru optymalnych parametrów nagniatania okładzin wrzecion ze względu na chropowatość powierzchni z zastosowaniem planu dynamicznego sekwencyjnego pojedynczego oraz doboru optymalnych parametrów rolkowania otworu ze względu na chropowatość powierzchni z zastosowaniem metody największego spadku;

• optymalizacji parametrów operacji nagniatania ze względu na jedną funkcję celu: w pierwszym z przykładów dokonano oceny wpływu zastosowanej metody regresji na postać modelu matematycznego operacji nagniatania elektromechanicznego, w drugim przeprowadzono optymalizację wcisku nagniatania i posuwu na chropowatość powierzchni i zmianę średnicy otworu, w trzecim – optymalizację w/w parametrów ze względu na wybrane parametry chropowatości powierzchni; czwarty z przykładów dotyczy doboru optymalnych parametrów nagniatania kół zębatych ze względu na chropowatość powierzchni i dokładność uzębienia; piąty z przykładów to dwuetapowa optymalizacja, metodą systematycznego przeszukiwania, operacji kulkowania oscylacyjnego ze względu stopień pokrycia mikrorowkami i następnie czas nagniatania; ostatni – dotyczy doboru optymalnych parametrów toczenia wykończeniowego ostrzami z polikrystalicznego diamentu komutatorów elektronarzędzi wykonanych z miedzi ze względu na chropowatość powierzchni;

• optymalizacji wielokryterialnej: pierwszy z przykładów obejmuje optymalizację wybranych parametrów nagniatania stopu AlCu4Mg1 ze względu na 2 funkcje celu (chropowatość powierzchni Ra i intensywność zużycia Iz), kolejne 2 przykłady dotyczą doboru optymalnych parametrów operacji nagniatania piasty koła pasowego ze względu na 2 i 3 funkcje celu (chropowatość powierzchni Ra, dokładność wymiarową ΔD i wydajność operacji Wn) oraz toczenia wykończeniowego stali 20CrMnTi w stanie zahartownym, również ze względu na 2 i 3 funkcje celu (czas jednostkowy tj, koszt jednostkowy Kj i wypadkową siłę skrawania F), przy czym ostatni z przykładów przeprowadzono unormowaną metodą wag oraz metodą MDM opartą na elementarnym algorytmie genetycznym.

Pracę zakończono podsumowaniem oraz wykazem bibliografii.

Autorzy wyrażają serdeczne podziękowania dr. inż. Janowi Wencelisowi za udostępnienie przykładu dotyczącego wyznaczania optymalizowanych czynników operacji przeciągania z jednoczesnym nagniataniem zrealizowanego w warunkach produkcyjnych. Szczególne podziękowania autorzy kierują do dr. inż. Bogusława Pytlaka za udostępnienie przykładu optymalizacji wielokryterialnej parametrów operacji toczenia wykończeniowego stali 20CrMnTi w stanie zahartowanym, narzędziami z polikrystalicznego azotku boru CBN100, zawartego w jego pracy doktorskiej, której promotorem był Stanisław Płonka, oraz za udostępnienie oryginalnego programu metody MDM, opartej na elementarnym algorytmie genetycznym, do wyznaczania rozwiązań optymalnych w sensie Pareto ze względu na 2 i 3 funkcje celu.

Za pomoc w graficznym opracowaniu części rysunków przygotowanych w programie Statistica dziękujemy dr inż. Aleksandrze Jarco.

Szczególne podziękowania autorzy kierują do kierownika Katedry Technologii Maszyn i Automatyzacji oraz równocześnie dziekana Wydziału Budowy Maszyn i Informatyki dr. hab. inż. Jacka Pezdy, prof. ATH, za okazaną życzliwość i pomoc organizacyjną, a przede wszystkim za umożliwienie opracowania tej książki na terenie uczelni w tak trudnym dla nas wszystkich okresie.

Pragniemy wyrazić wdzięczność za inspirację do napisania oraz recenzję książki prof. dr. hab. inż. Janowi Szadkowskiemu. Jego wnikliwe i cenne uwagi oraz wskazówki, w tym także krytyczne, które wykorzystano przy redagowaniu książki, niewątpliwie przyczyniły się do podniesienia jej poziomu.

Na koniec składamy serdeczne podziękowania na ręce mgr Doroty Zielonki oraz Dyrektora Operacyjnego inż. Kazimierza Kubicy, Członków Zarządu Przedsiębiorstwa Handlowo-Usługowo-Produkcyjnego IGUM sp. z o.o. w Bielsku-Białej, za okazaną życzliwość i wsparcie finansowe, które umożliwiło wydanie tego podręcznika.

Bielsko-Biała, czerwiec 2021 r.WYKAZ WAŻNIEJSZYCH OZNACZEŃ

2e – amplituda oscylacji elementu nagniatającego

ap – głębokość skrawania

b₀, b₁, bi, b₁₁, bii, b₁₂, bi-1,i – współczynniki regresji

cj – cena jednostkowa wyrobu

cs – s-ta wielkość stała

c(i, i) – elementy odwrotnej macierzy informacyjnej (XTX)–1

d – błąd przeciętny aproksymacji

dk – średnica kulki nagniatającej

ˆd – wskaźnik bezwymiarowy zastępujący estymator błędu średniokwadratowego

D – średnica przedmiotu nagniatanego

êb – estymator błędu średniokwadratowego

f – posuw nagniatania

ft – prędkość posuwu

f₁* – liczba stopni swobody licznika

f₂* – liczba stopni swobody mianownika

F – wypadkowa siła skrawania lub wartość funkcji testowej

Fn – siła nagniatania (docisku krążka do powierzchni obrabianej)

h – głębokość odcisku kulki (mikrorowka)

hz – z-ta wielkość zakłócająca

i – stosunek częstotliwości oscylacji elementu nagniatającego do liczby obrotów

ipn – liczba przejść krążka

I – natężenie prądu elektrycznego

Iz – intensywność zużycia

Kj – jednostkowy koszt wytwarzania

l – łączna liczba powtórzeń we wszystkich układach planu doświadczenia

L – długość drogi toczenia

m – stopień wielomianu założonej funkcji

mHV – mezotwardość warstwy wierzchniej

M – błąd średniokwadratowy

MSregr – średnia wartość kwadratowego odchylenia regresji

MSE – średnia suma kwadratów błędów

n – prędkość obrotowa przedmiotu

nosc – liczba oscylacji

nu – liczba układów planu doświadczenia

nx – liczba różnych wartości każdej wielkości wejściowej

Nb – liczba współczynników założonej funkcji (łącznie ze stałą)

p – poziom istotności (wg oprogramowania Statistica)

r = ru – liczność próbki lub liczba powtórzeń w u-układzie planu

rkr – promień zarysu powierzchni czynnej krążka w przekroju osiowym

Ra – średnia arytmetyczna rzędnych profilu chropowatości

Raw – wstępna chropowatość powierzchni po toczeniu

Rv – głębokość najniższego wgłębienia profilu

Rz – średnia maksymalna wysokość chropowatości z 5 odcinków elementarnych

RzISO – wysokość profilu chropowatości według 10 punktów

R∆q – średni kwadratowy wznios profilu chropowatości

R² – kwadrat współczynnika korelacji wielokrotnej

RS – średni odstęp miejscowych wzniesień profilu chropowatości

s(z)(u) – odchylenie standardowe próbki, będące miarą rozproszenia wokół średniej arytmetycznej uzyskanych wyników pomiarów w u-układzie planu doświadczenia

s²(z)(u) – wariancja z próbki

Sr – względna powierzchnia pokrycia mikrorowkami w procentach

S(bi) – odchylenie standardowe testowanego współczynnika

S(z)(u) – odchylenie standardowe skorygowane, będące miarą rozproszenia populacji wokół średniej arytmetycznej oszacowania z próbki

S²(z) – wariancja niedokładności wielkości wyjściowej z dla obiektu badań (błąd czysty)

S²(z)a – wariancja błędów aproksymacji (błąd modelu)

S²(z)(u) – wariancja skorygowana w u-układzie planu doświadczenia

– wariancja średnich arytmetycznych

– odchylenie standardowe średnich arytmetycznych

tj – czas jednostkowy wytwarzania

tn – czas nagniatania

tp – czas ruchów pomocniczych

tskr – czas skrawania

tu – czas zmiany elementu obrabianego oraz innych dodatkowych czynności

twm – czas wygniatania mikrorowków

tzn – czas zmiany narzędzia

– wartość krytyczna z rozkładu t-Studenta dla przyjętego poziomu istotności α i stopnia swobody f₁**

T – okres trwałości ostrza

Tosc – okres ruchu oscylacyjnego

U – naddatek pod nagniatanie

vc – prędkość skrawania

vn – prędkość obwodowa przedmiotu podczas nagniatania

w – wcisk nagniatania

Wn – wydajność operacji nagniatania

xi – i-ta wielkość wejściowa (i-ta wielkość badana)

zj – wartość wielkości wyjściowej w każdym z powtórzeń doświadczenia dla wszystkich układów planu

zw – w-ta wielkość wyjściowa

z(u) – wartość wielkości wyjściowej w u-układzie planu (dla ru = 1)

– wynik pomiaru wielkości wyjściowej, inaczej powtórzenie w u-układzie planu doświadczenia (j = 1, 2, …, r)

– średnia arytmetyczna wyników pomiarów wielkości wyjściowej dla wszystkich układów

– średnia arytmetyczna wielkości wyjściowych, stanowiących powtórzenia w u-układzie planu

– wartość funkcji w u-układzie planu doświadczenia (u = 1, 2, ..., nu)

– wartość funkcji w każdym z powtórzeń doświadczenia dla wszystkich układów planu (j = 1, 2, ..., l)

Δzmax – maksymalny błąd bezwzględny aproksymacji

ΔD – zmiana średnicy otworu lub wałka po nagniataniu

εmax – maksymalny błąd względny

εj – procentowe współczynniki określające odchyłkę danego kryterium od rozwiązania optymalnegoWPROWADZENIE

Konieczność ciągłego postępu powoduje, że w trakcie zarówno projektowania, jak i realizacji procesów wytwórczych wymaga się podejmowania możliwie najkorzystniejszych decyzji warunkujących osiągnięcie pożądanych celów. Jednym z głównych środków umożliwiających osiągnięcie tych celów jest optymalizacja. Sprzyja temu obserwowany od wielu lat rozwój metod technik optymalizacji i coraz szersze stosowanie ich w praktyce.

Jeśli przyjmie się, że celem każdego przedsiębiorstwa jest osiągnięcie i utrzymanie wysokiej jakości wyrobów produkowanych w dużej różnorodności i mających krótki cykl życia przy równoczesnym wymogu ekonomicznym wytwarzania (niskie koszty jednostkowe, krótkie okresy zwrotu kapitału, szybki obrót kapitału), konieczna staje się optymalizacja działalności produkcyjnej przedsiębiorstwa (próby realizacji tego rodzaju optymalizacji spotyka się w niektórych koncepcjach systemów CIM – komputerowo zintegrowanego wytwarzania). W optymalizacji działalności produkcyjnej szczególne miejsce zajmuje optymalizacja procesów wytwórczych. Przez pojęcie optymalizacji procesów wytwórczych należy rozumieć optymalizację zarówno warunków obróbki (zwaną optymalizacją parametryczną), jak i struktury procesów (zwaną optymalizacją strukturalną). Optymalizacja warunków (parametrów obróbki) pełni funkcję komplementarną w stosunku do optymalizacji struktury. Te dwa zagadnienia są ze sobą sprzężone: optymalizacja struktury wymaga wcześniejszego nadania parametrom procesu wartości bliskich optymalnym, optymalizacja parametrów zaś wymaga wcześniejszego dokonania optymalizacji struktury. Rozwiązaniem powstającej sprzeczności jest postępowanie iteracyjne, w którym zwykle najpierw rozwiązuje się zadanie wyboru struktury procesu zbliżonej do optymalnej (przyjmując typowe wartości parametrów), a następnie przeprowadza się optymalizację parametrów. Potem można znowu przejść do uściślenia wyboru struktury itd. , .

Celem optymalizacji parametrycznej jest dobranie (spośród możliwych do stosowania w danych warunkach – w obszarze rozwiązań dopuszczalnych określonym ograniczeniami) takich wartości parametrów skrawania jak: prędkość vc, posuw f i głębokość skrawania ap, które zapewniają ekstremalną wartość założonego kryterium optymalizacji (funkcji celu) , . Natomiast w przypadku obróbki wykończeniowej przez nagniatanie na ogół są to promień zaokrąglenia elementu nagniatającego rkr, siła nagniatania (docisku) Fn, posuw na obrót f, względnie wcisk nagniatania w i posuw na obrót f, a dla nagniatania elektromechanicznego (z elektrokontaktowym nagrzewaniem) dodatkowo natężenie prądu elektrycznego I.

W pracy wyodrębniono 4 grupy zagadnień:

• wyznaczanie optymalizowanych czynników operacji wytwórczych za pomocą analizy wariancyjnej (planu statycznego randomizowanego kompletnie, planu statycznego randomizowanego kwadrat łaciński i kwadrat grecko-łaciński),

• dobór optymalnych parametrów operacji ze względu na jedną funkcję celu (jedno kryterium optymalizacji) bez wyznaczania funkcji obiektu badań,

• dobór optymalnych parametrów operacji ze względu na jedną funkcję celu z wyznaczaniem funkcji obiektu badań,

• dobór optymalnych parametrów operacji ze względu na 2 i 3 funkcje celu.

W pracy skoncentrowano się na doborze optymalnych parametrów wybranych sposobów nagniatania ze względu na jedną funkcję celu (jedno kryterium), jak również, w ograniczonym stopniu, na doborze wybranych parametrów operacji nagniatania oraz toczenia wykończeniowego ze względu na 2 i 3 funkcje celu. Przedstawiono przykłady wyznaczania optymalizowanych czynników badanych operacji za pomocą analizy wariancyjnej, doboru optymalnych parametrów ze względu na jedną funkcję celu, wybranych sposobów obróbki wykończeniowej przez nagniatanie za pomocą krążka, rolek oraz specjalnych nagniataków w postaci kół zębatych, części wykonanych ze stopu aluminium, stali i żeliwa szarego. Następnie zamieszczono przykład dwuetapowej optymalizacji kulkowania oscylacyjnego ze względu na stopień pokrycia Sr mikrorowkami i czas nagniatania twm dla I rodzaju układu śladów poobróbkowych (nieprzecinających się), a ponadto przykład doboru optymalnych parametrów toczenia wykończeniowego ostrzami z polikrystalicznego diamentu komutatorów elektronarzędzi wykonanych z miedzi ze względu na chropowatość powierzchni.

W końcowej części książki zamieszczono przykłady dotyczące optymalizacji wielokryterialnej – przykłady: doboru optymalnych parametrów operacji nagniatania stopu AlCu4Mg1 ze względu na chropowatość powierzchni określoną parametrem Ra i intensywność zużycia Iz; operacji nagniatania przez rolkowanie piasty koła pasowego silnika wysokoprężnego ze stali C45 w stanie ulepszonym ze względu na 2 (Ra, ∆D) i 3 funkcje celu (Ra, ∆D, Wn) oraz toczenia wykończeniowego stali 20CrMnTi, w stanie zahartowanym, narzędziami z polikrystalicznego azotku boru CBN100 ze względu na 2 (tj, Kj) i 3 funkcje celu (tj, Kj, F). Optymalizację ostatniego przykładu przeprowadzono 2 metodami: unormowaną metodą wag i metodą MDM opartą na elementarnym algorytmie genetycznym.2
MODEL MATEMATYCZNY OBIEKTU BADAŃ

Pojęcie modelu matematycznego określa zależności matematyczne opisujące wyidealizowane zjawisko fizyczne lub ekonomiczne , , . W rozważaniach związanych z technologią maszyn wskazane jest przyjęcie innej definicji, w której model matematyczny obiektu badań jest odzwierciedleniem związków między wielkościami (czynnikami) mającymi wpływ na budowę strukturalną i funkcjonalną rzeczywistego obiektu badań . Model matematyczny przyjmuje różne postaci, może być przedstawiony wzorem, mogą to być również tablice albo wykresy. Model matematyczny pozwala na odzwierciedlenie związków strukturalnych i funkcjonalnych występujących w operacji wytwórczej.

Zastosowanie modeli matematycznych w technologii maszyn można sprowadzić do następujących zadań :

• optymalizacji i sterowania ekstremalnego operacjami procesu wytwórczego,

• rozwiązywania zagadnień sterowania operacjami procesu wytwórczego,

• rozwiązywania zagadnień przewidywania i symulowania efektów realizowanej operacji na podstawie danych warunków jej realizacji.

Opisane zastosowania modeli matematycznych pozwalają stwierdzić, że przedstawienie za pomocą jednego modelu matematycznego kompleksowo całego procesu wytwórczego jest obecnie niemożliwe, ponieważ procesy te są znacznie zróżnicowane. Metody te natomiast pozwalają na zbudowanie modeli matematycznych poszczególnych składowych procesu wytwórczego. W przeważającej części przypadków modele matematyczne są formułowane na podstawie wyników eksperymentów, a w nielicznych przypadkach na drodze analitycznej. Wielkości charakteryzujące obiekt badań przedstawiono na rys. 2.1.

Rozróżnia się następujące zbiory wielkości:

• wejściowe: x₁, x₂, ..., xi,

• wyjściowe: z₁, z₂, ..., zw,

• stałe: c₁, c₂, ..., cs,

• zakłócające: h₁, h₂, ..., hz.

Do zbioru wielkości wejściowych (zmiennych niezależnych) zalicza się te wielkości, których wpływ na wielkości wyjściowe interesuje realizatora badań. Mogą to być wielkości fizyczne, chemiczne, technologiczne, ekonomiczne i inne. Wielkości zaliczone do tego zbioru muszą być wzajemnie niezależne oraz mierzalne.

Do zbioru wielkości wyjściowych (zmiennych zależnych) zalicza się te, które zwykle stanowią efekt funkcjonowania obiektu badań, są wielkościami mierzalnymi, a ich wartości będą stanowiły wyniki pomiarów w procesie badań. Należy szczególnie podkreślić fakt, że na każdą z tych wielkości inaczej wpływają wielkości wejściowe.

Do zbioru wielkości stałych zalicza się wielkości, które mogą wpływać na wielkości wyjściowe, ale ich wpływ realizatora badań nie interesuje. Wartości tych wielkości celowo nie zmienia się w trakcie realizowania badań doświadczalnych.

Do zbioru wielkości zakłócających zalicza się wielkości, które są albo wielkościami znanymi i mierzalnymi, lecz pomijanymi celowo, albo wielkościami znanymi, lecz niemierzalnymi, lub też są to wielkości nieznane, a ich wpływ na wielkości wyjściowe jest przypadkowy.

Rys. 2.1. Analiza czynnikowa modelu obiektu badań

Obiekty badań dzielą się na , , :

• statyczne – obiekt badań nie zmienia się w czasie, a szczególnie wielkości wejściowe są niezależne od czasu, ich wartościami realizator badań może swobodnie sterować,

• dynamiczne – obiekt badań zmienia się w czasie.

Zgodnie z przedstawionym podziałem modele matematyczne dzielą się na modele statyczne i modele dynamiczne.

Innego podziału modeli matematycznych można dokonać na podstawie stosowanych metod matematycznych niezbędnych do opracowania modeli. W tym aspekcie modele matematyczne dzieli się na , :

• modele deterministyczne, w których określonej wartości wielkości wejściowej x odpowiada jedna ściśle określona wartość wielkości wyjściowej z,

• modele losowe, w których określonej wartości wielkości wejściowej x może odpowiadać pewna liczba różniących się od siebie wartości wielkości wyjściowej z.

Rozróżnia się następujące postaci modelu losowego :

• model losowy, w którym wielkości wejściowe x są zdeterminowane, z kolei czynnik wyjściowy z jest zmienną losową,

• model losowy, w którym zarówno wielkości wejściowe x, jak i wyjściowe z są zmiennymi losowymi,

• model B opracowany w postaci obszaru domkniętego o takiej właściwości, że nieznana funkcja opisująca właściwości obiektu zawarta jest wewnątrz tego obszaru.

Z przedstawionych modeli w zagadnieniach technologii maszyn najczęstsze zastosowanie ma model losowy, w którym jedynie wielkości wyjściowe są zmiennymi losowymi.

Modele matematyczne formułuje się analitycznie lub eksperymentalnie (rys. 2.2). W technologii maszyn i projektowaniu procesów wytwórczych szerokie zastosowanie ma metoda eksperymentalna. W metodzie tej tworzenie modelu matematycznego realizuje się przez dokonanie cyklu doświadczeń na obiekcie wykonującym określoną operację procesu wytwórczego.

Rys. 2.2. Schemat podziału metod opisu matematycznego właściwości obiektu badań

W metodzie eksperymentalnej rozróżnia się 2 rodzaje doświadczeń:

• bierne, w których opracowanie modelu odbywa się na podstawie obserwacji zebranych w trakcie odbywania się operacji wytwórczej; do obserwacji tych nie można wrócić ani ich odtworzyć; eksperyment ten cechuje długi czas zbierania koniecznej ilości informacji oraz fragmentaryczność zebranych informacji spowodowana niewielkim zazwyczaj zakresem zmian wartości parametrów w trakcie normalnej pracy; na podstawie takiego eksperymentu można konstruować model nieprawidłowy,

• czynne, w których realizuje się określony wcześniej plan badań przy założonej zmienności wielkości wejściowych; w zagadnieniach związanych z technologią maszyn i projektowaniem procesów wytwórczych modele matematyczne wyznacza się zazwyczaj na podstawie eksperymentu czynnego, gdyż eksperyment taki zapewnia wystarczającą zmienność wielkości wejściowych, jak i prawidłowość opracowanego modelu.

Należy również zwrócić uwagę na fakt, że niezależnie od metody wyznaczenia warunków optymalnych realizacji operacji procesu wytwórczego konieczne jest przyjęcie odpowiednich kryteriów optymalizacyjnych, to znaczy kryteriów jakości technologicznej i kryteriów jakości użytkowej. Jakość technologiczną wyrobu charakteryzują struktura geometryczna powierzchni oraz fizyczne właściwości warstwy wierzchniej . Dokładność obróbki jest zwykle rozważana w funkcji cech wszystkich składników układu OUPN oraz parametrów obróbki, ze względu na ich związki z siłami, temperaturą i zużyciem narzędzia. Podstawowe źródła błędów upatruje się w sprężystym odkształceniu układu OUPN.

Do kryteriów ekonomicznych zalicza się koszty procesów wytwórczych, tj. koszt jednostkowy Kj, czas jednostkowy tj i okres trwałości narzędzia T.

Wyznaczenie optymalnych warunków realizacji operacji procesu wytwórczego przy spełnieniu wszystkich wymienionych kryteriów w większości przypadków jest niemożliwe, dlatego w praktyce można mówić o takiej realizacji procesu wytwórczego, która zapewnia uzyskanie maksymalnej wydajności przy określonym poziomie jakości wyrobów i określonym poziomie kosztów.3
PLAN DOŚWIADCZENIA

Przed przystąpieniem do badań doświadczalnych (przed dokonaniem pomiarów) należy określić:

• charakterystykę obiektu badań, a w szczególności liczbę wielkości wejściowych i, ich zakresów zmienności xk(min), xk(max), wielkości wyjściowe z₁, …, zw oraz dopuszczalne funkcje obiektu badań:

zj = F(x₁, x₂, ..., xk, ..., xi), j = 1, 2, ..., w

(3.1)

• cel badań.

Można wyróżnić 3 ogólne cele badań :

• weryfikacja istotności wpływu wielkości wejściowych na wielkości wyjściowe,

• wyznaczenie stanu ekstremalnego obiektu badań,

• wyznaczenie funkcji obiektu badań.

Przyjęcie każdego z podanych wyżej celów badań wymaga opracowania lub poszukiwania gotowego planu doświadczenia w określonej grupie planów doświadczeń, które poglądowo przedstawiono na rys. 3.1.

W przypadku weryfikacji istotności wpływu wielkości wejściowych na wielkości wyjściowe właściwego planu doświadczenia należy poszukiwać w grupie planów PS/R – planów statycznych randomizowanych. Jeżeli celem badań jest wyznaczenie ekstremum, właściwy plan doświadczeń znajduje się w grupie planów PS/O – planów optymalizacyjnych. W przypadku doświadczalnego wyznaczenia funkcji obiektu badań planu należy poszukiwać w grupie planów PS/D – planów zdeterminowanych , , , .

Wybór postaci modelu nie jest łatwy, gdyż te same wyniki pomiarów w ograniczonym obszarze zmienności wielkości wejściowych mogą być często aproksymowane różnymi funkcjami. Szczególnie preferowanymi postaciami funkcji są wielomiany algebraiczne, a w przypadku przebiegów okresowych również wielomiany trygonometryczne , , .

Na ogół przy badaniu wpływu jednej wielkości wejściowej (zasadniczo badany jest wpływ kilku wielkości wejściowych, lecz wpływ każdej – oddzielnie) na interesującą wielkość wyjściową (czynnik wynikowy) wykorzystuje się:

Rys. 3.1. Klasyfikacja planów doświadczeń

• model wielomianowy

– stopnia I o postaci:

z = b₀ + b₁x

(3.2)

– stopnia II o postaci:

z = b₀ + b₁x + b₂x²

(3.3)

– stopnia III o postaci

z = b₀ + b₁x + b₂x² + b₃x³

(3.4)

• model potęgowy o postaci

z = axb + c

(3.5)

• model wykładniczy o postaci

z = a⋅e(bx) + c

(3.6)

• model hiperboliczny o postaci

(3.7)

W przypadku badania jednoczesnego wpływ kilku wielkości wejściowych na obiekt badań zaleca się stosowanie wielomianu stopnia II, dla którego opracowano większość typowych planów doświadczeń. Niemniej wyróżnia się następujące modele:

• model liniowy

z = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + ... + bixi

(3.8)

• model wielomianowy

(3.9)

• model potęgowy:

(3.10)

Planowanie doświadczeń polega na określeniu rodzaju, liczby, kolejności pomiarów, które należy wykonać, aby spełnić założone cele badań. Realizator badań może wybrać między opracowaniem własnego planu badań, co dla większej liczby wielkości wejściowych jest bardzo trudne, czasem wręcz niemożliwe, a wybraniem na podstawie istniejącej literatury katalogów lub baz programów komputerowych jednego z typowych (gotowych) planów doświadczenia sporządzonych przez specjalistów z zakresu teorii eksperymentu , , , , , , , , .

Należy również zwrócić uwagę na specjalne plany statyczne selekcyjne wieloczynnikowe, takie jak: Hartleya, Kierfera, Kono – stanowiące ostatnie osiągnięcia teorii eksperymentu. Wprowadzono w nich inne kryteria oceny optymalności, a zwłaszcza tzw. kryterium D-optymalności. Są to plany bardzo efektywne, gdyż wymagają niewielu pomiarów, gdzie liczba układów pomiarowych tylko nieznacznie przekracza liczbę współczynników wielomianu aproksymującego. Jednak cecha ta powoduje negatywne skutki w odniesieniu do adekwatności (niedokładności) wyznaczonej funkcji obiektu badań. Plany te są stosunkowo mało rozpowszechnione , , .

3.1. Struktura planu doświadczenia

Duża liczba planów doświadczeń spowodowała konieczność ich klasyfikacji. Klasyfikacja ta nie jest ostateczna i zamknięta, ponieważ teoria eksperymentu ciągle się rozwija i w związku z tym powstają nowe plany. Podstawą każdej klasyfikacji jest wybór odpowiednich kryteriów klasyfikacyjnych. W przypadku planowania doświadczeń pierwsze kryterium wynika z systematyki modeli matematycznych.

Najbardziej ogólny podział planów doświadczeń wynikający z systematyki modeli matematycznych wyróżnia , :

• plany doświadczeń dynamiczne – dla dynamicznych obiektów badań,

• plany doświadczeń statyczne – dla statycznych obiektów badań.

Należy stwierdzić, że obecnie teoria doświadczeń obejmuje przede wszystkim statyczne obiekty badań, które będą rozpatrywane w dalszej części pracy. Należy pamiętać, że podział między planami dla obiektów statycznych i dynamicznych, podobnie jak podział między modelami statycznymi i dynamicznymi, może być w pewnych przypadkach niezbyt wyraźny.

Plany statyczne dzielą się na 2 podstawowe grupy (rys. 3.1):

• plany zdeterminowane PS/D,

• plany randomizowane PS/R.

W przypadku planów zdeterminowanych PS/D i randomizowanych PS/R wszystkie układy wartości wielkości wejściowych, dla których mierzy się wartości wielkości wyjściowej, zostają ustalone przed rozpoczęciem badań doświadczalnych i nie ulegają zmianie w trakcie realizacji badań.

Plany o ustalonych układach, zwłaszcza plany zdeterminowane PS/D, ułatwiają techniczne i organizacyjne przygotowanie badań. Ponadto plany zdeterminowane cechuje to, że tworzące je układy wartości wielkości wejściowych zostały ustalone na podstawie pewnych logicznych przyczyn. Z tego względu stanowią one podstawową grupę planów stosowanych aktualnie w badaniach doświadczalnych. W grupie planów zdeterminowanych można wyróżnić następujące plany , :

• kompletne PS/DK,

• selekcyjne PS/DS.

Podstawową cechą planów kompletnych jest to, że liczba układów wartości wielkości wejściowych jest największa, jaka może być utworzona przy ustalonym zakresie zmienności i przyjętej dyskretyzacji tych wartości. Liczba ta jest z reguły bardzo duża, dlatego obecnie dąży się do opracowania takich planów, które zachowują zdolność do utworzenia funkcji obiektu badań z ograniczoną liczbą układów wartości wielkości wejściowych. Założenie to spełniają plany selekcyjne, w których liczba tworzących je układów wartości wielkości wejściowych została znacznie zmniejszona w stosunku do liczby układów planu kompletnego, przy zachowaniu możliwości określenia funkcji obiektu badań.

Plan selekcyjny jest utworzony w wyniku wyboru pewnych układów z planu kompletnego, przy zastosowaniu ewentualnych modyfikacji układów. Zarówno wybór, jak i modyfikacja przeprowadzane są na podstawie różnych zasad i kryteriów, z czego wynika różnorodność planów selekcyjnych.

3.2. Kryteria wyboru planu doświadczenia

Wybór właściwego planu doświadczenia stanowi jedną z ważniejszych decyzji podejmowanych zaraz na początku badań doświadczalnych, z uwzględnieniem informacji o obiekcie badań (rodzaju obiektu i jego właściwościach). Można stwierdzić, że każde badanie doświadczalne to szczególny przypadek, dlatego doświadczony badacz kieruje się często własnymi kryteriami lub intuicją. Należy jednak wskazać pewne podstawowe kryteria, które musi spełniać wybrany plan doświadczenia , :

• informatywności,

• realizowalności,

• efektywności.

Warunkiem wyboru jakiegokolwiek planu jest wstępne określenie pewnej większej liczby planów doświadczeń P₁, P₂, ..., Pm, spośród których dokonuje się wyboru. Plany te muszą spełniać wymienione powyżej kryteria. Lepiej bowiem początkowo mieć więcej planów i stopniowo je odrzucać, niż wyłączyć plan, który później może się okazać najbardziej właściwy.

Kryterium informatywności planu określa jego zdolność do dostarczenia wymaganej informacji określonej przez cel badań doświadczalnych. Celem badań jest z reguły ustalenie modelu matematycznego danego obiektu badań. Jeżeli celem jest wyznaczenie założonej funkcji o liczbie współczynników Nb oraz jeżeli jest to wielomian algebraiczny stopnia m, to wybrany plan musi spełniać co najmniej 2 warunki , :

nu ≥ Nb

(3.11)

nx ≥ m + 1,

(3.12)

gdzie:

nu – liczba układów planu,

Nb – liczba współczynników założonej funkcji (łącznie ze stałą),

nx – liczba różnych wartości każdej wielkości wejściowej,

m – stopień wielomianu założonej funkcji.

Zastosowanie kryterium realizowalności polega na sprawdzeniu, czy analizowany plan jest możliwy do wdrożenia na stanowisku badawczym przy zastosowaniu określonych metod i środków pomiarowych. W szczególności chodzi o to, czy obiekt badań funkcjonuje prawidłowo w przyjętych układach wartości wielkości wejściowych oraz czy wielkości wejściowe i wyjściowe obiektu badań są mierzalne z dopuszczalną niedokładnością, a ponadto, czy wielkości wejściowe są sterowalne, tzn. ich wartości mogą być ustalone z niedokładnością mniejszą od zakresu zmian narzuconych przez plan doświadczenia.

W tab. 3.1 przedstawiono plany doświadczeń możliwe do zastosowania przy konkretnych modelach matematycznych (funkcjach).

Tab. 3.1. Wybrane wielomiany stosowane do aproksymacji funkcji obiektu badań

Funkcja obiektu badań

Szczególne zastosowanie w planach doświadczeń

Zalecane testy weryfikujące

istotność modelu matematycznego

adekwatność modelu matematycznego

istotność wyznaczonych współczynników

PS/DS-P

F

F

t

z = b₀ + b₁x₁ +...+ bixi

PS/DK

PS/DS-P: 2i–p

PS/DS-P: X

F

F

t

Z = B₀ + B₁X₁ +...+ BiXi

Z = ϕ(z), Xk = ϕk(xk), Bk = ϕk(bk)

z = b₀ + b₁x + b₂x² +...+ bmxm

PS/DK

PS/DS-M

PS/DS-O(D-x)

F

F

t

Kryterium efektywności to kryterium kosztów i czasu badań. Ze względu na nie należałoby wybrać plan, który wymaga najmniej pomiarów, a co za tym idzie jego realizacja jest krótka w czasie. Należy jednak pamiętać, że z przeprowadzonych badań uzyskuje się tyle informacji o obiekcie badań, ile wykonało się na nim pomiarów, a to zależy od tego, jaki plan doświadczeń został wybrany do badań.

3.3. Sposoby realizacji powtórzeń

Z charakterystyki obiektu badań wynika, że na wielkość wyjściową z wpływają losowo wielkości zakłócające. Konsekwencją tego jest fakt, że z jest zmienną losową, a do określenia wartości zmiennej losowej niezbędne jest wykonanie pewnych dodatkowych pomiarów zwanych powtórzeniami.

Pomiar jest czynnością wykonywaną w czasie realizacji doświadczenia, mającą na celu wyznaczenie nieznanej wartości wielkości wyjściowej z, stanowiącej iloczyn liczby i stosownej jednostki miary. Oprócz wartości wejściowych na wielkość wyjściową wpływają również zakłócenia losowe, dlatego w wartości wyjściowej zmieszany jest wpływ wartości wejściowych i zakłóceń.

Wyróżnia się 3 warianty realizacji powtórzeń , :

• w każdym układzie planu doświadczenia wykonuje się kilka pomiarów stanowiących powtórzenia; zaleca się, by liczba powtórzeń ru była większa lub równa 5 oraz taka sama w każdym układzie (ru = r = const); wariant ten stosuje się, gdy zachodzi przypuszczenie, że zakłócenia zależą od wartości wielkości wejściowych xi;

• jeżeli w wybranym planie doświadczenia występują identyczne układy, wówczas można je wykorzystać dodatkowo jako powtórzenia, dlatego dla każdego układu wykonuje się tylko jedno powtórzenie; wariant ten stosuje się wtedy, gdy można założyć, że zakłócenia losowe nie zależą od wartości wielkości wejściowych xi;

• wykonuje się powtórzenia niezależnie od planu doświadczenia dla arbitralnie wybranego zbioru wartości wielkości wejściowych xi.

Decyzja, który wariant wybrać oraz jaką liczbę powtórzeń przyjąć, zależy całkowicie od realizatora badań. Nie jest to łatwe zagadnienie, ponieważ wymagany jest kompromis między ilością uzyskanych informacji a kosztami i czasem badań.