Perfekcyjny zakład. Jak nauka i matematyka pozbawiają hazard ślepego szczęścia - ebook

Wstęp

W CZERWCU 2009 ROKU w pewnej brytyjskiej gazecie opublikowano historię Elliotta Shorta, byłego finansisty, który zarobił ponad 20 milionów funtów w zakładach na wyścigach konnych¹. Miał mercedesa z szoferem, utrzymywał biuro w ekskluzywnej dzielnicy Londynu Knightsbridge i regularnie płacił gigantyczne rachunki w najlepszych klubach miasta². Według artykułu zwycięska strategia Shorta była następująca: zawsze obstawiać przeciwko faworytom. Ponieważ najwyżej oceniany koń nie zawsze wygrywa, na tym podejściu można było zbić fortunę. Dzięki swojemu systemowi Short osiągnął ogromne zyski w niektórych z najbardziej znanych brytyjskich gonitw, od 1,5 miliona funtów na Festiwalu Cheltenham po 3 miliony w Royal Ascot.

Był tylko jeden problem: ta historia nie była do końca prawdziwa. Zyskowne zakłady, które Short, jak twierdził, obstawił w Cheltenham i Ascot, nigdy nie miały miejsca³. Przekonawszy inwestorów do wpakowania w swój system zakładów setek tysięcy funtów, Short wydał dużą część tych pieniędzy na wakacje i wieczorne wyjścia⁴. Inwestorzy w końcu zaczęli zadawać pytania i Shorta aresztowano. Kiedy w kwietniu 2013 roku sprawa znalazła finał w sądzie, został uznany za winnego dziewięciu oszustw i skazany na pięć lat więzienia⁵.

Może wydawać się zaskakujące, że tak wiele osób się nabrało. W koncepcji idealnego systemu zakładów jest jednak coś uwodzicielskiego. Opowieści o sukcesach w hazardzie są sprzeczne z koncepcją, zgodnie z którą kasyna i bukmacherzy są nie do pokonania. Sugerują one, że gry losowe mają słabe strony, które może wykorzystać każdy, kto będzie wystarczająco bystry, by je dostrzec. Z losem można się dogadać, a fortunę kontrolować za pomocą równań. Koncepcja ta jest tak kusząca, że odkąd istnieją różne gry, ludzie starają się znaleźć sposoby, by je przechytrzyć. Jednak poszukiwanie perfekcyjnego zakładu wpływa nie tylko na hazardzistów. Z biegiem historii zakłady doprowadziły do zmiany całego naszego pojmowania losu szczęścia.

ODKĄD W XVIII WIEKU W PARYSKICH KASYNACH pojawiły się pierwsze koła ruletki, nie minęło wiele czasu, nim gracze zaczęli wymyślać nowe systemy zakładów. Większość strategii miała atrakcyjne nazwy i fatalną skuteczność. Jedną z nich nazwano „martyngałem”. System ten wywodził się z taktyki używanej w grach barowych i mówiono, że jest niezawodny. W miarę rozpowszechniania się jego reputacji stał się niesamowicie popularny wśród lokalnych graczy⁶.

Martyngał polegał na obstawianiu czerni lub czerwieni. Kolor nie miał znaczenia – ważna była stawka. Zamiast za każdym razem obstawiać taką samą sumę, gracz podwajał stawkę po przegranej. Kiedy w końcu wybrał właściwy kolor, miał więc odbić sobie wszystkie pieniądze przegrane podczas wcześniejszych zakładów i dodatkowo zyskać kwotę równą pierwotnej stawce.

Na pierwszy rzut oka system wyglądał na pozbawiony wad. Miał jednak jeden poważny minus: czasem wymagana stawka wykraczała daleko poza to, na co mógł sobie pozwolić gracz, czy nawet kasyno. Granie zgodnie z martyngałem mogło początkowo zapewnić graczowi niewielki zysk, ale na dłuższą metę wypłacalność zawsze wchodziła w drogę strategii. Chociaż martyngał może i był popularny, była to taktyka, na której skuteczne wykorzystywanie nikt nie mógł sobie pozwolić. „Martyngał jest ulotny jak dusza”, jak to ujął pisarz Aleksander Dumas⁷.

Jednym z powodów, dla których strategia ta była – i wciąż jest – kusząca dla tak wielu graczy, jest fakt, że wydaje się matematycznie doskonała. Zapisz kwotę obstawionej stawki i sumę, którą możesz wygrać, a zawsze wyjdziesz na plus. Obliczenia ujawniają swoją słabość tylko w zestawieniu z rzeczywistością. Na papierze martyngał zdaje się działać świetnie, za to w praktyce jest beznadziejny.

Jeśli chodzi o hazard, zrozumienie teorii stojącej za grą może wiele zmienić. A jeśli tej teorii jeszcze nie wynaleziono? Gerolamo Cardano z czasów renesansu był zapalonym hazardzistą. Roztrwoniwszy swoje dziedzictwo, zdecydował się zbić majątek na zakładach. Oznaczało to dla niego mierzenie, jak prawdopodobne są zdarzenia losowe⁸.

W jego czasach nie istniało prawdopodobieństwo w obecnym kształcie. Nie było żadnych zasad rządzących zdarzeniami losowymi, wskazujących, na ile coś jest prawdopodobne. Jeśli ktoś wyrzucił dwie szóstki podczas gry w kości, był to po prostu fart. W przypadku wielu gier nikt nie wiedział dokładnie, jaka byłaby „uczciwa” stawka⁹.

Cardano był jedną z pierwszych osób, które zauważyły, że takie gry można analizować pod kątem matematycznym. Zdał sobie sprawę, że nawigowanie po świecie prawdopodobieństwa oznacza zrozumienie, gdzie leżą jego granice. Przyglądał się więc zbiorowi wszystkich możliwych wyników, a następnie skupiał się na tych, które go interesowały. Chociaż dwie kości mogły wylądować na 36 różnych sposobów, dwie szóstki można było uzyskać tylko w jednym przypadku. Cardano rozpracował też, jak poradzić sobie z wieloma zdarzeniami losowymi, wyprowadzając „wzór Cardana”, by obliczyć prawidłowe szanse w powtarzalnych grach¹⁰.

Intelekt Cardana nie był jego jedyną bronią w grach karcianych. Nosił też przy sobie długi sztylet i nie wahał się go używać. W 1525 roku grał w karty w Wenecji i zauważył, że jego przeciwnik oszukuje. „Kiedy zauważyłem, że karty są znaczone, zapalczywie ciąłem go w twarz moim sztyletem”, opowiadał. „Ale niezbyt głęboko”¹¹.

Przez kolejne dziesiątki lat inni naukowcy także próbowali uszczknąć tajemnic prawdopodobieństwa. Na wniosek grupy szlachciców włoskich Galileusz badał, dlaczego niektóre kombinacje ścianek kostek występują częściej niż inne¹². Astronom Johannes Kepler też zrobił sobie przerwę w badaniu ruchu planet, by napisać krótki artykuł na temat teorii kości i hazardu¹³.

Nauka o losowości rozkwitła w 1654 roku w wyniku hazardowego pytania, postawionego przez francuskiego pisarza o nazwis­ku Antoine Gombaud¹⁴. Zaintrygował go następujący problem związany z grą w kości. Co jest bardziej prawdopodobne: wyrzucenie pojedynczej szóstki w czterech rzutach pojedynczą kostką, czy dwóch szóstek w 24 rzutach dwiema kostkami? Gombaud uważał, że te dwa zdarzenia będą występować równie często, ale nie umiał tego udowodnić. Napisał do swojego kolegi matematyka, Blaise’a Pascala, z pytaniem, czy rzeczywiście tak jest.

By rozwiązać kościaną zagadkę, Pascal udał się po pomoc do Pierre’a de Fermat’a, bogatego prawnika i również matematyka. Razem wykorzystali wcześniejsze prace Cardana dotyczące losowości, stopniowo definiując podstawowe zasady rachunku prawdopodobieństwa. Wiele z tych nowych koncepcji zyskało kluczowe znaczenie w teorii matematyki. Pascal i Fermat zdefiniowali między innymi „wartość oczekiwaną” gry, wskazującą, na ile przeciętnie byłaby ona zyskowna, gdyby grać w nią wielokrotnie. Ich badania wykazały, że Gombaud się mylił: miał większe szanse wyrzucić szóstkę w czterech rzutach jedną kostką niż dwie szóstki naraz w 24 rzutach dwiema kostkami¹⁵. Za to dzięki hazardowej zagadce Gombauda matematycy zyskali całkowicie nowy zestaw koncepcji. Zdaniem matematyka Richarda Epsteina „Hazardziści słusznie mogą uważać się za rodziców chrzestnych teorii prawdopodobieństwa”¹⁶.

Obstawianie zakładów nie tylko pomogło naukowcom zrozumieć, ile wart jest dany zakład w kategoriach czysto matematycznych, ale też jak oceniamy decyzje w prawdziwym życiu. W XVIII wieku Daniel Bernoulli zastanawiał się, czemu ludzie często wolą zakłady o niskim ryzyku niż gry teoretycznie bardziej zyskowne¹⁷. Jeśli to nie spodziewany zysk kierował ich decyzjami finansowymi, to co?

Bernoulli rozwiązał tę zagadkę, myśląc w kategoriach „oczekiwanej pożyteczności”, a nie oczekiwanego zwrotu z inwestycji. Zasugerował, że taka sama kwota jest warta więcej – lub mniej – zależnie od tego, ile dana osoba już posiada. Na przykład pojedyncza moneta jest cenniejsza dla osoby biednej niż bogatej. Jak powiedział inny naukowiec, Gabriel Cramer: „Matematycy szacują pieniądze w porównaniu do ich ilości, a ludzie o zdrowym rozsądku w porównaniu do pożytku, jaki mogą z nich uczynić”¹⁸.

Wnioski te okazały się być bardzo potężne. Rzeczywiście, na koncepcji użyteczności opiera się cała branża ubezpieczeniowa. Większość ludzi woli dokonywać regularnych, przewidywalnych płatności, niż nic nie płacić, ryzykując otrzymanie ogromnego rachunku, nawet jeśli oznacza to, że średnio zapłacą więcej. Decyzja, czy wykupimy polisę ubezpieczeniową, czy nie, zależy od jej użyteczności. Jeśli jakąś rzecz stosunkowo tanio można zastąpić, rzadziej ją ubezpieczamy.

W następnych rozdziałach dowiemy się, jak hazard wciąż wpływa na myślenie naukowców, od teorii gier i statystyki po teorię chaosu i sztuczną inteligencję. Być może fakt, że nauka i hazard tak się przeplatają, nie powinien dziwić. W końcu zakłady to okna na świat losowości. Pokazują nam, jak zrównoważyć ryzyko i nagrodę oraz dlaczego inaczej cenimy różne rzeczy, kiedy nasza sytuacja się zmienia. Pomagają nam odkryć, jak podejmujemy decyzje i co możemy zrobić, by kontrolować wpływ losu szczęścia. Hazard, obejmujący matematykę, psychologię, ekonomię i fizykę, to naturalne pole zainteresowania dla naukowców zajmujących się zdarzeniami losowymi – lub pozornie losowymi.

Relacja między nauką a hazardem nie jest korzystna tylko dla naukowców. Hazardziści coraz częściej wykorzystują koncepcje naukowe, by opracowywać skuteczne strategie hazardowe. W wielu przypadkach koncepcje te zataczają pełny krąg: metody pierwotnie powstałe wskutek akademickiej ciekawości dotyczącej zakładów teraz przekładają się na prawdziwe próby wygrania z kasynem.

KIEDY FIZYK RICHARD FEYNMAN pierwszy raz odwiedził Las Vegas pod koniec lat czterdziestych XX wieku, chodził od gry do gry, obliczając, jakiej wygranej (czy raczej, co bardziej prawdopodobne, przegranej) może się spodziewać. Stwierdził, że chociaż gra w kości (ang. craps) to zły interes, to jednak nie aż taki straszny: na każdego postawionego dolara mógł się spodziewać straty średnio 1,4 centa. Oczywiście tyle wynosiła oczekiwana strata na przestrzeni dużej liczby prób. Kiedy Feynman wypróbował tę grę, miał wyjątkowego pecha i od razu stracił 5 dolarów¹⁹. To wystarczyło, żeby na dobre zniechęcić go do gry w kasynie.

Niemniej jednak przez kolejne lata wybrał się do Vegas wiele razy. Najbardziej lubił rozmawiać z tancerkami. Podczas jednej z podróży jadł lunch z artystką o imieniu Marilyn. W trakcie posiłku dziewczyna wskazała jakiegoś mężczyznę, spacerującego po trawie. Był to znany zawodowy hazardzista, Nick Dandolos, zwany „Nick the Greek” (Nick Grek). Feynman poczuł się zaintrygowany jego profesją. Obliczywszy szanse wygranej w poszczególnych grach w kasynie, nie potrafił zrozumieć, w jaki sposób Nick Grek mógł systematycznie zarabiać pieniądze.

Marilyn zaprosiła Nicka do ich stolika i Feynman spytał go, jak to możliwe, że hazardem zarabia na życie. „Obstawiam tylko wtedy, kiedy los mi sprzyja”, odparł Nick. Feynman nie zrozumiał, co hazardzista ma na myśli. Jak los może kiedykolwiek komuś sprzyjać?

Nick Grek wyznał Feynmanowi tajemnicę swojego sukcesu. „Nie obstawiam przy stole”, rzekł. „Zamiast tego zawieram zakłady z ludźmi wokół stołu, którzy mają swoje uprzedzenia – przesądy na temat szczęśliwych numerków”. Nick wiedział, że kasyno ma przewagę, zawierał więc zamiast tego zakłady z naiwnymi hazardzistami. W przeciwieństwie do hazardzistów paryskich, korzystających ze strategii martyngału, on rozumiał mechanizm gier oraz grających w nie ludzi. Wyszedł poza oczywiste strategie – które przyniosłyby mu straty – i znalazł sposób na to, by przechylić szalę na swoją korzyść. Najtrudniejsze były nie same obliczenia – prawdziwą sztuką było przekształcenie tej wiedzy w skuteczną strategię.

Chociaż geniusz z reguły jest mniej powszechny niż brawura, przez lata pojawiały się opowieści o innych skutecznych strategiach hazardowych. Krążą opowieści o syndykatach, które z powodzeniem wykorzystywały luki w loteriach, i o zespołach czerpiących zyski z wadliwych stołów do ruletki. Do tego mamy studentów – często kierunków okołomatematycznych – którzy zbili małe fortuny, licząc karty.

Ostatnimi czasy techniki te jednak zostały usunięte w cień przez bardziej złożone koncepcje. Od statystyków przewidujących wyniki sportowe po wynalazców inteligentnych algorytmów, które wygrywają z ludźmi w pokera, gracze znajdują nowe sposoby na wygrywanie z kasynami i bukmacherami. Ale kim są ludzie zamieniający twarde dowody naukowe na twardą gotówkę? A co jeszcze ważniejsze, skąd wzięły się ich strategie?

Opisy wygranych często skupiają się na tym, kim byli gracze lub jak dużo wygrali. Naukowe metody obstawiania przedstawiane są jak matematyczne sztuczki magiczne. Kluczowe koncepcje nie są opisywane, teorie pozostają ukryte. My jednak powinniśmy zainteresować się tym, jak wykonuje się te sztuczki. Zakłady mają długą historię jako inspiracja dla nowych dziedzin nauki i materiał do wyciągania wniosków na temat losu szczęścia i podejmowania decyzji. Metody te przeniknęły też do szerszego społeczeństwa, od technologii po finanse. Jeśli zdołamy odkryć subtelne mechanizmy współczesnych strategii obstawiania zakładów, dowiemy się, w jaki sposób różne podejścia naukowe nadal podważają nasze pojmowanie prawdopodobieństwa.

Od prostoty po złożoność, od zuchwałości po absurd, hazard to linia produkcyjna zaskakujących pomysłów. Hazardziści na całym świecie mają do czynienia z granicami przewidywalności i granicą między porządkiem a chaosem. Niektórzy analizują niuanse podejmowania decyzji i rywalizacji; inni przyglądają się specyfice ludzkiego zachowania i badają naturę inteligencji. Dzięki wnikliwej analizie skutecznych strategii obstawiania możemy dowiedzieć się, jak hazard wciąż wpływa na nasze pojmowanie losu szczęścia – i jak można ten los ujarzmić.Rozdział 1 TRZY POZIOMY IGNORANCJI

POD LONDYŃSKIM HOTELEM RITZ znajduje się kasyno umożliwiające grę o wysokie stawki. Nazywa się Ritz Club i szczyci się swoim luksusem¹. Ubrani na czarno krupierzy nadzorują bogato zdobione stoły. Na ścianach wiszą renesansowe malowidła. Rozrzucone tu i tam lampy oświetlają wykończony złotem wystrój. Na nieszczęście przeciętnego hazardzisty Ritz Club szczyci się też swoim elitaryzmem. By w nim zagrać, trzeba mieć kartę członkowską lub klucz hotelowy. No i oczywiście gruby portfel.

Pewnego wieczoru w marcu 2004 roku do kasyna Ritz Club weszła pewna blondynka w towarzystwie dwóch mężczyzn w eleganckich garniturach². Przyszli zagrać w ruletkę. Grupa nie przypominała innych wysoko obstawiających graczy – odmówili wielu gratisów rozdawanych zwykle bogatym gościom³. Ich skupienie jednak się opłaciło i w ciągu jednego wieczoru wygrali 100 tysięcy funtów. Nie była to jakaś drobna kwota, ale nie była też bynajmniej niespotykana, jak na standardy Ritza. Następnego wieczoru grupa wróciła do kasyna i znów zasiadła do stołu. Tym razem wygrali o wiele więcej⁴. Kiedy wreszcie spieniężyli swoje żetony, odebrali 1,2 miliona funtów.

Personel kasyna nabrał podejrzeń. Po wyjściu graczy ochrona przejrzała nagranie z monitoringu. To, co zobaczyli, wystarczyło, by skontaktowali się z policją, i cała trójka wkrótce została aresztowana w hotelu niedaleko Ritza⁵. Kobieta, która jak się okazało pochodziła z Węgier, oraz jej wspólnicy, para Serbów, zostali oskarżeni o zdobycie pieniędzy na drodze oszustwa. Pierwsze sprawozdania prasowe donosiły, że za pomocą skanera laserowego przeprowadzili analizę stołu do ruletki. Pomiary zostały wprowadzone do maleńkiego, ukrytego komputera, który za ich pomocą przewidywał, gdzie ostatecznie wyląduje kulka. To połączenie gadżeciarstwa i blichtru na pewno złożyło się na dobrą opowieść. We wszystkich historiach brakowało jednak pewnego kluczowego szczegółu. Nikt nie wyjaśnił dokładnie, jak można zarejestrować ruch kulki ruletki i na jego podstawie stworzyć skuteczną prognozę. W końcu ruletka to teoretycznie gra losowa?

LOSOWOŚCIĄ RULETKI MOŻNA SIĘ ZAJĄĆ na dwa sposoby, a Henri Poincaré interesował się obydwoma. Było to jedno z licznych ciekawiących go zagadnień: na początku XX wieku praktycznie wszystko, co wiązało się z matematyką, na jakimś etapie zasłużyło na jego uwagę⁶. Był ostatnim prawdziwym „uniwersalistą” – żaden matematyk od tamtej pory nie potrafił przeskakiwać po poszczególnych fragmentach tej dziedziny tak jak on, dostrzegając po drodze kluczowe powiązania.

Zdaniem Poincarego zdarzenia takie jak ruletka wydają się losowe, ponieważ nie wiemy, co je wywołuje⁷. Naukowiec zaproponował, żeby klasyfikować zagadnienia zależnie od naszego poziomu ignorancji. Jeśli znamy dokładny stan początkowy obiektu – taki jak jego położenie i prędkość – i wiemy, jakie prawa fizyki rządzą jego zachowaniem, mamy przed sobą podręcznikowe zadanie z fizyki. Poincaré nazwał to pierwszym poziomem ignorancji: mamy wszystkie potrzebne informacje, musimy tylko wykonać kilka prostych obliczeń.

Z drugim poziomem ignorancji mamy do czynienia wtedy, kiedy znamy prawa fizyki, ale nie znamy dokładnego stanu początkowego obiektu lub nie możemy precyzyjnie go zmierzyć. W tym przypadku musimy albo poprawić nasze pomiary, albo ograniczyć nasze przewidywania do tego, co się stanie z obiektem w bardzo bliskiej przyszłości. I wreszcie mamy trzeci, najszerszy poziom ignorancji. Występuje on wtedy, kiedy nie znamy ani stanu początkowego obiektu, ani praw fizyki. Na tym poziomie ignorancji możemy też znaleźć się wtedy, gdy prawa te są zbyt złożone, by je w pełni ujawnić. Załóżmy na przykład, że upuścimy otwartą puszkę farby do basenu⁸. Być może łatwo będzie przewidzieć reakcję pływających w nim osób, ale już przewidzenie zachowania poszczególnych cząsteczek farby i wody będzie o wiele trudniejsze.

Możemy jednak przyjąć inne podejście. Możemy spróbować zrozumieć skutek odbijania się o siebie tych cząsteczek, nie analizując szczegółowo interakcji między nimi. Jeśli przyjrzymy się wszystkim cząsteczkom razem, zaobserwujemy, jak mieszają się ze sobą, aż – po pewnym czasie – farba równomiernie rozproszy się w całym basenie. Nie wiedząc nic na temat przyczyny, która jest zbyt złożona, by ją zrozumieć, możemy i tak skomentować końcowy efekt.

To samo można powiedzieć o ruletce. Trajektoria kulki zależy od pewnej liczby różnych czynników, których możemy nie być w stanie pojąć, tylko przyglądając się wirującemu kołu ruletki. Podobnie jak w przypadku poszczególnych cząsteczek wody, nie możemy dokonywać prognoz na temat pojedynczego obrotu, jeśli nie rozumiemy złożonych przyczyn trajektorii kulki. Ale jak zasugerował Poincaré, niekoniecznie musimy wiedzieć, dlaczego kulka ląduje tam, gdzie ląduje. Zamiast tego możemy po prostu zaobserwować dużą liczbę obrotów i zobaczyć, co się stanie⁹.

To właśnie zrobili Albert Hibbs i Roy Walford w 1947 roku. Hibbs był w tym czasie na studiach matematycznych, a jego przyjaciel Walford studiował medycynę. Robiąc sobie przerwę od studiów na Uniwersytecie Chicagowskim, pojechali do Reno, by sprawdzić, czy stoły do ruletki naprawdę są tak losowe, jak sądzą kasyna¹⁰.

Większość stołów zachowała pierwotny francuski układ, składający się z 38 pól, oznaczonych liczbami od 1 do 36, pomalowanymi na przemian na czarno i czerwono, oraz liczbami 0 i 00 w kolorze zielonym. Zera przechylają szalę na korzyść kasyna. Gdybyśmy obstawili nasz ulubiony numer w serii jednodolarowych zakładów, moglibyśmy spodziewać się wygranej średnio raz na każde 38 prób i kasyno musiałoby nam wypłacić 36 dolarów. W ciągu 38 rund postawilibyśmy więc 38 dolarów, a zarobilibyśmy średnio tylko 36. Przekłada się to na stratę 2 dolarów, czyli około 5 centów na rundę, w ciągu tych 38 gier.

Przewaga kasyna polega na tym, że szansa wypadnięcia poszczególnych liczb na kole ruletki jest równa. Ale jak każda maszyna, stół do ruletki może mieć jakieś niedoskonałości lub z czasem stopniowo się zużywać. Hibbs i Walford polowali na takie stoły, które nie zapewniają równego rozkładu liczb. Jeśli jakaś liczba wypadała częściej niż pozostałe, mogła zapewnić im przewagę. Obserwowali rundę za rundą, licząc na to, że dostrzegą coś niezwykłego. I tu nasuwa się pytanie: co mamy na myśli, mówiąc „coś niezwykłego”?

KIEDY POINCARÉ WE FRANCJI zastanawiał się nad początkami losowości, po drugiej stronie Kanału La Manche Karl Pearson spędzał letnie wakacje, rzucając monetą. Kiedy lato się skończyło, matematyk zdążył podrzucić szylinga 25 tysięcy razy, sumiennie zapisując wyniki każdego rzutu. Większość pracy wykonywał na dworze, co jak powiedział, „zapewniło mi niewątpliwie kiepską reputację w okolicy, w której się zatrzymałem”. Oprócz eksperymentów z szylingami Pearson namówił też kolegę, by podrzucił pensa ponad 8 tysięcy razy i wielokrotnie wyciągał z torby losy na loterię¹¹.

Zdaniem Pearsona dla zrozumienia losowości ważne było zebranie jak największej ilości danych. Jak to ujął, nie mamy „żadnej absolutnej wiedzy na temat zjawisk naturalnych”, a wyłącznie „wiedzę o naszych odczuciach”¹². Nie poprzestał też na rzucaniu monetą i ciągnięciu losów. W poszukiwaniu kolejnych danych zainteresował się stołami do ruletki w Monte Carlo.

Tak jak Poincaré, Pearson też był do pewnego stopnia omnibusem. Oprócz zainteresowania losowością pisał też sztuki, poezję oraz studiował fizykę i filozofię. Urodzony w Anglii, dużo po­dróżował. Szczególnie upodobał sobie kulturę niemiecką – kiedy personel Uniwersytetu Heidelberskiego przez pomyłkę zapisał jego imię jako Karl zamiast Carl, został przy nowej pisowni¹³.

Niestety planowana wyprawa do Monte Carlo nie wyglądała obiecująco. Pearson wiedział, że niemal niemożliwe będzie otrzymanie finansowania na „wizytę badawczą” w kasynach Riwiery Francuskiej. Ale może nie musiał nawet obserwować stołów. Okazało się, że w gazecie „Le Monaco” co tydzień publikowano sprawozdanie z wynikami ruletki¹⁴. Pearson zdecydował się skupić na wynikach z czterotygodniowego okresu latem 1892 roku. Najpierw przyjrzał się proporcjom wyników czerwonych i czarnych. Gdyby koło ruletki zakręciło się nieskończoną ilość razy – a zera zostałyby zignorowane – spodziewałby się, że ogólny stosunek czerwonych pól do czarnych będzie bliski 50/50.

Z mniej więcej 16 tysięcy wyników opublikowanych przez „Le Monaco” 50,15 procent okazało się czerwone. By obliczyć, czy różnica ta jest losowa, Pearson policzył odchylenie zaobserwowanych wyników od 50 procent. Następnie porównał je ze zróżnicowaniem, którego można byłoby się spodziewać, gdyby koła były losowe. Odkrył, że różnica w wysokości 0,15 procent nie jest szczególnie niezwykła, a na pewno nie daje powodu do powątpiewania w losowość kół ruletki.

Czarne i czerwone pola mogły wypadać podobną liczbę razy, ale Pearson chciał sprawdzić również inne rzeczy. W następnej kolejności sprawdził, jak często ten sam kolor wypadał kilka razy z rzędu. Hazardziści potrafią dostać obsesji na punkcie takich szczęśliwych serii. Weźmy noc 18 sierpnia 1913 roku, kiedy kulka ruletki w jednym z kasyn w Monte Carlo wylądowała na czarnym polu ponad 12 razy z rzędu. Gracze stłoczyli się wokół stołu, by zobaczyć, co będzie dalej¹⁵. Przecież czarny nie może wypaść kolejny raz? Koło się kręciło, a ludzie stawiali pieniądze na czerwony. Kulka znów wylądowała na czarnym. Na czerwonym znalazło się jeszcze więcej pieniędzy. Znów wypadło czarne. I jeszcze raz. I jeszcze. W sumie kulka wpadła na czarne pole 26 razy z rzędu. Jeśli koło działało losowo, każdy obrót musiał być zupełnie niezwiązany z pozostałymi. Sekwencja czerni nie sprawiłaby, że wypadnięcie koloru czerwonego będzie bardziej prawdopodobne. A jednak tamtego wieczoru gracze uważali, że tak jest. Ten błąd poznawczy znany jest od tamtej pory jako „złudzenie Monte Carlo”.

Kiedy Pearson porównał długość serii poszczególnych kolorów z częstotliwościami, których spodziewałby się, gdyby koła działały losowo, coś wydawało się nie tak. Serie dwóch–trzech wyników tego samego koloru występowały rzadziej, niż teoretycznie powinny. Natomiast serie składające się z pojedynczego koloru – powiedzmy czerni wciśniętej między dwa pola czerwone – wypadały o wiele zbyt często. Pearson obliczył prawdopodobieństwo zaobserwowania wyniku przynajmniej tak skrajnego jak tamten, zakładając, że koło ruletki naprawdę działa losowo. Prawdopodobieństwo to, które nazwał wartością p, było maleńkie. A właściwie tak maleńkie, że zdaniem Pearsona, nawet gdyby obserwował stoły w Monte Carlo od początku historii Ziemi, tak skrajnego wyniku nie mógłby się spodziewać. Uznał to za niezbity dowód, że ruletka nie jest grą losową.

Odkrycie to strasznie go rozzłościło. Miał nadzieję, że koła ruletki będą dobrym źródłem losowych danych i wściekł się, że jego gigantyczne laboratorium w kształcie kasyna generuje niewiarygodne wyniki. „Człowiek nauki może dumnie przewidzieć wyniki rzutu półpensówką – rzekł – a ruletka w Monte Carlo burzy jego teorie i śmieje się z jego praw”¹⁶. Ponieważ koła ruletki ewidentnie nie bardzo nadawały się do jego badań, Pearson zasugerował, żeby kasyna pozamykać, a ich aktywa darować nauce. Później jednak okazało się, że dziwaczne wyniki Pearsona nie wynikały tak naprawdę z wad kół do ruletki. Chociaż gazeta „Le Monaco” płaciła dziennikarzom za obserwowanie stołów do ruletki i zapisywanie wyników, reporterzy stwierdzili, że łatwiej będzie po prostu te liczby wymyślić¹⁷.

W przeciwieństwie do leniwych dziennikarzy, podczas swojej wizyty w Reno Hibbs i Walford naprawdę obserwowali koła ruletki. Odkryli, że jedno na cztery koła jest w jakiś sposób tendencyjne. Jedno było szczególnie wypaczone, więc obstawianie przy nim sprawiło, że początkowa studolarowa stawka naukowców szybko urosła. Opowieści o ich ostatecznych zyskach są pełne rozbieżności, ale niezależnie ile zarobili, wystarczyło na kupno jachtu i roczny rejs po Karaibach¹⁸.

Opowieści o graczach, którzy odnieśli sukces za pomocą podobnego podejścia, jest mnóstwo. Wiele osób opowiada o wiktoriańskim inżynierze Josephie Jaggerze, który zbił fortunę, wykorzystując wadliwe koło w Monte Carlo, i grupie Argentyńczyków, która wyczyściła rządowe kasyna na początku lat pięćdziesiątych XX wieku¹⁹. Można by pomyśleć, że dzięki testowi Pearsona wykrycie potencjalnie wadliwego koła będzie dość proste. Jednak znalezienie tendencyjnego koła ruletki to nie to samo, co znalezienie koła przynoszącego zyski.

W 1948 roku statystyk Allan Wilson przez cztery tygodnie 24 godziny na dobę rejestrował obroty pewnego koła ruletki. Kiedy użył testu Pearsona, by dowiedzieć się, czy każda liczba ma taką samą szansę zostać wylosowana, okazało się ewidentnie, że koło jest tendencyjne. Jednak nie było jasne, jak powinien obstawiać. Kiedy Wilson opublikował swoje dane, postawił skłonnym do hazardu czytelnikom wyzwanie²⁰. „Na jakich podstawach statystycznych – zapytał – zdecydowalibyście się obstawić daną liczbę na ruletce?”.

Rozwiązanie pojawiło się dopiero po 35 latach. Matematyk Stewart Ethier w końcu zrozumiał, że sztuczka nie polega na tym, by szukać koła nielosowego, ale koła, które będzie korzystne podczas obstawiania. Nawet gdybyśmy mieli obserwować ogromną liczbę rund i znaleźć poważne dowody, że jedna z 38 liczb wypada częściej niż inne, może to nie wystarczyć, by osiągnąć zysk. Liczba ta musiałaby występować średnio przynajmniej raz na 36 rund, bo w przeciwnym wypadku nadal można by się spodziewać straty na rzecz kasyna.

Najczęściej występującą liczbą w danych Wilsona było 19, ale test Ethiera nie przyniósł dowodów, że obstawianie jej przyniosłoby z czasem zyski. Chociaż wyraźnie było widać, że koło nie działa losowo, raczej nie miało żadnych sprzyjających liczb. Ethier miał świadomość, że jego metoda pojawiła się prawdopodobnie za późno dla większości graczy: od czasów wielkich wygranych Hibbsa i Walforda w Reno tendencyjne koła ruletki stopniowo znalazły się na wymarciu. Jednak ruletka nie na długo pozostała niepokonana.

KIEDY ZNAJDUJEMY SIĘ na najgłębszym poziomie ignorancji i przyczyny zdarzeń są zbyt złożone, by je zrozumieć, jedyne, co możemy zrobić, to obserwować dużą liczbę zdarzeń łącznie i próbować odkryć potencjalne wzorce. Jak już widzieliśmy, to statystyczne podejście może być skuteczne, jeśli koło ruletki jest tendencyjne. Nie wiedząc nic na temat fizyki obrotu ruletki, możemy spróbować przewidzieć, co wypadnie.

A co, jeśli nie mamy do czynienia z tendencyjnością lub brakuje czasu na gromadzenie dużej ilości danych? Trójka gości, którzy wygrali w Ritzu, nie obserwowała wielu rund, licząc na odkrycie wypaczonego stołu. Przyglądali się trajektorii kulki krążącej po stole. Oznaczało to ucieczkę nie tylko z trzeciego poziomu ignorancji Poincarego, ale też z poziomu drugiego.

To niemałe osiągnięcie. Nawet jeśli rozbierzemy na czynniki pierwsze procesy fizyczne, dzięki którym kulka podąża taką ścieżką, jaką podąża, niekoniecznie możemy przewidzieć, gdzie wyląduje. Inaczej niż w przypadku cząsteczek farby wpadających do wody, przyczyny nie są zbyt złożone, by je pojąć. Zamiast tego przyczyna może być zbyt drobna, by ją dostrzec: maleńka różnica w prędkości początkowej kulki wiele zmienia, jeśli chodzi o miejsce, gdzie kulka się w końcu zatrzyma. Poincaré twierdził, że różnica stanu początkowego kulki – tak maleńka, że umknie naszej uwadze – może pociągnąć za sobą skutek tak duży, że nie możemy go przeoczyć, dlatego stwierdzamy, że skutek ten wynika z przypadku.

Problem ten, zwany „wysoką zależnością od warunków początkowych”, oznacza, że nawet jeśli zgromadzimy szczegółowe pomiary dotyczące danego procesu – czy to obrotu ruletki, czy burzy tropikalnej – drobne przeoczenie może mieć dramatyczne konsekwencje. 70 lat przed tym, zanim matematyk Edward Lorenz wygłosił wykład, w którym zapytał „Czy uderzenie skrzydeł motyla w Brazylii wywołuje tornado w Teksasie?”, Poincaré przedstawił zarys „efektu motyla”²¹.

Praca Lorenza, która rozrosła się w teorię chaosu, dotyczyła głównie predykcji. Chciał przede wszystkim nauczyć się przygotowywać lepsze prognozy pogody i znaleźć sposób na to, by zajrzeć dalej w przyszłość. Poincaré interesował się odwrotnym problemem: Ile czasu potrzeba, żeby dany proces stał się losowy? I czy droga kulki ruletki kiedykolwiek staje się naprawdę losowa?

Poincaré inspirował się ruletką, ale swojego przełomowego odkrycia dokonał, analizując dużo większy zestaw trajektorii. W XIX wieku astronomowie naszkicowali asteroidy, rozrzucone wzdłuż Zodiaku. Odkryli, że rozkładają się one na nocnym niebie praktycznie jednolicie. A Poincaré chciał dowiedzieć się dlaczego.

Wiedział, że asteroidy muszą przestrzegać praw Keplera, a ich prędkości początkowej nie można poznać. Jak to ujął: „Zodiak można potraktować jak ogromną tarczę ruletki, na którą Stwórca rzucił bardzo dużą liczbę małych kulek”²². By zrozumieć wzór rozkładu asteroid, Poincaré zdecydował się więc porównać całkowitą odległość, jaką przemierza hipotetyczny obiekt, z liczbą jego obrotów wokół danego punktu.

Wyobraź sobie, że rozwijasz niewiarygodnie długi i niewiarygodnie gładki pas tapety. Układasz ją na płasko, bierzesz szklaną kulkę i turlasz ją po papierze. Potem wprawiasz w ruch następną, a po niej jeszcze kilka innych. Niektóre turlasz szybko, inne powoli. Ponieważ tapeta jest gładka, szybko toczące się kulki wkrótce odtaczają się daleko, a wolniejsze przemierzają tapetę dużo bardziej powoli.Przypisy końcowe

¹ Ward Simon, A Sacked 22-Year-Old Trainee City Trader Today Reveals How He Won a Staggering £20 Million in a Year... Betting on the Horses, „News of the World”, 26 czerwca 2009.

² Duell Mark, „King of Betfair” Who Lived Lavish Lifestyle in Top Hotels with Chauffeur-Driven Mercedes and Clothes from Harrods after Conning Family Friends Out of £400,000 Is Jailed, „Daily Mail” , 28 maja 2013. Dostępny: http://www.dailymail.co.uk/news/article-2332115/King-Betfair-stayed-hotels-splashed-chauffeur-conning-family-friends-jailed.html.

³ Wood Greg, Short Story on Betfair System Is Pure Fiction, „Guardian Sport­blog” , 29 czerwca 2009, Dostępny: http://www.theguarian.com/sport/blog/2009/jun/30/greg-wood-betfair-notw-story.

⁴ Duell Mark, Gambler, 26, „Who Called Himself the Betfair King” Conned Friends Out of £600,000 with Betting Scam to Pay for Designer Clothes, „Daily Mail” , 23 kwietnia 2013. Dostępny:

http://www.dailymail.co.uk/news/article-2313618/Gambler-called-Betfair-king-connedfriends-600–000-bogus-betting-scam.html.

⁵ Criminal Sentence–Elliott Sebastian Short–Court: Southwark, TheLawPages.com, 28 maja 2013. http://www.thelawpages.com/court-cases/Elliott-Sebastian-Short-11209–1.law.

⁶ Ethier Stewart, The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling, Nowy Jork 2010, s. 115.

⁷ Dumas Alexandre, One Thousand and One Ghosts, Londyn 2004.

⁸ O’Connor J. J., E. F. Robertson, Girolamo Cardano, czerwiec 1998. Dostępny: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Cardan.html.

⁹ Ibid.

¹⁰ Gorroochurn Prakash, Some Laws and Problems of Classical Probability and How Cardano Anticipated Them, „Chance Magazine” 25, nr 4 (2012), s. 13-20.

¹¹ Cardan, Jerome. Book of My Life, Nowy Jork 1930.

¹² Ore Oystein, Pascal and the Invention of Probability Theory, „The American Mathematical Monthly” vol. 67, nr 5 (maj 1960), s. 409-419.

¹³ Epstein Richard, The Theory of Gambling and Statistical Logic, Waltham 2013.

¹⁴ Oystein Ore, dz. cyt.

¹⁵ Najprościej jest zacząć od obliczenia prawdopodobieństwa niewyrzucenia szóstki w czterech rzutach, które wynosi (5/6)4. Stąd prawdopodobieństwo wyrzucenia przynajmniej jednej szóstki wynosi 1–(5/6)4 = 51,8 procent. Zgodnie z tą samą logiką prawdopodobieństwo uzyskania podwójnej szóstki na przestrzeni dwudziestu czterech rzutów dwiema kostkami wynosi 1–(35/36)4 = 49,1 procent.

¹⁶ Epstein Richard, dz. cyt.

¹⁷ Bassett Gilbert, Jr., The St. Petersburg Paradox and Bounded Utility, „History of Political Economy” vol. 19, nr 4 (1987), s. 517-523.

¹⁸ Castelvecchi Davide, Economic Thinking, „Scientific American” vol. 301, nr 82 (wrzesień 2009).

¹⁹ Feynman Richard, Pan raczy żartować, panie Feynman!, przeł. Tomasz Bieroń, Znak, 2018.

------------------------------------------------------------------------

¹ Broszura Ritz Club.

² Chittenden Maurice, Laser-Sharp Gamblers Who Stung Ritz Can Keep £1.3m, „The Times” (Londyn), 5 grudnia 2004.

³ Beasley-Murray Ben, Special Report: Wheels of Justice, „PokerPlayer”, 1 stycz­nia 2005.

http://www.pokerplayer365.com/uncategorized-drafts/wheels-of-justice/.

⁴ „Laser Scam” Gamblers to Keep £1m”, BBC News Online, 5 grudnia 2004.: http://news.bbc.co.uk/2/hi/uk/4069629.stm.

⁵ Chittenden, dz. cyt.

⁶ Mazliak Laurent, Poincaré’s Odds, „Séminaire Poincaré” vol. XVI (2012), s. 999-1037.

⁷ Poincaré Henri, Science and Hypothesis, Nowy Jork 1905 .

⁸ Jak twierdzi Scott Patterson, Edward Thorp zrobił to raz na basenie w Long Beach w Kalifornii (z użyciem czerwonego barwnika, a nie farby). Wyda­rzenie opisano w lokalnej prasie. Źródło: Patterson Scott, The Quants, No­wy Jork 2010.

⁹ Poincaré Henri, Science and Method, Londyn 1914 .

¹⁰ Ethier Stuart, Testing for Favorable Numbers on a Roulette Wheel, „Journal of the American Statistical Association” vol. 77, nr 379 wrzesień 1982, s. 660-665.

¹¹ Pearson Karl, The Scientific Aspect of Monte Carlo Roulette, „Fortnightly Review” luty 1894.

¹² Pearson Karl, The Ethic of Freethought and Other Addresses and Essays, Londyn 1888.

¹³ Magnello M. E., Karl Pearson and the Origins of Modern Statistics: An Elastician Becomes a Statistician, „ Rutherford Journal”.

http://www.rutherford­-journal.org/article010107.html.

¹⁴ Pearson Karl, Scientific Aspect of Monte Carlo Roulette.

¹⁵ Huff Darrell, Irving Geis, How to Take a Chance, Londyn 1959, p. 28-29.

¹⁶ Pearson Karl, Scientific Aspect of Monte Carlo Roulette.

¹⁷ MacLean L. C., Thorp E. O., Ziemba W. T., The Kelly Capital Growth Investment Criterion: Theory and Practice, Singapur 2011.

¹⁸ Maugh Thomas H., Roy Walford, 79; Eccentric UCLA Scientist Touted Food Restriction, „Los Angeles Times” , 1 maja 2004. Dostęp w Wide Word Web: http://articles.latimes.com/2004/may/01/local/me-walford1.

¹⁹ Ethier Stuart, Testing for Favorable Numbers.

²⁰ Ibid.

²¹ Gleick James, Chaos: Making a New Science, Nowy Jork 2011.

²² Poincaré Henri, Science and Method.