Pi razy drzwi czyli dziwne przypadki matematyki - ebook

Ojej, ja nigdy nic z tej matematyki nie rozumiałam!

Jestem nieco zdegustowany. Dziś już chyba dziesiąty raz słyszę te słowa. Tymczasem minął dobry kwadrans, odkąd pani, która je tym razem wypowiedziała, przystanęła przy moim stoisku w grupie innych przechodniów, słuchając z uwagą, jak prezentuję różne ciekawostki geometryczne.

– A poza tym czym się pan zajmuje? – zapytała.

– Jestem matematykiem.

– Ojej, ja nigdy nic z tej matematyki nie rozumiałam!

– Ach tak? Ale przecież to, co opowiadałem, jak mi się wydaje, zainteresowało panią.

– Tak… Ale to… To przecież nie jest prawdziwa matematyka. To jest zrozumiałe.

No tak. Coś takiego nigdy nie przyszło mi do głowy. Czyżby matematyka była z definicji nauką, której nie da się zrozumieć?

Początek sierpnia, promenada Félixa Faure’a w miejscowości La Flotte-en-Ré. Jestem na niewielkim letnim targowisku. Po mojej prawej stronie można sobie zrobić tatuaż henną czy drobne warkoczyki, po lewej mam sprzedawcę akcesoriów do telefonów komórkowych, a przed sobą prezentację biżuterii i najrozmaitszych cacek. A pośród tego wszystkiego ja z moim matematycznym stoiskiem. W wieczornym chłodzie spokojnie przechadzają się urlopowicze. Uwielbiam prezentowanie matematyki w niezwykłych miejscach. Wszędzie tam, gdzie ludzie się tego nie spodziewają. Tam, gdzie tracą swoją zwykłą nieufność…

– Starzy nie uwierzą, że podczas wakacji uczyłem się matematyki! – rzuca mi licealista powracający z plaży.

Fakt, podchodzę ich nieco zdradziecko. Ale jak trzeba, to trzeba. To są moje ulubione chwile. Uwielbiam obserwować, jak zachowują się ludzie przeświadczeni, że są całkiem na bakier z matematyką, kiedy proponuję im zagłębienie się w niej na kwadrans. Wokół mnie nie robi się wcale pusto. Pokazuję im origami, magiczne sztuczki, gry i zagadki… Dla każdego coś miłego.

Dobrze się przy tym bawię, ale w głębi duszy jest mi jednak przykro. Jak to się stało, że trzeba ukrywać przed ludźmi, że zajmują się matematyką, żeby czerpali z tego przyjemność? Dlaczego to słowo budzi w nich strach? Jest oczywiste, że gdybym na moim stoliku umieścił szyldzik „matematyka”, równie dobrze widoczny jak napisy „biżuteria i naszyjniki”, „telefony” albo „tatuaże” znajdujące się na sąsiednich stoiskach, nawet w czwartej części nie odniósłbym takiego sukcesu. Ludzie nie zatrzymywaliby się. Być może nawet skręcaliby w bok, odwracając spojrzenie.

* * *

Ciekawość bierze jednak górę. Obserwuję to na co dzień. Matematyka budzi strach, ale i fascynuje. Nie lubią jej, choć chcieliby lubić. Albo przynajmniej zyskać wgląd w jej mroczne głębie. Uważają tę dziedzinę za hermetyczną i niedostępną. To nieprawda. Przecież można kochać muzykę, nie będąc muzykiem albo cieszyć się dobrym posiłkiem, nie będąc wielkim kucharzem. Dlaczego zatem należałoby być matematykiem lub posiadać wyjątkowy intelekt, by słuchać opowieści o matematyce i pozwolić pieścić swój umysł algebrze lub geometrii? Nie trzeba wchodzić w techniczne detale, żeby rozumieć wielkie idee i dać się nimi oczarować.

A zatem pora wyruszyć w drogę. Jeśli pozwolicie, będę waszym przewodnikiem. Poprowadzę was przez meandry jednej z najbardziej fascynujących i zdumiewających nauk. Pójdźmy na spotkanie ludzi tworzących historię dzięki ich nieoczekiwanym odkryciom i fantastycznym ideom.

Matematykę, całkiem nieświadomie, kształtowali od zarania dziejów liczni artyści, twórcy, odkrywcy, rzemieślnicy, a także rozmaici marzyciele i ludzie ciekawi świata. Mimo wszystko byli to matematycy. Pierwsi, którzy stawiali pytania, którzy szukali, burzyciele i myśliciele. Jeśli chcemy ich zrozumieć, dowiedzieć się, skąd wzięła się matematyka, musimy podążyć ich śladami, bo to od nich wszystko się zaczęło.

Ruszajmy zatem ku wielkiej przygodzie z matematyką!Rozdział 1

Rozdział 1

Nieuświadomiona matematyka

Po powrocie do Paryża na miejsce mojego nowego eksperymentu wybieram Luwr, położony w samym środku stolicy. Matematyka w Luwrze? Wydaje się to absurdalne. Ta dawna rezydencja królewska zamieniona na muzeum dziś jest raczej przestrzenią przeznaczoną dla malarzy, rzeźbiarzy, archeologów oraz historyków niż dla matematyków. A jednak to właśnie tu poszukamy ich pierwszych śladów.

Od wejścia wita mnie wielka piramida ze szkła wzniesiona na dziedzińcu Napoleona, będąca zaproszeniem do geometrii. Jednak ja wybieram się dziś na spotkanie ze znacznie odleglejszą przeszłością. Wchodzę do muzeum i ruszam wehikułem czasu, coraz bardziej oddalając się od współczesności. Defiluję przed królami Francji, przemierzam renesans i średniowiecze, by dotrzeć do antyku. Sale przesuwają się jedna po drugiej, mijam rzymskie posągi, greckie amfory i egipskie sarkofagi. Zmierzam ku jeszcze wcześniejszym czasom. I oto zanurzam się w prehistorii, a wędrując tak przez stulecia, muszę o wszystkim zapomnieć. Zapomnieć o liczbach. Zapomnieć o geometrii. Zapomnieć o literach. Na początku nikt nic nie wiedział. Nawet tego, że trzeba coś wiedzieć.

Pierwszy przystanek w Mezopotamii. I oto cofnęliśmy się o dziesięć tysięcy lat.

Po chwili namysłu decyduję się podążyć jeszcze dalej. Półtora miliona lat wstecz, żeby znaleźć się w samym sercu paleolitu. W tej epoce ogień nie ma jeszcze funkcji użytkowej, a Homo sapiens jest dopiero dalekim projektem. Jesteśmy w królestwie Homo erectus w Azji, Homo ergaster w Afryce, być może także wśród kilku naszych na razie nieodkrytych kuzynów. To epoka kamienia łupanego. W użyciu są pięściaki.

Oto na skraju obozowiska pracują wytwórcy pięściaków. Jeden z nich właśnie chwycił bułę jeszcze nieobrobionego krzemienia, którą znalazł przed kilkoma godzinami. Siada na ziemi – zapewne po turecku – bierze leżący obok siebie ciężki kamień i trzymając bułę w drugiej dłoni, zaczyna uderzać kamieniem w jej brzeg. Odpryskuje pierwszy odłamek. Hominid ogląda wynik swojej pracy, obraca krzemień i powtórnie uderza z drugiej strony. Po odłupaniu z krzemienia dwóch kawałków powstają w nim wgłębienia, które spotykając się, tworzą ostrą krawędź. Teraz nie pozostaje już nic innego, jak powtarzać tę czynność na całym obwodzie krzemienia. W kilku miejscach pięściak jest zbyt gruby i trzeba jeszcze usunąć trochę materiału, żeby nadać wykonywanemu przedmiotowi pożądaną formę.

Bo kształt pięściaka nie jest wcale dziełem przypadku ani chwilowej fantazji. Jest przemyślany, wypracowany, przekazywany z pokolenia na pokolenie. Istnieje kilka ich rodzajów, w zależności od epoki i miejsca wykonania. Niektóre mają wygląd kropli wody z wystającym końcem, z kolei inne, bardziej zaokrąglone, mają kształt jajka, podczas gdy jeszcze inne przypominają raczej równoramienny trójkąt o lekko wypukłych bokach.

Pięściak z dolnego paleolitu

Wszystkie one mają jednak pewien wspólny element: oś symetrii. Czy taka geometria ma w sobie jakiś aspekt praktyczny, czy też stoi za nią po prostu doznanie estetyczne, które skłoniło naszych przodków do wyboru tej właśnie formy? Trudno powiedzieć. Pewne jest tylko jedno: że symetria nie bierze się z przypadku. Twórca musi przemyśleć swoje uderzenie. Musi myśleć o formie, zanim jeszcze przystąpi do dzieła. Zbudować w sobie mentalny, abstrakcyjny obraz przedmiotu, który ma wykonać. Mówiąc inaczej, posłużyć się matematyczną wyobraźnią.

Ukończywszy pracę, twórca pięściaka ogląda nowe narzędzie. Trzymając je w palcach, patrzy na nie pod światło. Chce lepiej zbadać kształt, żeby go dopracować, uderzyć tu czy tam, aż wreszcie wszystko będzie takie, jakie być powinno. O czym wtedy myśli? Czy odczuwa ową wspaniałą ekscytację, jaka towarzyszy naukowemu odkryciu: świadomość możliwości zrozumienia i kształtowania świata dzięki wykorzystaniu abstrakcyjnej idei? To nieistotne, że wielkie czasy myślenia abstrakcyjnego jeszcze nie nadeszły. Przecież epoka wymaga pragmatyzmu. Pięściak potrzebny jest do cięcia drewna, krojenia mięsa, przebijania skóry, kopania w ziemi.

Teraz jednak posuńmy się tylko trochę w naszej wędrówce. Pozwólmy spać owym pradawnym czasom i może zbyt ryzykownym hipotezom; powróćmy do tego, co będzie właściwym punktem wyjścia dla naszej przygody: do Mezopotamii w VIII tysiącleciu p.n.e.

Na ziemiach Żyznego Półksiężyca, w krainie, która kiedyś zostanie nazwana Irakiem, trwa właśnie rewolucja neolityczna. Dotarła tu niedawno. Osadnictwo odniosło już sukces na równinach Północy. Rejon ten stanowi swoiste laboratorium dla wszystkich innych nowinek. Skupiska domów z glinianych cegieł zaczynają tworzyć wioski, a co bardziej odważni budowniczowie dodają do tych domów piętra. Rolnictwo jest już bardzo dobrze rozwinięte. Dobry klimat pozwala na uprawę ziemi bez sztucznego nawadniania. Zwierzęta i rośliny są stopniowo udomowiane. Ceramika nabiera kształtów.

* * *

No właśnie, pomówmy o ceramice! Bo choć wiele świadectw tej epoki znikło bezpowrotnie w meandrach czasu, to niektóre wciąż istnieją. Archeolodzy znajdują wciąż tysiące garnków, talerzy, dzbanów, misek, czasz. Muzealne witryny wokół mnie są ich pełne. Najstarsze liczą sobie dziewięć tysięcy lat i z sali do sali, tak jak kamyki Tomcia Palucha, prowadzą nas przez stulecia. Mają różne wielkości i wszystkie możliwe kształty, różne zdobienia, reliefy, malowidła, grawerunki. Niektóre mają podstawy, część jest wyposażona w uchwyty. Niektóre są całe, inne popękane, potłuczone, poskładane z kawałków, a z jeszcze innych pozostały tylko nieliczne fragmenty.

Ceramika jest pierwszym wytworem powstałym z użyciem ognia, starszym niż brąz, żelazo czy szkło. Z gliny, owej plastycznej i kopalnej substancji, która występuje obficie na tamtych zasiedlonych przez ludzi terenach, garncarze potrafią tworzyć przedmioty odpowiadające ludzkim potrzebom. Jeśli mają one właściwy kształt, wystarczy suszyć je przez kilka dni, a potem wypalić w wielkim ogniu, by je utwardzić. Technika ta jest znana od bardzo dawna. Już dwadzieścia tysięcy lat temu wytwarzano w ten sposób niewielkie posążki. Jednak dopiero niedawno, wraz z osadnictwem, pojawiła się myśl, by w ten sposób wyrabiać przedmioty codziennego użytku. Nowy styl życia pociągnął za sobą konieczność magazynowania, dlatego zaczęto wytwarzać bardzo pojemne naczynia.

Owe terakotowe pojemniki szybko się rozprzestrzeniły jako przedmioty codziennego użytku, niezbędne w zbiorowej organizacji wiejskiego życia. Potem pozostały jeszcze do zrobienia naczynia stołowe, tyleż trwałe, co i piękne. Wkrótce ceramikę zaczęto dekorować. I tu znów zrodziło się wiele różnych szkół. Jedni twórcy wykonywali motywy dekoracyjne w świeżej glinie za pomocą muszli lub patyka. Inni grawerowali wypalone już naczynia odłamkami kamienia. Jeszcze inni woleli malować powierzchnię, wykorzystując do tego naturalne barwniki.

Kiedy wędruję po salach starożytnego Wschodu, uderza mnie bogactwo motywów geometrycznych stworzonych w Mezopotamii. Tak samo jak w przypadku pięściaków wykonywanych przez pradawnych wytwórców, niektóre symetrie wydają się zbyt pomysłowe, by mogły nie być wynikiem dojrzałego namysłu. Moją uwagę przyciągają fryzy – ozdobne pasy obiegające brzegi waz. Fryzy są dekoracyjnymi wstęgami powstałymi z użyciem jednego prostego motywu, który wielokrotnie powtarza się wzdłuż obwodu naczynia. Do najczęściej spotykanych motywów należy piła o trójkątnych zębach. Istnieją też fryzy tworzone przez dwa przeplatające się pasma. Są fryzy w jodełkę, kwadratowe krenelaże, punktowane romby, szrafowane trójkąty, splatające się ze sobą okręgi…

Kiedy przechodzę do kolejnych rejonów i epok, spostrzegam wciąż nowe wzory. Niektóre motywy są bardzo popularne. Są one powtarzane, przekształcane, ulepszane, pojawiają się w różnych wariantach. A potem, kilka stuleci później, zostają porzucone, jako przeżytek zastąpione nowymi wzorami, zgodnymi z duchem czasu.

Oglądam ich defiladę, a moje oczy matematyka aż błyszczą. Widzę symetrie, obroty, przesunięcia. Wtedy zaczynam w myślach selekcjonować i porządkować wzory. Przypomina mi się kilka twierdzeń poznanych podczas studiów. Klasyfikacja geometrycznych przekształceń¹, tego właśnie mi trzeba – wyjmuję zeszyt oraz ołówek i zaczynam bazgrać.

Przede wszystkim widoczne są tu obroty. Na wprost mnie znajduje się fryz stworzony z zazębiających się elementów o kształcie litery S. Przekrzywiam głowę, żeby zyskać pewność. Tak, oczywiście. Ten motyw jest niezmienniczy ze względu na obrót o sto osiemdziesiąt stopni. Jeśli obrócę dzban do góry nogami, wygląd fryzu będzie dokładnie taki sam.

Są tu również i inne symetrie. Istnieje kilka ich rodzajów. Powoli uzupełniam listę i to poszukiwanie skarbów zaczyna mnie wciągać. Szukam fryzów odpowiadających poszczególnym przekształceniom geometrycznym. Przechodzę z jednej sali do drugiej, zawracam. Niektóre eksponaty są uszkodzone. Czasem muszę mrużyć oczy, żeby odtworzyć w wyobraźni motywy zdobiące gliniane naczynie sprzed tysięcy lat. Gdy znajdę coś nowego, zaraz sprawdzam. Czytam opis, żeby poznać chronologię pojawiania się wzorów.

Ile powinienem ich znaleźć? Po chwili zastanowienia w końcu udaje mi się to określić dzięki słynnemu twierdzeniu. Istnieje dokładnie siedem rodzajów fryzów. Siedem grup geometrycznych przekształceń, które pozostawiają je niezmienionymi. Ani mniej, ani więcej.

Oczywiście mieszkańcy Mezopotamii tego wszystkiego nie wiedzieli. Ponieważ teoria, o której mówię, pojawiła się w epoce odrodzenia! Jednakże nieświadomie i bez innego celu niż dekorowanie ceramiki harmonijnymi i oryginalnymi motywami owi prehistoryczni garncarze stworzyli podwaliny niesamowitej dziedziny, którą zajmowała się cała społeczność matematyków kilka tysięcy lat później.

Przeglądam notatki. Są niemal kompletne. Niemal? Jeden z tych siedmiu wzorów wciąż gdzieś mi umyka. Trochę się tego spodziewałem, bo to najbardziej skomplikowany wzór spośród wszystkich znajdujących się na mojej liście. Szukam takiego, który obrócony poziomo wygląda tak samo, ale dopiero po przesunięciu o połowę długości pojedynczego elementu. Dziś nazywamy to symetrią z poślizgiem. Prawdziwe wyzwanie dla mieszkańców Mezopotamii!

Ponieważ mam jeszcze przed sobą sporo sal, nie tracę nadziei. Śledztwo trwa. Obserwuję najdrobniejsze detale, szukam najskromniejszej wskazówki. Piętrzą się przykłady zaobserwowanych już sześciu wzorów. W moim zeszycie mieszają się daty, schematy i bazgroły. Wciąż jednak nie ma śladu tajemniczego siódmego fryzu.

Nagle czuję uderzenie adrenaliny. Dostrzegam w gablocie żałośnie wyglądający ceramiczny ułomek, zaledwie drobny fragment jakiegoś naczynia. Od góry do dołu biegną przezeń nakładające się na siebie cztery częściowe, lecz dobrze widoczne fryzy. Jeden z nich natychmiast przyciąga moją uwagę. Trzeci w kolejności. Składa się z elementów przypominających nachylone fragmenty prostokąta, które układają się w kształt kłosa. Mrugam w niedowierzaniu, a potem uważnie mu się przyglądam i robię szkic w zeszycie, jak gdybym obawiał się, że wzór zniknie mi sprzed oczu. Geometria jest tu właśnie taka, jak być powinna. Oto symetria z poślizgiem. Odnalazł się siódmy fryz.

Obok tego eksponatu jest tabliczka z opisem: „Fragment pucharu dekorowanego poziomym pasem i punktowanymi rombami. Połowa V tysiąclecia p.n.e.”.

Umieszczam to na mojej osi czasu. V tysiąclecie przed Chrystusem. To wciąż jeszcze prehistoria, ponad tysiąc lat przed wynalezieniem pisma, a twórcy ceramiki z Mezopotamii znali już, nawet o tym nie wiedząc, wszystkie przypadki twierdzenia, które zostało udowodnione dopiero sześć tysięcy lat później.

Kilka sal dalej odkrywam dzban z trzema uchwytami, który także należy do siódmej kategorii; choć motyw rozwija się spiralnie, struktura geometryczna jest ta sama. Nieco dalej jeszcze jeden przykład. Chcę kontynuować poszukiwania, ale nagle zmienia się scenografia – dotarłem do kresu zbiorów orientalnych. Idąc dalej, znajdę się w Grecji. Ostatnie spojrzenie na moje notatki. Fryzy z symetrią z poślizgiem można policzyć na palcach jednej dłoni. Robi mi się gorąco.

JAK ROZPOZNAĆ SIEDEM KATEGORII FRYZÓW?

Pierwsza kategoria to te… które nie mają żadnej szczególnej właściwości geometrycznej². To powtarzający się motyw bez żadnych osi symetrii czy też środków obrotu. Dotyczy to przede wszystkim motywów, które nie wykorzystują figur geometrycznych, a jedynie rysunki figuratywne, takie jak postacie zwierząt.

Druga kategoria to te, w których linia pozioma dzieląca fryz na połowy jest osią symetrii.

Do trzeciej kategorii należą fryzy z pionową osią symetrii. Ponieważ fryz zawiera motyw powtarzający w poziomie, także oś symetrii powtarza się w poziomie.

Do czwartej kategorii należą fryzy niezmiennicze ze względu na obrót o kąt półpełny. Jeśli popatrzycie na ten rysunek, a potem odwrócicie go do góry nogami, to za każdym razem ujrzycie to samo.

Piąta kategoria to symetria z poślizgiem. To jest ta słynna kategoria, którą odkryłem, kończąc oglądanie kolekcji ceramiki z Mezopotamii. Jeśli przekształcicie ten fryz, obracając go wokół osi poziomej (jak w przypadku drugiej kategorii), otrzymacie fryz podobny, ale przesunięty o połowę długości podstawowego motywu.

Szósta i siódma kategoria nie odpowiadają nowym przekształceniom geometrycznym, ale łączą kilka cech omówionych w poprzednich przypadkach. I tak fryzy należące do kategorii szóstej mają i poziomą, i pionową oś obrotu, a także mają środek obrotu o kąt półpełny.

Siódma kategoria to fryzy o pionowej osi symetrii, środku obrotu i o symetrii z poślizgiem.

Trzeba zauważyć, że ten podział dotyczy jedynie struktury geometrycznej i nie wyklucza istnienia różnych wariacji kształtu motywu. I tak poniższe fryzy, choć odmienne, wszystkie należą do siódmej kategorii.

A zatem każdy fryz, jaki tylko moglibyśmy wymyślić, będzie należał do jednej z siedmiu kategorii. Jakakolwiek inna kombinacja jest geometrycznie niemożliwa. Zdumiewające, że najczęściej spotyka się dwie ostatnie kategorie. Łatwiej jest bez namysłu rysować figury, które mają wiele symetrii, niż takie, które mają ich mało.

Po sukcesie, który odniosłem na wystawie sztuki Mezopotamii, następnego dnia przypuszczam szturm na antyczną Grecję. Ledwie trafiam na miejsce, a już nie wiem, w którą stronę obrócić głowę. Nagle polowanie na fryzy staje się dziecinną igraszką. Wystarcza zaledwie kilka kroków, rzut oka na kilka gablot, kilka czarnych amfor zdobionych czerwonymi postaciami, by odnaleźć reprezentantów wszystkich siedmiu rodzajów fryzów z mojej listy. Wobec takiej obfitości porzucam statystykę, którą prowadziłem, oglądając ceramikę Mezopotamii. Zdumiewa mnie bogactwo wyobraźni artystów. Pojawiają się wciąż nowe motywy, za każdym razem bardziej złożone i pomysłowe. Wielokrotnie muszę zrobić przerwę i skupić się, żeby rozwikłać splatające się i wirujące wokół mnie zawijasy.

W kącie jednej z sal dostrzegam lutroforę, której widok odbiera mi dech. Lutrofora jest podłużną amforą z dwoma uchwytami, która służyła do noszenia wody do kąpieli, ta tutaj jest wysoka na ponad metr. Jej fryzy nawarstwiają się, a ja zaczynam przypisywać im kategorie. Pierwsza. Druga. Trzecia. Czwarta. Piąta. W ciągu kilku sekund identyfikuję pięć z siedmiu struktur geometrycznych. Amfora stoi przy ścianie, ale wychylając się nieznacznie, mogę spostrzec, że szósta kategoria znajduje się po jej niewidocznej stronie. Brakuje tylko jednej. To by było zbyt piękne. O dziwo, brakuje nie tej, której poszukiwałem poprzednio. Czasy się zmieniły, moda również, to nie symetrii z poślizgiem mi brakuje, ale połączenia symetrii względem pionowej osi, symetrii obrotowej i symetrii z poślizgiem.

Gorączkowo jej szukam, oglądam każdy detal. Nic nie znajduję. Nieco rozczarowany już mam zamiar zrezygnować, gdy spostrzegam pewien szczegół. Na środku amfory znajduje się scena z dwiema postaciami. Na pierwszy rzut oka nie wydaje się, żeby w tym miejscu mógł znaleźć się fryz. A mimo to na samym dole, po prawej stronie tej sceny, jest coś, co przyciąga moją uwagę; amfora, na której widnieje centralna figura. Waza wyobrażona na wazie! Autotematyzm sprawia, że po mojej twarzy przebiega uśmiech. Mrużę oczy, bo rysunek jest nieco uszkodzony, ale nie pozostawia wątpliwości: fryz znajduje się na tej zachowanej części, to istny cud! To jest właśnie to, czego mi brakuje!

Nieco dalej spotyka mnie nowe zaskoczenie. Fryzy trójwymiarowe! A ja sądziłem, że perspektywę odkrył dopiero renesans. Ciemne i jasne obszary, umiejętnie połączone przez artystę, tworzą grę cieni i świateł, tym samym przydając objętości obiektom geometrycznym umieszczonym na obwodzie tego wielkiego naczynia.

Im więcej się przede mną ujawnia, tym więcej rodzi się pytań. Niektóre eksponaty zamiast fryzów mają na powierzchni parkietaż. Mówiąc inaczej, obiekty geometryczne nie wypełniają jedynie wąskiego paska obiegającego przedmiot, ale całą powierzchnię, powiększając w ten sposób liczbę możliwych kombinacji geometrycznych.

Po Grekach nadchodzą Egipcjanie, Etruskowie i Rzymianie. Odkrywam iluzję koronek wycinanych w samym kamieniu. Kamienne pasy łączą się i naprzemiennie biegną wyżej i niżej, w doskonale regularnie splecionej sieci. Potem, jak gdyby eksponaty już mi nie wystarczały, zaczynam przyglądać się samemu Luwrowi. Sufitom, posadzkom, portalom. Wracając do domu, uświadamiam sobie, że nie potrafię się powstrzymać przed wypatrywaniem. Na ulicy oglądam balkony domów, wzory na ubraniach przechodniów, ściany w korytarzach metra…

Wystarczy inaczej popatrzeć na świat, żeby dostrzec, jak rodzi się matematyka. Pogoń za nią jest fascynująca i nie ma końca.

I przygoda dopiero się zaczyna.

------------------------------------------------------------------------

1. * Chodzi o izometrie, czyli przekształcenia niezmieniające odległości pomiędzy punktami. Na płaszczyźnie takimi przekształceniami są: tożsamość, przesunięcie, symetria środkowa, obrót, symetria osiowa, symetria z poślizgiem. One to warunkują możliwe symetrie fryzów (przyp. tłum.).

2. Wszystkie te przypadki oczywiście są symetryczne ze względu na przesunięcie (translację) w poziomie o długość podstawowego motywu (przyp. tłum.).Rozdział 2

Rozdział 2

I stała się liczba

To naprawdę dobre czasy dla Mezopotamii. Pod koniec IV tysiąclecia p.n.e. część małych wiosek przekształca się w kwitnące miasta. Niektóre z nich już liczą dziesiątki tysięcy mieszkańców! Technika rozwija się na niespotykaną dotąd skalę. Wszyscy rzemieślnicy – czy to architekci, złotnicy, garncarze, tkacze, stolarze, czy też rzeźbiarze – muszą dać dowody swej pomysłowości, by sprostać stojącym przed nimi technicznym wyzwaniom. Metalurgia nie osiągnęła jeszcze swej szczytowej formy rozwoju, ale prace wciąż trwają.

Sieć dróg powoli pokrywa cały region. Rozwija się wymiana kulturowa i handlowa. Stopniowo powstaje coraz bardziej skomplikowana hierarchia, a Homo sapiens odkrywa zalety administrowania. To wszystko wymaga piekielnej organizacji! Aby zaprowadzić porządek, niezbędne jest pismo. Najwyższy już czas, by nasz gatunek je odkrył i tym samym zaczął tworzyć historię. W owej nadchodzącej rewolucji matematyka odegra rolę awangardy.

Podążmy tymczasem wzdłuż biegu Eufratu, porzuciwszy wyżyny północy, które były świadkiem narodzin pierwszych wiejskich osad, i skierujmy się ku Sumerowi, zajmującemu równiny dolnej Mezopotamii. Odtąd to właśnie tu, na stepach Południa, skupiać się będą największe ludzkie osiedla. Idąc wzdłuż rzeki, mijamy miasta Kisz, Nippur, Szuruppak. Są jeszcze młode, ale rozpoczynająca się epoka obiecuje im wielkość i bogactwo.

A potem na horyzoncie nagle pojawia się miasto Uruk.

Uruk jest ludzkim mrowiskiem, które swą sławą i potęgą opromienia cały Bliski Wschód. Miasto o barwie pomarańczy, zbudowane głównie z terakotowych cegieł, rozciąga się na obszarze ponad stu hektarów, a zagubiony w nim wędrowiec może włóczyć się godzinami po zatłoczonych ulicach. W sercu miasta wzniesiono wiele monumentalnych świątyń. Tu oddaje się cześć bogowi Anu, ojcu wszystkich bogów, ale przede wszystkim Inannie, Pani Niebios. Właśnie dla niej wzniesiono kompleks świątynny E-anna, którego największe budowle mają długość czterdziestu i szerokość trzydziestu metrów. To wystarczy, by oszołomić licznych przygodnych podróżnych.

Zbliża się lato i – jak co roku o tej porze – miasto zaczyna tętnić życiem. Wkrótce ku pastwiskom na północy podążą stada owiec, by powrócić dopiero na początku pory chłodów. Przez kilka miesięcy pasterze będą dbać o powierzone im zwierzęta, zapewniając im pożywienie i bezpieczeństwo, tak by potem całe powróciły do swych właścicieli. Sama świątynia E-anna posiada stada liczące dziesiątki tysięcy sztuk. Karawany są tak ogromne, że często towarzyszą im żołnierze, by w drodze chronić je przed niebezpieczeństwami, jakie niesie podróż.

Wyprawienie tak wielkich stad bez zastosowania środków ostrożności nie wchodzi w rachubę. Umowa z pasterzami jest prosta: mają zwrócić tyle zwierząt, ile wywędrowało z miasta. Nie wolno dopuścić, żeby jakakolwiek część stada zaginęła albo żeby kilka sztuk zostało po cichu sprzedanych.

To rodzi nowy problem: jak sprawdzić, czy liczebność powracającego stada odpowiada liczebności stada, które wyruszyło? Aby go rozwiązać, stosuje się wymyślony przed wiekami system glinianych żetonów. Istnieją różne ich rodzaje – w zależności od kształtu lub wyrytych znaków pojedynczy żeton odpowiada jednemu lub wielu rzeczom lub zwierzętom. Owcę symbolizuje zwykły krążek oznaczony krzyżem. W chwili gdy stado wyrusza, umieszcza się w naczyniu tyle żetonów, ile sztuk liczy stado. Wystarczy porównać po powrocie liczebność stada z zawartością naczynia, by sprawdzić, czy żadnego zwierzęcia nie brakuje. Dużo później żetony te zyskały łacińską nazwę calculi, „małe kamyki”, skąd wzięło się słowo calcul – rachunek.

Metoda ma walor praktyczny, ale jest w niej pewien kruczek. Kto pilnuje żetonów? Bo zaufanie muszą mieć obie strony, także pasterze powinni mieć pewność, że pozbawiony skrupułów właściciel podczas ich nieobecności nie dorzuci do urny kilku żetonów. Właściciele mogliby się nieźle urządzić, żądając odszkodowań za zwierzęce „martwe dusze”!

Trzeba nieźle się natrudzić, żeby w końcu znaleźć dobre rozwiązanie. Ale jest: żetony należy umieścić w wielkiej wydrążonej kuli z gliny dającej się szczelnie zamknąć. Po zamknięciu każda ze stron składa na wierzchu podpis, żeby potwierdzić autentyczność zawartości kuli. Odtąd zmiana liczby żetonów bez rozbicia naczynia jest niemożliwa. Pasterze mogą spokojnie wyruszyć ze stadami.

To jednak stwarza dużą niewygodę, tym razem dla właścicieli. Ze względu na swoje interesy powinni oni wiedzieć, ile zwierząt liczą ich stada. I co z tym zrobić? Zapamiętać liczbę owiec? To nie takie proste, gdy w języku nie ma słów na oznaczenie tak wielkich liczb. A może zaopatrzyć się w dodatkowy zestaw niezapieczętowanych żetonów dla każdej kuli? Mało praktyczne.

W końcu pojawia się rozwiązanie. Za pomocą zaostrzonej trzciny na powierzchni każdej kuli należy zaznaczyć znajdujące się w jej środku żetony. Dzięki temu można w dowolnej chwili sprawdzić zawartość naczynia bez konieczności jego rozbicia.

Ta metoda okazuje się na tyle wygodna, że znajduje zastosowanie nie tylko w liczeniu owiec, lecz także w odniesieniu do umów na inne produkty. Zboża takie jak jęczmień i pszenica, a także wełna oraz tekstylia, metale, biżuteria, kamienie szlachetne, olej czy ceramika też mają swoje własne żetony. Nawet podatki reguluje się za pomocą żetonów. Krótko mówiąc, pod koniec IV tysiąclecia w mieście Uruk wszystkie prawidłowo sporządzone umowy muszą być potwierdzone z wykorzystaniem glinianej kuli wypełnionej glinianymi żetonami.

Wszystko działa jak należy, aż pewnego dnia rodzi się nowy pomysł. Idea jest genialna i tak prosta, że aż dziw, że nie wymyślono jej wcześniej. Skoro liczba zwierząt jest zapisana na powierzchni kuli, to po co umieszczać wewnątrz żetony? Można odwzorować te żetony na jakimkolwiek kawałku gliny. Na przykład na płaskiej tabliczce.

I tak powstaje to, co nazywamy pismem.

Znów jestem w Luwrze. Zbiory działu starożytności orientalnych świadczą o prawdziwości całej tej historii. Pierwsza rzecz, która mnie uderza, gdy patrzę na gliniane „koperty” na żetony, to ich rozmiary. Gliniane kulki, które Sumerowie modelowali, obracając je wokół kciuka, są niewiele większe niż piłeczki do ping-ponga. Rozmiary żetonów nie przekraczają centymetra.

Nieco dalej spostrzegam pierwsze tabliczki, piętrzące się w gablotach. Uwiecznione na nich pismo powoli nabiera precyzji i przyjmuje klinową postać, złożoną z drobnych nacięć kształtem przypominających gwoździe. Po upadku dawnej cywilizacji Mezopotamii na początku naszej ery większość tabliczek przez stulecia spokojnie śpi w ruinach miast, aż do XVII wieku, gdy na tych ziemiach pojawiają się europejscy archeologowie i rozpoczynają wykopaliska. Dopiero w XIX wieku tabliczki powoli zaczęto odczytywać.

Mezopotamskie tabliczki są niezbyt duże, podobnie jak kule. Niektóre mają rozmiary zwykłej wizytówki, ale pokrywają je setki drobnych znaków, które tłoczą się jeden obok drugiego. Jak widać, mezopotamscy pisarze nie marnowali nawet skrawka gliny! Umieszczone obok eksponatów informacje pozwalają zrozumieć sens tych tajemniczych symboli. Dotyczą one zwierząt, biżuterii albo zboża.

Obok mnie fotografuje się kilku turystów… razem ze swoimi tabletami. Oto perskie oko historii, która w swej figlarności poprowadziła pismo przez tyle różnych technik, od gliny po papier, przez marmur, wosk, papirus oraz pergamin, i której ostatni żart nadał elektronicznym tabletom kształt ich glinianych praprzodków. Zestawienie tych dwóch przedmiotów ma w sobie coś wyjątkowo wzruszającego. Kto wie, czy za pięć tysięcy lat te dwie tabliczki nie spotkają się, leżąc obok siebie w tej samej muzealnej witrynie¹?

Czas płynie i oto jesteśmy już na początku III tysiąclecia p.n.e. Kolejny etap został zamknięty: liczby oderwały się już od zliczanych rzeczy. Przedtem, w czasach kulistych kopert oraz pierwszych tabliczek, rodzaj symboli używanych podczas liczenia zależał od rodzaju rozważanych obiektów. Owca nie jest krową, a więc znaki używane przy liczeniu owiec były inne niż znaki używane przy liczeniu krów. Każda rzecz, która mogła być zliczana, miała swój własny symbol, tak samo jak posiadała swe własne żetony.

Ale teraz już koniec z tą rozrzutnością. Liczby otrzymują swoje własne symbole. A to znaczy, że teraz, żeby zapisać osiem owiec, nie używa się już ośmiu symboli oznaczających owcę, ale po symbolu owcy zapisuje się liczbę osiem. A żeby zapisać osiem krów, wystarczy zastąpić symbol owcy symbolem krowy. Ósemka, sama liczba, się nie zmienia.

Ten etap rozwoju ludzkiej myśli ma podstawowe znaczenie. Gdyby trzeba było podać datę narodzin matematyki, to chyba wybrałbym ten właśnie moment w historii. Moment, w którym powstała liczba sama w sobie i sama dla siebie, ten moment, w którym oderwała się od konkretu, by pozwolić lepiej rozumieć rzeczywistość. Wszystko, co działo się wcześniej, było tylko okresem inkubacji. Pięściaki, fryzy, żetony, niczym preludia do narodzin liczby.

Od tego momentu liczba jest już abstrakcją, czyli tym, co charakteryzuje matematykę: naukę o najwyższym stopniu ogólności. Obiekty badane przez matematykę nie mają tożsamości fizycznej. Nie są materialne, nie są zbudowane z atomów. Są jedynie ideami. Ale jakże skutecznym narzędziem poznania świata są te idee!

Zapewne nie jest dziełem przypadku, że konieczność zapisu liczb pojawiła się w tym krytycznym momencie rodzenia się pisma. Bo o ile wszystkie inne idee można bez problemu przekazywać ustnie, to wydaje się, że stworzenie systemu liczbowego bez zapisu za pomocą znaków rodzi znaczne trudności. Czy jeszcze i dziś myśl o posługiwaniu się liczbami, sama w sobie, może być oderwana od ich zapisu? Co widzicie, myśląc o owcy? Zapewne wyobrażacie sobie zwierzę poruszające się na czterech kończynach, o grzbiecie porośniętym wełną. Nie przychodzi wam do głowy wizualizacja czterech liter tworzących słowo „owca”. A jeśli owcę miałaby zastąpić liczba sto dwadzieścia osiem, to co pojawiłoby się w waszej głowie? Ujrzelibyście cyfry 1, 2 oraz 8, które w waszym mózgu przyjęłyby swoje kształty i związały się razem niczym napis sporządzony sympatycznym atramentem waszych myśli. Mentalne odzwierciedlenie wielkich liczb wydaje się nierozłącznie związane ze sposobem ich zapisu. Przykład jest bezprecedensowy. Podczas gdy dla wszystkich innych rzeczy pismo jest sposobem wyrażenia tego, co i tak wcześniej istniało w języku mówionym, to w przypadku liczb właśnie zapis tworzy język. Pomyślcie tylko, że gdy powiecie „sto dwadzieścia osiem”, nie pozostanie wam nic innego, jak zdeszyfrować to słowo: 100 + 20 + 8. Po przekroczeniu pewnego progu mówienie o jakichkolwiek liczbach bez korzystania z notacji staje się niemożliwe. Dopóki nie zostaną zapisane, wielkie liczby nie odpowiadają żadnym słowom.

Nawet współcześnie istnieją społeczności, które posługują się bardzo niewieloma słowami odpowiadającymi liczbom. Na przykład członkowie plemienia Pirahã, łowcy i zbieracze znad rzeki Maici w Amazonii, liczą tylko do dwóch. Dalej już używają słów oznaczających „kilka” lub „dużo”. Członkowie plemienia Munduruku zaś, także zamieszkującego Amazonię, znają słowa oznaczające liczby od jednego do pięciu, czyli tyle, ile jest palców u jednej dłoni.

Codzienność nowoczesnych społeczeństw zdominowały jednak liczby. Stały się one tak wszechobecne i niezbędne, że często zapominamy, jak genialny stoi za nimi koncept i że nasi przodkowie potrzebowali stuleci, by wymyślić coś, co dla nas jest aż tak oczywiste.

Na przestrzeni wieków opracowano różne sposoby zapisu liczb. Najprostszy polega na wykonaniu tylu znaków, z ilu jednostek składa się liczba, na przykład krótkich kresek, jednej obok drugiej. Nadal często używamy tej metody, licząc punkty w grze.

Najstarsze znane ślady zastosowania tej metody pochodzą z czasów znacznie wyprzedzających wynalezienie pisma przez Sumerów. Kości Ishango, znalezione w latach pięćdziesiątych na brzegu Jeziora Edwarda, dziś znajdującego się w Demokratycznej Republice Konga, datowane są mniej więcej na 20 tysięcy lat. Długie na 10 i 14 centymetrów, charakteryzują się dość regularnie rozmieszczonymi licznymi nacięciami. Czemu miały te nacięcia służyć? Prawdopodobnie był to jeden z pierwszych sposobów liczenia. Niektórzy upatrują w tych przedmiotach pierwowzoru kalendarza, podczas gdy inni doszukują się u ich twórców całkiem zaawansowanych umiejętności rachunkowych. Jaka jest prawda, trudno orzec. Te dwie kości można dziś oglądać w Muzeum Nauk Przyrodniczych w Brukseli.

Owa metoda obliczeń, wykorzystująca nowy znak dla każdej dodanej jednostki, ujawnia swoje ograniczenia, gdy w grę wchodzi konieczność posługiwania się wielkimi liczbami. Żeby liczyć szybciej, trzeba z liczb robić pakiety!

Odtąd żetony używane w Mezopotamii reprezentują wiele jednostek. Istniał na przykład szczególny żeton oznaczający dziesięć owiec. Po wynalezieniu pisma stosowana ówcześnie metoda obliczeń zostaje zachowana. Istnieją symbole na oznaczenie pakietów obejmujących 10, 60, 600, 3600 i 36 000 elementów.

W tworzeniu symboli ujawnia się troska o logikę. I tak 60 oraz 3600 są mnożone przez 10, ponieważ w środku mają dodany okrąg. Wraz z pojawieniem się pisma klinowego te początkowe symbole ulegają stopniowym przemianom.

Sąsiedztwo Mezopotamii sprawia, że niebawem także Egipt odpowiednio przystosowuje pismo i na początku III tysiąclecia tworzy własne symbole liczbowe.

System liczenia przyjmuje ściśle dziesiątkową postać, każdy znak odpowiada wartości dziesięć razy większej niż wartość poprzedniego znaku.

Są to wszystko addytywne systemy liczbowe, czyli takie, w których wystarczy dodać do siebie wartości odpowiadające wypisanym symbolom, aby odczytać liczbę. Odniosły one wielki sukces na świecie i zarówno w starożytności, jak i w znacznej części średniowiecza występowały w wielu wariantach. Posługiwali się nimi również Grecy i Rzymianie, którzy w zapisie numerycznym zadowolili się wykorzystaniem liter swych alfabetów.

Jednocześnie stopniowo rodził się nowy rodzaj zapisu liczb – system pozycyjny. Wartość znaku zależała w nim od umiejscowienia w zapisie liczby. I znów to właśnie mieszkańcy Mezopotamii byli pierwsi.

W II tysiącleciu p.n.e. największy wpływ na Bliski Wschód ma kultura mezopotamskiego Babilonu. W zapisie liczb nadal wykorzystuje się pismo klinowe, ale stosowane są już tylko dwa symbole: prosty klin oznaczający 1 oraz V-kształtny (szewron) oznaczający 10.

1. Podobny pomysł miał już swoją realizację. W Muzeum Neandertalczyka w Mettmann pod Düsseldorfem w jednej gablocie onegdaj umieszczono krzemienny pięściak i krzemowy tranzystor (przyp. tłum.).

Zapraszamy do zakupu pełnej wersji książki