Podstawy elektroniki - ebook

1
WPROWADZENIE

1.1. Rozwój elektroniki

Elektronika jest dziedziną wiedzy zajmującą się praktycznym wykorzystaniem zjawisk związanych ze sterowanym ruchem elektronów w próżni, gazach i ciałach stałych. Zjawiska te mają decydujące znaczenie w różnych elementach układów elektronicznych, zwłaszcza w elementach półprzewodnikowych. Elektronika zajmuje się zatem teorią działania, właściwościami, konstrukcją i technologią elementów elektronicznych. Obejmuje również różnorodne zastosowanie tych elementów w nauce, technice i życiu codziennym.

Elementy elektroniczne wchodzą w skład układów elektronicznych. Rozróżnia się elementy pasywne (bierne), które nie dostarczają energii, a co najwyżej ją rozpraszają, i aktywne (czynne), które mogą zwiększyć energię sygnału użytkowego. Układem elektronicznym jest zespół elementów pasywnych i aktywnych spełniający określoną funkcję, np. wzmacniacza, prostownika, generatora itp. Układy takie rzadko stosuje się indywidualnie; najczęściej stanowią one części składowe większych urządzeń, np. odbiornika radiowego, woltomierza cyfrowego, komputera, kalkulatora itd.

Ze względu na ośrodek, w którym odbywa się ruch ładunków elektrycznych, elektronikę dzieli się na: próżniową, półprzewodnikową, kwantową i plazmową. Elektronika próżniowa zajmuje się lampami elektronowymi (próżniowymi i gazowanymi) oraz próżniowymi urządzeniami elektronicznymi, takimi jak mikroskopy elektronowe, akceleratory cząstek naładowanych itp. Z elektroniką próżniową wiąże się optyka elektronowa i optyka jonowa. Elektronika półprzewodnikowa zajmuje się elementami półprzewodnikowymi biernymi i czynnymi, jak np. hallotrony, termistory, diody półprzewodnikowe, tranzystory, tyrystory, ogniwa fotoelektryczne, wyświetlacze, układy scalone itd. Elektronika kwantowa, zwana też molekularną, zajmuje się wykorzystaniem kwantowych właściwości materii. Do najważniejszych urządzeń elektroniki kwantowej należą lasery. Elektronika plazmowa zajmuje się zachowaniem nośników ładunku (elektronów i jonów) w plazmie, a także urządzeniami wykorzystywanymi w technice plazmy, jak np. generatory magnetohydrodynamiczne, palniki i silniki plazmowe.

Rozwój elektroniki został zapoczątkowany w drugiej połowie XIX w. Wiąże się on z odkryciem wielu zjawisk wykorzystywanych w przyrządach elektronicznych. Wynalezienie najprostszej lampy elektronowej – diody (1904 r.), a następnie lampy elektronowej z siatką sterującą – triody (1906 r.), umożliwiającej wzmacnianie słabych sygnałów elektrycznych oraz generację nietłumionych drgań elektrycznych, dało początek elektronice próżniowej.

Począwszy od lat dwudziestych ubiegłego stulecia obserwuje się szybki wzrost zastosowań nowo wynalezionych elementów. Wiąże się on z telekomunikacją, a głównie z powstawaniem i rozwojem radiofonii, jak również telewizji, radionawigacji, radiolokacji itp. Niektóre z urządzeń elektronicznych, np. prostowniki rtęciowe, w latach dwudziestych i trzydziestych ubiegłego wieku zaczęto powszechnie stosować w elektroenergetyce, np. w trakcji elektrycznej prądu stałego, w przemyśle metalurgicznym i chemicznym (produkcja aluminium, miedzi, magnezu, wodoru, chloru itd.). W tym czasie zdobycze elektroniki zaczyna wykorzystywać się też w badaniach naukowych i w aparaturze kontrolno-pomiarowej oraz w diagnostyce i terapii lekarskiej (aparat rentgenowski).

Lata 1939–45 charakteryzują się istotnym rozwojem elektroniki w związku z potrzebami wojennymi. Szczególnie intensywnie rozwija się elektronika mikrofalowa, związana z urządzeniami pracującymi przy częstotliwościach powyżej kilkuset megaherców, wykorzystywanymi m.in. w urządzeniach radarowych. Duży postęp obserwuje się w radiotechnice, telemechanice, telesterowaniu (zdalnym przekazywaniu sygnałów sterujących) i telemetrii (zdalnym przekazywaniu sygnałów pomiarowych). Postęp ten byłby niemożliwy bez wykorzystania osiągnięć elektroniki. Bodźcem był m.in. rozwój lotnictwa i techniki rakietowej (pociski samosterujące: niemieckie V-l i V-2, a później amerykańskie JB-2). Prowadzi się również intensywne prace nad miniaturyzacją i poprawą niezawodności urządzeń elektronicznych. Zastosowanie konwencjonalnych elementów elektronicznych, np. w technice lotniczej, powodowało bowiem wiele niedogodności (duże wymiary i masa, duży pobór mocy, duży koszt wytwarzania, mała niezawodność). Należy zwrócić także uwagę, że w początkowym okresie rozwoju elektroniki liczba elementów elektronicznych stosowanych w poszczególnych urządzeniach wzrastała w przybliżeniu o rząd wielkości co dziesięć lat, czyli znacznie wzrastało „zelektronizowanie” poszczególnych urządzeń. Konstruuje się więc lampy i elementy miniaturowe, później subminiaturowe oraz elementy o zwiększonej trwałości. Charakteryzują się one m.in. małymi wymiarami, co pozwala zwiększyć gęstość upakowania.

Po drugiej wojnie światowej zakres zastosowań elektroniki znacznie się rozszerza w związku z rozwojem telewizji i elektroniki przemysłowej (zajmującej się zastosowaniem urządzeń elektronicznych w zakładach przemysłowych) oraz powstawaniem nowych dziedzin techniki, ściśle z nią związanych, np. informatyki.

Przełomowym i jednym z największych osiągnięć elektroniki było wynalezienie tranzystora bipolarnego – dwuzłączowego (1948 r.). Od tego czasu rozpoczęła się nowa epoka – epoka elektroniki półprzewodnikowej. Elementy półprzewodnikowe dzięki swoim zaletom, takim jak: małe wymiary i masa, mały pobór mocy, niskie napięcie zasilania, duża trwałość i niezawodność, duża sprawność przetwarzania energii, wyparły lampy elektronowe. Obecnie stosuje się tylko niektóre specjalne rodzaje lamp elektronowych: lampy elektronopromieniowe (np. kineskopy telewizyjne, monitory komputerowe, lampy oscyloskopowe, lampy radaroskopowe, lampy analizujące itd. – niektóre z nich coraz rzadziej), lampy mikrofalowe i lampy o bardzo dużych mocach. Obserwuje się również powrót do zastosowania lamp w sprzęcie audio wysokiej jakości.

Wynalezienie tranzystora (patrz rozdz. 4) i rozwój elektroniki półprzewodnikowej umożliwia wytwarzanie coraz bardziej skomplikowanej, nowoczesnej i zminiaturyzowanej aparatury elektronicznej. Jednakże miniaturyzacja urządzeń elektronicznych, wynikająca z zastąpienia lamp elektronowych tranzystorami – istotna zwłaszcza w urządzeniach do badań kosmicznych, sprzęcie wojskowym, komputerach, dużych systemach sterowania i kontroli – została zatrzymana na pewnym etapie. Barierę stanowiły trudności w operowaniu elementami podczas ich produkcji i montażu w układach oraz wykonywanie połączeń. Dalszy postęp w miniaturyzacji umożliwiło wprowadzenie scalania (integracji).

Od lat sześćdziesiątych ubiegłego stulecia rozpoczyna się epoka układów scalonych. Scalona postać układu elektronicznego daje olbrzymie korzyści, z których najistotniejsze to: miniaturyzacja, zwiększenie niezawodności, zmniejszenie kosztów oraz możliwość uzyskania nowych rozwiązań technicznych, nieosiągalnych przy stosowaniu układów konwencjonalnych. W pewnych przypadkach nastąpiła także radykalna zmiana sposobu projektowania i konstrukcji urządzeń elektronicznych. Wprowadzenie układów scalonych przyczyniło się do rozwoju nowego kierunku elektroniki – mikroelektroniki.

W pierwszych kilkunastu latach XXI wieku prace podstawowe i technologiczne doprowadziły do opracowania szeregu interesujących materiałów półprzewodnikowych.

Są to materiały jednowarstwowe (np. grafen, czarny fosfor, molibdenit czy półprzewodniki na kropkach kwantowych). Ze względu na swoją dwuwymiarowość mają szereg zalet w porównaniu z półprzewodnikami objętościowymi, np. krzemem. Elementy i układy z nich wykonane mogą mieć bardzo małe wymiary – rzędu nanometrów. Poza tym do ich wysterowania potrzebna jest moc wiele tysięcy razy mniejsza niż do wysterowania elementów i układów (o takich samych funkcjach) wytworzonych z półprzewodników objętościowych.

Podobnie wygląda kwestia szybkości przetwarzania informacji przez te elementy i układy o wymiarach współmiernych z wymiarami atomu. Można zaryzykować stwierdzenie, że rozpoczęła się era nanoelektroniki.

Coraz powszechniejszemu stosowaniu układów scalonych towarzyszyło stałe zwiększanie skali integracji. Początkowo układ scalony zawierał w swojej strukturze kilka, później kilkadziesiąt lub kilkaset tranzystorów i innych elementów. Na początku lat siedemdziesiątych XX wieku pojawiły się układy wielkiej skali integracji (LSI), a następnie bardzo wielkiej skali integracji (VLSI) (patrz rozdz. 5). Układy takie zawierają od kilku do kilkuset tysięcy elementów. Szczególnie przydatna do produkcji układów LSI jest technologia unipolarna MOS. Jednymi z najistotniejszych osiągnięć mikroelektroniki są mikroprocesory i mikrokomputery.

Ze wzrostem skali integracji, przy jednoczesnym zwiększeniu szybkości działania układów, zmniejszaniu poboru mocy i coraz niższych cenach, następuje radykalna poprawa parametrów sprzętu elektronicznego oraz zwiększa się zakres zastosowań układów scalonych. Oprócz „tradycyjnych” zastosowań (np. w systemach łączności, aparaturze pomiarowej, systemach sterowania, systemach komputerowych, urządzeniach medycznych, sprzęcie radiowo-telewizyjnym itd.) coraz powszechniej wykorzystuje się je np. w urządzeniach gospodarstwa domowego (pralki automatyczne, kuchnie, roboty kuchenne), w kamerach i aparatach fotograficznych, w technice motoryzacyjnej, w zegarkach elektronicznych, zabawkach dla dzieci, grach elektronicznych, w sprzęcie audio i video itp.

Przykładem możliwości, jakie stwarza mikroelektronika, jest historia rozwoju komputerów. Pierwsza, opracowana w 1946 r., elektroniczna maszyna cyfrowa (komputer) ENIAC (ang. Electronic Numerical Integrator and Computer), była przeznaczona do rozwiązywania równań różniczkowych stosowanych w balistyce. Zawierała ponad osiemnaście tysięcy lamp, setki tysięcy rezystorów, kondensatorów itp., a do jej zasilania była potrzebna moc aż 150 kW. Wykonywała do pięciu tysięcy operacji na sekundę. Wystarczy porównać te jej właściwości z właściwościami współcześnie produkowanych mikrokomputerów, by ocenić dokonany postęp.

Od chwili zbudowania w 1960 r. lasera półprzewodnikowego, wytwarzającego spójną wiązkę promieniowania elektromagnetycznego, dużą dynamikę rozwoju wykazuje także elektronika kwantowa. Elementy optoelektroniczne (patrz rozdz. 6) wykrywają, emitują lub wykorzystują do swojego działania promieniowanie elektromagnetyczne w zakresie widzialnym, nadfioletowym i podczerwonym. Największy popyt obserwuje się na wyświetlacze (patrz podrozdz. 6.5). Znajdują one szerokie zastosowanie w monitorach telewizyjnych i komputerowych, w kalkulatorach, zegarkach elektronicznych, aparaturze pomiarowo-kontrolnej, urządzeniach kodujących itp. Do bezpośredniej przemiany energii słonecznej w energię elektryczną używa się fotoogniw półprzewodnikowych (patrz punkt 6.2.4). Baterie słoneczne stosuje się powszechnie w pojazdach kosmicznych i rakietach bezzałogowych. Zbudowano też wiele elektrowni słonecznych. Powszechnie wykorzystuje się także łącza optoelektroniczne, służące do przesyłania informacji.

Elektronika odgrywa w życiu współczesnych społeczeństw kluczową rolę. Obecnie trudno jest znaleźć dziedziny działalności ludzkiej, w których elektronika nie byłaby stosowana do sterowania, rejestracji i przekazywania informacji lub też do przetwarzania sygnałów. Od elektroniki jest uzależniona prawie całkowicie telekomunikacja (radio, telewizja, telefonia dalekosiężna, radar itp.). Urządzenia elektroniczne mają istotne znaczenie również w nawigacji lotniczej i morskiej oraz w technice wojskowej. Powszechnie do tych celów wykorzystywany jest system GPS, umożliwiający określenie położenia, wytyczanie trasy np. przejazdu samochodem do określonego celu itp.

Elektronika umożliwiła wspaniały rozkwit techniki kosmicznej i kosmonautyki. Urządzenia elektroniczne umożliwiają dokładne obliczenie, mierzenie i ewentualnie korygowanie parametrów toru rakiet kosmicznych oraz sterowanie z Ziemi skomplikowanymi mechanizmami sztucznych satelitów i stacji kosmicznych.

Niektóre dziedziny nauki i techniki rozwijają się dziś wyłącznie dzięki postępom w elektronice. Najlepszym tego przykładem jest informatyka.

Dzisiejsze zakłady przemysłowe są nasycone urządzeniami elektronicznymi. Urządzenia te można podzielić na trzy grupy. Do pierwszej grupy należą urządzenia pomiaru, kontroli i automatycznego sterowania. Dział elektroniki przemysłowej zajmujący się tymi urządzeniami nazywa się elektroniką informacyjną lub elektroniką systemów kontroli i sterowania.

Urządzenia drugiej grupy służą do przetwarzania napięcia lub prądu, np. stałego na zmienny lub odwrotnie. Charakteryzują się one znacznymi mocami i są przeznaczone głównie do układów zasilania maszyn elektrycznych lub przesyłania energii na znaczne odległości. Dział elektroniki przemysłowej zajmujący się tymi urządzeniami nazywa się energoelektroniką.

Do trzeciej grupy należą urządzenia stosowane bezpośrednio w procesie produkcyjnym, np. w automatycznych liniach produkcyjnych, do obróbki cieplnej, napylania cienkich warstw, wykonywania połączeń itp. Proces wprowadzania elektroniki do procesów technologicznych nazywa się elektronizacją procesów produkcyjnych.

Urządzenia i układy elektroniczne są powszechnie wykorzystywane w motoryzacji. Ten dział elektroniki nazywa się elektroniką motoryzacyjną. Spójrzmy na współczesny samochód. Zapewne ma on poduszki powietrzne, urządzenia kontroli jazdy, np. ABS, klimatyzację, elektrycznie podnoszone szyby, regulowane wycieraczki, automatyczny wtrysk paliwa, czujniki ciśnienia i temperatury, komputer pokładowy i szereg innych dodatkowych urządzeń, zwiększających bezpieczeństwo, komfort oraz osiągi. Również na stacjach obsługi znaczna część badań diagnostycznych jest przeprowadzana z wykorzystaniem urządzeń elektronicznych, często skomputeryzowanych.

Ogromne znaczenie mają osiągnięcia elektroniki w dziedzinie nowych źródeł energii. Wiele miejscowości, osiedli oraz pojedynczych domów jest całkowicie zaopatrywanych w energię elektryczną uzyskiwaną z energii słonecznej. Również elektrownie atomowe zawierają wiele urządzeń elektronicznych. Oprócz tego, w tzw. inteligentnych domach urządzenia elektroniczne są stosowane np. do: sterowania oświetleniem, oszczędzania energii elektrycznej i cieplnej, sterowania klimatyzacją, sygnalizacji antywłamaniowej i przeciwpożarowej, zdalnego zarządzania funkcjami pomieszczeń, sterowania urządzeniami dźwigowymi, integracji z sieciami komputerowymi itd.

Układy elektroniczne wchodzą w skład większości przyrządów stosowanych do badań naukowych. Używa się przy tym wielu różnorodnych przyrządów. Jedne umożliwiają badanie np. przestrzeni pozaziemskich, inne natomiast badanie np. mózgu ludzkiego lub bardzo małych cząstek. Duża część zdobyczy ludzkości byłaby niemożliwa bez zastosowania wielu skomplikowanych urządzeń elektronicznych.

Przyrządy elektroniczne są powszechnie wykorzystywane w meteorologii i ochronie środowiska. Umożliwiają one (obecnie najczęściej automatycznie) pomiar stanu atmosfery (np. temperatury, wilgotności, ciśnienia, prędkości i kierunku wiatru, przemieszczania się mas powietrza itp.). Z opracowanymi na tej podstawie komunikatami i mapami meteorologicznymi stykamy się codziennie, nie tylko oglądając np. telewizję, ale również przeglądając strony internetowe. Powszechny jest także monitoring zanieczyszczeń środowiska.

Urządzenia elektroniczne są rozpowszechnione też w medycynie (elektronika medyczna). W diagnostyce lekarskiej używa się m.in. elektrokardiografu (EKG), elektroencefalografu (EEG), aparatu rentgenowskiego, tomografu komputerowego, aparatu do rezonansu jądrowego, aparatu USG. W terapii stosuje się urządzenia do naświetlania promieniami rentgenowskimi, urządzenia wytwarzające ultradźwięki, promieniowanie podczerwone, ultrafioletowe i inne. Także znaczna część podstawowych badań lekarskich jest wykonywana za pomocą automatycznych lub półautomatycznych elektronicznych analizatorów.

Urządzenia elektroniczne w coraz większym stopniu zastępują człowieka. Są one podstawą robotyki. Roboty przemysłowe wykonują wiele czynności wykonywanych wcześniej przez człowieka, zwłaszcza nużących lub niebezpiecznych, mogąc przy tym pracować w szkodliwych dla człowieka warunkach. Równie często urządzenia elektroniczne są wykorzystywane w sprzęcie przeznaczonym dla osób niepełnosprawnych.

Urządzenia elektroniczne pomagają człowiekowi w działalności zawodowej i w życiu codziennym. Na co dzień korzysta się z telefonu komórkowego, ogląda telewizję, słucha muzyki, ogląda filmy na wideo, korzysta z kalkulatora i komputera itp. A wszystko to jest możliwe dzięki elektronice.

1.2. Sygnały elektryczne

Sygnał elektryczny jest wielkością elektryczną (np. prądem, napięciem, ładunkiem) będącą funkcją czasu x(t) i niosącą informację.

Sygnały elektryczne można klasyfikować według różnych zasad. Ze względu na ich determinizm wyróżnia się: deterministyczne i losowe. Z kolei ciągłość dziedziny i wartości pozwala wyróżnić: ciągłe (analogowe) – dziedzina i wartości są ciągłe, dyskretne – dziedzina sygnału jest dyskretna, a wartości ciągłe, cyfrowe – dziedzina i wartości sygnału są dyskretne.

Cechy sygnałów opisuje się za pomocą wartości charakterystycznych zwanych parametrami, a które pozwalają przeprowadzać dalszą klasyfikację sygnałów. Są nimi: wartość chwilowa, wartość szczytowa (amplituda), wartość średnia, wartość skuteczna, okres, częstotliwość, pulsacja, faza, faza początkowa.

Wartość chwilowa x(t) jest wartością, jaką ma sygnał w danej chwili.

Wartość szczytowa Xm jest największą wartością chwilową, jaką może osiągnąć moduł sygnału,

Xm = |x(t)|max

(1.1)

t ∈ 〈0, T〉.

Rozróżnia się wartość szczytową w przedziale czasu, gdy x(t) > 0 i w przedziale czasu, gdy x(t) < 0.

Wartością międzyszczytową jest suma i . W przypadku, gdy sygnał jest stale nieujemny lub stale niedodatni, wówczas wartością międzyszczytową sygnału jest różnica maksymalnej i minimalnej wartości sygnału.

Wartość średnia sygnału w przedziale czasu t₁ ÷ t₂ jest równa

(1.2)

a wartość skuteczna Xef = X

(1.3)

Sygnały elektryczne można także podzielić na stałe w czasie

(1.4)

i zmienne

(1.5)

Sygnały zmienne mogą być okresowe i nieokresowe.

Sygnały okresowe to takie, dla których spełniona jest zależność:

(1.6)

Najmniejsza liczba T spełniająca powyższą zależność jest okresem sygnału. Odwrotność okresu sygnału jest jego częstotliwością f. Sygnały okresowe dzielą się na sygnały harmoniczne (sinusoidalnie zmienne) i niesinusoidalne (np. impulsowe). Dla sygnałów harmonicznych dodatkowo ważnymi parametrami są: pulsacja ω i faza φ.

Pulsacja ω (częstotliwość kątowa) – jest kątem, jaki wartość chwilowa sygnału harmonicznego „przebędzie” w czasie jednej sekundy

,

(1.7)

ponieważ jednemu okresowi T odpowiada kąt 2π.

Kąt fazowy φ, lub krótko faza, sygnału harmonicznego jest argumentem funkcji sinus (lub cosinus) opisującej dany przebieg.

Faza początkowa określa położenie sinusoidy (lub cosinusoidy) względem początku układu współrzędnych.

Przesunięcie fazowe jest różnicą faz dwóch przebiegów harmonicznych.

Z uwagi na to, że wartość średnia sygnału harmonicznego (w ogólności przemiennego) w czasie jednego okresu jest równa zeru

(1.8)

operuje się dlań wartością średnią wyprostowaną

(1.9)

która jest wartością średnią za okres z wartości bezwzględnej danego sygnału.

Aby wstępnie scharakteryzować kształt krzywej danego sygnału okresowego wprowadzono następujące współczynniki:

— kształtu ,

(1.10)

— amplitudy ,

(1.11)

— uśredniania .

(1.12)

Współczynniki te spełniają następujące zależności:

1 ≤ k ≤ ka ≤ ku,

(1.13)

ku = k · ka.

(1.14)

Spośród sygnałów nieharmonicznych często wykorzystuje się przebiegi impulsowe – najczęściej w postaci impulsów prostokątnych (patrz rysunek 1.1).

Impulsy prostokątne mogą być przebiegami jednokrotnymi lub wielokrotnymi – np. powtarzanymi z określoną częstotliwością.

Rys. 1.1. Impuls prostokątny i jego parametry

Impulsy takie charakteryzuje się za pomocą następujących parametrów: amplitudy Xm (wcześniej zdefiniowanej), czasu trwania ti, czasu narastania tn, czasu opadania to.

Czas trwania impulsu ti definiuje się jako przedział czasu odpowiadający wartościom chwilowym spełniający warunek x(t) ≥ 0,5Xm.

Niekiedy operuje się inaczej zdefiniowanym czasem trwania impulsu ti jako czasem upływającym od początku do końca impulsu, przy czym za początek i koniec impulsu uważa się chwile, w których impuls osiąga wartości równe jednej dziesiątej jego amplitudy:

czas, w którym impuls narasta od 0,1Xm do 0,9Xm nosi nazwę czasu narastania tn.

Czas opadania jest czasem, w którym impuls maleje od wartości 0,91Xm do 0,19Xm.

Sygnały elektryczne analogowe mogą być nieokresowe i okresowe.

Można je zobrazować w dziedzinie czasu i częstotliwości.

W dziedzinie czasu będzie to funkcja x = f(t) oddająca kształt sygnału.

Sygnał sinusoidalny (harmoniczny) określony w dziedzinie czasu funkcją

x(t) = Xmsin(ωxt)

(1.15)

ma amplitudę Xm i częstotliwość Może być więc reprezentowany przez tę parę parametrów, dając obraz w dziedzinie częstotliwości, czyli Xm = f(fx). Obraz ten nosi nazwę widma amplitudowego.

Na rysunku 1.2 pokazano przebieg czasowy sygnału harmonicznego (sinusoidalnego) i jego widmo.

Rys. 1.2. Sygnał harmoniczny w dziedzinie: a) czasu; b) częstotliwości

Przy uwzględnieniu fazy początkowej φx sygnału harmonicznego (x(t) = Xmsin(ωt + φx)) otrzymuje się widmo fazowe φ = φ(fx).

Przejście z dziedziny czasu do dziedziny częstotliwości umożliwia całkowe przekształcenie Fouriera

(1.16)

nazywane też transformatą całkową Fouriera. Wartości X(jω) (widma sygnału) mogą być rzeczywiste lub zespolone. Dla jednolitości i prostoty zapisu transformat uwzględnia się na ogół ujemne pulsacje ω (lub częstotliwości f), uzyskując dla celów obliczeniowych symetryczną (dwustronną) postać widma. Operuje się także widmem niesymetrycznym (jednostronnym). Odtworzenie przebiegu sygnału w dziedzinie czasu umożliwia odwrotne przekształcenie Fouriera,

(1.17)

Z uwagi na to, że widmo sygnału może być w ogólności liczbą zespoloną, ma ono swój moduł – widmo amplitudowe

X(ω) = |X(jω)| lub X(f) = |X(jf)|

(1.18)

i argument (przesunięcie fazowe poszczególnych składowych harmonicznych) – widmo fazowe φ(ω) lub φ(f)

(1.19)

Przebiegi widm amplitudowych i fazowych zależą od typu funkcji opisującej sygnał w dziedzinie czasu.

Przykładem sygnału nieokresowego może być pojedynczy impuls o czasie trwania ti.

Rys 1.3. Impuls jednorazowy: a) przebieg czasowy; b) jego widmo amplitudowe

Przebieg czasowy sygnału x(t) można zapisać w postaci

(1.20)

a jego widmo będzie równe

(1.21)

Widmo impulsu jednorazowego opisane funkcją parzystą jest ciągłe i przyjmuje wartości rzeczywiste, dlatego widmo amplitudowe ma postać

,

(1.22)

a fazowe

φ(t) = 0.

(1.23)

Z uwagi na ciągłość widma amplitudowego i w związku z brakiem możliwości wyodrębnienia amplitud poszczególnych harmonicznych operuje się widmową gęstością mocy G(ω) lub G(f). Jest to moc wydzielona na obciążeniu jednostkowym przypadająca na jednostkę częstotliwości – wyrażana w W/Hz lub V²/Hz. Dla impulsu jednorazowego gęstość widmowa mocy G(f) jest równa

(1.24)

i ma przebieg jak na rysunku 1.4. W przebiegu tego widma można wyróżnić listek główny i listki boczne symetrycznie rozłożone względem osi rzędnych.

Rys. 1.4. Gęstość widmowa mocy impulsu jednorazowego

Widmo impulsu Diraca (rys. 1.5a) zdefiniowanego poniżej

(1.25)

będzie miało przebieg (rys. 1.5b)

X(f) = |X(jω)| = tiXm = 1.

(1.26)

Rys. 1.5. Impuls Diraca: a) przebieg czasowy; b) widmo amplitudowe

W przypadku sygnału ciągłego okresowego

x(t) = x(t ± kT) dla –∞ < t < ∞

(1.27)

gdzie k – liczba dodatnia całkowita, np. będącego ciągiem impulsów prostokątnych o czasie trwania ti i okresie powtarzania T (rys. 1.6) – można go rozłożyć na szereg

Rys. 1.6. Sygnał ciągły okresowy: a) przebieg czasowy; b) widmo amplitudowe

Fouriera (dotyczy to wszystkich przebiegów okresowych spełniających warunki Dirichleta),

(1.28)

przy czym Xi(jω) – widmo amplitudowe; if – częstotliwość i-tej harmonicznej,

(1.29)

Z uwagi na to, że widmo amplitudowe jest rzeczywiste, widmo fazowe jest równe 0, ponieważ

(1.30)

Przebiegi okresowe można także przedstawić za pomocą trygonometrycznego szeregu Fouriera. W ogólnym przypadku, szereg ten ma postać

(1.31)

przy czym dla i ≥ 1: Xi – amplituda i-tej harmonicznej, składowa stała, φi – kąt fazowy i-tej harmonicznej, których wartości oblicza się na podstawie następujących zależności:

(1.32)

(1.33)

(1.34)

(1.35)

(1.36)

Jeśli funkcja x(t) jest parzysta, to współczynniki bi są równe zeru, natomiast dla x(t) nieparzystej współczynniki ai są równe zeru. Przykładowo, jeśli sygnał ma przebieg fali prostokątnej (rys. 1.7), to jego rozwinięcie w szereg Fouriera ma postać

,

(1.37)

a jego jednostronne widmo amplitudowe ma przebieg jak na rysunku 1.7b.

Rys. 1.7. Fala prostokątna: a) przebieg czasowy; b) jednostronne widmo amplitudowe

Transformata (przekształcenie) Fouriera pozwala na ustalenie relacji między czasem trwania sygnału ti i szerokością pasma częstotliwościowego B₀ tego sygnału,

(1.38)

z której wynika, że niemożliwe jest jednoczesne uzyskanie dobrej rozdzielczości w dziedzinie czasu i częstotliwości.

Sygnały dyskretne w dziedzinie czasu, np. uzyskane w wyniku próbkowania i stanowiące ciąg N liczb {x(n)}={X(0), X(1), …, X(N – 1)} (gdzie n, a właściwie Nt s – wartość czasu dyskretnego), można przekształcić w ciąg liczbowy w dziedzinie częstotliwości. To przekształcenie nosi nazwę dyskretnego przekształcenia Fouriera (DPF).

Procedurę dyskretyzacji z dziedziny czasu przenosi się do dziedziny częstotliwości – operuje się pulsacją (lub częstotliwością) o dyskretnych wartościach iω. Wówczas widmo sygnału dyskretnego może oznaczać X(iω) lub wprost X(i), gdzie „i” jest symbolem dyskretnej częstotliwości (lub pulsacji). Jeśli przedział czasu określenia sygnału dyskretnego wynosi N · Ts, to dyskretne przekształcenie Fouriera ma postać

(1.39)

a odwrotne dyskretne przekształcenie Fouriera wyrazi się zależnością

(1.40)

Często stosuje się jeszcze inną formę zapisu tych przekształceń

(1.41)

przy czym:

(1.42)

Funkcje Win mają następujące właściwości:

— są ortogonalne, ponieważ

(1.43)

gdzie: α = 0, ±1, ±2,…

— są okresowe o okresie N (tzw. N-okresowe)

Win = W(i+N)n = Wi(n+N) dla i, n = 0, ±1, ±2,…

(1.44)

Z ostatniej właściwości funkcji Win wynika, że zarówno sygnał dyskretny x(n), jak i transformata X(i) są N-okresowe.

Gęstość widmowa mocy sygnału dyskretnego jest równa

Gx(i) = |X(i)|².

(1.45)

Zbiór wszystkich {Gx(i)} tworzy widmo sygnału dyskretnego x(n).

Podobnie jak dla całkowego przekształcenia Fouriera, obowiązuje zasada liniowości – tzn. jeśli

x(n) = ax(n) + by(n),

(1.46)

to i

Z(i) = aX(i) + bY(i).

(1.47)

Dyskretne przekształcenie Fouriera można zapisać w postaci macierzowej – wykorzystując fakt, że poszczególne próbki sygnału x(n) oraz ich widma X(i) można traktować jako składowe sygnału w N-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. Sygnał x(n) oraz widmo X(i) należy traktować jako macierz kolumnową

(1.48)

w skrótowej formie = .

Macierz jest macierzą dyskretną o wymiarze N ∙ N. Obliczanie X(i) wymaga N² mnożeń i tyleż dodawań – dlatego łączna liczba operacji wyniesie 2N². Realizacja programowa takich obliczeń wymagałaby długich czasów. Z tych powodów procesor sygnałowy wykonuje obliczenia dyskretnej transformaty Fouriera według specjalnych algorytmów – nazywanych szybkim przekształceniem Fouriera (FFT – ang. Fast Fourier Transform). Są to algorytmy rekursywne oparte na faktoryzacji macierzy w taki sposób, aby uzyskać prostsze macierze zawierające wiele elementów zerowych. Stosując te metody, można w znacznym stopniu uniknąć redundancji, polegającej na wielokrotnym obliczaniu tych samych iloczynów, co prowadzi do znacznego skrócenia czasów obliczeń.

Szybka transformata Fouriera (FFT) nie jest przybliżeniem dyskretnej transformaty Fouriera (DFT), ale jest DFT obliczonym według efektywnego algorytmu.

1.3. Przykładowe pytania i zadania kontrolne

1.1. Co to jest sygnał elektryczny?

1.2. Dokonaj klasyfikacji sygnałów elektrycznych ze względu na determinizm oraz ciągłość dziedziny i wartości.

1.3. Jakie wartości charakterystyczne opisują sygnały elektryczne?

1.4. W jaki sposób zobrazowuje się sygnały elektryczne w dziedzinie czasu i częstotliwości?

1.5. Co to jest całkowe przekształcenie Fouriera i co ono umożliwia?

1.6. Jak definiuje się widmo amplitudowe sygnału, a jak fazowe?

1.7. Jak definiuje się widmową gęstość mocy sygnału?

1.8. Naszkicuj przebieg widma gęstości mocy impulsu jednorazowego.

1.9. Które sygnały okresowe odkształcone można rozwinąć w szereg trygonometryczny Fouriera?

1.10. Co to jest dyskretne przekształcenie Fouriera (DPF) i do jakich sygnałów się je stosuje?

1.11. Co to jest szybka transformata Fouriera?