Poligon rachunkowy dla chemików - ebook

Wszystko, czego się dotąd nauczyłeś, zatraci sens, jeśli nie potrafisz znaleźć zastosowania dla tej wiedzy.

Paulo Coelho, Pielgrzym

BACZNOŚĆ!

Studencie,

książka, którą trzymasz teraz w ręku, to nie jest zwykły zbiór zadań, ale przede wszystkim instruktaż, jak opanować niełatwą sztukę obliczeń chemicznych stanowiących podstawę pracy chemika. Studia chemiczne to istny poligon, na którym nawet najmniejszy błąd może Cię wiele kosztować. Niniejszy zbiór ma być dla Ciebie polem treningowym przed prawdziwym starciem, w którym stawką jest Twoje studenckie życie.

Poligon rachunkowy dla chemików obejmuje cały arsenał zadań, ale zanim po nie sięgniesz, odbędziesz krótkie teoretyczne szkolenie. Najtwardsi i najodważniejsi mogą zmierzyć się z zadaniami o ekstremalnym poziomie trudności (oznaczone jako POLE MINOWE). Jeżeli poradzisz sobie z nimi, nic już nie będzie takie samo, ale też inne zadania nie będą dla Ciebie zbyt trudne. Liczymy na to, że ten intensywny kurs uczyni z Ciebie prawdziwego weterana sztuki obliczeń chemicznych.

M² + R²ROZDZIAŁ 1 WPROWADZENIE DO OBLICZEŃ CHEMICZNYCH

Zapisywanie wyników pomiarów i obliczeń

Wartości mierzonych lub oznaczanych wielkości zapisuje się liczbami, które okreś­lają ilość podmiotów liczbowych albo wskazują ile razy dana wielkość różni się od jednostki podstawowej. Do zapisywania liczb służą umowne znaki – cyfry. W układzie dziesiętnym są to: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Cyfry od 1 do 9 składające się na liczbę są cyframi znaczącymi.

Należy zwrócić szczególną uwagę na ilość cyfr znaczących. Są to wszystkie cyfry składające się na liczbę, z wyjątkiem początkowych zer.

Zero nie jest cyfrą znaczącą, kiedy określa rząd wielkości, np.:

---------- ------------------------------------------ -------------
0,0057 2 cyfry znaczące, ponieważ można zapisać 5,7 · 10–3
0,000230 3 cyfry znaczące, ponieważ można zapisać 2,30 · 10–4
---------- ------------------------------------------ -------------

Zero jest cyfrą znaczącą tylko wtedy, kiedy oznacza dokładność pomiarów lub obliczeń, np.:

------- ------------------
25,00 4 cyfry znaczące
------- ------------------

lub kiedy występuje pomiędzy innymi cyframi, np.:

--------- --------------------
12,08 4 cyfry znaczące,
30,6002 6 cyfr znaczących,
1,0051 5 cyfr znaczących.
--------- --------------------

Podawanie wyników pomiarów i obliczeń

Wynik pomiarów lub obliczeń powinien być podany z taką samą dokładnością, jaką miały dane wyjściowe, np.:

----------------- ----------- -------- -----------
Dane wyjściowe: 25,6490 g Wynik: 34,7623 g
1,2% 2,3%
----------------- ----------- -------- -----------

Liczby mianowane

Liczba mianowana to taka, przy której podana jest jednostka, np.: 7,5 mola, 0,25°C, 12,5 cm³, 120 J.

Zasady zaokrąglania wyników pomiarów i obliczeń

Wyniki obliczeń zaokrągla się do takiej ilości cyfr znaczących, jakie uzyskujemy z dokładności danych albo z dokładności najmniej wiarygodnego wyniku obliczeń lub pomiarów.

Zaokrąglanie liczb polega na pomijaniu ostatniej cyfry. Jeżeli pomijana cyfra w liczbie zaokrąglanej jest mniejsza od 5, wtedy pozostawiana cyfra w liczbie nie zmienia się, np.:

0,48561 ≈ 0,4856

Jeżeli pomijana cyfra w liczbie zaokrąglanej jest większa od 5, wtedy do pozostawianej cyfry w liczbie dodaje się 1, np.:

0,48568 ≈ 0,4857

Jeżeli pomijaną cyfrą w liczbie zaokrąglanej jest cyfra 5, wtedy zaokrąglamy do najbliższej cyfry parzystej, np.:

458,5975 ≈ 458,598

32,4725 ≈ 32,472

Błąd bezwzględny i błąd względny

Przyczyną błędu pomiaru może być każde zdarzenie, które powoduje, że wynik jest różny od wartości rzeczywistej. Błąd to wielkość różnicy pomiędzy wartością dokładną a zmierzoną. Błędy mogą wynikać z niedokładności metody analitycznej, niedoskonałości urządzeń pomiarowych, niewłaściwej czystości odczynników stosowanych do analiz, ale także z niedoświadczenia osoby wykonującej pomiary lub obliczenia.

Błędy dzielimy na: błędy przypadkowe (np. zmiana zewnętrznej temperatury), błędy systematyczne (błędy metodyczne, aparaturowe i indywidualne) oraz błędy grube (pomyłki).

W celu scharakteryzowania dokładności wyników pomiarów i obliczeń stosuje się dwa rodzaje błędów: błąd bezwzględny i błąd względny.

Błąd bezwzględny (Bb) jest to wartość bezwzględna różnicy między wielkością rzeczywistą (F), a wielkością zmierzoną (Z).

Błąd względny (Bw) jest to iloraz błędu bezwzględnego (Bb) i wartości rzeczywistej (F).

Błąd względny (Bw) często wyrażany jest w procentach.

Wykonując serię pomiarów (Z₁, Z₂, Z₃,… Zn), dokładna wartość zmierzona (Z) nie jest znana, dlatego oblicza się średnią arytmetyczną wartości zmierzonych (Zśr).

Różnicę między średnią arytmetyczną, a wartością poszczególnych pomiarów nazywamy odchyleniem od średniej.

Mediana jest to wartość środkowa uporządkowanego rosnąco zbioru liczb. Dla nieparzystej ilości liczb w zbiorze medianą jest środkowa liczba, natomiast dla parzystej ilości liczb jest to średnia arytmetyczna środkowych wartości liczbowych, np.:

----------------- ------------------------- ----------------------
Nieparzysta ilość liczb Parzysta ilość liczb
Zbiór liczb: 5, 1, 7, 8, 7, 2, 4 2, 8, 5, 9, 1, 4
Uporządkowanie: 1, 2, 4, 5, 7, 7, 8 1, 2, 4, 5, 8, 9
Mediana: 5
----------------- ------------------------- ----------------------

Jednostki miar

Międzynarodowy Układ Jednostek Miar (układ SI, fr. Système International d’Unités) to znormalizowany układ jednostek miar, w skład którego wchodzą jednostki podstawowe (tabela 1) oraz pochodne (tabela 2).

Tabela 1. Podstawowe jednostki układu SI

------------------------------- ----------------- ------------------
Wielkość fizyczna Nazwa jednostki Symbol jednostki
Długość Metr m
Masa Kilogram kg
Czas Sekunda s
Natężenie prądu elektrycznego Amper A
Temperatura Kelwin K
Światłość Kandela cd
Liczność materii Mol mol
------------------------------- ----------------- ------------------

Tabela 2. Wybrane jednostki pochodne

Wielkość fizyczna

Jednostka

Związek z jednostkami podstawowymi

Nazwa

Skrót

Długość

Angstrem

Å

1 Å = 10–10 m

Masa

Tona

t

1 t = 10³ kg

Gram

g

1 g = 10–3 kg

Jednostka masy atomowej

u

1 u = 1,66 · 10–27 kg = 1,66 · 10–24 g

Czas

Minuta

min

1 min = 60 s

Godzina

h

1 h = 60 min = 3600 s

Temperatura

Celsjusz

°C

0 °C = 273 K

Objętość

Decymetr sześcienny (litr)

dm³ (l)

1 dm³ (1 l) = 10–3 m³

Centymetr sześcienny (mililitr)

cm³ (ml)

1 cm³ (1 ml) = 10–3 dm³ = 10–6 m³

Ciśnienie

Paskal

Pa

1 Pa = 1 m–1 · 1 kg · s–2

Milimetr słupa rtęci

mmHg

1 mmHg = 133,32 Pa

Bar

bar

1 bar = 105 Pa

Atmosfera

atm

1 atm = 101325 Pa

Energia

Dżul

J

1 J = 1 m² ⋅ 1 kg ⋅ s–2

Kaloria

cal

1 cal = 4,1858 J

Do zapisu bardzo dużej lub bardzo małej wielkości używane są przedrostki (prefiksy), które wyrażają dziesiętne wielokrotności lub podwielokrotności tej wielkości (tabela 3).

Tabela 3. Przedrostki tworzące dziesiętne wielokrotności oraz podwielokrotności jednostek miar

------- -------- ------------------------------------------- ---------------------
Nazwa Symbol Mnożnik Nazwa mnożnika
Jotta Y 1 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10²⁴ kwadrylion
Zetta Z 1 000 000 000 000 000 000 000 = 10²¹ tryliard
Eksa E 1 000 000 000 000 000 000 = 10¹⁸ trylion
Peta P 1 000 000 000 000 000 = 10¹⁵ biliard
Tera T 1 000 000 000 000 = 10¹² bilion
Giga G 1 000 000 000 = 10⁹ miliard
Mega M 1 000 000 = 10⁶ milion
Kilo k 1 000 = 10³ kilo
Hekto h 100 = 10² sto
Deka da 10 = 10¹ dziesięć
1 = 10⁰ jeden
Decy d 0,1 = 10–1 jedna dziesiąta
Centy c 0,01 = 10–2 jedna setna
Mili m 0,001 = 10–3 jedna tysięczna
Mikro µ 0,000 001 = 10–6 jedna milionowa
Nano n 0,000 000 001 = 10–9 jedna miliardowa
Piko p 0,000 000 000 001 = 10–12 jedna bilionowa
Femto f 0,000 000 000 000 001 = 10–15 jedna biliardowa
Atto a 0,000 000 000 000 000 001 = 10–18 jedna trylionowa
Zepto z 0,000 000 000 000 000 000 001 = 10–21 jedna tryliardowa
Jokto y 0,000 000 000 000 000 000 000 001 = 10–24 jedna kwadrylionowa
------- -------- ------------------------------------------- ---------------------

Przykład 1.1.

Podaj ile cyfr znaczących zawierają liczby: a) 123; b) 0,00230; c) 65,0021; d) 2,3 · 10⁴; e) 4,02 · 10–5; f) 45,00.

Odpowiedź:

---------------- -------------------
a) 123 3 cyfry znaczące
b) 0,00230 3 cyfry znaczące
c) 65,0021 6 cyfr znaczących
d) 2,3 · 10⁴ 2 cyfry znaczące
e) 4,02 · 10–5 3 cyfry znaczące
f) 45,00 4 cyfry znaczące
---------------- -------------------

Przykład 1.2.

Zaokrąglij podane liczby do trzech cyfr znaczących: a) 15,23; b) 0,4774; c) 8,894 · 10–4; d) 1253; e) 1256; f) 6,022 · 10²³; g) 12,1541.

Odpowiedź:

----------------- -------------------------
a) 15,23 ≈ 15,2
b) 0,4774 ≈ 0,477 lub 4,77 · 10–1
c) 8,894 · 10–4 ≈ 8,89 · 10–4
d) 1253 ≈ 1250
e) 1256 ≈ 1260
f) 6,022 · 10²³ ≈ 6,02 · 10²³
g) 12,1541 ≈ 12,2
----------------- -------------------------

Przykład 1.3.

Oblicz błąd przybliżenia liczby 287,588, jeżeli jej przybliżenia wynoszą odpowiednio 287,580 i 287,590.

Błąd przybliżenia z niedomiarem: 287,580 − 287,588 = − 0,008

Błąd przybliżenia z nadmiarem: 287,590 − 287,588 = 0,002

Odpowiedź: Błędy przybliżenia wynoszą odpowiednio: niedomiarowy − 0,008, nadmiarowy 0,002.

Przykład 1.4.

Oblicz błąd bezwzględny i błąd względny oznaczenia zawartości tlenku siarki(VI), jeżeli zamiast 13,68% stwierdzono 13,55%.

Bb = 13,68% − 13,55%

Bb = 0,13%

Bw = · 100%

Bw = 0,95%

Odpowiedź: Błąd bezwzględny i błąd względny oznaczenia zawartości tlenku siarki(VI) wynoszą odpowiednio: 0,13% i 0,95%.

Przykład 1.5.

Wyraź:

a) 355 g w kilogramach,

b) 25 dm³ w metrach sześciennych,

c) 358 cm³ w decymetrach sześciennych,

d) 25°C w kelwinach,

e) 26 µg w miligramach.

Odpowiedź:

a) 355 g = 0,355 kg

b) 25 dm³ = 0,025 m³ = 2,5 · 10–2 m³

c) 358 cm³ = 0,358 dm³

d) 25°C = 298 K

e) 26 µg = 0,026 mg = 2,6 · 10–2 mg

Poligon zadań

1.1. Określ, ile cyfr znaczących zawierają następujące liczby:

1. 25,2
2. 45,00
3. 0,0028
4. 500,2
5. 100,007
6. 45,210
7. 5,100
8. 2,030 · 10³²
9. 1,001 · 10–5
10. 5,0 · 10–2
11. 1,250 · 10².

1.2. Zaokrąglij następujące liczby do dwóch miejsc po przecinku:

1. 12,093
2. 0,09478
3. 1,45531
4. 8,894 · 10²
5. 3,225
6. 3,22584
7. 275,3625.

1.3. Wyznacz rzeczywistą wartość liczby 23,198, jeżeli jej błąd przybliżenia wynosi −0,004.

1.4. Oblicz błąd bezwzględny i względny oznaczenia zawartości azotu w kwasie azotowym(V), jeżeli zamiast 22,22% oznaczono 22,32%.

1.5. Oblicz błąd względny następujących wielkości fizycznych, wiedząc, że ostatnia cyfra znacząca jest niepewna o 2:

1. masy osadu 0,0502 g,
2. objętości cieczy 0,25 cm³,
3. temperatury 267 K.

1.6. Odważono masę próbki 28,458 kg z 5% nadmiarem. Oblicz rzeczywistą masę próbki.

1.7. Wyznacz błąd bezwzględny i względny oznaczenia tlenku wapnia w dolomicie. Analizę przeprowadzono dwukrotnie i otrzymano następujące wyniki 40,16% i 40,40%, podczas gdy rzeczywista zawartość wynosiła 40,34%. Oblicz względną różnicę wyników oraz ich wartość średnią.

1.8. Wyznacz błąd względny pomiaru, jeżeli podczas ważenia otrzymano wynik 0,1995 g, a dokładność wagi na której ważono wynosiła 0,0001 g.

1.9. Wyznacz błędy względne pomiarów, jeżeli podczas przyrządzania trzech roztworów odmierzono trzy porcje rozpuszczalnika: 1000,00 cm³, 100,00 cm³ i 10,00 cm³. Wszystkie pomiary wykonano z dokładnością do ±1,00 cm³. Który pomiar jest najbardziej dokładny?

1.10. Wyznacz błąd bezwzględny i względny oznaczenia wodorotlenku potasu w 50,00 cm³ roztworu o stężeniu 0,20 , jeżeli zamiast 0,5600 g, otrzymano 0,5621 g KOH.

1.11. Wyraź:

1. 4560 mg w gramach i kilogramach,
2. 4000 kg w tonach,
3. 5 mm w decymetrach,
4. 27 cm w milimetrach,
5. 5 km w milimetrach,
6. 300 cm³ w metrach sześciennych,
7. 358 cm³ w metrach sześciennych i decymetrach sześciennych,
8. 2 kN w niutonach,
9. 0,003 MN w kiloniutonach,
10. 9 µg w miligramach,
11. 2 h w sekundach,
12. –195,8°C w kelwinach,
13. 200 K w stopniach Celsiusza,
14. 100 w metrach na sekundę,
15. 7 w kilogramach na milimetr sześcienny,
16. 5 w gramach na decymetr sześcienny.

1.12. Wyraź następujące liczby bez użycia postaci wykładniczej:

1. 2,5 · 10–3
2. 5 · 10⁵
3. 15,26 · 10–2
4. 0,0142 · 10⁴.

1.13. Wyraź następujące wartości w postaci wykładniczej jednostek podstawowych układu SI:

1. 50 g,
2. 6400 km,
3. 10 ns,
4. 850 GW
5. 22 µg.

1.14. Wyraź następujące wartości liczbowe, stosując najmniejszą ilość zer:

1. 2 · 10⁴ m,
2. 2,6 · 10⁴ J,
3. 10–14 s,
4. 9 · 10¹¹ W,
5. 1 · 10–4 kg.

1.15. Znajdź medianę następujących zbiorów liczb:

1. 8, 3, 5, 2, 2, 1, 3, 4
2. 14, 10, 15, 18, 12, 13
3. 10, 40, 20, 30, 20, 40, 30, 40
4. 250, 200, 300, 350
5. 8, 13, 10, 14, 7
6. 39, 26, 28, 34, 31.

1.16. Na wadze analitycznej szcześciokrotnie odważono chlorek sodu i otrzymano następujące wyniki 1,20 g, 0,90 g, 1,10 g, 1,30 g, 1,25 g oraz 0,85 g. Wyznacz medianę otrzymanych wyników pomiaru.

1.17. Przeprowadzono miareczkowanie i otrzymano następujące wyniki: 16,50 cm³, 18,20 cm³, x cm³, 17,20 cm³ oraz 15,90 cm³. Wyznacz trzeci wynik miareczkowania oraz medianę, jeżeli średnia arytmetyczna pomiarów wynosi 16,74 cm³.

Pole minowe

1.18. Samochód osobowy spala 7,80 litra benzyny na 100 km. Oblicz, ile (tankując w Stanach Zjednoczonych) należy wlać galonów benzyny, aby przejechać 100 mil.

1.19. Oblicz, ile atomów radu znajduje się w 100,00 g wody morskiej, wiedząc, że w 1,00 m³ wody o gęstości 1,03 znajduje się 0,02 µg radu.

1.20. Kombajn w ciągu 8 godzin może zebrać rzepak z powierzchni 0,90 km². Rzepak daje plon 30,00 kwintali z hektara. Z 1,00 kg rzepaku można uzyskać 300,00 g oleju rzepakowego. Oblicz, ile ton oleju można uzyskać z rzepaku zebranego przez kombajn w ciągu 6 godzin pracy.

1.21. Podatek akcyzowy od alkoholu zawartego piwie wynosi 10 groszy od każdego 1,00% alkoholu w litrze piwa. Oblicz, ile podatku w złotówkach zapłaci piwowar, jeśli uwarzył 100,00 hl piwa o zawartości 5,60% alkoholu.

1.22. Statek morski płynie z prędkością 20,00 mil morskich na godzinę. Kolarz w Tour de Pologne jedzie ze średnią prędkością 36,00 . Który środek transportu i w ile sekund przejedzie odcinek o długości 1000,00 jardów.

1.23. Elektrownia produkuje w ciągu godziny 10,00 MW energii. Ulica jest oświetlona żarówkami LED w ilości 56 sztuk, każda o mocy 30,00 W. Wiedząc, że 1,00 kW energii kosztuje 52 grosze, oblicz przez jaki czas mogą świecić żarówki na ulicy, zużywając energię wyprodukowaną przez elektrownię w ciągu 1 s oraz jaki będzie koszt oświetlenia.

Odpowiedzi

POLIGON ZADAŃ

1.1. a) 3; b) 4; c) 2; d) 4; e) 6; f) 5; g) 4; h) 4; i) 4; j) 2; k) 4

1.2. a) 12,09; b) 0,10; c) 1,46; d) 8,89 · 10²; e) 3,22; f) 3,23; g) 275,36

1.3. 23,194

1.4. Bb = 0,1%; Bw = 0,45%

1.5. a) 0,3984%; b) 8,00%; c) 0,75%

1.6. 27,103 kg

1.7. BbI = 0,18%; BbII = 0,06%; BwI = 0,44%; BwII = 0,15%; średnia 40,28%; różnica 0,24

1.8. 0,05%

1.9. 0,1%; 1%, 10%; pierwszy

1.10. Bb = 0,0021 g; Bw = 0,38%

1.11. a) 4,56 g i 4,56 · 10–3 kg; b) 4 t; c) 5 · 10–2 dm; d) 270 mm; e) 5 · 10⁶ mm; f) 3 · 10–4 m³; g) 3,58 · 10–4 m³ i 0,358 dm³; h) 2000 N; i) 3 kN; j) 9 · 10–3 mg; k) 7200 s; l) 77,35 K; m) −73,15°C; n) 27,78 ; o) 7 · 10–7 ; p) 5 · 10³

1.12. a) 0,0025; b) 500 000; c) 0,1526; d) 142

1.13. a) 5 · 10–2 kg; b) 6,4 · 10⁶ m; c) 1 · 10–8 s; d) 8,5 · 10¹¹ W; e) 2,2 · 10–5 g

1.14. a) 20 km; b) 26 kJ, c) 1 · 10–2 ps; d) 0,9 TW; e) 0,1 g

1.15. a) 3; b) 13,5; c) 30; d) 275; e) 10; f) 31

1.16. 1,15 g

1.17. 15,90; mediana 16,50

POLE MINOWE

1.18. 3,32 galonów

1.19. 5,46 · 10²⁵ atomów

1.20. 60,75 ton oleju

1.21. 5600 złotych

1.22. Statek, 88,87 s

1.23. 1 h 39 min; 0,87 złotego