Przypadek? Nie sądzę... prawdopodobieństwo, niepewność kwantowa, złudzenia poznawcze - ebook

Słowo o notacji

W całej książce używana jest skrótowa notacja dla pewnych wyrażeń matematycznych. Dla dowolnych dwóch liczb oznaczonych jako _a _i _b_ iloczyn „_a _razy _b_” jest zapisywany jako _ab_ lub jako _a _× _b_ (oba zapisy są równoważne). Natomiast „_a _podzielone przez _b_” jest zapisywane jako _a_/_b_. Iloczyn „_a _pomnożonego przez siebie _b_ razy” to _ab_, czyli przykładowo 2¹⁰ oznacza 1024. Wyrażenie 2–_n_ jest synonimem ¹/₂_n_.

W kilku miejscach używany jest zapis √_a_ oznaczający „pierwiastek kwadratowy z _a_”, jak dla √25 wynosi 5.

Wszystkie „liczby większe od _a_ i mniejsze od _b_” są zapisywane jako (_a_, _b_). Jeśli „większe niż” zastąpimy przez „większe lub równe”, to zapis ma postać [_a_, _b_).

Ciąg liczb, np. 53371…, jest zwykle zapisywany jako _a_₁_a_₂_a_₃, gdzie indeksy 1, 2, 3, … oznaczają „pierwszy, drugi, trzeci i tak dalej” składnik ciągu, którego długość może być skończona lub nieskończona (jak niekończąca się tablica wszystkich parzystych liczb całkowitych).Wprowadzenie

Wszyscy pamiętamy, jak patrzyliśmy na ekran telewizora, gdzie wiele kul obracało się w bębnie maszyny losującej aż do chwili, gdy jedna z nich, z wypisanym na niej numerem, wpada do pojemnika. Hostessa na naszych oczach sięga po kulę z tajemniczym wyrazem twarzy i po chwili odczytuje szczęśliwy numer. Zwycięzca dziękuje fortunie, przez wzgląd na pamięć o rzymskiej bogini Fortunie, ślepej ofiarodawczyni szczęścia. My, widzowie, uznajemy to za zdarzenie losowe i dobrze wiemy, że w innej sytuacji kaprys Fortuny mógłby się okazać równie złośliwy jak w mrocznej opowieści Shirley Jackson zatytułowanej _Loteria_.

Słownik oksfordzki podaje, że „wynik losowy” jest wynikiem bez przewidywalnej przyczyny lub projektu, wewnętrznie nieprzewidywalnym. Ale możecie tu zaprotestować, bo czyż świat wokół nas nie jest rządzony przez prawa fizyki? Jeśli tak się dzieje, powinno być możliwe określenie położenia i prędkości poruszania się każdej kuli w maszynie losującej w dowolnej przyszłej chwili, a niepewność, która z kul zostanie wybrana, oznaczałaby po prostu, że nasz umysł nie potrafi śledzić sposobu, w jaki kule poruszają się w bębnie. Ogrom potencjalnych konfiguracji, które mogą przyjmować kule, przytłacza nasze możliwości obliczeniowe. Ale to powinno być tylko czasowym ograniczeniem: wystarczająco silny komputer powinien potrafić wykonać brutalne zadanie za nas, a wtedy losowość okaże się tylko iluzją, którą można rozproszyć. Jeśli się nad tym chwilę zastanowić, mogą pojawić się wątpliwości. Wprawdzie natura może się rządzić swoimi prawami, przyszłość jednak pozostaje wewnętrznie niepoznawalna, gdyż położenie i prędkość każdej kuli nie mogą nigdy zostać ustalone z całkowitą dokładnością.

Pierwszy rzut oka na losowość wywołuje zamęt wynikający ze skomplikowanych powiązań. Choć wiemy, że są jakieś reguły, wynik jest niepewny. Loterie i gry karciane ogólnie zalicza się do tej kategorii. Bardziej kłopotliwy jest fakt, że natura sama w sobie jest niezbyt dobrze poznana, do tego jej reguły mogą być przed nami ukryte, więc nie potrafimy określić przyczyny pewnych zjawisk lub nie możemy się w nich doszukać żadnego wzorca uporządkowania. Przykładowo, gdy coś jest wynikiem zbieżności całkiem niepowiązanych ze sobą zdarzeń, może wydawać się tak zaskakujące i dziwne, że mówimy, że to efekt działania ślepego losu. Jacques Monod w swojej książce _Chance and Necessity_ (Przypadek i konieczność) pokazuje to na przykładzie człowieka, który po odebraniu nagłego telefonu śpieszy się, idąc ulicą, w tym samym czasie, gdy robotnik pracujący na dachu przypadkowo upuszcza młotek, ten zaś uderza w głowę pechowego przechodnia. Mamy tu zdarzenie wynikające z przypadkowości i nie ma znaczenia, czy uważamy je za akt boskiej interwencji działającej zgodnie z planem przeznaczenia, czy za niezwykły wypadek. Tak czy inaczej, przyczyna, jeśli istnieje, pozostaje dla nas tajemnicą.

Losowość jest istotą życia i odgrywa ważną rolę w naszych codziennych doświadczeniach. Dlaczego ludzie tak dużo rozmawiają na temat pogody, ruchu na drodze i o rynkach finansowych? Wprawdzie niepewność może rodzić niepokój co do przyszłości, ale ostatecznie chroni nas to przed nudną powtarzalnością. Jak argumentuję w dalszych rozdziałach, przypadek powoduje szczęśliwe zdarzenia i kapryśne dowcipy, które nadają życiu smak. Dlatego ważne jest, aby rozumieć losowość poza jej anegdotycznym znaczeniem. W tym celu odwołujemy się w tej książce w bardzo umiarkowanym stopniu do matematyki – aby usunąć wiele niejasności związanych z pojęciem losowości, co pozwoli nam ująć ilościowo coś, co inaczej pozostałoby ulotne. Matematyka zapewnia także strukturę dla tego wszystkiego, co o przypadkowości mówią z różnej perspektywy psycholodzy, fizycy, statystycy, informatycy i teoretycy komunikacji.

W pierwszym rozdziale opowiadam o tym, jak już kilka stuleci temu idea niepewności została sformalizowana jako teoria przypadkowych zdarzeń, znana dziś jako teoria prawdopodobieństwa. Matematycy przyjmują, że wyborów dokonuje się ze zbioru możliwych wyników, a każde zdarzenie jest tak samo prawdopodobne, ale nieprzewidywalne. Przypadek musi się więc rządzić określonymi regułami – jak w wypadku idealnej monety lub idealnej kostki – a z tych reguł da się wyliczyć szanse. Tytuł rozdziału, _Ujarzmianie przypadku_, daje wgląd w podstawy teorii prawdopodobieństwa potrzebne do zrozumienia „prawa wielkich liczb” oraz „zwykłego prawa”, które na różne sposoby opisują zadziwiającą regularność w dużych zbiorach przypadkowych zdarzeń. Mając w ręku te pojęcia, dochodzimy do pierwszej orientacyjnej odpowiedzi na pytanie: „Czym jest losowość?”.

Dla jasności wywodu w książce wykorzystano najprostszy model następstwa zdarzeń losowych, czyli ciąg binarny (ciąg zer i jedynek). Wprawdzie może się to wydawać karykaturą losowości, stanowi jednak znakomite wprowadzenie do najbardziej fundamentalnych opracowań z dziedziny prawdopodobieństwa, jakie powstały w ciągu jej trzystuletniej historii.

Jeśli jakiś losowy mechanizm generuje ciąg, powiedzmy, dziesięciu zer i jedynek, to mamy do czynienia z 2 do potęgi 10, czyli 1024 różnymi możliwymi ciągami binarnymi. Jedna z pierwszych zagadek, jakie się tu pojawiają – przy założeniu, że każdy ciąg jest tak samo prawdopodobny – sprowadza się do tego, że zachodzi bardzo małe prawdopodobieństwo, że kolejny wygenerowany ciąg będzie się składał z samych zer, co stoi w oczywistej sprzeczności z intuicyjnym pojmowaniem losowości jako takiej. Konieczne jest więc rozróżnienie między urządzeniem, które działa w przypadkowy sposób, wyrzucając dalsze cyfry bez ładu i składu, a procesem losowym i każdą konkretną realizacją wyniku, jaką ten proces zapewnia. Można argumentować, że kaprysy przypadku dotyczą zestawu możliwości, a nie pojedynczego wyniku. Niemniej ciąg binarny taki jak na przykład 0101010101010101 może wydawać się tak uporządkowany, że będziemy zaprzeczać jego losowości, inny zaś może się wydawać zupełnie chaotyczny, jak na przykład 0011000010011011, przez co automatycznie uznamy go za losowy niezależnie od jego pochodzenia. Ostatni przykład potwierdza to, o czym wspomniałem wcześniej – zdarzenie losowe jest losowe, nawet jeśli jego przyczyna – o ile istnieje – pozostaje nieznana. W związku z tym w kolejnych rozdziałach będziemy się bardziej koncentrować nie na procesie generowania losowości, lecz na pojedynczych wynikach. Ta zmiana spojrzenia jest zgodna z najnowszą tendencją, jaką się obserwuje od kilku dekad wśród badaczy tego zagadnienia, w przeciwieństwie do bardziej tradycyjnego podejścia, które dominowało przez kilka ostatnich stuleci (jest omawiane w pierwszym rozdziale). Rozdział zamyka nowy temat w tym wydaniu – prawdopodobieństwo warunkowe, wraz z twierdzeniem Bayesa rozwiniętym w _Uwagach technicznych_.

W drugim rozdziale, _Niepewność i informacja_, wprowadzam pojęcie informacji sformułowane przez Claude’a Shannona prawie trzy czwarte wieku temu, gdyż daje nam ono dodatkowe narzędzie do omawiania losowości. Mówimy tu o bitach informacji i entropii, o nadmiarowości i kodowaniu, a to prowadzi mnie do drugiej próby odpowiedzi na pytanie: „Czym jest losowość?”. A chodzi o to, że jeśli jakiś krótszy ciąg binarny może służyć jako kod do generowania dłuższego komunikatu binarnego, ten dłuższy komunikat nie może być losowy, gdyż został skompresowany przez usunięcie pewnych nadmiarowości z oryginalnego ciągu. Jedno z zastosowań tej koncepcji dotyczy ogólnej percepcji losowości przez ludzi, która jest przedmiotem badań psychologów.

Rozdział trzeci, _Losowość o obliczach Janusa_, wprowadza ciekawy przykład sekwencji binarnej, która jest losowa w jednym kierunku, w przeciwnym zaś jest deterministyczna. Wiedza o przeszłości i niepewność w kwestii przyszłości wydaje się mieć dwie twarze z monety przedstawiającej boga Janusa, ale dokładniejsza analiza pozwala stwierdzić, że to, co wydaje się przewidywalne, jest w istocie losowością w przebraniu. Pokazuje, że dwie twarze reprezentują kompromis między obecną ignorancją i późniejszym nieuporządkowaniem. Choć mamy losowo wygenerowane ciągi, które nie wydają się losowe, to okazuje się, że te utworzone na podstawie deterministycznych reguł mogą zachowywać się losowo. Do pewnego stopnia losowość zależy od obserwatora. Samo to, że nie otrzymujecie wzorca, nie oznacza, że go nie ma. Wystarczy popatrzeć na tak zwane generatory liczb losowych, które znajdują się w wielu pakietach oprogramowania i wspierają interpretację przypadku jako efektu złożonego procesu – tak jak to się dzieje z kulami w bębnie maszyny losującej, gdy ich położenie wydaje się losowe tylko ze względu na ogólne wrażenie chaosu.

Dalsza część rozdziału zawiera krótkie omówienie wczesnego etapu dziewiętnastowiecznych badań nad termodynamiką, kiedy to pojawiły się kłopotliwe pytania dotyczące nieubłaganej tendencji systemów fizycznych do przechodzenia wraz z upływem czasu od porządku do nieładu, co stoi w wyraźnej sprzeczności z prawami fizyki, które wskazują kierunek zgoła odwrotny. Pokazuję tam, że ów dylemat jest ściśle związany z pytaniem o ciągi binarne, które pojawiają się losowo, mimo że są tworzone z wykorzystaniem ściśle określonych reguł. Rozdział zamyka – i jest to nowość w tym wydaniu – krótkie omówienie tego, jak niepewność pojawia się jako nieunikniona losowość w teorii kwantowej.

W rozdziale czwartym, _Algorytmy, informacja i przypadek_, podążam za matematykami Andriejem Kołmogorowem i Gregorym Chaitinem, którzy twierdzą, że ciąg jest losowy, jeśli jego najkrótszy opis jest otrzymywany przez wypisanie jego całości. W efekcie w ciągu nie ma wzorca, który pozwoliłby na jego kompresję. Bardziej formalnie złożoność danego ciągu cyfr definiuje się jako długość, w cyfrach binarnych, najkrótszego ciągu (tj. najkrótszego programu komputerowego zapisanego w postaci binarnej), który generuje kolejne cyfry. Ciągi o maksymalnej złożoności nazywane są losowymi, gdy do ich wygenerowania potrzebne są programy w przybliżeniu o tej samej długości co same ciągi. Wprawdzie jest to powtórzenie idei z rozdziału drugiego, tyle że teraz są one sformułowane jako algorytmy zaimplementowane na komputerach. A pytanie: „Czym jest losowość?” zyskuje całkiem nowy wymiar.

Słynne twierdzenie Gödla o niezupełności w ujęciu Alana Turinga mówi, że być może nie da się ustalić, czy „uniwersalny” komputer – konkretnie taki, który można zaprogramować do wykonania dowolnych obliczeń – kiedykolwiek się zatrzyma, jeśli otrzyma określone dane na wejściu. Chaitin zreinterpretował te brzemienne w skutki wyniki, pokazując, że każda próba decydowania o losowości dostatecznie długiego ciągu binarnego jest z góry skazana na niepowodzenie. Ten argument został powtórzony i w naszym rozdziale.

Przedostatni rozdział, _Na granicy losowości_, zawiera więcej spekulacji. Zamieściłem w nim przegląd najnowszych prac wielu badaczy, które to prace sugerują, że procesy zachodzące naturalnie wydają się pozostawać w równowadze między ścisłą organizacją, gdzie nadmiarowość bierze górę, a zmiennością, w której nie jest możliwe większe uporządkowanie. Otrzymujemy w ten sposób spojrzenie na naturę i sztukę i na świat spraw codziennych jako na coś, co rozwija się na granicy tych skrajności, umożliwia owocne współdziałanie przypadku i konieczności, pozostaje rozpięte między zaskoczeniem a tym, co nieuniknione. Na przykład przypadkowe mutacje i nieregularne naturalne zakłócenia wydają się wdzierać w bardziej uporządkowane procesy replikacji gatunków, co zapewnia ewolucji szansę na innowacje i różnorodność.

Aby ująć tę koncepcję w pewne ramy, przedstawiam pokrótce grupę wybranych zjawisk naturalnych, w których w różnej skali da się dostrzec podobne wzorce. Realizują one coś, co określamy jako „prawa siły”, i opisują procesy, w których występuje duża częstotliwość niewielkich zdarzeń przeplatanych niewieloma wystąpieniami o dużej skali. Przypomina to porządek występujący w przypadkowych zdarzeniach w dużej skali, co jest omawiane w pierwszym rozdziale. Jednak teraz wynik przewidywania jakiegokolwiek pojedynczego wystąpienia pozostaje nieodgadniony, gdyż jest on zależny od historii procesu. Nacisk na prawa siły jest nowością w tym wydaniu.

Ostatni rozdział, _Oszukani przez przypadek_, zawiera ciekawe zagadki i zaskakujące wnioski, które się wyłaniają w nieoczekiwany sposób z przypadku, uwypuklając konsekwencje losowości w życiu codziennym, często sprzeczne z intuicją. Do tej pory nie było na to miejsca, ale w końcu takie urozmaicenie wydało mi się potrzebne. W rozdziale opisano też potężne narzędzie matematyczne, rozkład Poissona, aby zapewnić świeży wgląd w działanie przypadku. Cała ta część stanowi dodatek do drugiego wydania.

Książka ma prowokować, bawić oraz informować, podważając dotychczasowe wyobrażenia czytelnika na temat losowości, podsuwając coraz to nowe interpretacje tego, czym jest ta ulotna idea. Strona za stroną poruszam różne wątki i pokazuję, jaki wkład miały matematyka, inżynieria komunikacyjna, informatyka, filozofia, fizyka i psychologia w wyjaśnianie różnych aspektów tej samej idei.

Treści zawarte w niniejszej publikacji powinny być zrozumiałe i przystępne dla każdego, kto choćby liznął trochę matematyki w szkole średniej i _nie jest do tego wymagana_ znajomość rachunku różniczkowego i całkowego. Podaję proste przykłady liczbowe, zakodowane w Matlabie, aby zilustrować różne procesy iteracyjne i ciągi binarne, które się w nich pojawiają. Trzy dodatki przynoszą garść podstawowych informacji dotyczących reprezentacji binarnej i logarytmów, co tu i tam może być potrzebne, ale teorię jako taką ograniczam do minimum. Wprawdzie staram się uzasadnić większość stwierdzeń natury matematycznej, jednak kilka z nich pozostawiam bez dowodów, gdyż nie pozostają one w ścisłym związku z omawianym zagadnieniem i ich wyprowadzenie mogłoby nas odciągnąć od głównego tematu. Można spokojnie pominąć szczegóły – najważniejsze informacje i tak zebrano w _Uwagach technicznych_ zamieszczonych na końcu.

To drugie wydanie książki, które stanowi jej poprawioną wersję. Pewne treści zostały z niego usunięte jako niezbyt zajmujące, za to wprowadzono też całkiem świeże tematy.

I jeszcze jedna uwaga – chciałbym podkreślić, że nie omawiam tutaj konkretnych dwudziestowiecznych podejść do pojęcia losowości związanych z takimi postaciami, jak Per Martin-Löf, Bruno De Finetti czy Richard von Mises, gdyż przedstawiają one sobą dużo wyższy stopień trudności. Zresztą owe koncepcje w taki czy inny sposób będą się tutaj przewijać. Wszystkich zainteresowanych bardziej szczegółowymi informacjami odsyłam do zamieszczonej na końcu książki bibliografii (_Źródła i dalsze lektury_).

Edward Beltrami

Setauket, NY, USAPodziękowania

Ta książka powstała na podstawie wielu źródeł i idei związanych z pojawianiem się przypadku w życiu codziennym. Jej kształt zaczął się wyłaniać w mojej głowie kilka lat temu, gdy zapoznałem się z artykułem statystyka M. Bartletta, który doprowadził mnie do zagadki Janusa, omawianej w rozdziałach 3 i 4.

Drugie wydanie tej książki wiele skorzystało na błyskawicznej, rzetelnej i niezawodnej pomocy przy pracy nad manuskryptem ze strony mojego wydawcy w Springer Nature, dr Loretty Bartolini. Od samego początku entuzjastycznie podeszła ona do tego projektu i zapewniła mi niezbędne wsparcie techniczne, dzięki czemu udało się przezwyciężyć szereg trudności podczas procesu redakcji. Wielkie podziękowania kieruję pod adresem Loretty i jej współpracownika, Chrisa Edera.

Chcę także wyrazić podziękowanie dla Jonathana Cobba, byłego głównego wydawcy Copernicus Books w Springer-Verlag w Nowym Jorku, oraz dr. Davida Kramera za szczegółowe komentarze do pierwszego wydania. Wyrazy wdzięczności niech przyjmą również Alexis Beltrami, świetnie wykształcony laik, za jego krytyczne uwagi do przedostatniego rozdziału, oraz profesor Hondshik Ahn z uniwersytetu stanowego w Stony Brook za krytyczną ocenę pierwszego rozdziału.ROZDZIAŁ

1

UJARZMIANIE PRZYPADKU

_Spytano wyrocznię o tajemniczy związek między dwoma przedmiotami tak odmiennymi jak dywan i miasto._ _Od dawna już wróżbici żywili pewność, że harmonijny wzór dywanu jest dziełem bogów_ _._ _Ale równie dobrze możesz wysnuć stąd odwrotny wniosek: że prawdziwą mapą wszechświata jest miasto Eudoksja w swojej rzeczywistej postaci, bezkształtnie rozlewająca się plama, z krzywymi ulicami, z domami, które walą się jeden na drugi wśród kłębów kurzu, z pożarami, z wrzaskami w ciemności._

Italo Calvino, _Niewidzialne miasta_¹

_Brzmi to niewiarygodnie, ale nikt dotychczas nie podjął się pracy nad ogólną teorią gry. Babilończyk rzadko oddaje się abstrakcji. Przyjmuje nakazy losu, oddaje mu życie, nadzieję, paniczną trwogę, ale nie przyjdzie mu na myśl dociekać jego labiryntowych praw ani badać obrotów kul, które go objawiają. Mimo to, oświadczenie, o którym wspomniałem, spowodowało wiele dyskusji o charakterze prawno-matematycznym. Z jednej z nich wzięło początek następujące przypuszczenie: jeżeli loteria jest wzmożeniem przypadku, systematycznym sączeniem chaosu w porządek świata, czy nie byłoby pożądane, aby traf uczestniczył we wszystkich etapach losowania, nie zaś tylko w jednym? Czy nie jest rzeczą śmieszną, że traf decyduje o czyjejś śmierci, a okoliczności tej śmierci – skrytość, jawność, moment kiedy ma ona nastąpić – za godzinę czy za sto lat – nie są poddane trafowi?_

Jorge Luis Borges, _Loteria w Babilonie_²

OD NIEPRZEWIDYWALNEGO DO ZGODNEGO Z REGUŁAMI

W owianych tajemnicą prapoczątkach starożytnej historii idea przypadku była związana z przeznaczeniem. Co zostało zapisane, miało się wydarzyć. Przypadek był personifikowany, przynajmniej w Cesarstwie Rzymskim, przez boginię Fortunę, która rządziła jako władczyni cynizmu i nieprzewidywalności. Jak ujął to w swoim studium bóstw rzymskich Howard Patch, „dla ludzi, którzy czuli, że życie jest niesprawiedliwe, a to, co odległe, jest w najlepszym wypadku wątpliwe, i jedyne, co można zrobić, to przyjąć wszystko, co przyniesie los, Fortuna reprezentowała użyteczne, a czasami nonszalanckie podsumowanie naturalnego biegu rzeczy”³.

Aby obalić samowolę Fortuny, należałoby przeniknąć jej boskie intencje, próbując symulować jej własny sposób zachowania. Można by to osiągnąć, angażując się w grę losową w nadziei, że jej wyniki pokażą to, co wybrałaby sama Fortuna. Są dowody na to, że w kulturach przedchrześcijańskich w akwenie Morza Śródziemnego rzucano kości z pięt zwierząt, nazywanych _tali_, co w efekcie przekształciło się w grę w kości. Gdy spośród wielu możliwych wyników losowanie wskazywało jeden z nich, można to było interpretować jako omeny i znaki i na tej podstawie decydować, jakie działania podjąć. Na przykład Juliusz Cezar ponoć rozstrzygnął, czy ma przekroczyć Rubikon i ruszyć na Rzym, rzucając kości i wołając: „Alea iacta est!”, kości zostały rzucone. Podobnie się dzieje, gdy ludzie ciągną losy, aby zdecydować, kto będzie w jakiejś sprawie pierwszy lub ostatni. Kwintesencją tego podejścia jest rzut monetą, aby przypadek zdecydował o naszym kolejnym ruchu.

Interpretacja omenów była próbą ich odszyfrowania, znalezienia wzoru wśród na pozór niespójnych znaków, przez ich odkodowanie i ujęcie w postaci zwięzłego i spójnego proroctwa albo może jako zbioru instrukcji, które miały prowadzić tego, który o nie błagał. Tak postrzegane wróżbiarstwo jest prekursorem korzystania z teorii kodowania informacji i kompresji komunikatów w teorii złożoności algorytmów, o których jeszcze nieraz będzie mowa w dalszych częściach tej książki.