MENU
Nasze ceny
Radość z abstrakcji. O matematyce, teorii kategorii i... życiu - ebook
Radość z abstrakcji. O matematyce, teorii kategorii i... życiu - ebook
Matematyka nie ma najlepszej opinii. Niektórzy wręcz jej nienawidzą, wielu narzeka na jej nieprzydatność. Inni twierdzą, że jest sztywna, nietwórcza, nieciekawa i trudna, a także że nie ma nic wspólnego z prawdziwym życiem i przydaje się jedynie naukowcom i inżynierom. Nic bardziej mylnego! Matematyka, a szczególnie matematyka abstrakcyjna, jest nie tylko dziedziną nauki, ale i efektywnym sposobem myślenia. Koncentruje uwagę na tym, co istotne, a to z kolei pozwala dotrzeć do sedna. Jest przydatna w wielu praktycznych kwestiach, którymi każdy z nas zajmuje się na co dzień.
Ta książka stanowi twardy dowód, że matematyka jest elastyczna, kreatywna i radosna. Potraktuj ją jako fascynującą podróż przez świat matematyki abstrakcyjnej do teorii kategorii. Przekonaj się, że bez formalnej wiedzy w tej dziedzinie możesz rozwinąć umiejętność matematycznego myślenia. Abstrakcyjne idee matematyczne pomogą Ci inaczej spojrzeć na aktualne wydarzenia, kwestie sprawiedliwości społecznej i przywilejów społecznych czy nawet na COVID-19. Najpierw poznasz idee i zasady matematyki abstrakcyjnej, aby stopniowo przechodzić do bardziej technicznych zagadnień i istoty teorii kategorii. Omówienie jej najważniejszych elementów, takich jak transformacje naturalne i dualność, znajdziesz w ostatniej części książki, gdzie zawarto także wyniki bieżących badań nad wielowymiarową teorią kategorii.
Przekonaj się, jak piękna i fascynująca jest królowa nauk!
Spis treści
Prolog
- Status matematyki
- Dziedziny tradycyjnej matematyki
- Metody tradycyjnej matematyki
- Zawartość tej książki
- Dla kogo jest ta książka
Część I. W stronę kategorii
- 1. Kategorie - idea
- 1.1. Abstrakcja i analogie
- 1.2. Połączenia i unifikacja
- 1.3. Kontekst
- 1.4. Relacje
- 1.5. Bycie tym samym
- 1.6. Charakteryzowanie rzeczy według roli, jaką pełnią
- 1.7. Przybliżanie i oddalanie
- 1.8. Ramy i techniki
- 2. Abstrakcja
- 2.1. Czym jest matematyka?
- 2.2. Logika i abstrakcja - bliźniacze dyscypliny
- 2.3. Zapominanie szczegółów
- 2.4. Zalety i wady
- 2.5. Przekładanie analogii na rzeczywistość
- 2.6. Różne abstrakcje tej samej rzeczy
- 2.7. Abstrakcyjna podróż przez poziomy matematyki
- 3. Wzorce
- 3.1. Matematyka jako wykrywanie wzorców
- 3.2. Wzory jako analogie
- 3.3. Wzory jako oznaki struktury
- 3.4. Struktura abstrakcyjna jako rodzaj wzoru
- 3.5. Abstrakcja pomaga nam dostrzegać wzorce
- 4. Kontekst
- 4.1. Odległość
- 4.2. Światy liczb
- 4.3. Świat zerowy
- 5. Relacje
- 5.1. Relacje rodzinne
- 5.2. Symetria
- 5.3. Arytmetyka
- 5.4 Arytmetyka modularna
- 5.5. Czworokąty
- 5.6. Kraty czynników
- 6. Formalizmy
- 6.1. Rodzaje turystów
- 6.2. Dlaczego wyrażamy rzeczy w sposób formalny
- 6.3. Przykład: przestrzenie metryczne
- 6.4. Podstawy logiki
- 6.5. Przykład: arytmetyka modularna
- 6.6. Przykład: kraty czynników
- 7. Relacje równoważności
- 7.1. Badanie równości
- 7.2. Idea relacji abstrakcyjnych
- 7.3. Zwrotność
- 7.4. Symetria
- 7.5. Przechodniość
- 7.6. Relacje równoważności
- 7.7. Przykłady z matematyki
- 7.8. Ciekawe porażki
- 8. Kategorie - definicja
- 8.1. Dane - obiekty i relacje
- 8.2. Struktura - co możemy zrobić z danymi
- 8.3. Własności - wymagania dotyczące konstrukcji
- 8.4. Formalna definicja kategorii
- 8.5. Problem rozmiaru
- 8.6. Geometria łączności
- 8.7. Rysowanie przydatnych diagramów
- 8.8. Cel kompozycji
Interludium. Wycieczka po świecie matematyki
- 9. Przykłady, które już pokazałam, ale nie wprost
- 9.1. Symetria
- 9.2. Relacje równoważności
- 9.3. Czynniki pierwsze
- 9.4. Systemy liczbowe
- 10. Zbiory uporządkowane
- 10.1. Zbiór uporządkowany liniowo
- 10.2. Zbiory częściowo uporządkowane
- 11. Małe struktury matematyczne
- 11.1. Małe, możliwe do narysowania przykłady
- 11.2. Monoidy
- 11.3. Grupy
- 11.4. Punkty i ścieżki
- 12. Zbiory i funkcje
- 12.1. Funkcje
- 12.2. Struktura - identyczności i kompozycja
- 12.3. Własności - prawa jednostkowe i łączność
- 12.4. Kategoria zbiorów i funkcji
- 13. Duże światy struktur matematycznych
- 13.1. Monoidy
- 13.2. Grupy
- 13.3. Zbiory częściowo uporządkowane
- 13.4. Przestrzenie topologiczne
- 13.5. Kategorie
- 13.6. Macierze
Część II. Uprawianie teorii kategorii
- 14. Izomorfizmy
- 14.1. Bycie tym samym
- 14.2. Odwracalność
- 14.3. Izomorfizmy w kategorii
- 14.4. Traktowanie obiektów izomorficznych jako takich samych
- 14.5. Izomorfizmy zbiorów
- 14.6. Izomorfizmy dużych struktur
- 14.7. Inne zagadnienia dotyczące izomorfizmów
- 15. Moniki i epiki
- 15.1. Asymetria funkcji
- 15.2. Iniekcje i surjekcje
- 15.3. Moniki - kategorialne iniekcje
- 15.4. Epiki - kategorialne surjekcje
- 15.5. Związki z izomorfizmami
- 15.6. Monoidy
- 15.7. Inne zagadnienia
- 16. Własności uniwersalne
- 16.1. Rola a charakter
- 16.2. Skrajności
- 16.3. Definicja formalna
- 16.4. Unikalność
- 16.5. Obiekty końcowe
- 16.6. Sposoby na porażkę
- 16.7. Przykłady
- 16.8. Kontekst
- 16.9. Inne zagadnienia
- 17. Dualność
- 17.1. Obracanie strzałek
- 17.2. Kategoria dualna
- 17.3. Moniki i epiki
- 17.4. Obiekty początkowe i końcowe
- 17.5. Alternatywna definicja kategorii
- 18. Produkty i koprodukty
- 18.1. Idea produktów w kategorii
- 18.2. Definicja formalna
- 18.3. Produkty jako obiekty końcowe
- 18.4. Produkty w Set
- 18.5. Unikalność produktów w Set
- 18.6. Produkty w kategorii zbiorów częściowo uporządkowanych
- 18.7. Kategoria zbiorów częściowo uporządkowanych
- 18.8. Monoidy i grupy
- 18.9. Niektóre kluczowe morfizmy indukowane przez produkty
- 18.10. Dualność - koprodukty
- 18.11. Koprodukty w Set
- 18.12. Dekategoryfikacja - związki z arytmetyką
- 18.13. Koprodukty w innych kategoriach
- 18.14. Inne zagadnienia
- 19. Pullbacki i pushouty
- 19.1. Pullbacki
- 19.2. Pullbacki w Set
- 19.3. Pullbacki jako obiekty końcowe w jakiejś kategorii
- 19.4. Przykład: definiowanie kategorii za pomocą pullbacków
- 19.5. Pojęcie dualne - pushout
- 19.6. Pushouty w Set
- 19.7. Pushouty w topologii
- 19.8. Inne zagadnienia
- 20. Funktory
- 20.1. Tworzenie definicji
- 20.2. Funktory pomiędzy małymi przykładami
- 20.3. Funktory z małych, możliwych do narysowania kategorii
- 20.4. Funktory wolne i zapominania
- 20.5. Zachowanie i odzwierciedlanie struktury
- 20.6. Inne zagadnienia
- 21. Kategorie kategorii
- 21.1. Kategoria Cat
- 21.2. Kategorie końcowe i początkowe
- 21.3. Produkty i koprodukty kategorii
- 21.4. Izomorfizmy kategorii
- 21.5. Funktory pełne oraz wierne
- 22. Transformacje naturalne
- 22.1. Definicja na podstawie naszych intuicji
- 22.2. Uwaga na temat homotopii
- 22.3. Kształt
- 22.4. Kategorie funktorów
- 22.5. Diagramy i stożki nad diagramami
- 22.6. Izomorfizmy naturalne
- 22.7. Równoważność kategorii
- 22.8. Przykłady równoważności dużych kategorii
- 22.9. Kompozycja pozioma
- 22.10. Wymienność
- 22.11. Połączenie tego wszystkiego w jedną całość
- 23. Yoneda
- 23.1. Radość z Yonedy
- 23.2. Ponowne spojrzenie na bycie tym samym
- 23.3. Funktory reprezentowalne
- 23.4. Osadzenie Yonedy
- 23.5. Lemat Yonedy
- 23.6. Inne zagadnienia
- 24. Wyższe wymiary
- 24.1. Dlaczego wyższe wymiary?
- 24.2. Bezpośrednia definicja 2-kategorii
- 24.3. Powtórne spojrzenie na homsety
- 24.4. Od grafów bazowych do 2-grafów
- 24.5. Kategorie monoidalne
- 24.6. Ścisłość kontra słabość
- 24.7. Spójność
- 24.8. Degeneracja
- 24.9. n i nieskończoność
- 24.10. Morał z tej historii
- Epilog. Myślenie kategorialne
Dodatki
- Dodatek A. Alfabety
- Dodatek B. Podstawy logiki
- Dodatek C. Podstawy teorii mnogości
- Dodatek D. Podstawy przestrzeni topologicznych
Słowniczek
Literatura
Podziękowania
| Kategoria: | Matematyka |
| Zabezpieczenie: |
Watermark
|
| ISBN: | 978-83-8322-959-1 |
| Rozmiar pliku: | 90 MB |
