Teoria sterowania - ebook

Wstęp

Prezentowany podręcznik powstał na podstawie doświadczeń zebranych w czasie prowadzenia wykładów dla studentów kierunku automatyka i robotyka Wydziału Elektrotechniki, Elektroniki, Informatyki Politechniki Łódzkiej.

Automatyka to szczególna dziedzina wiedzy. Nauka, której wyjątkowość polega na uniwersalności zastosowań, interdyscyplinarności i unikalnym połączeniu zawansowanej teorii z praktyką. Studiowanie automatyki daje studentom szczególne możliwości rozwoju i czyni z nich wyjątkowych inżynierów. Nie tylko będą dobrze wykształconymi specjalistami w zakresie wybranych technologii elektronicznych czy informatycznych, ale zdobędą specyficzną umiejętność analizowania różnorodnych problemów, generalizacji i algorytmicznego poszukiwania rozwiązania. Podstawą tej umiejętności jest teoria modelowania i sterowania i jej poświęcona jest ta książka.

Uważam, że szczególną rolę w nauczaniu automatyki i teorii sterowania odgrywają pewne „kamienie milowe”, które należy konsekwentnie objaśniać i którym jest podporządkowana także ta książka. Najważniejsze spróbuję wymienić poniżej.

Model a rzeczywistość

Problem sterowania rodzi się w świecie realnym. Złożonej rzeczywistości ani nie jesteśmy w stanie opisać w każdym szczególe, ani taki opis nie byłby użyteczny do rozwiązania problemu. Posługujemy się więc uproszczonym modelem, który pozwala znaleźć rozwiązanie techniczne aplikowalne z dobrym skutkiem w rzeczywistym świecie, za pomocą rzeczywistych urządzeń. Ta świadomość, że sterowanie modelem w wirtualnym świecie nie jest tym samym co rzeczywisty układ sterowania istniejącym fizycznie obiektem, powinna towarzyszyć automatykowi na każdym etapie projektowania układu sterowania. Jednocześnie nie może zabraknąć mu odwagi do wykorzystania nawet daleko idących uproszczeń do skutecznego rozwiązania problemu. Choć specjalne obszary teorii sterowania odpornego poświęcone konsekwencjom niedokładności modelu nie mieszczą się w zakresie tej książki, _to kwestia odporności układu sterowania i świadomość, że bazujemy na uproszczonej informacji, powinny być zawsze w centrum uwagi wykładowcy i studenta_.

Teoria i praktyka projektowania układów regulacji

Automatyka jest nauką uniwersalną, a teoria sterowania jej interdyscyplinarnym językiem – pozwala oderwać się od fizycznej natury problemu i opracować metody sterowania równie skuteczne w układach elektrycznych, mechanicznych, inżynierii chemicznej, ekonomii, biologii czy w jakichkolwiek innych zastosowaniach. Teoria liniowych układów dynamicznych, którym jest poświęcona ta książka, ma szczególną moc generowania skutecznych rozwiązań problemów pojawiających się w różnych, pozornie niezwiązanych ze sobą zastosowaniach. Z tego punktu widzenia jest jedną z najbardziej praktycznych teorii w naukach technicznych. Choć abstrakcyjny świat liniowych układów dynamicznych jest złożony i fascynujący sam w sobie, to jednak – zwłaszcza na uczelniach technicznych – wykład teorii sterowania powinien być drogą do skutecznego projektowania układów sterowania ze świadomością ich praktycznej realizacji. Takie podejście przedstawiono w tej książce. _Studenci nabywają umiejętności projektowania układów sterowania za pomocą metod częstotliwościowych i metod zmiennych stanu, w różnych konfiguracjach obiektów i regulatorów ciągłych i dyskretnych._ Oczywiście umiejętności te należy doskonalić w laboratoriach i przy realizacji projektów.

Dynamika układów ciągłych i dyskretnych

Światy układów analogowych (z czasem ciągłym) i cyfrowych (z czasem dyskretnym) są powiązane w tym sensie, że metody opisu i projektowania są symetryczne, a czasem jednakowe w obu klasach układów. Dlatego _wykład dynamiki i sterowania w układach ciągłych i dyskretnych przeplata się w tej książce, aby przez wskazanie i podkreślenie tych symetrii i podobieństw ułatwić zrozumienie i zapamiętanie._ Dla szczególnego podkreślenia tej symetrii zastosowano taki sam układ treści w rozdziałach opisujących układy ciągłe i dyskretne, a czasem nawet te same zwroty i sformułowania.

„Klasyczna” i „nowoczesna” teoria sterowania

Długo funkcjonował w teorii sterowania podział na metody „klasyczne” – korzystające z opisu częstotliwościowego i „nowoczesne” – operujące językiem zmiennych stanu. Dziś ta dychotomia wydaje się sztuczna i w książce te dwa sposoby opisu dynamiki i projektowania układów sterowania przeplatają się, by porównać ich wady i zalety i pokazać możliwość ich wymiennego stosowania. Metody zmiennych stanu pozwalają na naturalne uogólnienia do układów wielowymiarowych i nieliniowych. Te same techniki można stosować do układów ciągłych i dyskretnych. _Dla tych zalet metody zmiennych stanu powinny być eksponowane w kursie automatyki i szeroko stosowane w projektowaniu układów regulacji._

Struktura układu regulacji

Struktura układu sterowania, a raczej struktura przetwarzania informacji w układzie, zawsze jest istotnym czynnikiem i wymaga uwagi. W tej książce wielokrotnie dokonujemy _porównania właściwości układów otwartych i ze sprzężeniem zwrotnym, rekomendujemy też struktury mieszane: ze sprzężeniem zwrotnym_ _i forsującym składnikiem sterowania._

Układ książki

Zakres wiedzy przedstawiony w książce jest klasyczny i długo pozostanie aktualny. Jest to swoisty kanon wykształcenia automatyka, powszechnie akceptowany na świecie. Nie znaczy to jednak, że nie są tu wspomniane nowe tematy, torujące sobie skutecznie drogę we współczesnej praktyce projektowania układów sterowania. Czytelnik spotka tu wzmianki o układach ułamkowego rzędu, równaniach diofantycznych, liniowych nierównościach macierzowych, o sterowaniu odpornym i optymalnym. Ta książka to zaledwie podstawa i punkt startowy do podróży przez różnorodne krainy teorii sterowania układami dynamicznymi.

Pierwsza część książki (rozdz. 1–5) dotyczy modelowania układów automatyki i obiektów sterowania za pomocą liniowych modeli dynamicznych z czasem ciągłym albo dyskretnym, z wykorzystaniem zmiennych stanu, transmitancji, równań różniczkowych lub różnicowych. Inaczej niż w tradycyjnym ujęciu punktem wyjścia są tu równania stanu. Sporo uwagi poświecono analizie modalnej jako źródłu podstawowej, syntetycznej informacji o właściwościach układu. Wywód dotyczy modeli ciągłych i dyskretnych. Podsumowaniem tej części jest analiza modeli drugiego rzędu zarówno z diagonalizowalną, jak i niediagonalizowalną macierzą stanu.

W części drugiej (rozdz. 6–12) są przedstawione metody projektowania układów sterowania wykorzystujące liniowy model obiektu. Kolejno opisano wymagania stawiane układom sterowania (rozdz. 6), projektowanie metodami częstotliwościowymi dla układów ciągłych (rozdz. 7) i dyskretnych (rozdz. 8). Sporo uwagi poświęcono obiektom nieminimalnofazowym, które stwarzają szczególne trudności w układach sterowania, nowym i nietypowym metodom doboru regulatorów i układom sterowania ze składnikiem forsującym.

W rozdziałach 9 i 10 powrócono do analizy właściwości liniowych modeli w przestrzeni stanów w kontekście sterowalności i obserwowalności układu. Choć to właściwości modelu, to są tak silnie związane z projektowaniem sterowania, że umieszczono je w tej części. Techniki projektowania układu sterowania wykorzystujące dostępność zmiennych stanu przedstawiono w rozdziale 11. Omówiono kilka metod wyznaczania współczynników wzmocnienia zapewniających odpowiednie właściwości układu sterowania w zadaniu stabilizacji i regulacji.

W rozdziale 12 opisano wykorzystanie obserwatorów do skutecznego projektowania układu sterowania, gdy tylko wyjścia są dostępne. Omówiono nie tylko metody projektowania i wykorzystania obserwatora, ale także właściwości częstotliwościowe zaprojektowanych w ten sposób układów sterowania i powrócono do układów ze składnikiem forsującym. Wszystkie te techniki zastosowano równolegle do układów ciągłych i dyskretnych, w tym ostatnim przypadku ze szczególnym uwzględnieniem sterowań zapewniających zanikanie przebiegów przejściowych w skończonej liczbie okresów próbkowania.

W książce umieszczono wiele przykładów ilustrujących właściwości układów i pomagających udoskonalić umiejętności studentów. Współczesny podręcznik teorii sterowania nie może się nie odwoływać do oprogramowania ułatwiającego projektowanie, zawsze jednak trzeba kontrolować efekt użycia gotowych procedur, i to też pokazano w przedstawionych przykładach. Podstawowym narzędziem wykorzystywanym w książce jest Matlab. Liczne podręczniki pozwalają na opanowanie tego środowiska i studenci rozpoczynający naukę przedmiotów związanych z teorią sterowania zwykle już się nim posługują. W książce odwołano się do kilku procedur, jednak umiejętność programowania w Matlabie nie jest konieczna do zrozumienia przedstawionego tu wywodu.

Mam nadzieję, że jest to przyjazny i kompletny wykład przedstawianego zakresu wiedzy, dlatego bibliografię ograniczono do pozycji książkowych, a w koniecznych przypadkach podano źródło w przypisie na dole strony. By nie przerywać głównego wątku narracji, wyróżniono tylko niektóre twierdzenia i definicje, a dowody, wyprowadzenia, dodatkowe przykłady umieszczono oddzielnie, w ramkach. Dla wygody czytelnika w czterech dodatkach zebrano podstawowe i potrzebne informacje z analizy matematycznej, algebry, rachunku operatorowego, elementarnych (ciągłych i dyskretnych) układów automatyki. Czasem są to dość zawansowane narzędzia, jak na przykład elementy teorii dystrybucji, które zostały przybliżone w prosty, choć może nieco heurystyczny sposób.

Książka jest przeznaczona dla studentów automatyki, robotyki, mechatroniki i wszystkich kierunków pokrewnych. Przedstawiony w niej materiał jest realizowany w ciągu dwóch semestrów. Jest adresowana do studentów pierwszego stopnia nauczania, ale mogą z niej również skorzystać bardziej zawansowani.

Jako długoletni nauczyciel akademicki mogę zapewnić, że studiowanie automatyki rozwija inteligencję, uczy interdyscyplinarnego porozumienia, pobudza ciekawość świata i kreatywność, wpaja konieczność ciągłego poszukiwania wiedzy. Do tego zachęcam i tego życzę czytelnikom.

Serdecznie dziękuję wszystkim, którzy przyczynili się do powstania tej książki, przede wszystkim Kolegom z Instytutu Automatyki PŁ i Studentom kolejnych roczników.

_Jacek Kabziński_

Łódź, sierpień 2020 r.1

Liniowe modele układów dynamicznych – wprowadzenie

1.1. SYSTEMY I SYGNAŁY

1.2. MODELOWANIE SYSTEMÓW

1.3. LINEARYZACJA – METODY I PRZYKŁADY

1.1. Systemy i sygnały

Automatyka jest nauką, która dąży do uogólnień i opracowania metod pozwalających na rozwiązanie różnorodnych problemów, nie tylko inżynierskich, niezależnie od ich specyficznej natury. Tworzy język pozwalający na opisanie rzeczywistego świata na odpowiednim poziomie ogólności.

Podstawowym pojęciem tego języka jest SYSTEM lub UKŁAD (od greckiego σύστημα – _systema_ – rzecz złożona) rozumiany, zgodnie z definicją Mariana Mazura¹, jako zbiór elementów i zachodzących między nimi relacji. Elementami mogą być inne systemy (podsystemy/podukłady), a relacje polegają na wymianie informacji między elementami systemu i między systemem a światem zewnętrznym.

Nośnikiem tej informacji jest SYGNAŁ rozumiany jako model dowolnej (mierzalnej lub nie) wielkości zmieniającej się w czasie. Sygnał może być opisany za pomocą aparatu matematycznego, na przykład przez podanie reprezentującej go funkcji zależnej od czasu lub podanie ciągu wartości. Sygnał opisuje często wielkość fizyczną – na przykład napięcie, prąd, prędkość, siłę. Dla automatyka znaczenie ma przede wszystkim informacja zawarta w sygnale, a dopiero w drugiej kolejności jego skutki energetyczne, czyli wykonana praca, moc itp.

Sygnały oddziałujące na system z otoczenia nazywamy wejściowymi, a generowane przez system i oddziałujące na otoczenie (choćby tylko mierzone) wyjściowymi.

Sygnały wejściowe możemy podzielić na takie, które możemy kształtować (być może z pewnymi ograniczeniami) i te nazywamy sygnałami sterującymi (STEROWANIAMI), oraz na takie, na które nie mamy wpływu – ZAKŁÓCENIA.

Szczególnym sygnałem, który też może mieć wpływ na system, jest czas.

System możemy rozumieć jako odwzorowanie sygnałów wejściowych na wyjściowe.

Niekiedy automatyk buduje cały system i projektuje jego sterowanie. Częściej, dla zastanej części systemu, nazywanej OBIEKTEM STEROWANIA, automatyk projektuje drugą część nazywaną STEROWNIKIEM lub REGULATOREM, lub układem sterującym. Całość, tzn. obiekt i układ sterujący, nazywamy UKŁADEM STEROWANIA. Ten proces projektowania sterownika i całego układu sterowania wykorzystuje (w większym lub mniejszym stopniu) model formalny obiektu. Otrzymany w efekcie układ sterowania jest też opisany przez odpowiedni model, którego właściwości można analizować i doskonalić.

W przypadku układu sterowania „STEROWANIAMI” nazywamy najczęściej sygnały sterujące obiektu, generowane przez sterownik, a sygnałami wejściowymi dla całego układu są sygnały „zadające” – reprezentujące cele sterowania, na przykład pożądane wartości wyjść (rys. 1.1). Mierzalne sygnały obiektu, najczęściej wykorzystywane do wyznaczenia sygnałów sterujących w sterowniku, można nazwać SYGNAŁAMI POMIAROWYMI.

RYS. 1.1. Sterowanie systemem (a) i struktura układu sterowania (b)

1.2. Modelowanie systemów

Spośród wielu możliwych klas systemów zajmiemy się modelowaniem DETERMINISTYCZNYCH SYSTEMÓW DYNAMICZNYCH, czyli takich, w których sygnały zmieniają się w czasie i na skutek wzajemnych powiązań, a ich przebieg jest jednoznacznie określony przez ich warunki początkowe i przebieg sygnałów wejściowych.

Czas, o którym mowa w definicji systemu dynamicznego, może być traktowany jak odpowiednik czasu fizycznego, a sygnały systemu jak wielkości analogowe, określone dla każdej wartości (chwili) czasu. Takie układy dynamiczne są nazywane UKŁADAMI CIĄGŁYMI (z czasem ciągłym).

Jeżeli wartości sygnałów w systemie są określone tylko dla skwantowanych, najczęściej równoodległych o okres próbkowania _T_, chwil czasu, to taki układ jest nazywany UKŁADEM DYSKRETNYM (z czasem dyskretnym).

Jeżeli czas jest jedyną zmienną niezależną w układzie, to układ nazywamy UKŁADEM O PARAMETRACH SKUPIONYCH. Jeżeli do opisu systemu jest konieczna dodatkowa zmienna niezależna, na przykład położenie, to układ jest UKŁADEM DYNAMICZNYM O PARAMETRACH ROZŁOŻONYCH. Taki charakter mają na przykład zjawiska polowe: pole cieplne, elektryczne itp.

Deterministyczne układy dynamiczne o parametrach skupionych, z czasem ciągłym, można opisać skończonym układem równań różniczkowych zwyczajnych, a z czasem dyskretnym – skończonym układem równań różnicowych. Jeżeli parametry tych równań są stałe w czasie, to system nazywamy STACJONARNYM, a jeśli są to równania liniowe, to LINIOWYM systemem dynamicznym. Właśnie właściwościom takich układów zostaną poświęcone kolejne rozdziały.

Zadaniem modelowania systemu nie jest kompletne objaśnienie wszystkich zachodzących w nim zjawisk, ale uzyskanie opisu, który pozwoli skutecznie zaprojektować sterowanie. Bez trudu można podać przykłady właściwych decyzji sterujących podejmowanych na podstawie bardzo uproszczonej wiedzy o sterowanym systemie. Odpowiednio dobrany model powinien zapewnić kompromis między różnymi jego aspektami i właściwościami.

Jeżeli wybierzemy model złożony, to będzie on miał większe możliwości dokładnego odwzorowania zjawisk zachodzących w układzie. Będzie to jednak model skomplikowany, o wielu parametrach, które trudno będzie zidentyfikować. Sterowanie wyprowadzone na podstawie takiego modelu też będzie skomplikowane, trudne do wyprowadzenia i realizacji. Układ sterowania będzie również wrażliwy na błędy w przyjętych wartościach parametrów modelu, które są nieuniknione.

Jeżeli wybierzemy prosty model, to jego opis i identyfikacja jego parametrów będą łatwiejsze. Wygodniej będzie wyprowadzić algorytm sterowania i będzie on prostszy i łatwiejszy w realizacji. Model powinien być na tyle prosty, na ile jest to możliwe, ale musi uwzględniać wszystkie cechy i zjawiska występujące w systemie istotne do osiągnięcia celów sterowania.

Taką właściwość mają często modele liniowe, omówione w kolejnych rozdziałach. Ich dodatkową zaletą jest uniwersalny charakter – za pomocą modelu o tej samej strukturze można opisywać dynamikę układów, w której występują zupełnie różne zjawiska – na przykład układ elektryczny, mechaniczny i zmiana w czasie stężenia substancji chemicznej mogą być modelowane w ten sam sposób.

W kolejnych rozdziałach zostaną opisane równoważne sposoby modelowania liniowych, deterministycznych, stacjonarnych układów dynamicznych o parametrach skupionych wykorzystujące:

- opis za pomocą skończonego układu równań różniczkowych albo różnicowych liniowych pierwszego rzędu,
- opis równaniem różniczkowym albo różnicowym liniowym _n_-tego rzedu,
- opis za pomocą transmitancji operatorowej albo transmitancji dyskretnej,
- opis poprzez odpowiedzi systemu na standardowy sygnał wejściowy.

1.3. Linearyzacja – metody i przykłady

Przybliżanie nieliniowych i złożonych systemów, którymi zajmuje się automatyka, modelami liniowymi wymaga doświadczenia i ostrożności. Istnieją formalne metody, które ułatwiają to zadanie, ale zawsze potrzebna jest krytyczna weryfikacja modelu i ocena, czy opisuje on wszystkie zachowania rzeczywistego systemu, istotne z punktu widzenia celów sterowania. Przedstawione niżej przykłady mają ilustrować różne sposoby tworzenia liniowych modeli układów dynamicznych.

Przykład 1.1. Wykorzystanie liniowych, uproszczonych modeli zjawisk

Zbudowanie modelu silnika prądu stałego z magnesami trwałymi wymaga rozważenia kilku zjawisk opisanych prawami fizyki:

1. W obwodzie wirnika poruszającego się w polu magnetycznym jest generowana siła elektromotoryczna . Można przyjąć, że wartość tej siły jest proporcjonalna do prędkości obrotowej silnika

(1.1)

choć w rzeczywistym silniku ta charakterystyka może nie być liniowa. Stała zależy od strumienia magnesów i od konstrukcji uzwojenia wirnika.

2. W tym samym obwodzie zasilonym napięciem można zastosować II prawo Kirchhoffa i napisać równanie

(1.2)

gdzie jest spadkiem napięcia na rezystancji a na indukcyjności uzwojenia. Przyjmując, że te spadki są proporcjonalne odpowiednio do prądu i jego pochodnej, otrzymujemy równanie

(1.3)

które opisuje dynamikę chwilowej wartości prądu _i_. W rzeczywistym silniku rezystancja może się zmieniać na przykład z powodu nagrzewania się uzwojeń, a spadek napięcia związany z ich indukcyjnością może w nieliniowy sposób zależeć od prądu.

3. Na skutek współdziałania prądu i strumienia magnetycznego jest generowany moment elektromagnetyczny . Można przyjąć, że jego wartość jest proporcjonalna do wartości prądu

(1.4)

choć w rzeczywistym silniku ta zależność może nie być liniowa. Stała zależy od strumienia magnesów i od konstrukcji uzwojenia wirnika.

4. Ruch mechaniczny wirnika wynika z II zasady mechaniki Newtona dla ruchu obrotowego

(1.5)

gdzie jest momentem bezwładności układu, momentem oporowym tarcia, momentem obciążenia. Moment tarcia zależy zwykle od prędkości i można uprościć model, przyjmując, że jest do niej proporcjonalny

(1.6)

choć w rzeczywistości ta zależność jest znacznie bardziej skomplikowana – może być nieliniowa, a nawet może nie być zależnością statyczną. Stała jest nazywana współczynnikiem tarcia (lepkiego).

5. Jeżeli interesuje nas położenie wirnika , a nie tylko prędkość, to należy dodać równanie

(1.7)

i właściwie jest to jedyne równanie, w którym nie wprowadziliśmy uproszczeń.

Podsumowując, do opisu modelu silnika prądu stałego potrzebujemy trzech zmiennych dynamicznych: Znajomość ich warunków początkowych, napięcia zewnętrznego i momentu obciążenia , oraz oczywiście wszystkich stałych parametrów modelu pozwala na wyznaczenie trajektorii zmiennych poprzez rozwiązanie układu równań różniczkowych

(1.8)

Sygnałem wejściowym w wyprowadzonym modelu jest napięcie , wyjściowym – każdy mierzony sygnał z trójki a zakłóceniem nieznany moment obciążenia . Otrzymany model (1.8) jest liniowy (wszystkie równania w nim występujące są liniowe, spełnia zasadę superpozycji). Oprócz uproszczeń przedstawionych w trakcie wyprowadzenia nie uwzględnia on również tego, że w rzeczywistym silniku napięcie, prąd i prędkość muszą być ograniczone. Bardziej wnikliwy wgląd w strukturę fizyczną modelu pozwala zauważyć jego właściwości, istotne do identyfikacji i sterowania, na przykład to, że dla wielkości wyrażanych w jednostkach układu SI współczynniki i są równe, co wynika z zasady zachowania mocy – iloczyn siły elektromotorycznej i prądu jest równy iloczynowi momentu napędowego i prędkości.

------------------------------------------------------------------------

Przykład 1.2. Lokalna linearyzacja nieliniowych zależności

Jak wiadomo, wychylenie wahadła fizycznego o masie i długości , napędzanego zewnętrznym momentem , w polu grawitacyjnym Ziemi jest opisane równaniami

(1.9)

gdzie jest przyspieszeniem ziemskim, a momentem bezwładności wahadła. Jeżeli rozpatrujemy ruch w zakresie małych wychyleń od położenia zerowego, zgodnego z promieniem Ziemi, to można wykorzystać przybliżenie i zaproponować model liniowy

(1.10)

Rozbieżności między modelem liniowym a nieliniowym będą oczywiście tym większe, im większe są faktyczne wartości .

Analogiczny sposób postępowania można zaproponować dla dowolnego _r_-wejściowego modelu w postaci układu nieliniowych równań różniczkowych i nieliniowych równań algebraicznych

(1.11)

w którym: kropka oznacza pochodną względem czasu, jest _r_-wymiarowym wektorem wejść, – -wymiarowym wektorem wyjść, a _x_ – _n_-wymiarowym wektorem zmiennych wewnętrznych (które nazwiemy zmiennymi stanu). Jeżeli pewnej wartości odpowiadają i , takie że , to punkt nazywamy punktem równowagi układu (1.11). Dynamikę odchyleń od tego punktu

(1.12)

można lokalnie (dla małych ) przybliżyć modelem liniowym:

(1.13)

gdzie

(1.14)

------------------------------------------------------------------------

Przykład 1.3. Dopasowanie modelu do danych pomiarowych

Laboratoryjny układ regulacji temperatury jest pokazany na rysunku 1.2.

RYS. 1.2. Laboratoryjny układ regulacji temperatury: 1 – przetwornik sygnałów elektrycznych, 2 – wlot powietrza, 3 – czujnik natężenia przepływu powietrza, 4 – czujnik temperatury, 5 – wylot ciepłego powietrza²

Sygnałem wyjściowym jest temperatura wylotowa powietrza, sygnałami wejściowymi: – napięcie grzałki i – napięcie na zaciskach wentylatora powietrza wlotowego. System jest na tyle skomplikowany, że proponowanie modelu wykorzystującego prawa fizyki nie jest celowe. Zamiast tego można przeprowadzić eksperymenty pozwalające na rejestrację sygnałów wyjściowych przy narzuconych przebiegach sygnałów wejściowych. Na przykład na rysunku 1.3 pokazano zarejestrowany przebieg temperatury wyjściowej przy stałym napięciu grzałki i stałej wartości przepływu powietrza.

RYS. 1.3. Zarejestrowany przebieg temperatury wyjściowej przy stałym napięciu grzałki i stałej wartości przepływu powietrza³

Na podstawie kształtu zarejestrowanego przebiegu można zaproponować klasę modeli liniowych, które mogą być zastosowane (np. charakterystyczne przegięcie przebiegu świadczy o konieczności zastosowania modelu co najmniej drugiego rzędu, a brak oscylacji – o tym, że ma to być model o charakterze inercyjnym), a następnie, metodami numerycznymi, dopasować parametry modelu, aby przebieg wyjścia modelu wiernie oddawał przebieg zarejestrowanego sygnału rzeczywistego. Istnieją narzędzia informatyczne, które wspomagają projektanta w tym zadaniu – na rysunku 1.3 przedstawiono okno takiego programu. Suwaki pozwalają na modyfikację parametrów modelu, a przebiegi wyjścia modelu i zarejestrowanej odpowiedzi rzeczywistego układu są nakładane na siebie. Wynik dopasowania pokazano w górnej części ekranu. Algorytm zaproponował równanie

a projektant dobrał

Przy takim sposobie identyfikacji modelu istotne znaczenie ma dobór sygnałów wejściowych zadawanych w procesie identyfikacji i właściwy horyzont czasowy rejestracji przebiegów. Trzeba mieć pewność, że wszystkie właściwości układu, istotne z punktu widzenia celu sterowania, uwidoczniły się w procesie identyfikacji.

------------------------------------------------------------------------