Feynmana wykłady z fizyki. Tom 1.2. Optyka, termodynamika, fale - ebook

26. OPTYKA: ZASADA NAJKRÓTSZEGO CZASU

26.1. Światło

Oto pierwszy z cyklu rozdziałów poświęconych _promieniowaniu elektromagnetycznemu._ Światło widzialne stanowi tylko małą część rozległego widma fal podobnych do światła, przy czym rozmaite części tego widma charakteryzują się różnymi wartościami pewnej zmiennej wielkości, którą można nazwać „długością fali”. W miarę tego, jak zmienia się ona w zakresie fal widzialnych, światło w sposób widoczny zmienia barwę od czerwieni do fioletu. Chcąc zaś systematycznie badać całe widmo, poczynając od fal o dużych długościach w stronę fal o długościach coraz to mniejszych, powinniśmy zacząć od fal nazywanych zwykle _falami radiowymi._ W technice fale radiowe otrzymuje się w szerokim zakresie długości fali. Mogą być one nawet dłuższe od fal używanych do stałych transmisji radiowych; w regularnych programach korzystamy z fal o długości około 500 m. Po nich następują tak zwane „fale krótkie” (tzn. fale radarowe), fale milimetrowe i tak dalej. Między kolejnymi zakresami długości fali nie ma właściwie żadnych granic, ponieważ przyroda nie zna ostrych odgraniczeń. Wszelka liczbowa charakterystyka związana z daną nazwą fal jest tylko orientacyjna, podobnie jak i same nazwy nadawane poszczególnym zakresom.

Dalej, po długiej drodze przez fale milimetrowe dochodzimy wreszcie do obszaru fal zwanego _podczerwienią_, a jeszcze dalej – do widma widzialnego. Przeszedłszy na drugi jego kraniec, dochodzimy do obszaru zwanego _nadfioletem._ Tam, gdzie się kończy nadfiolet, zaczyna się obszar promieniowania rentgenowskiego, ale nie możemy dokładnie określić miejsca, w którym to następuje: dzieje się to przy około 10 m, czyli 10 m. Jest to obszar „miękkich” promieni rentgenowskich, po nich następuje obszar promieni rentgenowskich zwykłych i wreszcie promieni bardzo twardych; dalej mamy obszar promieni , które się rozciągają w obszar coraz to mniejszych wartości długości fal.

W tym ogromnym zakresie długości fal istnieją co najmniej trzy zakresy szczególnie ciekawe ze względu na dokonywane w nich przybliżenia. W jednym z nich spełniony jest warunek, który mówi, że długości fal są bardzo małe w porównaniu z rozmiarami urządzeń służących do ich badania, a ponadto energie fotonów (w języku teorii kwantów) są małe w porównaniu z czułością energetyczną przyrządu. Gdy warunki te są spełnione, możemy dokonać pierwszego przybliżenia zwanego _optyką geometryczną_. Jeżeli zaś długości fal są porównywalne z rozmiarami przyrządów, co trudno osiągnąć w przypadku światła, ale łatwiej w przypadku fal radiowych, i jeżeli energię fotonu nadal można pominąć, bardzo użyteczne przybliżenie polega na uwzględnieniu charakteru falowego i pominięciu mechaniki kwantowej. Metoda ta oparta jest na _klasycznej teorii promieniowania elektromagnetycznego_, którą omówimy w jednym z dalszych rozdziałów. Gdy przejdziemy dalej, do fal o bardzo małej długości, których charakter falowy możemy pominąć, ale których fotony mają bardzo dużą energię w porównaniu z czułością naszego przyrządu, sprawy znowu staną się proste. Będziemy mieli prosty obraz _fotonowy_, którym zajmiemy się tylko pobieżnie. Pełnego jednak obrazu, łączącego wszystkie te zjawiska w jednym modelu, długo jeszcze nie będziemy mieli.

W tym rozdziale ograniczymy się do omówienia obszaru fal, w którym możemy stosować prawa optyki geometrycznej. Zapominamy więc teraz o długości fali i o fotonowym charakterze światła, do spraw tych wrócimy jednak we właściwym czasie. Nie zastanawiamy się zatem teraz wcale nad tym, czym jest światło, ale po prostu badamy jak _ono się zachowuje_ w skali dużej w porównaniu z jego długością fali. Wszystko to mówimy, aby podkreślić, że będziemy rozważać tylko bardzo grube przybliżenie. Metoda podana w tym rozdziale jest jedną z tych, których potem będziemy musieli się „oduczać”. Oduczenie to nastąpi jednak bardzo szybko, ponieważ prawie zaraz przejdziemy do bardziej dokładnej metody.

Optyka geometryczna, mimo że jest tylko przybliżeniem, ma bardzo duże znaczenie praktyczne, a przy tym jest ogromnie ciekawa ze względów historycznych. Temat ten ujmiemy więc może bardziej od strony historycznej niż inne, aby dać pojęcie o rozwoju teorii lub idei fizycznej.

Zacznijmy od stwierdzenia, że światło jest oczywiście dobrze wszystkim znane i to od niepamiętnych czasów. Pojawia się jednak od razu pytanie: w wyniku jakiego procesu w ogóle widzimy światło? Teorii wyjaśniających było wiele, ale ostatecznie ustaliła się jedna, według której w procesie widzenia uczestniczy coś, co wychodzi z przedmiotów i wchodzi do oka. Z poglądem tym jesteśmy oswojeni od tak dawna, że wprost nie możemy sobie wyobrazić, jak niektórzy bardzo inteligentni ludzie mogli proponować teorie przeciwstawne, według których na przykład coś wychodzi z oka i „wymacuje” przedmiot. Pewne inne ważne spostrzeżenia pozwalają nam stwierdzić, że światło, przechodząc z jednego miejsca do drugiego, rozchodzi się po _liniach prostych_, gdy nic mu nie stoi na drodze, i że promienie świetlne, jak się zdaje, nie przeszkadzają sobie wzajemnie. Znaczy to, że światło porusza się wprawdzie w przestrzeni we wszystkich kierunkach, ale światło przechodzące w poprzek naszej linii wzroku nie wpływa na światło przychodzące do nas od jakiegoś przedmiotu. Był to kiedyś jeden z najpotężniejszych argumentów przeciwko teorii korpuskularnej; posługiwał się nim Huygens. Gdyby światło było pękiem lecących strzał, jakże mogłyby z taką łatwością przechodzić przezeń inne strzały? Takie filozoficzne argumenty nie mają jednak wielkiego znaczenia. Zawsze może się znaleźć ktoś, kto powie, że światło jest zrobione ze specjalnych strzał, które wzajemnie przenikają przez siebie!

26.2. Odbicie i załamanie

Powyższe rozważania dają wystarczające wyobrażenie o podstawowej _idei_ optyki geometrycznej – czas teraz na zgłębienie jej związków ilościowych. Dotąd rozważaliśmy światło rozchodzące się po liniach prostych między dwoma punktami; zbadajmy teraz, jak zachowuje się światło, gdy natrafia na różne ośrodki materialne. Najprostszym takim przedmiotem jest zwierciadło. Obowiązuje dla niego prawo mówiące, że gdy światło pada na zwierciadło, nie biegnie dalej po linii prostej, ale odbija się po nowej linii prostej, która się zmienia, gdy zmieniamy nachylenie zwierciadła. W starożytności stawiano sobie pytanie: jaki związek zachodzi między dwoma wchodzącymi tu w grę kątami? Związek ten jest bardzo prosty i już dawno go odkryto. Światło, padając na zwierciadło, biegnie tak, że kąty między każdą z wiązek a zwierciadłem są sobie równe. Z pewnych powodów przyjęto mierzyć kąty względem normalnej do powierzchni zwierciadła. Wobec tego tak zwane prawo odbicia brzmi:

------------------------------------------------------- --------
(26.1)
------------------------------------------------------- --------

RYS. 26.1. Kąt padania jest równy kątowi odbicia

RYS. 26.2. Promień świetlny załamuje się, gdy przechodzi z jednego ośrodka do drugiego

(rys. 26.1). Tutaj sprawa jest dość prosta, ale problem staje się trudniejszy, gdy światło przechodzi z jednego ośrodka do drugiego, na przykład z powietrza do wody; widzimy, że i wtedy nie biegnie ono po tej samej linii prostej. Promień w wodzie jest nachylony względem kierunku swojego rozchodzenia się w powietrzu (rys. 26.2). Jeśli dobieramy kąt tak, aby promień padał prawie pionowo w stosunku do powierzchni wody, kąt „załamania” jest bardzo niewielki. Jeżeli jednak zmienimy nachylenie wiązki światła o spory kąt, kąt odchylenia staje się bardzo duży. Powstaje pytanie: jaki jest związek między jednym kątem a drugim? Również nad tą sprawą przez długi czas zastanawiali się starożytni, ale w tym wypadku nigdy nie udało im się znaleźć odpowiedzi! Jest to jednak jedno z niewielu zagadnień całej greckiej fizyki, dla którego można znaleźć zestawienie pewnych wyników doświadczalnych. Klaudiusz Ptolemeusz sporządził wykaz kątów w wodzie, odpowiadających kilku różnym kątom w powietrzu. W tabeli 26.1 podano wartości kątów w powietrzu (mierzone w stopniach) i odpowiednie kąty zmierzone w wodzie. (Mówi się zwykle, że uczeni greccy nigdy nie przeprowadzali doświadczeń. Ale nie znając właściwego prawa, nie mogliby bez doświadczeń otrzymać tej tabeli wartości. Należy jednak zauważyć, że wartości te nie stanowią starannych, niezależnych pomiarów dla każdego kąta z osobna. Są one liczbami interpolowanymi z kilku tylko pomiarów. Sądzimy tak dlatego, że leżą dokładnie na paraboli.)

TABELA 26.1

-------------- -----------------
Kąt w wodzie Kąt w powietrzu
10° 8°
20° 15½°
30° 22½ °
40° 28°
50° 35°
60° 40½°
70° 45°
80° 50°
-------------- -----------------

TABELA 26.2

-------------- -----------------
Kąt w wodzie Kąt w powietrzu
10° 7½°
20° 15°
30° 22c
40° 29°
50° 35°
60° 40°
70° 48°
80 ° 49½°
-------------- -----------------

Na tym właśnie polega jeden z ważnych kroków w rozwoju prawa fizycznego: najpierw obserwujemy jakieś zjawisko, potem dokonujemy pomiarów i wyniki zestawiamy w tabeli; wreszcie próbujemy znaleźć _regułę,_ za pomocą której można kilka rzeczy wzajemnie powiązać. Wspomnianą tabelę liczbową ułożono w roku 140, ale dopiero w roku 1621 znaleziono wreszcie regułę wiążącą ze sobą owe dwa kąty! Reguła znaleziona przez holenderskiego matematyka Willebrorda Snella brzmi następująco: jeżeli jest katem w powietrzu, a – kątem w wodzie, to sinus kąta jest równy pewnej stałej pomnożonej przez sinus kąta :

----------------------------------------------------------------- --------
(26.2)
----------------------------------------------------------------- --------

Dla wody liczba _n_ wynosi w przybliżeniu . Równanie (26.2) nazywamy _prawem Snella._ Pozwala nam ono _przewidzieć_, jak się światło zakrzywi, przechodząc z powietrza do wody. W tabeli 26.2 zestawiono kąty w powietrzu i w wodzie według prawa Snella. Zauważmy wyjątkową zgodność tej tabeli z wykazem Ptolemeusza.

26.3. Zasada Fermata najkrótszego czasu

W miarę dalszego rozwoju nauki szukamy czegoś więcej niż wzoru. Najpierw obserwujemy, potem otrzymujemy liczby będące wynikami pomiarów, wreszcie dochodzimy do prawa łączącego w sobie wszystkie te liczby. Ale prawdziwa chluba nauki polega na tym, że _możemy znaleźć taki sposób podejścia_, w którego wyniku prawo staje się _oczywiste_.

Sposób podejścia, dzięki któremu prawo zachowania się światła stało się oczywiste, został odkryty przez Fermata około roku 1650 i nazywa się go _zasadą najkrótszego czasu_ albo _zasadą Fermata._ Pomysł Fermata wiąże się z obserwacją, że światło spośród wszystkich możliwych torów łączących dwa punkty wybiera ten, którego przebycie wymaga _najkrótszego czasu._

Pokażemy najpierw, że jest to prawda w przypadku odbicia od zwierciadła i że ta prosta zasada obejmuje zarówno prawo prostoliniowego rozchodzenia się światła, jak i prawo odbicia od zwierciadła.

RYS. 26.3. Objaśnienie zasady najkrótszego czasu

Rozszerzymy w ten sposób nasz zakres rozumienia zjawisk! Spróbujmy znaleźć rozwiązanie następującego zagadnienia. Na rysunku 26.3 pokazano dwa punkty, _A_ i _B_, oraz płaskie zwierciadło . Po jakiej drodze można się dostać z punktu _A_ do _B_ w najkrótszym czasie? Odpowiedź brzmi: idąc prosto od punktu _A_ do _B_! Odpowiedź nie jest jednak już taka łatwa, jeśli dołączymy dodatkowy warunek, że światło ma w najkrótszym czasie _paść na zwierciadło_ i wrócić. Jeden z wyborów drogi mógłby polegać na jak najszybszym pobiegnięciu do zwierciadła, a stamtąd do punktu _B_ po drodze . Do przebycia pozostanie wtedy długa droga _DB_. Jeśli przesuniemy się nieco w prawo, do punktu _E_, zwiększymy wprawdzie trochę pierwszą odległość, ale znacznie _zmniejszymy_ drugą, skrócimy więc całkowitą długość toru i dzięki temu czas przelotu stanie się krótszy. W jaki sposób możemy znaleźć punkt _C_, dla którego czas ten będzie najkrótszy? Możemy posłużyć się bardzo pomysłowym chwytem geometrycznym.

Po przeciwnej stronie płaszczyzny umieszczamy fikcyjny punkt _B_, który leży pod płaszczyzną w takiej samej odległości od niej jak punkt _B_. Rysujemy z kolei linię . Ponieważ kąt _BFM_ jest kątem prostym i , więc _EB_ jest równe . Wobec tego suma dwu odległości , która z kolei jest proporcjonalna do czasu przelotu światła poruszającego się ze stałą prędkością, jest równa sumie . Zagadnienie sprowadza się więc do następującego pytania: kiedy suma tych dwu długości jest najmniejsza? Odpowiedź jest prosta: wtedy, gdy linia przechodząca przez punkt _C_ jest _linią prostą_ łączącą punkty _A_ i ! Musimy, innymi słowy, znaleźć punkt, przez który przechodzi prosta do punktu fikcyjnego i on właśnie będzie punktem szukanym. Jeśli będzie linią prostą, kąt _BCF_ będzie równy kątowi , a stąd kątowi _ACM_. Wobec tego równość kąta padania i kąta odbicia jest równoważna stwierdzeniu, że światło biegnie do zwierciadła tak, aby przybyć do punktu w _możliwie najkrótszym czasie._ Twierdzenie pierwotnie wypowiedziane przez Herona z Aleksandrii mówiło, że światło od jednego punktu do drugiego porusza się po takim torze, że biegnie do zwierciadła, a następnie do tego drugiego punktu po możliwie najkrótszej _drodze._ Nie mówi ono więc dokładnie tego, co współczesna teoria. Ale to właśnie twierdzenie podsunęło Fermatowi myśl, że może i proces załamania światła odbywa się według podobnych zasad. Ponieważ zaś przy załamaniu światło oczywiście nie wybiera drogi zgodnie z najkrótszą _odległością_, Fermat wpadł na pomysł, że światło biegnie po drodze wymagającej najkrótszego _czasu._

Zanim przejdziemy do rozpatrywania zjawiska załamania światła, zróbmy jeszcze jedną uwagę tyczącą się zwierciadła. Niech w punkcie _B_ znajduje się źródło wysyłające światło w kierunku zwierciadła. Światło biegnąc od punktu _B_ do _A_ zachowuje się zupełnie tak, jak gdyby nie było _żadnego_ zwierciadła, a źródło znajdowało się w punkcie . Oko wykrywa naturalnie tylko to światło, które fizycznie do niego wchodzi; jeżeli więc przedmiot znajduje się w punkcie _B_, a zwierciadło powoduje, że światło dochodzi do oka dokładnie tak, jak gdyby znajdował się on w punkcie , układ oko-mózg (przy założeniu, że nie wie zbyt wiele) interpretuje całe zjawisko jako _obecność_ przedmiotu w punkcie . Tak więc złudzenie, że przedmiot znajduje się za zwierciadłem, polega po prostu na tym, że światło przychodzące do oka fizycznie wchodzi do niego tak, jak gdyby przedmiot rzeczywiście znajdował się z drugiej strony zwierciadła (nie biorąc pod uwagę zanieczyszczeń szkła i tego, że mamy świadomość obecności przedmiotu oraz tym podobnych poprawek wprowadzanych przez mózg).

Pokażmy teraz, że z zasady najkrótszego czasu wynika prawo załamania Snella. Musimy jednak założyć coś o prędkości światła w wodzie. Otóż założymy, że prędkość światła w wodzie jest _n_-krotnie mniejsza od prędkości światła w powietrzu.

RYS. 26.4. Objaśnienie zasady Fermata dla załamania

RYS. 26.5. Czas minimalny odpowiada punktowi _C_, ale pobliskie punkty odpowiadają prawie takiemu samemu czasowi

Nasz problem, przedstawiony na rys. 26.4, polega znowu na przejściu od punktu _A_ do _B_ w _najkrótszym czasie_. W celu zobrazowania, że poruszanie się zwyczajnie wzdłuż prostej nie jest najlepszym wyjściem, wyobraźmy sobie następującą sytuację: z łodzi wypadła piękna dziewczyna i znajdując się w wodzie w punkcie _B_, woła o pomoc. Niech oś _X_ stanowi linię brzegu. Znajdujemy się na lądzie w punkcie _A_, widzimy wypadek i na pomoc możemy zarówno biec, jak i płynąć. Ale biec możemy szybciej niż płynąć. Co robimy? Czy biegniemy po linii prostej? (Niewątpliwie tak!) Jednakże po zastanowieniu się stwierdzimy, że lepiej będzie przebyć nieco dłuższą drogę po lądzie, aby skrócić sobie drogę w wodzie, ponieważ w wodzie poruszać się będziemy o wiele wolniej. (Rozumując w ten sposób doszlibyśmy do wniosku, że lepiej byłoby najpierw dokładnie _obliczyć_ drogę, jaką mamy do przebycia!) Spróbujmy w każdym razie pokazać, że rozwiązaniem zagadnienia jest tor _ACB_ i że czas jego przebycia jest najkrótszy ze wszystkich możliwych. Jeżeli ma to być najszybsza droga, to każda inna droga będzie od niej wolniejsza. Wykreślając zużyty czas w zależności od położenia punktu _X_ (przecięcia się drogi z osią , otrzymamy krzywą podobną do pokazanej na rys. 26.5, na którym punkt _C_ odpowiada najkrótszemu możliwemu czasowi. Znaczy to, że gdy przesuwamy punkt _X_ w _pobliżu_ punktu C, w pierwszym przybliżeniu _nie powodujemy_ istotnych _zmian_ w czasie, ponieważ w najniższym punkcie krzywej jej nachylenie wynosi zero. Nasza metoda poszukiwania matematycznej postaci prawa załamania będzie zatem polegała na rozważaniu tak niewielkich przesunięć punktu, dla których nie następuje istotna zmiana w czasie. (Będzie istniała tu naturalnie nieskończenie mała zmiana _drugiego_ rzędu; następuje bowiem wzrost czasu dla dowolnych przesunięć od punktu _C_.) Rozważmy więc pobliski punkt _X_ i obliczmy, jak długo będzie trwała droga od punktu _A_ do _B_ po dwu torach, co pozwoli na porównanie nowego toru z dawnym. Bardzo łatwo to zrobić. Chcemy oczywiście, aby różnica wynosiła prawie zero, gdy odległość _XA_ będzie mała. Spójrzmy najpierw na drogę po lądzie. Prowadząc prostopadłą _XE_, zauważamy, że droga po lądzie ulega skróceniu w przybliżeniu o wielkość _EC_. Stanowi to nasz zysk, że nie potrzebujemy pokonywać tej dodatkowej odległości. Przeprowadzając z drugiej strony odpowiednią prostopadłą _CF_, znajdujemy, że w wodzie mamy do przebycia dodatkową odległość _XF_, wskutek czego tracimy czas. Zastanówmy się nad czasem przejścia. Zyskujemy czas, jaki by zabrało przebycie odległości _EC_, ale tracimy czas na przebycie odległości _XF_. Czasy te powinny być sobie równe, ponieważ w pierwszym przybliżeniu czas przejścia nie może ulec zmianie. Zakładając, że w wodzie szybkość wynosi szybkości w powietrzu, musimy mieć

----------------------------------- --------
(26.3)
----------------------------------- --------

Widzimy więc, że biorąc właściwy punkt, otrzymujemy zależność , czyli, skracając obie strony tej równości przez wspólną przeciwprostokątną _XC_ i zauważając, że

oraz

mamy

--------------------------------------------------------------------- --------
(26.4)
--------------------------------------------------------------------- --------

Tak więc widać, że aby przejść w najkrótszym czasie od jednego punktu do drugiego, gdy stosunek prędkości wynosi _n_, światło powinno wchodzić pod takim kątem, aby stosunek sinusów kątów i był równy stosunkowi prędkości w dwu ośrodkach.

26.4. Zastosowanie zasady Fermata

Rozważmy teraz pewne ciekawe konsekwencje wynikające z zasady najkrótszego czasu. Pierwsza z nich to zasada wzajemności. Mówi ona, że jeżeli najkrótszy czas przejścia od punktu _A_ do _B_ jest osiągany na pewnym torze, to również na nim osiągany jest najkrótszy czas przejścia w kierunku przeciwnym (przy założeniu że światło porusza się w każdym kierunku z tą samą szybkością). Jeśli zatem światło rozchodzi się w jednym kierunku, to może się także rozchodzić w kierunku przeciwnym.

RYS. 26.6. Wiązka światła zostaje przesunięta przy przejściu przez przezroczysty blok

Drugą ciekawą konsekwencją są zjawiska zachodzące w szklanym bloku o płaskich równoległych ścianach, ustawionym pod kątem do padającej wiązki światła. Światło biegnąc przez blok od punktu _A_ do punktu _B_ (rys. 26.6) nie przechodzi po linii prostej, ale skraca sobie czas przejścia przez blok, zmniejszając kąt nachylenia, mimo że wskutek tego nieco traci na drodze w powietrzu. W wyniku wiązka zostaje po prostu przesunięta równolegle względem początkowego kierunku, ponieważ kąty wyjścia i wejścia są takie same.

RYS. 26.7. Blisko horyzontu pozorne Słońce znajduje się o około wyżej od prawdziwego

Trzecią ciekawą konsekwencją jest fakt, że gdy oglądamy zachodzące słońce, w rzeczywistości znajduje się ono już pod horyzontem! To tylko nam się wydaje, że jeszcze znajduje się ono nad horyzontem, ale naprawdę jest inaczej (rys. 26.7). Atmosfera ziemska jest rzadka w górnych warstwach, a gęsta w dolnych. Światło rozchodzi się w powietrzu wolniej niż w próżni i w ten sposób światło słoneczne szybciej może osiągnąć punkt _S_ za horyzontem, jeżeli zamiast biec po prostej, będzie unikać obszarów gęstych, w których porusza się powoli, przechodząc przez nie pod większym nachyleniem. Gdy wydaje się, że słońce dopiero zachodzi za horyzont, naprawdę znajduje się ono już dobrze za nim. Innym przykładem tego zjawiska są miraże, które się często widzi jadąc po rozgrzanej szosie. Widzi się „wodę” na szosie, ale dojechawszy na miejsce okazuje się, że jest ono suche jak pustynia! Zjawisko tłumaczy się następująco: to, co naprawdę widzimy, jest światłem słonecznym „odbitym” od drogi. Światło słoneczne zmierzające w stronę szosy może dojść do oka tak, jak pokazano na rys. 26.8.

RYS. 26.8. Miraż

Dlaczego? Dlatego, że powietrze bezpośrednio nad szosą jest bardzo gorące, wyżej zaś chłodniejsze. Gorące powietrze jest optycznie rzadsze (tzn. ma mniejsze niż zimne i dlatego prędkość światła spada tam w mniejszym stopniu. Światło biegnie więc szybciej w obszarze gorącym niż chłodnym. Wobec tego, zamiast decydować się na bieg bezpośrednio po prostej drodze, światło porusza się po torze najkrótszego czasu, oszczędzając czas w obszarze, gdzie przez chwilę biegnie szybciej. Dlatego może poruszać się po krzywej.

Rozważając inny ważny przykład zasady najkrótszego czasu, spróbujmy stworzyć sytuację, w której wszystko światło przychodzące z jednego punktu _P_ odnajdzie się zebrane znowu w innym punkcie (rys. 26.9).

RYS. 26.9. Bliżej niesprecyzowany układ optyczny

Znaczy to naturalnie, że światło może się poruszać po linii prostej od punktu _P_ do . Rzeczywiście tak jest, ale czy możemy tak zrobić, żeby odnaleźć w punkcie nie tylko światło biegnące na wprost, ale także rozchodzące się od punktu _P_ w stronę _Q_? Chcemy z powrotem zebrać wszystko światło w punkcie zwanym _ogniskiem._ Jak to zrobić? Przecież jeżeli światło zawsze wybiera tor najkrótszego czasu, to naturalnie nie będzie chciało biec po jakichś innych torach. Będzie ono mogło rzeczywiście wybierać różne tory jedynie wtedy, gdy odpowiadające im czasy przejścia staną się _dokładnie równe_! W przeciwnym bowiem razie światło wybierze tylko tor najkrótszego czasu. Wobec tego zagadnienie zbudowania układu ogniskującego polega po prostu na ustawieniu takiego urządzenia, w którym _całej_ rozmaitości torów odpowiada ten sam czas rozchodzenia się światła!

Sprawa jest prosta. Weźmy kawałek szkła, w którym światło rozchodzi się wolniej niż w powietrzu (rys. 26.10), i rozważmy promień, który w powietrzu biegnie po torze .

RYS. 26.10. Ogniskujący układ optyczny

Tor ten jest dłuższy niż bezpośrednia droga i bez wątpienia zabiera więcej czasu. Ale wstawiając kawałek szkła o odpowiedniej grubości (a jakiej, obliczymy później), możemy skompensować nadmiar czasu, jaki światłu zabiera droga załamana pod pewnym kątem! W tych warunkach może się okazać, że czas odpowiadający przejściu na wprost będzie dokładnie równy czasowi upływającemu na torze . Rozważmy w podobny sposób promień . Jest on tylko częściowo nachylony, a więc nie tak długi jak i wobec tego pewne wyrównanie jest konieczne, chociaż nie tak duże jak dla promienia biegnącego prosto. Ostatecznie więc nasza płytka będzie wyglądała tak, jak na rys. 26.10. Przy takim kształcie wszystko światło wychodzące z punktu _P_ będzie docierało do punktu . Wszystko to jest nam oczywiście dobrze znane; urządzenie takie nazywamy _soczewką_ skupiającą. W następnym rozdziale obliczymy, jaki właściwie kształt musi mieć soczewka, aby dawać doskonałe ogniskowanie.

RYS. 26.11. Zwierciadło elipsoidalne

Weźmy inny przykład. Spróbujmy ustawić kilka zwierciadeł tak, aby światło z punktu _P_ zawsze dochodziło do (rys. 26.11). Biegnie ono po różnych torach do zwierciadeł i wraca, odpowiednie zaś czasy muszą być sobie równe. W tym przypadku światło rozchodzi się stale w powietrzu, tak że czas i odległość są do siebie proporcjonalne. Wobec tego stwierdzenie, że wszystkie czasy są jednakowe, jest równoważne stwierdzeniu, że całkowita odległość jest zawsze taka sama. Tak więc suma dwóch odległości _r_₁ i _r_₂ musi być stała. Suma odległości od dwu punktów jest stała dla każdego punktu na krzywej zwanej _elipsą_; w takim wypadku możemy być więc pewni, że światło z jednego ogniska będzie dochodzić do drugiego.

RYS. 26.12. Zwierciadło paraboloidalne

Na tej samej zasadzie opiera się skupianie światła jakiejś gwiazdy. Wielki, prawie pięciometrowy teleskop na Mount Palomar jest zbudowany w następujący sposób: Wyobraźmy sobie gwiazdę odległą o miliony kilometrów. Chcemy wszystko przychodzące od niej światło zebrać w ognisku. Nie możemy oczywiście narysować promieni biegnących hen od gwiazdy na całej ich długości, ale mimo to spróbujmy sprawdzić, czy czasy są równe. Wiemy oczywiście, że gdy różne promienie przechodzą przez płaszczyznę do nich prostopadłą, to odpowiednie czasy na tej płaszczyźnie są wszystkie sobie równe (rys. 26.12). Promienie następnie dochodzą do zwierciadła i biegną dalej w kierunku punktu _P_ w jednakowym czasie. Musimy więc znaleźć krzywą, która ma własność, że suma odległości jest stała, niezależna od wyboru punktu _X_. Prosty sposób jej znalezienia polega na przedłużeniu linii aż do płaszczyzny . Jeżeli spełniane będą warunki, że , , i tak dalej, to otrzymamy żądaną krzywą, ponieważ wówczas będzie naturalnie stałe. Wobec tego nasza krzywa jest miejscem geometrycznym punktów równo oddalonych od pewnej prostej i od punktu. Taką krzywą nazywa się _parabolą_; zwierciadło teleskopu jest więc zbudowane w kształcie paraboli.

Powyższe przykłady obrazują zasadę, na której można się opierać przy projektowaniu podobnych przyrządów optycznych. Dokładne krzywe można wyliczyć, posługując się zasadą, że dla uzyskania doskonałego ogniskowania czasy przebiegu muszą być dokładnie równe dla wszystkich promieni świetlnych i muszą być krótsze niż czasy odpowiadające jakiemukolwiek innemu sąsiedniemu torowi.

W następnym rozdziale będziemy dalej rozważać ogniskujące urządzenia optyczne, a teraz zajmiemy się dalszym rozwojem teorii. Śledząc rozwój nowej zasady teoretycznej, takiej jak zasada najkrótszego czasu, skłonni jesteśmy może sądzić, że jest to coś bardzo ładnego, nawet zachwycającego, ale zadajemy sobie pytanie: czy w ogóle pomaga ona w rozumieniu fizyki? Można by wprawdzie odpowiedzieć, że tak, że ułatwia ona zrozumienie wielu nowych faktów, ale prawdą jest też, że i bez niej można zrozumieć działanie zwierciadła. Wystarczy znaleźć krzywą, dla której każda płaszczyzna styczna tworzy równe kąty z dwoma promieniami. Podobnie można zrozumieć działanie soczewki, bowiem każdy promień, który do niej dochodzi, jest załamywany pod kątem danym przez prawo Snella. Bez wątpienia twierdzenie o najkrótszym czasie mówi to samo co twierdzenie, że przy odbiciu kąty są sobie równe, a przy załamaniu sinusy kątów są do siebie proporcjonalne. Czy zatem sprawa polega tylko na estetyce, czy też ma głębszy sens? Obie strony mogą tu wysunąć swoje argumenty.

Sprawa zawiera się w tym, że znaczenie ważnej zasady polega _na możności przewidzenia nowych faktów._

Łatwo pokazać, że zasada Fermata przewiduje szereg nowych faktów. Weźmy najpierw trzy ośrodki: szkło, wodę i powietrze; przeprowadźmy doświadczenie nad załamaniem światła w tych trzech ośrodkach i zmierzmy współczynnik _n_ jednego ośrodka względem drugiego. Współczynnik załamania powietrza (1) względem wody (2) oznaczmy _n_₁₂, a współczynnik załamania powietrza (1) względem szkła (3) oznaczmy _n_₁₃. Przeprowadzając pomiary dla wody względem szkła, znaleźlibyśmy inny współczynnik załamania, który oznaczmy _n_₂₃. _A priori_ nie ma powodu, aby istniał jakikolwiek związek między i _n_₂₃, natomiast zgodnie z zasadą najkrótszego czasu związek taki jest dobrze określony. Współczynnik _n_₁₂ jest stosunkiem prędkości światła w powietrzu do prędkości światła w wodzie; _n_₁₃ jest stosunkiem prędkości światła w wodzie do prędkości światła w szkle. Możemy więc pozbyć się prędkości w powietrzu, otrzymując

--------------------------------------------------------------------------------------------- --------
(26.5)
--------------------------------------------------------------------------------------------- --------

_Przewidujemy_ zatem, że współczynnik załamania dla nowej pary substancji można wyliczyć ze współczynników załamania każdej z tych substancji względem powietrza lub względem próżni. Wzór nasz stanie się bardzo prosty, jeżeli z pomiarów prędkości światła we wszystkich substancjach otrzymamy charakteryzujące je liczby, mianowicie ich współczynniki załamania względem próżni oznaczone _n_₁ (_n_₁ jest prędkością światła w powietrzu względem prędkości światła w próżni itd.). Współczynnik załamania dla jakichkolwiek dwu substancji będzie bowiem wynosił

------------------------------------------------------------------- --------
(26.6)
------------------------------------------------------------------- --------

Korzystając tylko z prawa Snella, nie mamy podstaw do takich przewidywań, chociaż przewidywanie to rzeczywiście się spełnia. Związek (26.5) poznano bardzo wcześnie i stanowił poważny argument na korzyść zasady najkrótszego czasu.

Innym argumentem na korzyść tej zasady, innym przewidywaniem, jest, że prędkość światła _zmierzona_ w wodzie okaże się mniejsza od prędkości w powietrzu. Przewidywanie to ma zupełnie inny charakter niż wszystkie dotychczasowe. Jest ono znakomite, ponieważ dotychczas mierzyliśmy _kąty_, teraz zaś mamy przewidywanie teoretyczne, zupełnie różne od spostrzeżeń, na których podstawie Fermat wyprowadził zasadę najkrótszego czasu. Okazuje się, że prędkość światła w wodzie _jest_ rzeczywiście mniejsza od prędkości światła w powietrzu, dokładnie w takim samym stosunku, że daje poprawny współczynnik załamania!

26.5. Dokładniejsze sformułowanie zasady
Fermata

Zasada najkrótszego czasu nie została przez nas wypowiedziana poprawnie i właściwie powinniśmy sformułować ją nieco dokładniej. _Nie jest_ w ogóle _rzeczą poprawną_ nazywanie jej zasadą najkrótszego czasu i tylko dla wygody posługiwaliśmy się dotąd tym niewłaściwym sformułowaniem. Teraz musimy jednak zobaczyć, jakie jest jej poprawne brzmienie. Wyobraźmy sobie zwierciadło takie jak na rys. 26.3. Skąd światło wie, że ma w ogóle biec do zwierciadła? Torem _najkrótszego_ czasu jest oczywiście _AB_, a więc można by sądzić, że niekiedy czas jest maksymalny. W naszym przypadku czas jednak _nie_ jest maksymalny, ponieważ niewątpliwie dłuższego czasu wymagałby tor zakrzywiony! Poprawne sformułowanie zasady brzmi następująco: promień biegnący po danym torze ma własność, że jeśli dokonamy w nim jakiejkolwiek niewielkiej zmiany (dajmy na to przesunięcia o , na przykład zmieniając miejsce jego padania na zwierciadło albo kształt krzywej, albo jeszcze coś innego, wówczas w czasie nastąpią zmiany _nie_ rzędu pierwszego, a tylko _drugiego._ Innymi słowy, zasada ta mówi, że światło wybiera taki tor, w którego sąsiedztwie znajduje się wiele innych torów wymagających prawie dokładnie _takiego samego_ czasu.

Z zasadą najkrótszego czasu związana jest jeszcze inna trudność i to taka, że nigdy jej nie strawią ludzie, którzy nie lubią teorii tego rodzaju. Przy użyciu teorii Snella możemy „zrozumieć” zachowanie się światła. Biegnie ono przed siebie, widzi jakąś powierzchnię i załamuje się,
ponieważ na tej powierzchni coś się z nim dzieje. Światło biegnie od jednego punktu do drugiego i do następnego, i tak dalej, więc idea przyczynowości jest tu łatwo zrozumiała. Zasada najkrótszego czasu jest natomiast zupełnie odmienną filozoficznie zasadą działania przyrody. Zamiast mówić, że coś jest sprawą przyczynową, że zrobienie jednej rzeczy powoduje w następstwie coś innego i tak dalej, powyższa zasada głosi, że my ustalamy pewną sytuację, a światło decyduje, który czas jest najkrótszy lub ekstremalny i wybiera odpowiedni tor. Ale _jak_ światło to robi? _Jak_ wynajduje ten tor? Czyżby _obwąchiwało_ ono sąsiadujące tory porównując je? Odpowiedź jest twierdząca; światło w pewnym sensie tak właśnie postępuje. Własność ta jest oczywiście nieznana w optyce geometrycznej i zawarta jest w pojęciu _długości fali_; długość fali mówi nam w przybliżeniu o tym, jak daleko do przodu światło musi „obwąchać” tor, aby móc go sprawdzić. W przypadku światła trudno zjawisko to pokazać w dużej skali, ponieważ długości jego fali są strasznie małe. Ale dla fal radiowych, np. fal o długości , odległości, na których dokonuje się porównań, są większe. Weźmy źródło fal radiowych, detektor i szczelinę, jak to przedstawiono na rys. 26.13.

RYS. 26.13. Przechodzenie fal radiowych przez wąską szczelinę

Promienie będą wówczas biegły oczywiście od _S_ do _D_, ponieważ jest to linia prosta, i nic się nie zmieni, jeśli szczelinę _uczynimy węższą._ Jeśli jednak przesuniemy detektor w bok do , fale nie przebiegną przez szeroką szczelinę od _S_ do , ponieważ porównując szereg pobliskich torów, powiedzą sobie: „Nic z tego, wszystkie tory odpowiadają innym czasom”. Jeśli jednak uda się nam _zabezpieczyć_ promieniowanie przed porównywaniem torów przez przymknięcie szczeliny aż do utworzenia się bardzo wąskiej szparki, wówczas możliwy będzie tylko jeden tor i promieniowanie właśnie ten tor wybierze! W rezultacie więcej promieniowania dotrze do _D_ przy wąskiej szczelinie niż przy szerokiej!

Ze światłem można zrobić to samo, ale trudno to pokazać w dużej skali. Zjawisko można jednak zauważyć w następujących prostych warunkach. Poszukajmy jakiegoś małego jasnego źródła światła, na przykład przezroczystej żarówki w dalekiej latarni ulicznej albo odbicia słońca w zakrzywionym zderzaku samochodowym. Ustawmy teraz przed jednym okiem dwa palce tak, aby patrzeć przez szparę między nimi i bardzo łagodnie starajmy się stłumić światło aż do zera. Zobaczymy, że obraz źródła światła, który przedtem był małą kropką, stanie się wydłużony i nawet rozciągnie się w długą linię. Przyczyna zjawiska leży w tym, że palce znajdują się bardzo blisko siebie i światło, które powinno przyjść po linii prostej, rozkłada się wewnątrz pewnego kąta tak, że wchodząc do oka, przybywa z różnych kierunków. Przypatrując się bardzo uważnie, spostrzeżemy również boczne maksima i liczne prążki wzdłuż brzegów. Co więcej, całe zjawisko będzie barwne. Wszystko to wyjaśnimy sobie w odpowiednim czasie, bo teraz służy to tylko do łatwego wykazania, że światło nie zawsze rozchodzi się po liniach prostych.

26.6. Jak to się wszystko odbywa naprawdę?

Na zakończenie podamy bardzo prymitywny obraz tego, co się właściwie dzieje; przedstawimy, w jaki sposób cała sprawa naprawdę się odbywa, ze ścisłego, uważanego za poprawny, punktu widzenia mechaniki kwantowej. Opis nasz będzie oczywiście tylko jakościowy. Śledząc światło między punktami _A_ i _B_ na rys. 26.3, stwierdzamy, że wcale nie przejawia ono swej postaci falowej. Wydaje się natomiast, że promienie składają się z fotonów i właściwie one powodują cykanie licznika fotonowego, jeśli się nim posługujemy. Jasność światła jest proporcjonalna do średniej liczby fotonów przechodzących w ciągu sekundy, a to, co liczymy, jest _prawdopodobieństwem_, że foton przedostanie się z punktu _A_ do _B_, na przykład padając na zwierciadło. Prawdopodobieństwem tym rządzi następujące bardzo dziwne _prawo._ Weźmy jakiś tor i znajdźmy dla niego czas przelotu; utwórzmy następnie liczbę zespoloną albo narysujmy mały zespolony wektor , którego kąt jest _proporcjonalny do czasu._ Liczba jego obrotów na sekundę określa częstość światła. Weźmy teraz inny tor, któremu odpowiada jakiś inny czas; jego wektor będzie więc obrócony o inny kąt – nadal proporcjonalny do czasu. Weźmy teraz wszystkie możliwe tory i dodajmy malutkie wektory odpowiadające każdemu z nich; okazuje się, że prawdopodobieństwo przybycia fotonu jest proporcjonalne do kwadratu długości wektora wypadkowego!

RYS. 26.14. Sumowanie amplitud prawdopodobieństwa dla wielu sąsiadujących torów

Pokażmy teraz, jak z tego wynika zasada najkrótszego czasu dla zwierciadła. Rozważmy wszystkie promienie, wszelkie możliwe tory itd. na rys. 26.3. Tor daje pewien mały przyczynek, ale dla sąsiedniego toru _AEB_ czas jest zupełnie inny, a więc jego kąt jest zupełnie inny. Niech punkt _C_ odpowiada czasowi minimalnemu, to znaczy takiemu, dla którego czasy się nie zmieniają przy zmianie toru. Tak więc w miarę zbliżania się do punktu _C_ (rys. 26.14) czasy najpierw ulegają zmianie, a potem zaczynają zmieniać się coraz to mniej. Wobec tego wektory, które mamy dodawać, ustawiają się w pobliżu _C_ prawie dokładnie pod stałym kątem. Czas zaczyna potem stopniowo wzrastać, fazy zmieniają się i tak dalej. Wynika z tego ostatecznie dość zaplątany węzeł. Całkowite prawdopodobieństwo dane jest przez kwadrat odległości między obu końcami. Tak _nagromadzone prawdopodobieństwo pochodzi prawie w całości z obszaru, w którym wszystkie wektory mają ten sam kierunek _albo tę samą fazę. Wszystkie przyczynki od torów, których czasy bardzo się _różnią_ między sobą, znoszą się wzajemnie, ponieważ są skierowane w różne strony. Dlatego też, gdy zasłonimy zewnętrzne części zwierciadła, będzie ono odbijać prawie tak samo jak niezasłonięte, ponieważ sprawa polega na usunięciu części diagramu wewnątrz końców spirali, co powoduje tylko bardzo małą zmianę ilości światła. W taki to sposób zasadę najkrótszego czasu wiąże się z obrazem fotonowym, w którym prawdopodobieństwo przyjścia zależy od nagromadzenia opisanych tu wektorów.