Fizyka w rysunkach - ebook

SŁOWO OD TŁUMACZA

Popularyzacja nauki potrzebuje historii nauki, żeby zachować rzetelność. Takiej pozycji jak ta brakowało. Dopiero w 2006 roku ukazała się potężna Historia fizyki prof. A.K. Wróblewskiego. Za to małej i wybiórczej książeczki na ten temat nie było wcale. To wydanie to duża odpowiedzialność z co najmniej dwóch powodów. Po pierwsze to książka kierowana m.in. do nauczycieli, wykładowców i autorów podręczników oraz popularyzatorów fizyki. Dlatego nawet najmniejszy błąd może zostać rozpowszechniony i wkraść się do tysięcy głów. Po drugie trudno dorównać innym polskim tłumaczom książek popularnonaukowych, m.in. nieżyjącemu już niestety, tragicznie i przedwcześnie zmarłemu, śp. prof. Piotrowi Amsterdamskiemu. Jeśli można dedykować komuś tłumaczenie, to składam je właśnie jemu.

To jedna z kilku najlepszych książek popularnonaukowych spośród kilkudziesięciu, jakie znam. Jej siłą jest m.in. to, że nie popada w fantazje ani w sensacyjne spekulacje, które potrafią zaciemnić obraz fizyki. Autor dba o rzetelność historyczną i nie omawia zjawisk w oderwaniu od doświadczeń i pokazów, bez których ta nauka nie istnieje. Szkoda, że kiedy miałem 13 lat i zaczynałem interesować się fizyką, tej książki jeszcze nie było. Chętnie poleciłbym ją przeszłemu sobie oraz innym uczniom – dawnym, obecnym i przyszłym. Niektóre rozdziały – np. o Kosmosie i o klimacie – są zrozumiałe nawet dla dzieci, także tych, które jeszcze nie potrafią czytać lub którym umiejętność ta wciąż sprawia trudność.

Jeżeli nie zaznaczono inaczej, wszystkie przypisy rzeczowe w tym wydaniu są mojego autorstwa. Służyły wyjaśnieniu wątpliwości – nie tylko językowych, lecz także merytorycznych.

Michał Tarnowski

Warszawa, 4 marca 2018PRZEDMOWA

Galileuszowskie twierdzenie, że matematyka jest językiem nauki, nie pasuje do żadnej nauki tak dobrze jak do fizyki. Jednak matematyczny opis wymaga wielkiego wysiłku. Jak ten wysiłek się zaczyna? Odpowiedzią jest – częściej niż nie jest – rysunek: pozbawiony słów przedmatematyczny obraz rzeczywistości. Rysować to widzieć świat w konkretny sposób i informować umysł o zrozumieniu tego świata. Narysowanie ważnych elementów fizycznej rzeczywistości zmniejsza psychologiczną trudność w jej opisaniu. Dalsze kroki pozwalają poprawić początkowo surowy rysunek.

Starannie skonstruowane rysunki odgrywają dużą rolę w nauczaniu i poznawaniu fizyki. Zwykle wymagam od swoich studentów, żeby analizowanie fizycznego problemu zaczęli od rysunku przedstawiającego ważne elementy w odpowiednich relacjach. Wielu z moich uczniów to wzrokowcy i nie potrzebują długiego wprowadzenia, ale takie zadania przydają się wszystkim. Stworzony rysunek lub diagram, czasami nazywany „kreskówkowym przybliżeniem”, prowadzi cały proces rozumowania.

Rysunki są skromnym, ale efektywnym narzędziem fizycznego rzemiosła. Są częścią tradycji przekazywanej z kolegi na kolegę i z nauczyciela na ucznia. Niektóre rysunki osiągają względną sławę oraz trwałe miejsce na stronach czasopism naukowych, monografii i podręczników. O wiele więcej z nich istnieje tylko krótką chwilę na tablicach i skrawkach papieru.

Rysunki, które uruchamiają fizyczne dociekanie i zawierają jego wyniki, nie wymagają ani bogatych szczegółów, ani realistycznej perspektywy. Potrzebują tylko prostoty i jasności. Dobry rysunek fizyczny jest na wiele sposobów podobny do epigramu – oszczędny, ale jego elementów nie można usunąć, dodać ani przestawić bez uszczerbku dla kompozycji. Oprócz tego dobry rysunek – jak epigram – jest warty zapamiętania.

Książka zawiera pięćdziesiąt jeden przykładowych rysunków z dwudziestu sześciu wieków fizycznych odkryć; są one ustawione chronologicznie. Każdy rysunek przedstawia pojedyncze pojęcie. Większość tych rysunków występuje często w innych książkach o fizyce, a wszystkie przeszły próbę mojego własnego nauczania i uczenia się. Każdy rysunek nakreśla fragment historii, którą opowiadam. Dołączony esej opisuje fizykę i umieszcza ją w historycznym otoczeniu.

Kiedy zacząłem to przedsięwzięcie, nie byłem pewny, czy fizykę można zaprezentować w ten sposób z jakąkolwiek głębią. Mimo to chciałem spróbować. Ostatecznie jestem teoretykiem, który używa w swoich badaniach matematyki, oraz nauczycielem, którego obowiązkiem jest znaleźć matematykę najbardziej odpowiednią dla swoich uczniów. Wydobycie kluczowej fizyki ze skomplikowanej sytuacji i przedstawienie jej na rysunku jest także bliskie pracy teoretyka i nauczyciela. Z przyjemnością dowiedziałem się, że słowo „teoria” jest powiązane – przez swoje greckie korzenie – ze słowem „widzieć”. Oczywiście, zobaczyć często oznacza zrozumieć. Dlatego rysować to wydobyć, wydobyć to zobaczyć, a zobaczyć – to zrozumieć.

Oto wynik – trzeba przyznać, że to historia epizodyczna i niekompletna. Jestem z niej jednak zadowolony, ale bezstronna ocena z konieczności należy do innych. Ta książka jest przeznaczona dla czytelników zainteresowanych światem, w którym żyją, ale którzy – z różnych powodów – słabo znają matematykę i fizykę. Mam nadzieję, że Fizyka w rysunkach pozwoli – przez odwołanie się do zmysłu wzroku – powiedzieć im: „Teraz widzę i rozumiem”.DEDYKACJE I PODZIĘKOWANIA

Mój ojciec, śp. wielebny Wishard F. Lemons, ucieszyłby się, że wreszcie napisałem książkę dla niego zrozumiałą. Innym drogim mi zmarłym jest Anthony Gythiel – przyjaciel, literaturoznawca i mediewista, który zachęcił mnie do umieszczenia esejów o fizyce średniowiecznej. Spoczywajcie w pokoju, Wishard i Tony! Tę książkę dedykuję Wam i moim młodym wnukom: Abelowi i Emilowi.

Chciałbym też podziękować przyjaciołom i krewnym: Galenowi Gislerowi, Christinie Gore, Clarkowi Lemonsowi, Rickowi Shanahanowi i Davidowi Watkinsowi. Ich lektura i krytyka tego tekstu pomogła go poprawić. Dan Umansky przeprowadził lekcję z historii renesansu – inspirację dla eseju o Leonardzie da Vinci. Jeremy Bernstein odpowiedział na moje pytania o Einsteina. Terrence Figy, Holger Meyer i Nick Soloney opowiadali mi o bozonie Higgsa.

Do poznania oryginalnych źródeł, na których bazuje wiele z tych esejów, zachęciły mnie seminaria, w których uczestniczyłem na St. John’s College w Santa Fe.

A seminarium przyrodnicze w Bethel College w North Newton przyszło z pomocą w prezentacji tej książki.

Od dawna jestem winny podziękowania Trevorowi Lipscombe’owi za redakcję moich wcześniejszych książek i za dobre rady na temat tej. Mój agent John Thornton przekazał Fizykę w rysunkach MIT Press. Dziękuję Trevorowi, Johnowi i pomocnym pracownikom MIT. Uważam, że nie mógłbym znaleźć lepszego ilustratora Fizyki w rysunkach niż Jesse Graber.

Do napisania tej książki przez dekady, na różne sposoby, pomagali mi przygotować się moi nauczyciele i mentorzy: Robert Armstrong, Harold Daw, Peter Gary, Michael E. Jones, Robert Romer i Dan Wiske. Z przyjemnością ofiaruję ten tekst Billowi Peterowi – fizykowi i wieloletniemu przyjacielowi. Mam nadzieję, że będzie miał możliwość jego przeczytania.

Na koniec dziękuję bardzo Allison, mojej długoletniej żonie, za jej wsparcie w moim uzależnieniu od pisania, za jej krytyczną lekturę tego tekstu i za wiele uwag, które ulepszyły Fizykę w rysunkach.1 Triangulacja (600 p.n.e.)

Rysunek 1

Czasami geodeta nie jest w stanie zmierzyć pewnej odległości bezpośrednio – ani przez liczenie kroków, ani przez kładzenie przedmiotów o standardowej długości. Tak jest np. z szerokością rzeki i z wysokością drzewa. Do wyznaczenia odległości można wtedy użyć własności trójkątów. Ten pomysł, sięgający czasów Talesa z Miletu (624–565 p.n.e.), jest jednym z pierwszych w historii fizyki i matematyki.

Milet był w VI wieku p.n.e. greckim portem na wyspie przy zachodnim wybrzeżu Azji Mniejszej, we współczesnej Turcji. Tales był jednym z pierwszych filozofów czy też „miłośników mądrości”. W swoich poszukiwaniach wiedzy podróżował daleko od Miletu – do Babilonu i przez wschodnie Morze Śródziemne do Egiptu. Egipt już w VI wieku p.n.e. był znany jako starożytna cywilizacja – w końcu wielkie piramidy zostały zbudowane około 2500 roku p.n.e. Tales znalazł w Egipcie nie tylko mądrość, ale i praktyczną wiedzę tamtejszych geodetów czy też geometrów. Posiadali oni umiejętność pomiaru położenia, rozmiaru i kształtu działek rolnych – zapewne po to, żeby ich nie stracić ani nie pomylić z sąsiednimi działkami po zdarzających się wylewach Nilu.

Tales przekształcił praktyczną wiedzę egipskich geodetów w uniwersalne zasady geometrycznego pomiaru, obecnie nazywanego triangulacją. Jak to zrobił? Mógł mu pomóc diagram taki jak ten powyżej – drzewa i kijka (rys. 1). Kiedy wyprostowany kijek rzuca cień o długości równej jego wysokości, to można się spodziewać, że każde inne wyprostowane ciało będzie rzucało cień o długości równej swojej wysokości. Zatem kiedy wysokość kijka jest równa długości jego cienia, nieznana wysokość drzewa jest równa długości jego cienia, łatwego w pomiarze.

Do takiego wniosku potrzeba założenia, że wszystkie promienie słoneczne są liniami prostymi i że są do siebie równoległe. To podejrzenie pozwala także wykorzystać kij i jego cień do wyznaczenia wysokości drzewa w dowolnej chwili dnia. To dlatego, że boki wszystkich trójkątów podobnych są w stałym stosunku do siebie. Za każdym razem, kiedy wyprostowany przedmiot rzuca cień, tworzy się trójkąt prostokątny – z przedmiotu, jego cienia oraz linii łączącej szczyt przedmiotu z końcem jego cienia. Dlatego stosunek wysokości przedmiotu do jego cienia jest taki sam dla wszystkich wyprostowanych rzeczy – w dowolnej chwili i w dowolnym miejscu.

Rysunek 2 pokazuje dwa takie trójkąty: jeden utworzony przez wysoki przedmiot i jego cień, a drugi – przez krótszy przedmiot i jego cień. Obydwa cienie są krótsze niż wysokość odpowiednich przedmiotów. Oba trójkąty mają ten sam kształt. Stosunki ich wysokości do długości ich cieni, H/H′ i h/h′, muszą być zatem takie same, tzn. H/H′ = h/h′. Przypuszczalnie nieznaną wysokość dużego przedmiotu H można więc wyrazić przez wielkości mierzalne bezpośrednio: H′, h oraz h′ – zgodnie ze wzorem H = H′h/h′. Warto zauważyć, że do użycia tej metody nie potrzeba pomiarów kąta.

Rysunek 2

Nie istnieją żadne zapisy własnych słów Talesa. Mimo to źródła wtórne przypisują mu pomiar wysokości Wielkiej Piramidy (Cheopsa) w Gizie, a także wyznaczanie odległości od wybrzeża do statków na morzu. Zapewne używał metod podobnych do tych opisywanych tutaj. Obecnie smartfony i satelity GPS także wykorzystują własności trójkątów podobnych.

Tales podobno odkrył też, jak wpisać trójkąt prostokątny w okrąg. W swojej wdzięczności za to odkrycie miał złożyć w ofierze wołu. Spekulował, że zasadą albo źródłem wszystkich rzeczy jest woda. Przesunął bieg rzeki. Poprawnie przewidział – z dokładnością do roku – występowanie względnie rzadkiego zjawiska: kompletnego zaćmienia Słońca przez Księżyc. Za te wyczyny mądrości i umiejętności Tales został uhonorowany tytułem jednego z siedmiu mędrców starożytności.

Tales – inaczej niż ci, którzy szukali tylko praktycznej zręczności – poszukiwał powszechnych prawd w różnorodności jednostkowych faktów. Był filozofem. Można go także nazwać fizykiem, bo zastosował prawdy matematyczne w świecie przyrody.2 Monochord pitagorejski (500 p.n.e.)

Rysunek 3

Jednym z najprostszych instrumentów muzycznych, jaki można sobie wyobrazić, jest monochord pitagorejski. To pojedyncza naciągnięta struna przymocowana na obu końcach.

Kiedy się ją pociągnie, struna drga i wytwarza ton o konkretnej wysokości. Dłuższe i cięższe struny wytwarzają niższe tony, tak jak dłuższe i szersze instrumenty dęte i perkusyjne.

Te informacje musiały być znane przed czasami rozkwitu twórczości Pitagorasa około 525 roku p.n.e. Instrumenty muzyczne z wieloma strunami różnej długości – jak ud i lira – są w końcu przedstawiane na greckich wazach z VIII wieku p.n.e. Mimo to Pitagoras lub jeden z jego uczniów mógł być jednym z pierwszych ludzi, którzy ilościowo wyrazili związek między długością struny a tonem, jaki ona wytwarza.

Rodzinną wyspą Pitagorasa była Samos nad zachodnim wybrzeżem Azji Mniejszej na Morzu Egejskim. Około 525 roku p.n.e. wyemigrował stamtąd do doryckiej kolonii greckiej w Krotonie, przy bucie zarysowującym wybrzeże południowej Italii.

Tam założył bractwo uczonych, którzy trzymali się pewnej dyscypliny. Jej celem było dbanie o duszę i jej oczyszczanie. Bractwo aspirowało również do władzy politycznej w Krotonie – dobroczynnej, choć surowej. Około 450 roku p.n.e. pierwotne bractwo zostało obalone i podzielone, ale mistycy i uczeni nazywani pitagorejczykami byli rozpoznawalni przez co najmniej 100 następnych lat. Niektórzy z nich byli utalentowanymi badaczami, którzy przypisywali swoje własne odkrycia swojemu przywódcy – Pitagorasowi.

Rysunek 3 przedstawia monochord pitagorejski. Obecnie wiemy, że ton wytwarzany przez monochord jest określony przez główną częstotliwość jego drgań, a ta częstotliwość jest z kolei związana z długością struny (im dłuższa struna, tym niższy dźwięk) oraz z szybkością drgań struny (im szybsze drgania, tym wyższy dźwięk). Wiadomo też, że struny o mniejszej gęstości i bardziej naciągnięte wytwarzają szybsze drgania, a co za tym idzie, większe częstotliwości i wyższe dźwięki. Jednak ta wiedza w żaden sposób nie odbiera tajemniczości pewnej zależności odkrytej przez pitagorejczyków, mianowicie między liczbami naturalnymi a przyjemnymi dźwiękami.

Wyobraź sobie dwa takie monochordy ze strunami o identycznym składzie i naciągu, ale o różnej długości. Jeśli obie struny będą równocześnie pociągnięte lub uderzone, to wydadzą różne dźwięki. Ten prosty układ umożliwił pitagorejczykom odkrycie, które wzbudziło ich podziw i zadziwia do dziś. Jeden z monochordów może być dwukrotnie dłuższy od podobnie skonstruowanego drugiego monochordu. W ogólności: długości strun monochordów mogą mieć się do siebie jak dwie małe liczby naturalne, np. 2 do 1, 3 do 2 albo 4 do 3. Wtedy przy jednoczesnym pociągnięciu wydają z siebie przyjemny dźwięk, odpowiednio oktawy, równej kwinty albo równej kwarty. W innym wypadku tony nie są tak przyjemne – są w dysharmonii lub inaczej w dysonansie.

To, że małe liczby naturalne 1, 2, 3 i 4 odpowiadają przyjemnym dźwiękom, stało się dla pitagorejczyków znakiem liczbowej natury świata. Według nich i forma, i substancja świata składają się z liczb naturalnych. Na przykład dusza jest liczbową harmonią części ciała. Nawet poszczególne cechy, jak „męskość” i „żeńskość”, są związane z liczbami – w tym wypadku odpowiednio z liczbami nieparzystymi i parzystymi. Obecnie takie pomysły wydają się nieprecyzyjne i nieuzasadnione. Jednak idea szukania wspólnych proporcji i form liczbowych w różnych zjawiskach jest zgodna z nowożytną fizyką.

Monochord pitagorejski jest najbardziej podstawowym instrumentem strunowym – prawie nim nie jest. Jednak pokazuje zasady, które stoją za przyjemnymi dźwiękami skrzypiec, harf i wszystkich instrumentów strunowych. Flety i inne instrumenty dęte też wydają z siebie dźwięki muzyczne. W ich wypadku dźwięki wywołują drgania słupa powietrza. Bębny wydają z siebie dźwięki, kiedy drga membrana. Podobno ostatnimi słowami Pitagorasa do jego uczniów było: „Pracujcie nad monochordem” Czy to był jego sposób na powiedzenie „zostań muzykiem”? Czy może „badaj naturę Wszechświata”? Pitagorasa łatwiej zrozumieć, jeśli się pamięta, że dla niego to jedno i to samo powołanie.3 Fazy Księżyca (448 p.n.e.)

Rysunek 4

Wygląd Księżyca jest zmienny – nów (brak Księżyca), mały półksiężyc, kwadra, wypukły Księżyc (częściowo pomiędzy kwadrą a pełnią) oraz pełnia. Są tak znajome, że można się zastanawiać, po co w ogóle potrzeba je tłumaczyć. Mimo to pewien rodzaj umysłu ma silną potrzebę wyjaśnienia złożonych zjawisk – znajomych lub nie – prostymi pojęciami. Te proste pojęcia same powinny być przekonujące i objaśniać inne zjawiska. Udane wytłumaczenie staje się częścią spójnej wizji, czyli teorii.

Przechodzenie Księżyca przez ustaloną serię faz też można tak wyjaśnić. Wszystko, czego potrzeba, to założenia, że: (1) Księżyc sam nie świeci, ale odbija światło Słońca, (2) Księżyc obiega Ziemię po orbicie, która jest w przybliżeniu kołowa, (3) promienie słoneczne osiągające Księżyc i Ziemię są równoległe. Te pomysły przedstawiono na rysunku 4.

Uwaga – rysunek 4 z konieczności zniekształca inne aspekty rzeczywistości. Księżyc nie jest ani tak duży w porównaniu z Ziemią, ani nie jest tak blisko niej. Księżyc nie przechodzi też co miesiąc przez cień Ziemi, powodując zaćmienie Księżyca, ani między Słońcem a Ziemią, powodując zaćmienie Słońca. To dlatego, że płaszczyzna orbity Księżyca wokół Ziemi jest lekko nachylona względem płaszczyzny orbity Ziemi wokół Słońca.

Promienie Słońca oświetlają w każdej chwili tylko połowę powierzchni Księżyca i połowę powierzchni Ziemi. Reszta jest w cieniu – który na Ziemi jest nazywany nocą. Obserwator – na diagramie położony w punkcie styku okręgu Ziemi i przerywanej linii – został właśnie przeniesiony w ten cień przez dobowy obrót Ziemi, przeciwny do ruchu wskazówek zegara. Widzi on tylko ten obszar nieba, który jest powyżej jego horyzontu, zaznaczonego tu przerywaną linią. Reszta widoku jest zasłonięta przez bryłę Ziemi. Część Księżyca widoczna dla tego obserwatora to cienki pasek odbitego światła. Ten pasek jest widoczny jako półksiężyc z rogami wskazującymi kierunek przeciwny do Słońca. Obrót Ziemi dalej niesie obserwatora w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, przez co Księżyc chowa się za horyzontem.

Rysunek 5 pokazuje kilka położeń Księżyca – każde co około 7 dni – w ruchu wokół Ziemi. Ten cykliczny ruch zajmuje około 29,5 dnia – miesiąc, a tak według dawnej polszczyzny nazywano Księżyc. W każdym położeniu inna część oświetlonej powierzchni Księżyca jest widoczna dla obserwatorów po nocnej stronie Ziemi. Te różne widoki to fazy Księżyca – „cofająca się” (ang. waxing) połowa, pełnia, „dopełniająca się” (ang. waning) połowa, nów i wszystko pomiędzy. Miesięczny ruch Księżyca wokół Ziemi jest powolny w porównaniu z dobowym obrotem Ziemi wokół własnej osi. Dlatego ziemski obserwator widzi właściwie tę samą fazę Księżyca w ciągu jednej nocy.

Rysunek 5

Nie ma pewności, kto pierwszy wyjaśnił w ten sposób istnienie i następstwo faz Księżyca. Mimo to wiadomo, że grecki filozof Anaksagoras (ok. 500–428 p.n.e.) jako pierwszy zostawił zapiski sugerujące ważne aspekty tego wyjaśnienia. Anaksagoras pochodził z Kladzomen – greckojęzycznego miasta pośrodku zachodniego wybrzeża Azji Mniejszej, obecnej Turcji. Szacuje się, że Anaksagoras spędził od 20 do 30 lat swojego dorosłego życia w Atenach. Był naocznym świadkiem początku wojny peloponeskiej i innych ekscytujących wydarzeń oraz imponujących osiągnięć Aten z V wieku p.n.e. W czasie jego pobytu w obecnej stolicy Grecji musieli przebywać tam także ówcześni dramaturdzy – Sofokles i Eurypides – oraz młody Sokrates (469–399 p.n.e.). O tym, że Anaksagoras pisał książki, wiemy od Sokratesa. Twierdził on, że przeczytał jedną z nich, jednak nie przypadła mu do gustu. Obecnie istnieje tylko kilka fragmentów pism Anaksagorasa – zachowanych jako cytaty w innych starożytnych tekstach. „Słońce daje blask Księżycowi” – to jeden z tych fragmentów. Późniejsi komentatorzy – Aecjusz i Plutarch, piszący cztery–pięć stuleci po Anaksagorasie – twierdzili, że Anaksagoras jako pierwszy jasno wytłumaczył przyczynę faz Księżyca. Diogenes Laertios – tworzący głównie w III wieku n.e. – utrzymywał dodatkowo, że Anaksagoras jako pierwszy umieścił w książce diagram. Jeśli faktycznie Anaksagoras wyjaśnił fazy Księżyca diagramem, to podejrzewam, że jego szkic przypominał rysunek 5. Anaksagoras jest znany głównie ze swojej twórczej kosmologii, tzn. ze sposobu wyjaśniania wszystkiego. Pierwszą zasadą kosmologii Anaksagorasa było to, że umysł (gr. nous) kieruje i porządkuje wszystkie rzeczy. Anaksagoras mówił o umyśle tak często, że ówcześni ludzie nadali mu przydomek „Nous”. Podobnie dzisiaj można, z pewnym sarkazmem, nazwać kogoś „mózgiem”.

To brak rozwinięcia pojęcia nous tak zawiódł Sokratesa. Zjawiska można wyjaśniać jako utworzone w jakimś celu – tak jak myśląca osoba może tworzyć przedmioty w celu ozdoby czy użyteczności. Anaksagoras zamiast tego odwoływał się wyłącznie do przyczyn materialnych i mechanicznych. Jednym z takich materialistycznych pomysłów było to, że Słońce i wszystkie gwiazdy to po prostu płonące kawałki metalu. To doprowadziło Anaksagorasa do skazania za bezbożność i wygnania z Aten.PRZYPISY

Niektórzy astronomowie i popularyzatorzy nauki, np. Neil de Grasse Tyson, są przeciwni nazywaniu zaćmień rzadkimi. Ich częstość występowania jest podobna np. do częstości występowania igrzysk olimpijskich – pojawiają się na Ziemi mniej więcej raz na cztery lata, a w tym samym kraju odbywają się raz na kilkadziesiąt lat. Mimo to igrzyska olimpijskie nie są nazywane rzadkimi.

Liczby naturalne to 0, 1, 2, 3 itd., czasami z pominięciem 0. Nie mogą być ujemne ani mieć części ułamkowych. Specjalnie uniknięto określenia liczby całkowite, bo mała liczba całkowita formalnie oznaczałaby jakąś liczbę daleką od zera, np. −100.

Autor podaje średnioangielskie moneth i współczesne month.

M. Nahm, Selections from Early Greek Philosophy, wyd. 4, New York 1964, s. 143.