MENU
Nasze ceny
Przeczytaj fragment on-line
-
nowość
Dlaczego piłka ma 12 pięciokątów? - ebook
Dlaczego piłka ma 12 pięciokątów? - ebook
Dlaczego klasyczna piłka futbolowa ma dokładnie dwanaście pięciokątów? Dlaczego kuli nie da się uczesać? Co wspólnego mają topologia, krzywizna, góry, przełęcze i przeciwległe punkty na Ziemi? Od prostego wzoru Eulera książka prowadzi do najpiękniejszych idei geometrii i topologii. To popularnonaukowa opowieść dla ciekawych matematyki licealistów i dorosłych, którzy chcą zrozumieć idee, a nie uczyć się wzorów na pamięć.
Ta publikacja spełnia wymagania dostępności zgodnie z dyrektywą EAA.
| Kategoria: | Popularnonaukowe |
| Zabezpieczenie: |
Watermark
|
| ISBN: | 9788398321112 |
| Rozmiar pliku: | 7,9 MB |
FRAGMENT KSIĄŻKI
DLACZEGO TA KSIĄŻKA?
Matematyka wielu osobom kojarzy się przede wszystkim z liczeniem: wykonywaniem rachunków, przekształcaniem wzorów i szukaniem właściwego wyniku. Tymczasem znaczna część matematyki wygląda zupełnie inaczej. Często ważniejsze od samego obliczenia jest znalezienie właściwego sposobu patrzenia na problem.
Sam bardzo często myślę o matematyce geometrycznie. Dotyczy to również zagadnień, które na pierwszy rzut oka są czysto analityczne i zapisuje się je za pomocą wzorów. Rysunek, deformacja powierzchni, wyobrażenie sobie krajobrazu czy ruchu po pewnej przestrzeni potrafią podpowiedzieć, co powinno być prawdą, zanim jeszcze pojawi się formalny dowód.
Takie intuicje nie zastępują ścisłego rozumowania. W matematyce trzeba je później sprawdzić, doprecyzować i udowodnić. Są jednak często pierwszym krokiem do zrozumienia problemu. W tej książce bardziej niż na samych odpowiedziach zależy mi więc na próbie zrozumienia, dlaczego coś jest tak, a nie inaczej — skąd bierze się definicja, dlaczego pewien wzór ma właśnie taką postać i co naprawdę stoi za twierdzeniem.
Dlaczego piłka futbolowa ma dwanaście pięciokątów? Czy mieszkańcy powierzchni mogliby odkryć jej zakrzywienie bez oglądania jej z zewnątrz? Dlaczego nie każdy krajobraz jest możliwy? Czy da się uczesać kulę? Czy można przesunąć każdy punkt tak, aby żaden nie pozostał na swoim miejscu?
Czasami odpowiedź będzie wymagała wzoru, czasami rysunku, a czasami prostego eksperymentu myślowego. Najważniejsze nie będzie jednak zapamiętanie nazw twierdzeń ani symboli.
Jeżeli w tekście pojawia się termin matematyczny, który nie jest później potrzebny, można go spokojnie zapomnieć. Jeżeli pojawia się bardziej formalny rachunek oznaczony jako fragment dla zainteresowanego czytelnika, można go pominąć i wrócić do głównej opowieści. Rysunki mają tu nie tylko ozdabiać tekst, lecz często zastępować definicję albo część dowodu.
Najbardziej zależy mi na tym, aby po przeczytaniu rozdziału pozostał pewien obraz i pytanie. W matematyce często właśnie od dobrego pytania zaczyna się wszystko.
W kilku miejscach znajdą się też ramki _Czego matematycy nie wiedzą?_. Mają przypominać, że nie oglądamy muzeum dawno ukończonej nauki.DLACZEGO PIŁKA FUTBOLOWA MA 12 PIĘCIOKĄTÓW?
Kiedy pytamy, czy dwa obiekty są takie same, odpowiedź zależy przede wszystkim od tego, co właściwie rozumiemy przez słowa _takie same_.
Narysujmy na kartce figurę, a obok niej drugą, identyczną, tylko trochę przesuniętą. Prawdopodobnie bez wahania powiemy, że to ta sama figura. Przesunięcie jej w inne miejsce nie zmieniło przecież niczego istotnego.
Możemy pozwolić sobie na więcej. Jeśli drugą figurę obrócimy, większość z nas nadal uzna ją za tę samą. Jeżeli interesują nas jedynie kąty, a nie długości, możemy również całość powiększyć albo pomniejszyć. To, jakie zmiany uznajemy za dozwolone, zależy więc od kontekstu i od tego, jakie własności chcemy zachować.
W topologii pozwalamy sobie na znacznie więcej niż na przesuwanie, obracanie czy skalowanie. Wyobraźmy sobie, że figura została wykonana z niezwykle elastycznej gumy. Możemy ją rozciągać, ściskać, wyginać i płynnie deformować. Obowiązują jednak dwie podstawowe zasady: nie wolno jej nagle rozerwać ani skleić ze sobą punktów, które wcześniej były osobno.
W tym sensie trójkąt, kwadrat i okrąg są z punktu widzenia topologii tym samym obiektem. Wierzchołki trójkąta czy kwadratu możemy stopniowo zaokrąglać, aż otrzymamy okrąg. Nie trzeba przy tym niczego przecinać ani sklejać — cała zmiana może odbywać się płynnie.
Ciągła deformacja obwodu trójkąta w okrąg oraz obwodu kwadratu w okrąg.
Topologię można więc w pierwszym przybliżeniu traktować jako matematykę tego, _co pozostaje niezmienne podczas takich ciągłych deformacji_.
W tym rozdziale poznamy pierwszy przykład takiej wielkości — NIEZMIENNIK TOPOLOGICZNY. Nazwa brzmi może poważnie, ale sama idea jest prosta: jest to cecha wspólna wszystkim kształtom, które można jeden w drugi płynnie zdeformować bez rozrywania i sklejania.
Prawdopodobnie na razie brzmi to wszystko nieco abstrakcyjnie. Za kilka stron stanie się jednak bardzo konkretne. Okaże się, że pierwszy niezmiennik, który poznamy, można odkryć, wykonując coś tak elementarnego jak liczenie wierzchołków, krawędzi i ścian wielościanu.
A później ta sama idea wyjaśni nam coś znacznie bardziej namacalnego: dlaczego klasyczna piłka futbolowa ma dokładnie dwanaście pięciokątnych łatek.
Zanim jednak dotrzemy do piłki futbolowej, zacznijmy od znacznie prostszych brył.
Weźmy trzy dobrze znane bryły.
Pierwszą niech będzie tetraedr, czyli czworościan foremny. Ma cztery trójkątne ściany. Każde dwie odpowiednio sąsiadujące ściany spotykają się wzdłuż krawędzi, a krawędzie zbiegają się w wierzchołkach.
Policzmy:
_V_ = 4, _E_ = 6, _F_ = 4,
gdzie V oznacza liczbę wierzchołków, E — liczbę krawędzi, a F — liczbę ścian.
Wykonajmy teraz niezbyt naturalnie wyglądające działanie:
_V_ − _E_ + _F_.
Dla tetraedru otrzymujemy
4 − 6 + 4 = 2.
Na razie nie ma w tym nic szczególnego.
Sprawdźmy sześcian. Ma osiem wierzchołków, dwanaście krawędzi i sześć ścian:
_V_ = 8, _E_ = 12, _F_ = 6.
A więc
8 − 12 + 6 = 2.
Możemy spróbować jeszcze raz. Ośmiościan foremny ma sześć wierzchołków, dwanaście krawędzi i osiem ścian:
6 − 12 + 8 = 2.
Trzy razy wyszło to samo.
Tetraedr, sześcian i ośmiościan: w każdym przypadku V − E + F = 2.
_SPRÓBUJ. Policz V − E + F dla:_
Jeżeli rachunki zostały wykonane poprawnie, odpowiedź zapewne znowu brzmi:
2.
W tym momencie warto już zadać pytanie.
DLACZEGO?
Przypadek czy prawo?
Nie ma nic dziwnego w tym, że tetraedr ma cztery ściany. Nie ma również nic zagadkowego w liczbie dwunastu krawędzi sześcianu.
Znacznie bardziej zastanawiające jest to, że trzy liczby, które mogą przyjmować bardzo różne wartości, zawsze zdają się spełniać tę samą zależność:
_V_ − _E_ + _F_ = 2.
Możemy przecież wyobrazić sobie wielościan mający setki ścian. Mogą to być trójkąty, czworokąty, pięciokąty i wielokąty o jeszcze większej liczbie boków. Bryła może być niemal symetryczna albo zupełnie nieregularna.
A jednak wynik pozostaje ten sam.
Co więcej, we wzorze nie występuje nic, co zwykle kojarzymy z geometrią. Nie ma długości krawędzi. Nie ma kątów. Nie ma pól ścian ani objętości bryły.
Jeżeli wykonamy sześcian z gumy i mocno go zdeformujemy, tak aby przestał przypominać sześcian z podręcznika, nadal będzie miał osiem wierzchołków, dwanaście krawędzi i sześć ścian.
Wciąż więc
8 − 12 + 6 = 2.
Płynna deformacja sześcianu nie zmienia liczby wierzchołków, krawędzi ani ścian.
Zaczynamy dostrzegać coś istotnego. Wzór nie interesuje się dokładnym kształtem bryły. Interesuje go raczej sposób, w jaki jej części są ze sobą połączone.
Euler liczy wielościany
Zależność
_V_ − _E_ + _F_ = 2
wiąże się z nazwiskiem Leonharda Eulera, jednego z najbardziej płodnych matematyków XVIII wieku.
W połowie XVIII wieku Euler zwrócił uwagę na niezwykle prostą własność dotyczącą wielościanów.
LEONHARD EULER — _1707–1783_
Leonhard Euler urodził się w Bazylei, a większą część swojej kariery spędził w Petersburgu i Berlinie. Należał do najbardziej płodnych matematyków w historii, a wiele używanych dziś oznaczeń matematycznych upowszechniło się właśnie dzięki niemu.
W 1750 roku w liście do Christiana Goldbacha zapisał zależność między liczbą wierzchołków, krawędzi i ścian wielościanu, a dwa lata później opublikował poświęcone jej prace. Wzór V − E + F = 2 stał się jednym z pierwszych sygnałów, że w geometrii można badać własności niezależne od długości i kątów — idee, z których później wyrosła topologia.
Pod koniec życia Euler był niemal całkowicie niewidomy. Nie przerwał jednak pracy: dzięki niezwykłej pamięci prowadził obliczenia w głowie i dyktował matematykę współpracownikom oraz członkom rodziny. Znaczna część jego ogromnego dorobku powstała właśnie w tym okresie.
Własność była na tyle elementarna, że można ją wyjaśnić osobie znającej tylko matematykę szkolną. A jednocześnie przez wiele stuleci badań geometrii nie znalazła się w centrum uwagi.
Grecy znali wielościany foremne ponad dwa tysiące lat wcześniej. Sześcian, tetraedr czy dwunastościan były klasycznymi obiektami geometrii.
Ale czym innym jest znać wiele przykładów, a czym innym dostrzec właściwe pytanie.
Euler zaczął traktować liczbę wierzchołków, krawędzi i ścian jako wielkości, między którymi może istnieć ogólna zależność.
Dziś zapisujemy ją najczęściej jako
_V_ − _E_ + _F_ = 2.
Nazywamy ją _wzorem Eulera dla wielościanów_.
Samo znalezienie wzoru nie kończy jednak sprawy.
Matematyka zaczyna się właściwie dopiero wtedy, gdy pytamy:
DLACZEGO MUSI BYĆ PRAWDZIWY?
Co się stanie, jeśli przetniemy ścianę?
Zanim spróbujemy udowodnić wzór Eulera, wykonajmy bardzo prosty eksperyment.
Weźmy sześcian i na jednej z jego kwadratowych ścian narysujmy przekątną.
Co się zmieniło?
Nie powstał żaden nowy wierzchołek, więc
_Δ__V_ = 0.
Powstała jedna nowa krawędź:
_Δ__E_ = 1.
Jedna ściana została natomiast podzielona na dwie, więc liczba ścian zwiększyła się o jeden:
_Δ__F_ = 1.
Sprawdźmy zmianę wyrażenia Eulera:
_Δ_(_V_−_E_+_F_) = 0 − 1 + 1 = 0.
A więc narysowanie przekątnej _nie zmienia_ wartości V − E + F.
To drobne spostrzeżenie ma znacznie większe znaczenie, niż mogłoby się wydawać.
Dla czytelności narysujmy teraz przekątne tylko na trzech widocznych ścianach sześcianu.
Początkowo mieliśmy
_V_ = 8, _E_ = 12, _F_ = 6.
Dodajemy trzy przekątne. Nie pojawia się żaden nowy wierzchołek, liczba krawędzi rośnie o trzy, a każda z trzech przeciętych ścian zostaje zastąpiona przez dwie. Otrzymujemy więc
_V_ = 8, _E_ = 15, _F_ = 9.
I rzeczywiście:
8 − 15 + 9 = 2.
Kolejne przekątne triangulują widoczne ściany sześcianu, nie zmieniając wartości V − E + F.
Gdybyśmy wykonali tę samą operację również na trzech pozostałych ścianach, wartość V − E + F nadal by się nie zmieniła. Wtedy cała powierzchnia sześcianu byłaby podzielona na trójkąty.
To prowadzi do jednej z najważniejszych idei, jakie pojawią się w tej książce:
Czasami łatwiej jest badać obiekt po jego zmodyfikowaniu, pod warunkiem że potrafimy wskazać wielkość, która podczas tej modyfikacji się nie zmienia.
Takie wielkości matematycy nazywają _niezmiennikami_.
Na razie wystarczy nam intuicyjne znaczenie tego słowa.
Dlaczego trójkąty?
Weźmy teraz dowolny wielościan.
Jego ściany mogą być pięciokątami, sześciokątami czy wielokątami o jeszcze większej liczbie boków. Każdą taką ścianę możemy jednak pociąć przekątnymi na trójkąty.
Pięciokąt można podzielić na trzy trójkąty.
Sześciokąt — na cztery.
Ogólnie każdy zwykły wielokąt można rozciąć na trójkąty.
Za każdym razem, gdy dodajemy przekątną, liczba krawędzi zwiększa się o jeden i liczba ścian zwiększa się o jeden. Wartość V − E + F pozostaje więc bez zmian.
Możemy zatem zastąpić powierzchnię wielościanu siatką złożoną wyłącznie z trójkątów.
Takie dzielenie powierzchni na trójkąty nazywamy _triangulacją_.
Trójkąty odgrywają w geometrii szczególną rolę. Są najprostszymi wielokątami. Nie można narysować wielokąta o dwóch bokach ani o jednym boku. Co więcej, kiedy powierzchnia została już podzielona na trójkąty, wszystkie jej małe fragmenty mają ten sam prosty typ.
Sześcian i jego diagram Schlegla. Usunięcie jednej ściany oraz spłaszczenie pozostałej powierzchni zachowuje wszystkie wierzchołki i krawędzie.
Od diagramu Schlegla do drzewa.
Przykład drzewa.
Pięć wielościanów platońskich i odpowiadające im pary (p,q).
Trzy kąty po 120∘ wypełniają pełny kąt wokół wierzchołka. Obok fragment płaskiej sieci sześciokątnej.
Niedobór i nadmiar kąta w lokalnych układach wielokątów. Kreskowanie oznacza odpowiednio lukę i nakładanie się sektorów w płaskim rysunku.
W płaskiej siatce trójkątnej wyróżniony wierzchołek ma sześciu sąsiadów. Na sferze pojawiają się defekty pięciokrotne.
Fragment klasycznej piłki futbolowej oraz ten sam układ po dodaniu środków łatek i podziale każdej z nich na trójkąty.
Klasyczna piłka futbolowa ma strukturę ściętego dwudziestościanu: składa się z dwunastu pięciokątów i dwudziestu sześciokątów.
Sfera oraz powierzchnie orientowalne z jednym, dwoma i trzema uchwytami. Każdy kolejny uchwyt zmniejsza charakterystykę Eulera o dwa.
Ta sama triangulacja na gładkiej sferze i na wielościennym przybliżeniu otrzymanym przez zastąpienie łuków prostymi krawędziami.
Osiem jednakowych klocków ułożonych w kwadrat 3 × 3 z usuniętym środkowym klockiem.
Po sklejeniu par przeciwległych boków prostokąta otrzymujemy torus. Boki oznaczone przez a tworzą jeden równoleżnik, a boki oznaczone przez b — jeden południk.
Matematyka wielu osobom kojarzy się przede wszystkim z liczeniem: wykonywaniem rachunków, przekształcaniem wzorów i szukaniem właściwego wyniku. Tymczasem znaczna część matematyki wygląda zupełnie inaczej. Często ważniejsze od samego obliczenia jest znalezienie właściwego sposobu patrzenia na problem.
Sam bardzo często myślę o matematyce geometrycznie. Dotyczy to również zagadnień, które na pierwszy rzut oka są czysto analityczne i zapisuje się je za pomocą wzorów. Rysunek, deformacja powierzchni, wyobrażenie sobie krajobrazu czy ruchu po pewnej przestrzeni potrafią podpowiedzieć, co powinno być prawdą, zanim jeszcze pojawi się formalny dowód.
Takie intuicje nie zastępują ścisłego rozumowania. W matematyce trzeba je później sprawdzić, doprecyzować i udowodnić. Są jednak często pierwszym krokiem do zrozumienia problemu. W tej książce bardziej niż na samych odpowiedziach zależy mi więc na próbie zrozumienia, dlaczego coś jest tak, a nie inaczej — skąd bierze się definicja, dlaczego pewien wzór ma właśnie taką postać i co naprawdę stoi za twierdzeniem.
Dlaczego piłka futbolowa ma dwanaście pięciokątów? Czy mieszkańcy powierzchni mogliby odkryć jej zakrzywienie bez oglądania jej z zewnątrz? Dlaczego nie każdy krajobraz jest możliwy? Czy da się uczesać kulę? Czy można przesunąć każdy punkt tak, aby żaden nie pozostał na swoim miejscu?
Czasami odpowiedź będzie wymagała wzoru, czasami rysunku, a czasami prostego eksperymentu myślowego. Najważniejsze nie będzie jednak zapamiętanie nazw twierdzeń ani symboli.
Jeżeli w tekście pojawia się termin matematyczny, który nie jest później potrzebny, można go spokojnie zapomnieć. Jeżeli pojawia się bardziej formalny rachunek oznaczony jako fragment dla zainteresowanego czytelnika, można go pominąć i wrócić do głównej opowieści. Rysunki mają tu nie tylko ozdabiać tekst, lecz często zastępować definicję albo część dowodu.
Najbardziej zależy mi na tym, aby po przeczytaniu rozdziału pozostał pewien obraz i pytanie. W matematyce często właśnie od dobrego pytania zaczyna się wszystko.
W kilku miejscach znajdą się też ramki _Czego matematycy nie wiedzą?_. Mają przypominać, że nie oglądamy muzeum dawno ukończonej nauki.DLACZEGO PIŁKA FUTBOLOWA MA 12 PIĘCIOKĄTÓW?
Kiedy pytamy, czy dwa obiekty są takie same, odpowiedź zależy przede wszystkim od tego, co właściwie rozumiemy przez słowa _takie same_.
Narysujmy na kartce figurę, a obok niej drugą, identyczną, tylko trochę przesuniętą. Prawdopodobnie bez wahania powiemy, że to ta sama figura. Przesunięcie jej w inne miejsce nie zmieniło przecież niczego istotnego.
Możemy pozwolić sobie na więcej. Jeśli drugą figurę obrócimy, większość z nas nadal uzna ją za tę samą. Jeżeli interesują nas jedynie kąty, a nie długości, możemy również całość powiększyć albo pomniejszyć. To, jakie zmiany uznajemy za dozwolone, zależy więc od kontekstu i od tego, jakie własności chcemy zachować.
W topologii pozwalamy sobie na znacznie więcej niż na przesuwanie, obracanie czy skalowanie. Wyobraźmy sobie, że figura została wykonana z niezwykle elastycznej gumy. Możemy ją rozciągać, ściskać, wyginać i płynnie deformować. Obowiązują jednak dwie podstawowe zasady: nie wolno jej nagle rozerwać ani skleić ze sobą punktów, które wcześniej były osobno.
W tym sensie trójkąt, kwadrat i okrąg są z punktu widzenia topologii tym samym obiektem. Wierzchołki trójkąta czy kwadratu możemy stopniowo zaokrąglać, aż otrzymamy okrąg. Nie trzeba przy tym niczego przecinać ani sklejać — cała zmiana może odbywać się płynnie.
Ciągła deformacja obwodu trójkąta w okrąg oraz obwodu kwadratu w okrąg.
Topologię można więc w pierwszym przybliżeniu traktować jako matematykę tego, _co pozostaje niezmienne podczas takich ciągłych deformacji_.
W tym rozdziale poznamy pierwszy przykład takiej wielkości — NIEZMIENNIK TOPOLOGICZNY. Nazwa brzmi może poważnie, ale sama idea jest prosta: jest to cecha wspólna wszystkim kształtom, które można jeden w drugi płynnie zdeformować bez rozrywania i sklejania.
Prawdopodobnie na razie brzmi to wszystko nieco abstrakcyjnie. Za kilka stron stanie się jednak bardzo konkretne. Okaże się, że pierwszy niezmiennik, który poznamy, można odkryć, wykonując coś tak elementarnego jak liczenie wierzchołków, krawędzi i ścian wielościanu.
A później ta sama idea wyjaśni nam coś znacznie bardziej namacalnego: dlaczego klasyczna piłka futbolowa ma dokładnie dwanaście pięciokątnych łatek.
Zanim jednak dotrzemy do piłki futbolowej, zacznijmy od znacznie prostszych brył.
Weźmy trzy dobrze znane bryły.
Pierwszą niech będzie tetraedr, czyli czworościan foremny. Ma cztery trójkątne ściany. Każde dwie odpowiednio sąsiadujące ściany spotykają się wzdłuż krawędzi, a krawędzie zbiegają się w wierzchołkach.
Policzmy:
_V_ = 4, _E_ = 6, _F_ = 4,
gdzie V oznacza liczbę wierzchołków, E — liczbę krawędzi, a F — liczbę ścian.
Wykonajmy teraz niezbyt naturalnie wyglądające działanie:
_V_ − _E_ + _F_.
Dla tetraedru otrzymujemy
4 − 6 + 4 = 2.
Na razie nie ma w tym nic szczególnego.
Sprawdźmy sześcian. Ma osiem wierzchołków, dwanaście krawędzi i sześć ścian:
_V_ = 8, _E_ = 12, _F_ = 6.
A więc
8 − 12 + 6 = 2.
Możemy spróbować jeszcze raz. Ośmiościan foremny ma sześć wierzchołków, dwanaście krawędzi i osiem ścian:
6 − 12 + 8 = 2.
Trzy razy wyszło to samo.
Tetraedr, sześcian i ośmiościan: w każdym przypadku V − E + F = 2.
_SPRÓBUJ. Policz V − E + F dla:_
Jeżeli rachunki zostały wykonane poprawnie, odpowiedź zapewne znowu brzmi:
2.
W tym momencie warto już zadać pytanie.
DLACZEGO?
Przypadek czy prawo?
Nie ma nic dziwnego w tym, że tetraedr ma cztery ściany. Nie ma również nic zagadkowego w liczbie dwunastu krawędzi sześcianu.
Znacznie bardziej zastanawiające jest to, że trzy liczby, które mogą przyjmować bardzo różne wartości, zawsze zdają się spełniać tę samą zależność:
_V_ − _E_ + _F_ = 2.
Możemy przecież wyobrazić sobie wielościan mający setki ścian. Mogą to być trójkąty, czworokąty, pięciokąty i wielokąty o jeszcze większej liczbie boków. Bryła może być niemal symetryczna albo zupełnie nieregularna.
A jednak wynik pozostaje ten sam.
Co więcej, we wzorze nie występuje nic, co zwykle kojarzymy z geometrią. Nie ma długości krawędzi. Nie ma kątów. Nie ma pól ścian ani objętości bryły.
Jeżeli wykonamy sześcian z gumy i mocno go zdeformujemy, tak aby przestał przypominać sześcian z podręcznika, nadal będzie miał osiem wierzchołków, dwanaście krawędzi i sześć ścian.
Wciąż więc
8 − 12 + 6 = 2.
Płynna deformacja sześcianu nie zmienia liczby wierzchołków, krawędzi ani ścian.
Zaczynamy dostrzegać coś istotnego. Wzór nie interesuje się dokładnym kształtem bryły. Interesuje go raczej sposób, w jaki jej części są ze sobą połączone.
Euler liczy wielościany
Zależność
_V_ − _E_ + _F_ = 2
wiąże się z nazwiskiem Leonharda Eulera, jednego z najbardziej płodnych matematyków XVIII wieku.
W połowie XVIII wieku Euler zwrócił uwagę na niezwykle prostą własność dotyczącą wielościanów.
LEONHARD EULER — _1707–1783_
Leonhard Euler urodził się w Bazylei, a większą część swojej kariery spędził w Petersburgu i Berlinie. Należał do najbardziej płodnych matematyków w historii, a wiele używanych dziś oznaczeń matematycznych upowszechniło się właśnie dzięki niemu.
W 1750 roku w liście do Christiana Goldbacha zapisał zależność między liczbą wierzchołków, krawędzi i ścian wielościanu, a dwa lata później opublikował poświęcone jej prace. Wzór V − E + F = 2 stał się jednym z pierwszych sygnałów, że w geometrii można badać własności niezależne od długości i kątów — idee, z których później wyrosła topologia.
Pod koniec życia Euler był niemal całkowicie niewidomy. Nie przerwał jednak pracy: dzięki niezwykłej pamięci prowadził obliczenia w głowie i dyktował matematykę współpracownikom oraz członkom rodziny. Znaczna część jego ogromnego dorobku powstała właśnie w tym okresie.
Własność była na tyle elementarna, że można ją wyjaśnić osobie znającej tylko matematykę szkolną. A jednocześnie przez wiele stuleci badań geometrii nie znalazła się w centrum uwagi.
Grecy znali wielościany foremne ponad dwa tysiące lat wcześniej. Sześcian, tetraedr czy dwunastościan były klasycznymi obiektami geometrii.
Ale czym innym jest znać wiele przykładów, a czym innym dostrzec właściwe pytanie.
Euler zaczął traktować liczbę wierzchołków, krawędzi i ścian jako wielkości, między którymi może istnieć ogólna zależność.
Dziś zapisujemy ją najczęściej jako
_V_ − _E_ + _F_ = 2.
Nazywamy ją _wzorem Eulera dla wielościanów_.
Samo znalezienie wzoru nie kończy jednak sprawy.
Matematyka zaczyna się właściwie dopiero wtedy, gdy pytamy:
DLACZEGO MUSI BYĆ PRAWDZIWY?
Co się stanie, jeśli przetniemy ścianę?
Zanim spróbujemy udowodnić wzór Eulera, wykonajmy bardzo prosty eksperyment.
Weźmy sześcian i na jednej z jego kwadratowych ścian narysujmy przekątną.
Co się zmieniło?
Nie powstał żaden nowy wierzchołek, więc
_Δ__V_ = 0.
Powstała jedna nowa krawędź:
_Δ__E_ = 1.
Jedna ściana została natomiast podzielona na dwie, więc liczba ścian zwiększyła się o jeden:
_Δ__F_ = 1.
Sprawdźmy zmianę wyrażenia Eulera:
_Δ_(_V_−_E_+_F_) = 0 − 1 + 1 = 0.
A więc narysowanie przekątnej _nie zmienia_ wartości V − E + F.
To drobne spostrzeżenie ma znacznie większe znaczenie, niż mogłoby się wydawać.
Dla czytelności narysujmy teraz przekątne tylko na trzech widocznych ścianach sześcianu.
Początkowo mieliśmy
_V_ = 8, _E_ = 12, _F_ = 6.
Dodajemy trzy przekątne. Nie pojawia się żaden nowy wierzchołek, liczba krawędzi rośnie o trzy, a każda z trzech przeciętych ścian zostaje zastąpiona przez dwie. Otrzymujemy więc
_V_ = 8, _E_ = 15, _F_ = 9.
I rzeczywiście:
8 − 15 + 9 = 2.
Kolejne przekątne triangulują widoczne ściany sześcianu, nie zmieniając wartości V − E + F.
Gdybyśmy wykonali tę samą operację również na trzech pozostałych ścianach, wartość V − E + F nadal by się nie zmieniła. Wtedy cała powierzchnia sześcianu byłaby podzielona na trójkąty.
To prowadzi do jednej z najważniejszych idei, jakie pojawią się w tej książce:
Czasami łatwiej jest badać obiekt po jego zmodyfikowaniu, pod warunkiem że potrafimy wskazać wielkość, która podczas tej modyfikacji się nie zmienia.
Takie wielkości matematycy nazywają _niezmiennikami_.
Na razie wystarczy nam intuicyjne znaczenie tego słowa.
Dlaczego trójkąty?
Weźmy teraz dowolny wielościan.
Jego ściany mogą być pięciokątami, sześciokątami czy wielokątami o jeszcze większej liczbie boków. Każdą taką ścianę możemy jednak pociąć przekątnymi na trójkąty.
Pięciokąt można podzielić na trzy trójkąty.
Sześciokąt — na cztery.
Ogólnie każdy zwykły wielokąt można rozciąć na trójkąty.
Za każdym razem, gdy dodajemy przekątną, liczba krawędzi zwiększa się o jeden i liczba ścian zwiększa się o jeden. Wartość V − E + F pozostaje więc bez zmian.
Możemy zatem zastąpić powierzchnię wielościanu siatką złożoną wyłącznie z trójkątów.
Takie dzielenie powierzchni na trójkąty nazywamy _triangulacją_.
Trójkąty odgrywają w geometrii szczególną rolę. Są najprostszymi wielokątami. Nie można narysować wielokąta o dwóch bokach ani o jednym boku. Co więcej, kiedy powierzchnia została już podzielona na trójkąty, wszystkie jej małe fragmenty mają ten sam prosty typ.
Sześcian i jego diagram Schlegla. Usunięcie jednej ściany oraz spłaszczenie pozostałej powierzchni zachowuje wszystkie wierzchołki i krawędzie.
Od diagramu Schlegla do drzewa.
Przykład drzewa.
Pięć wielościanów platońskich i odpowiadające im pary (p,q).
Trzy kąty po 120∘ wypełniają pełny kąt wokół wierzchołka. Obok fragment płaskiej sieci sześciokątnej.
Niedobór i nadmiar kąta w lokalnych układach wielokątów. Kreskowanie oznacza odpowiednio lukę i nakładanie się sektorów w płaskim rysunku.
W płaskiej siatce trójkątnej wyróżniony wierzchołek ma sześciu sąsiadów. Na sferze pojawiają się defekty pięciokrotne.
Fragment klasycznej piłki futbolowej oraz ten sam układ po dodaniu środków łatek i podziale każdej z nich na trójkąty.
Klasyczna piłka futbolowa ma strukturę ściętego dwudziestościanu: składa się z dwunastu pięciokątów i dwudziestu sześciokątów.
Sfera oraz powierzchnie orientowalne z jednym, dwoma i trzema uchwytami. Każdy kolejny uchwyt zmniejsza charakterystykę Eulera o dwa.
Ta sama triangulacja na gładkiej sferze i na wielościennym przybliżeniu otrzymanym przez zastąpienie łuków prostymi krawędziami.
Osiem jednakowych klocków ułożonych w kwadrat 3 × 3 z usuniętym środkowym klockiem.
Po sklejeniu par przeciwległych boków prostokąta otrzymujemy torus. Boki oznaczone przez a tworzą jeden równoleżnik, a boki oznaczone przez b — jeden południk.
więcej..
