Geometria - ebook

Wstęp

Geometria ma co najmniej 2500 lat i to właśnie w ramach tej dziedziny po raz pierwszy pojawiło się pojęcie dowodu matematycznego, to jest dedukcyjnego rozumowania na podstawie zbioru aksjomatów. Geometria stanowi również bardzo aktywny obszar badawczy w matematyce, ale w ciągu kilku ostatnich dekad stopniowo znikała z sylabusów w szkołach wyższych w Zjednoczonym Królestwie i poza nim. Niniejsza książka stanowi próbę ożywienia tego tematu.

Przechodzę od konkretnych przykładów (obiektów matematycznych, takich jak bryły platońskie, lub twierdzeń, takich jak twierdzenie Pitagorasa) do zasad ogólnych. Zakładam niewielką wcześniejszą wiedzę matematyczną czytelnika – wystarczy poziom szkoły średniej – ale podczas czytania powinien on chcieć używać ołówka, papieru, kompasu i linijki. Geometria wyróżnia się spośród innych gałęzi matematyki tym, że dowód twierdzenia można w niej przedstawić w sposób obrazowy, bez konieczności stosowania algebry, ale jednocześnie bez uszczerbku dla formalnych rygorystycznych zasad precyzji.

Nie używałem rachunku różniczkowego i starałem się unikać zbyt dużej ilości algebry. Wyjątkiem jest rozdział 6, w którym od czasu do czasu pojawiają się macierze. Mam nadzieję, że korzyści będą duże, ponieważ czytelnik będzie w stanie docenić związek między współczesną geometrią a symetrią, ale ten rozdział nie jest konieczny do zrozumienia pozostałej części książki.

Rozdział 2 dotyczy geometrii euklidesowej i najlepiej przeczytać go przed którymkolwiek z późniejszych rozdziałów, z których każdy koncentruje się na modyfikacji różnych postulatów Euklidesa. Rozdział 4, wprowadzający przestrzenie zakrzywione, należy przeczytać przed rozdziałem 7, w którym krzywizna pojawia się w kontekście teorii grawitacji Einsteina. Rozdział 5, pokazujący geometrię pod wieloma względami w jej najlepszym wydaniu, spodoba się każdemu, kto chce wejść w sferę geometrii z perspektywy sztuki renesansowej.

Podczas pisania tej książki korzystałem z własnych notatek do popularnych wykładów geometrii, które prowadziłem dla studentów ubiegających się o przyjęcie na Uniwersytet Cambridge. Jestem wdzięczny Nickowi Woodhouse’owi za jego wyrazy zachęty na wczesnych etapach tego projektu, Lacie Menon i Robinowi Wilsonowi za przeczytanie wcześniejszych szkiców i zasugerowanie zmian, które zaowocowały kilkoma ulepszeniami. Chciałbym również podziękować Rogerowi Penrose’owi – za podzielenie się ze mną swoim geometrycznym spojrzeniem na naukę oraz za wprowadzenie mnie w klasyczną geometrię rzutową. Przede wszystkim zaś wyrażam wdzięczność Adamowi Dunajskiemu – za uważną lekturę manuskryptu i krytyczne uwagi, a także za przygotowanie wszystkich zamieszczonych w książce rysunków.Wstęp do wydania polskiego

Chciałbym serdecznie podziękować Wydawnictwu Uniwersytetu Łódzkiego za przetłumaczenie mojej książki na język polski i zaprezentowanie jej polskim czytelnikom. To książka o geometrii – dziedzinie matematyki, którą rozumiemy jako system twierdzeń pewnych i niezmiennych, nie zaś teorii pełnych luk i hipotez.

Zdaję sobie sprawę, że w dobie pogoni za sensacją i nieznanym nie jest to najlepszą zachętą do lektury. Ludzie pragną wiedzieć o najnowszych próbach unifikacji teorii grawitacji z mechaniką kwantową, a nawet zrozumieć matematyczne zawiłości takich prób. Interesuje ich raczej to, czego nauka nie wie, niż to, co w końcu udało nam się dobrze zrozumieć. Wykłady popularne o tytułach Czy Wszechświat jest komputerem kwantowym? lub Podróże w czasie są możliwe: nowa matematyka obala teorie Einsteina doczekają się dziesiątek tysięcy kliknięć w internecie. Wykład Jak Ziemia porusza się w polu grawitacyjnym Słońca? będzie zapewne mniej chwytliwy. Dwa pierwsze wykłady będą składać się w najlepszym razie ze spekulacji, których nie-specjaliści nie będą w stanie odróżnić od rzetelnej wiedzy, natomiast trzeci, o ile wykładowca się do niego przyłoży, pokaże triumf myśli ludzkiej najwyższego kalibru: setki lat obserwacji astronomicznych połączonych z postępem w matematyce, które doprowadziły Keplera i Newtona do geometrycznej teorii trajektorii eliptycznych, a potem Einsteina do jej subtelnej i jeszcze bardziej geometrycznej modyfikacji, przepięknej matematycznie i potwierdzonej empirycznie.

Moim celem w tej książce jest próba zainteresowania Państwa tym, co wiemy o geometrii. Tu i tam wspominam również o tym, czego nie wiemy – to tak zwane problemy otwarte – ale staram się opierać na solidnych podstawach, w ramach których można przynajmniej ściśle sformułować tego rodzaju problemy. Jest to szczególnie widoczne w rozdziale 7, gdzie przedstawiam zagadnienie czarnych dziur w geometrycznym ujęciu teorii grawitacji Einsteina.

Moje zadanie jest tym trudniejsze, że geometria nie jest naszą narodową specjalnością. Lwowska szkoła matematyczna skupiona w latach międzywojennych wokół wybitnego polskiego matematyka Stefana Banacha zajmowała się analizą funkcjonalną. Współczesne podręczniki z tej dziedziny, które polecam moim studentom w Cambridge, pełne są twierdzeń nazwanych polskimi imionami. Szkoła warszawska, której liderami byli między innymi Wacław Sierpiński i Kazimierz Kuratowski, prowadziła badania w zakresie logiki i tego, co dzisiaj zwykło się określać podstawami matematyki. Możemy być niezmiernie dumni z polskich osiągnięć w tej dziedzinie. To tło historyczne miało wpływ na programy nauczania matematyki w szkołach podstawowych i średnich. Mój rocznik (matura w 1990 roku w łódzkim Liceum im. Mikołaja Kopernika – Kopernik to może najbardziej znany polski geometra) był faszerowany teorią zbiorów i podstawami matematyki od pierwszej klasy szkoły podstawowej – to zapewne wpływ szkoły warszawskiej. Później uczyliśmy się znienawidzonych granic ciągów, „epsilonów i delt”, a także tak zwanych tasiemców (to upraszczanie skomplikowanych wyrażeń algebraicznych). Moja żona twierdzi, że tylko dzięki opanowaniu tasiemców dostała się do liceum. To wstęp do analizy, a zatem wpływ szkoły lwowskiej. Czy ktoś z Państwa pamięta naukę metod obliczania objętości ostrosłupa? Albo przepięknych twierdzeń o trójkątach opisanych na okręgu? Ja nie. Taka staromodna matematyka nie była i nie jest w modzie.

Zapraszam więc Państwa do studiów własności kwadratów, okręgów i trójkątów, ale też bardziej egzotycznych kształtów, takich jak aperiodyczny parkietaż Penrose’a. W dalszych rozdziałach zerwiemy z aksjomatami Euklidesa, co da nam szanse zrozumieć geometrię hiperboliczną, a także geometryczne podstawy perspektywy. To fascynujące i elementarne dziedziny geometrii, o których nie uczyliśmy się w szkole, mimo że ich zrozumienie nie wymaga żadnych wzorów lub operacji algebraicznych. Jeszcze bardziej fascynujące jest to, że geometria to klucz do zrozumienia najdziwniejszych obiektów we Wszechświecie: czarnych dziur, a być może też ukrytych w nich osobliwości. Mam nadzieję, że ta książka pozwoli Państwu dostrzec piękno tej dziedziny matematyki.

Maciej Dunajski

Tulum, wrzesień 2025Spis ilustracji

1. Twierdzenie Pitagorasa
2. Dowód twierdzenia Pitagorasa
3. Granica okręgu IV (M. C. Escher). Model geometrii hiperbolicznej

M. C. Escher’s “Circle Limit IV”

© 2021 The M. C. Escher Company-The Netherlands.

All rights reserved. www.mcescher.com

1. Ostatnia Wieczerza. Wszystkie linie równoległe przecinają się w jednym punkcie

Leonardo da Vinci / Wikipedia

1. Twierdzenie Brianchona
2. 𝜋 nie jest równe 3
3. Piąty aksjomat Euklidesa
4. Aksjomat równoległości
5. Kąty przeciwległe
6. Podział kąta na połowy
7. Podział odcinka na trzy równe części
8. Dwa przystające wielokąty powiązane sekwencją przekształceń izometrycznych: odbicie względem linii l, obrót wokół punktu O i przesunięcie
9. Metryka „British Rail”
10. Wielokąt wypukły i nie-wypukły (wklęsły)
11. Suma kątów w trójkącie
12. Podział n-kąta
13. Heksagonalna struktura plastra miodu

Grzecznościowo: Dr Daniel Twitchen

1. Kafelkowanie płaszczyzny
2. Aperiodyczne kafelki Penrose’a oraz ich reguły dopasowania
3. Pięć brył platońskich
4. Obliczenie pola trójkąta
5. Wiedźma Agnesi
6. Współrzędne kartezjańskie punktu
7. Dodawanie wektorów
8. Rozwiązanie problemu Sylvestera
9. Liczba chromatyczna płaszczyzny jest równa co najwyżej 7
10. Wielki okrąg
11. Trójkąt sferyczny
12. Odwzorowanie Mercatora
13. Luna sferyczna
14. Linie hiperboliczne
15. Konstrukcja linii hiperbolicznej
16. Nieskończenie wiele linii równoległych
17. Odległość hiperboliczna
18. Odległości hiperboliczna i euklidesowa od środka dysku
19. Granica okręgu IV (M. C. Escher)

M. C. Escher’s “Circle Limit IV”

© 2021 The M.C. Escher Company-The Netherlands.

All rights reserved. www.mcescher.com

1. Trójkąt hiperboliczny
2. Kafelkowanie za pomocą trójkątów idealnych
3. Kafelkowanie za pomocą regularnych siedmiokątów
4. Traktrysa i pseudosfera
5. Model Beltramiego
6. Zewnętrzna krzywizna krzywej
7. Okrąg oskulacyjny (krzywiznowy)
8. Krzywizna paraboli y = x2 wynosi κ = 2(1 + 4x2)–3/2
9. Krojenie powierzchni
10. Krzywizna Gaussa
11. Powierzchnia o genusie 3
12. Rzutowanie stereograficzne. Dwa punkty: P i Q, znajdują się blisko siebie na sferze, ale ich obrazy, P′ i Q′, są daleko od siebie na płaszczyźnie
13. Wektor styczny na płaszczyźnie stycznej
14. Długość krzywej
15. (a) Duccio di Buoninsegna (ok. 1310), Pojmanie Jezusa

Duccio di Buoninsegna / Wikipedia

(b) Canaletto (ok. 1730), Dziedziniec wewnętrzny Pałacu Dożów

© Fitzwilliam Museum / Bridgeman Images

1. Maszyna perspektywiczna z Podręcznika malarza Albrechta Dürera (1525)103

Bridgeman Images

1. Rzut linii prostej na linię prostą
2. Rzut z płaszczyzny na płaszczyznę
3. Twierdzenie Desarguesa
4. Punkty i linie proste na płaszczyźnie rzutowej
5. Przekroje stożkowe
6. „Kozia” definicja elipsy
7. Twierdzenie Pascala
8. Twierdzenie Ponceleta
9. Dualność rzutowa
10. Dualność względem krzywej stożkowej
11. Twierdzenie Briachona jest dualne względem twierdzenia Pascala
12. Twierdzenie Cevy
13. Transformacje kwadratu w różnych geometriach
14. Dwie czwórki punktów o takich samych ilorazach krzyżowych są powiązane przez transformację rzutową
15. Krzywe Fermata dla n = 2, 3 i 4
16. Wymierna parametryzacja okręgu
17. Stożek świetlny w czasoprzestrzeni
18. Linie geodezyjne są najdłuższymi ścieżkami
19. Równoczesność nie jest absolutna
20. Odległość w czasoprzestrzeni arystotelesowskiej i galileuszowskiej
21. Materia zakrzywiająca czasoprzestrzeń
22. Czarna dziura z przerywanymi pionowymi liniami przedstawiającymi horyzont zdarzeń
23. Grawitacyjne zapadanie się gwiazdy, w wyniku którego powstaje czarna dziuraRozdział 1

Czym jest geometria?

W VI wieku p.n.e. grecki filozof Pitagoras z Samos i jego zwolennicy, pitagorejczycy, spędzali czas na odkrywaniu związków między liczbami a formami geometrycznymi. Przypisuje się im udowodnienie tego, co obecnie znane jest jako twierdzenie Pitagorasa: dla dowolnego trójkąta prostokątnego kwadrat przeciwprostokątnej c jest równy sumie kwadratów dwóch pozostałych boków a i b (rysunek 1).

Twierdzenie Pitagorasa stanowi wynik w geometrii – termin ten pochodzi od starożytnych greckich słów: geo, ‘ziemia’, i metron, ‘miara’ – gałęzi matematyki zajmującej się długościami, kształtami i powierzchniami. Geometria wyróżnia się spośród większości innych dziedzin matematyki tym, że dowód twierdzenia można przedstawić w sposób obrazowy, bez potrzeby stosowania algebry lub symboli matematycznych, ale jednocześnie bez uszczerbku dla precyzji (rysunek 2).

Chociaż przekonanie, że wszystkie trójkąty w lewym kwadracie można przekształcić w trójkąty w prawym kwadracie, może wymagać pewnych wyjaśnień, dowód jest zasadniczo samowystarczalny. Rzeczywiście, koncepcja dowodu matematycznego – rozumowania dedukcyjnego wyprowadzonego z zestawu aksjomatów – po raz pierwszy pojawiła się właśnie w geometrii. Aksjomaty to stwierdzenia, które są ewidentnie prawdziwe. Po raz pierwszy zostały one wymienione przez innego greckiego matematyka, Euklidesa, w jego Elementach – prawdopodobnie najbardziej wpływowym zbiorze książek matematycznych, jakie kiedykolwiek napisano.

1. Twierdzenie Pitagorasa

2. Dowód twierdzenia Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa obowiązuje w geometrii euklidesowej. Opiera się ono na dość bogatym zestawie pojęć: istnieją trójkąty i kąty proste, które odgrywają kluczową rolę w twierdzeniu. Istnieją również inne wielokąty, takie jak kwadraty, a każdy z tych wielokątów ma pole dające się obliczyć przy znajomości wyłącznie boków i kątów wewnętrznych wielokąta. Co więcej, twierdzenie to obowiązuje nie tylko dla trójkątów prostokątnych położonych poziomo, takich jak ten na rysunku 1, ale także dla trójkątów o dowolnej orientacji na płaszczyźnie. Tak więc musi być prawdą, że pojęcia kątów i pól nie zmieniają się pod wpływem obrotów i transpozycji. Chociaż wszystko to może być intuicyjnie jasne, nawet dla osoby niebędącej matematykiem, jest tego wiele do przyswojenia. Które z własności należy przyjąć jako założenia, aby inne własności można było wywnioskować? Tym wszystkim zajmuje się geometria euklidesowa, i ta postać geometrii będzie przedmiotem rozdziału 2.

Według innego twierdzenia geometrii euklidesowej suma kątów w dowolnym trójkącie na płaszczyźnie wynosi 180°. Czy musi to być prawdą w innych geometriach? Okazuje się, że odpowiedź brzmi: nie. Suma kątów trójkąta na sferze jest zawsze większa niż 180°. Można w tym miejscu słusznie wnieść sprzeciw, ponieważ nie jest wcale jasne, co oznacza trójkąt na sferze. Zostanie to wyjaśnione w rozdziale 3, w którym wprowadzono geometrie nieeuklidesowe. Geometria sferyczna stanowi jeden z przykładów geometrii nieeuklidesowej, ale są też inne – historycznie pierwszą była geometria hiperboliczna – w których jeden z postulatów Euklidesa jest fałszywy. Granica okręgu IV Mauritsa Cornelisa Eschera (rysunek 3) przedstawia tę geometrię na dysku, którego punkty na granicy znajdują się nieskończenie daleko od siebie. W tej geometrii odpowiednikami linii prostych są łuki kołowe przecinające granicę dysku pod kątem prostym. Sześć takich łuków zostało narysowanych na rysunku 3.

3. Granica okręgu IV (M. C. Escher). Model geometrii hiperbolicznej

Chociaż pojęcie odległości jest w geometrii hiperbolicznej zniekształcone, nasze codzienne euklidesowe pojęcie kątów nadal ma sens. A co z powierzchniami? Okazuje się, że wszystkie diabły na rysunku 3 mają tę samą powierzchnię. Te znajdujące się blisko granicy wydają się mniejsze, ale tylko dlatego, że są daleko – biorąc pod uwagę odległość hiperboliczną – od środka dysku. Daliśmy się zwieść naszej euklidesowej intuicji. Do tej formy geometrii dojdziemy w rozdziale 3.

Geometrie sferyczne i hiperboliczne różnią się od geometrii euklidesowej tym, że w obu obecna jest krzywizna. Krzywizna jest stała i dodatnia dla kuli, a stała i ujemna dla dysku hiperbolicznego. W rozdziale 4 przedstawię sformułowania matematyczne potrzebne do zrozumienia powierzchni zakrzywionych, takich jak powierzchnia królika. Niektóre obszary powierzchni królika wyglądają na bardziej zakrzywione niż inne, ale dopiero w XIX wieku niemiecki matematyk Carl Friedrich Gauss zrozumiał, że krzywizna to wewnętrzna właściwość powierzchni i zależy wyłącznie od pomiaru odległości, a nie od sposobu, w jaki powierzchnia jest osadzona w otaczającej przestrzeni. Ta obserwacja Gaussa stała się znana jako Theorema Egregium (łac. „wybitne twierdzenie”). Gaussowska koncepcja krzywizny dotyczy nie tylko powierzchni, ale także ich uogólnień o wyższym wymiarze, znanych jako rozmaitości (ang. manifolds). Prowadzi to do geometrii różniczkowej – jednego z najbardziej aktywnych badawczo obszarów w matematyce – którą również wyjaśniamy w rozdziale 4.

W rozdziale 5 przedstawię zupełnie inny typ geometrii, w którym nie istnieją pojęcia odległości, kątów i powierzchni. Zamiast tego tym, co jest ważne, są konfiguracje punktów i linii. Nowoczesne podstawy tego rodzaju geometrii opracował XVII-wieczny francuski matematyk Girard Desargues. Ta sama geometria leży u podstaw zasad rysunku perspektywicznego, podobnie jak w przypadku Leonarda da Vinci, gdzie wszystkie linie, które byłyby równoległe w zwykłej trójwymiarowej przestrzeni, przecinają się w punkcie, który nazywamy punktem w nieskończoności. W Ostatniej Wieczerzy (rysunek 4) da Vinci jako ten punkt wybrał punkt znajdujący się w prawym uchu Chrystusa.

4. Ostatnia Wieczerza. Wszystkie linie równoległe przecinają się w jednym punkcie

Na tym etapie możecie zauważyć, że nie powinniśmy używać nazwy geometria w jej greckim znaczeniu, ponieważ nie można wykonać żadnych pomiarów. Współczesną terminologią dla tego zestawu idei jest geometria rzutowa. Twierdzenie Pitagorasa nie jest prawdziwe w geometrii rzutowej. Na przykład zróbmy zdjęcie trójkąta prostokątnego, połóżmy je na stole i spójrzmy na nie z odległości 10 metrów. Kąt prosty może wydawać się rozwarty lub ostry, w zależności od tego, jak położony jest trójkąt. Kwadraty mogą również wydawać się zniekształcone i wyglądać jak inne czworokąty. W zależności od punktu, z którego wyznaczamy perspektywę, kwadrat przeciwprostokątnej może być większy lub mniejszy niż suma kwadratów pozostałych dwóch boków. Możemy zapytać, czy istnieją jakieś twierdzenia geometryczne, które pozostają obowiązujące w geometrii rzutowej? Odpowiedź brzmi: tak, a jednym z przykładów jest twierdzenie Brianchona. Zgodnie z nim gdy sześciokąt jest opisany na elipsie, przekątne łączące przeciwległe wierzchołki spotykają się w jednym punkcie (rysunek 5). Więcej przykładów znajdziemy w rozdziale 5.

5. Twierdzenie Brianchona

Geometria jest jedną z najszybciej rozwijających się dziedzin matematyki i obecnie pokrywa się z innymi gałęziami matematyki, takimi jak algebra, teoria liczb i topologia. Rzeczywiście, dowód słynnego Wielkiego Twierdzenia Fermata, podany w 1995 roku przez sir Andrew Wilesa, opiera się na wynikach geometrii algebraicznej. W rozdziale 6 omówimy krótko inne typy geometrii, pominięte w poprzednich rozdziałach.

Jednym z obszarów, w którym geometria odgrywa kluczową rolę, jest fizyka. Podczas gdy geometria euklidesowa daje bardzo dokładny opis przestrzeni fizycznej, w dużych skalach Wszechświat jest opisywany bardziej dokładnie za pomocą geometrii zakrzywionej, którą spotkamy w rozdziale 4. Zgodnie z ogólną teorią względności Einsteina grawitacja jest właśnie manifestacją krzywizny. Ta teoria działa niezwykle dobrze, a jej powiązania z geometrią zostaną wyjaśnione w rozdziale 7. Wykrycie w 2015 roku fal grawitacyjnych – zmarszczek na krzywiźnie Wszechświata wynikających z połączenia się dwóch czarnych dziur ponad 1,5 miliarda lat temu – jest zgodne z przewidywaniami teorii. Zostało to uznane poprzez przyznanie w 2017 roku nagrody Nobla w dziedzinie fizyki Rainerowi Weissowi, Barry’emu Barishowi i Kipowi Thorne’owi. Za jeszcze bardziej zdumiewające możemy uznać to, że idee geometryczne pochodzące z teorii grawitacji Einsteina doprowadziły również do postępu w czystej matematyce. Dowód hipotezy Poincarégo podany przez Grigorija Perelmana w 2003 roku jest jedną z ilustracji interakcji między geometrią a fizyką. Chociaż był to przełom w geometrii, poruszył wyobraźnię opinii publicznej głównie dlatego, że jego autor odrzucił Medal Fieldsa przyznany mu w 2006 roku i nie odebrał nagrody w wysokości miliona dolarów oferowanej przez Clay Mathematics Institute za rozwiązanie jednego z siedmiu problemów nagrody milenijnej (Millenium Prize Problems). Od 2021 roku hipoteza Poincarégo jest jedynym problemem nagrody milenijnej, który został rozwiązany.Rozdział 3

Geometria nieeuklidesowa

Sfera to powierzchnia kuli w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Odległość między dowolną parą punktów na sferze to długość najkrótszej ścieżki łączącej te dwa punkty i leżącej na powierzchni sfery. To ostatnie ograniczenie jest ważne – w przeciwnym razie połączylibyśmy po prostu dwa punkty odcinkiem linii prostej i obliczylibyśmy jego długość za pomocą twierdzenia Pitagorasa. Najkrótsze ścieżki okazują się być częściami wielkich okręgów – okręgów, które powstają jako przecięcia sfery z płaszczyznami przechodzącymi przez jej środek (rysunek 27).

27. Wielki okrąg

Geometria sferyczna to badanie obiektów na sferze. W tej geometrii definiujemy linie jako wielkie okręgi. Linie te nie spełniają postulatu równoległości Euklidesa w jego formie E5’: dowolne dwa wielkie okręgi przecinają się dokładnie w dwóch przeciwległych punktach na sferze. Tak więc geometria sferyczna jest przykładem geometrii nieeuklidesowej. Spełnia ona trzeci i czwarty postulat Euklidesa, ale nie pozostałe trzy.

Innym przykładem geometrii nieeuklidesowej, którą będziemy badać w tym rozdziale, jest geometria hiperboliczna. Jednym z jej modeli jest dysk pokazany na rysunku 3 w rozdziale 1. Przy odpowiedniej reinterpretacji linii geometria ta również narusza aksjomat równoległości, spełniając jednocześnie pozostałe cztery. Jednak w przeciwieństwie do sfery nie może być osadzona w zwykłej przestrzeni. Dlatego wprowadzimy ją jako powierzchnię abstrakcyjną, a następnie wyodrębnimy linie na tej powierzchni i na końcu wprowadzimy odległość, która sprawia, że linie te są najkrótsze. Pozwoli nam to ujawnić pozorne paradoksy aniołów i diabłów Eschera na rysunku 3.

Geometria sferyczna

Suma kątów dowolnego trójkąta na płaszczyźnie wynosi 180°, czyli 𝜋 radianów; nasz dowód tego, podany w rozdziale 2, wykorzystał postulat równoległości. Ten postulat nie obowiązuje w geometrii sferycznej, więc nie ma powodu oczekiwać, że trójkąty sferyczne mają takie same właściwości jak trójkąty euklidesowe. W rzeczywistości suma kątów w trójkącie sferycznym jest zawsze większa niż 𝜋. Na przykład, jeśli jeden z wierzchołków A znajduje się na biegunie północnym, a dwa pozostałe wierzchołki B i C znajdują się na równiku, tak że odległość między nimi stanowi jedną czwartą długości równika, wówczas wszystkie trzy kąty w trójkącie ΔABC wynoszą 𝜋/2 radianów lub 90° (rysunek 28). Dzieje się tak, ponieważ trzy odcinki trójkąta AB, BC i AC są przecięciami sfery z trzema płaszczyznami AOB, BOC i AOC, gdzie punkt O znajduje się w środku sfery, a dowolne dwie z trzech płaszczyzn przecinają się pod kątem prostym.

Ogólny wzór sumy kątów 𝛼, 𝛽 i 𝛾 trójkąta na sferze o promieniu r to

S1

28. Trójkąt sferyczny

W powyższym przykładzie pole trójkąta ABC jest jedną ósmą powierzchni całej sfery, co daje 4𝜋r2/8 = 𝜋r2/2. W związku z tym r2 upraszcza się w liczniku i mianowniku w S1 i pozostawia sumę kątów równą 3𝜋/2 radianów.

Wzór S1 ma kilka uderzających konsekwencji. Na przykład w geometrii sferycznej nie ma pojęcia podobieństwa. W geometrii euklidesowej dwa trójkąty są podobne, jeśli mają takie same kąty, ale różne rozmiary, a zatem różne powierzchnie. W geometrii sferycznej kąty określają powierzchnię. Mówiąc inaczej, płaszczyzna nie ma preferowanej skali odległości – przypomnijmy sobie, że musieliśmy dodać wybór podziałki odległości do aksjomatów Euklidesa, a różne wybory prowadziły do różnych jednostek długości. Z drugiej strony, sfera ma naturalną absolutną skalę odległości podaną przez promień sfery lub równoważnie przez długość dowolnego z jej równików podzieloną przez 2𝜋. Podczas gdy promień jest koncepcją zewnętrzną, ponieważ odnosi się do sposobu, w jaki sfera zanurzona jest w euklidesowej przestrzeni trójwymiarowej, odległość równikowa pozostaje dla sfery koncepcją wewnętrzną. Wrócimy do tego przy omawianiu krzywizny Gaussa w rozdziale 4. Podobnie podczas gdy w geometrii euklidesowej nie ma naturalnej skali powierzchni, ponieważ powierzchnia całej płaszczyzny jest nieskończona, sfera ma skalę absolutną – własną powierzchnię równą 4𝜋r2. Możemy zatem zmierzyć powierzchnię trójkąta sferycznego lub dowolnego innego obszaru sfery, porównując ją z powierzchnią całkowitą. To leży u podstaw wzoru S1.

Inną konsekwencją S1 jest niemożność wykonania płaskiej mapy jakiejkolwiek części sfery, która dokładnie przedstawiałaby wszystkie odległości. W rozdziale 2 takie mapy były nazywane izometriami. Gdyby istniała dokładna mapa, musiałaby ona zachowywać odległości, jak również kąty. Dlatego odcinki AB, BC i CA okręgów wielkich byłyby reprezentowane przez odcinki proste łączące obrazy punktów A, B i C na mapie. Trójkąt sferyczny byłby odwzorowany na zwykły trójkąt euklidesowy w sposób, który zachowuje sumę kątów, która wynosi 𝜋. Jest to jednak niemożliwe, ponieważ zgodnie ze wzorem S1 trójkąt sferyczny musiałby mieć wówczas pole zerowe.

Ten brak izometrii między S2 i ℝ2 niepokoił kartografów od najwcześniejszych dni morskiej nawigacji. Współczesna kartografia sięga czasów mapy skonstruowanej przez flamandzkiego geografa Gerardusa Mercatora w 1596 roku. Mapa Mercatora powstała poprzez umieszczenie sfery wewnątrz cylindra tak, aby równik był styczny do cylindra. Następnie Mercator rzutował równoleżniki (przecięcia sfery z płaszczyznami równoległymi do płaszczyzny równikowej) na cylinder w sposób, który zachowywał kąty, a na końcu rozwinął cylinder na płaszczyznę (rysunek 29). Ponieważ kąty zostały zachowane, krzywe stałego azymutu kompasu mierzone względem bieguna północnego reprezentowane są na mapie Mercatora przez linie proste. Chociaż te krzywe zazwyczaj nie są najkrótszymi ścieżkami, wzdłuż nich łatwo podążyć: statek płynie wzdłuż stałego azymutu kompasu od punktu P do punktu docelowego Q. W szczególnym przypadku, gdy punkty P i Q leżą na tym samym południku, linie rumbu (inaczej: loksodromy) pokrywają się z odcinkami wielkich okręgów, a zatem są rzeczywiście optymalne. Jeśli kiedykolwiek odbyłeś długodystansową podróż samolotem przez Atlantyk w czasach, gdy rozrywką na pokładzie był duży ekran wyświetlający trajektorię lotu, zauważyłeś zapewne, że samolot podążał zakrzywioną ścieżką na mapie (rysunek 29). Mapa była odwzorowaniem Mercatora, a ścieżka lotu obrazem linii sferycznej na tej mapie.

29. Odwzorowanie Mercatora

Regiony oddalone od równika są na mapie Merkatora zniekształcone – Grenlandia wydaje się tej samej wielkości co Afryka, podczas gdy Afryka jest około 15 razy większa. Podczas gdy mapa Merkatora zachowuje kąty, nie zachowuje wielkości obszarów. Istnieją inne rodzaje map, które zachowują obszary, ale zniekształcają odległości i wielkie okręgi do tego stopnia, że są bezużyteczne do celów nawigacji. Jedną z takich map uzyskuje się poprzez umieszczenie sfery wewnątrz cylindra i rzutowanie jej na zewnątrz od osi cylindra. Archimedes udowodnił, że powierzchnia dowolnego obszaru sfery jest taka sama jak powierzchnia rzutu tego obszaru na cylinder, a zatem jest taka sama na mapie uzyskanej przez przecięcie cylindra wzdłuż jednej z jego równoległych linii. Wynik ten został wyryty na nagrobku Archimedesa, gdy zmarł w 212 roku p.n.e.

Formuła S1 oznacza, że, ponieważ nie można skonstruować idealnej mapy, coś trzeba poświęcić. W rzeczywistości, nawet jeśli nie zależy nam na dokładnym przedstawieniu odległości, kątów i powierzchni, nie da się skonstruować takiej projekcji ze sfery na pojedynczą mapę, która jest ciągła oraz posiada własność, że wszystkie punkty na sferze są przedstawione na mapie i odwrotnie, że każdy punkt na mapie odpowiada unikalnemu punktowi na sferze. Aby objąć całą sferę, potrzebny jest atlas składający się z co najmniej dwóch map. Wrócimy do tego punktu w rozdziale 4, kiedy będziemy omawiać rozmaitości.

Pozostaje udowodnić wzór S1. Gdy promień r sfery jest ustalony, możemy wybrać podziałkę odległości w ℝ3 tak, aby r było jednostką odległości. Możemy zatem ustawić r na 1. Po dokonaniu tego wyboru jednostki miary kątowej są powiązane z bezwzględną skalą odległości i powierzchni na sferze przez

π radianów = (długość równikowa) = Area(S2).

Krok 1. Rozważmy obszar sfery ograniczony dwoma okręgami wielkimi łączącymi dwa punkty przeciwległe: A i A′. Taki obszar nazywa się luną sferyczną (rysunek 30(a)).

30. Luna sferyczna

Jeżeli kąt między okręgami wielkimi wynosi 𝛼, to pole powierzchni luny wynosi

zakładając, że sfera ma promień jednostkowy, więc jej pole wynosi 4𝜋.

Krok 2. Luna z Kroku 1 jest połączeniem dwóch trójkątów sferycznych (Rysunek 30(b)), ΔABC i ΔA′BC, tak że

Area(ΔABC) +Area(ΔA′BC) = 2𝛼.

Postępując analogicznie z odcinkami łączącymi pary antypodalne (B,B′) i (C,C′) otrzymujemy

Area(ΔABC) + Area(ΔAB′C) = 2𝛽,

Area(ΔABC) + Area(ΔABC′) = 2𝛾.

Dodanie do siebie tych trzech równań prowadzi do

3Area(ΔABC) + Area(ΔA′BC) + Area(ΔAB′C) + Area(ΔABC′) = 2(𝛼 + 𝛽 + 𝛾).

Krok 3. Trójkąty ΔABC, ΔACB′, ΔAB′C′ i ΔAC′B tworzą półsferę ograniczoną równikiem zawierającym punkty B, C, B′ i C′. Powierzchnia tej półsfery wynosi 2𝜋. Trójkąty ΔAB′C′ i ΔA′BC są wzajemnymi odwrotnościami względem środka kuli i mają takie same powierzchnie. W związku z tym,

Area(ΔABC) + Area(ΔA′BC) + Area(ΔAB′C) + Area(ΔABC′) = 2𝜋.

Odejmując to równanie od ostatniego równania w Kroku 2, otrzymujemy

𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 𝜋 + Area(ΔABC),

co jest sferyczną sumą kątów według wzoru S1 dla sfery o promieniu jednostkowym.

Geometria hiperboliczna

Historycznie rzecz biorąc, pierwszym przykładem geometrii nieeuklidesowej, w której postulat równoległości jest fałszywy, a twierdzenie Pitagorasa nie jest spełnione, jest geometria hiperboliczna. Można ją wprowadzić na kilka równoważnych (choć oczywiście nieekwiwalentnych) sposobów, począwszy od wymienienia zestawu aksjomatów po przedstawienie konkretnego modelu. Wybiorę to drugie i przedstawię model po raz pierwszy zaproponowany przez Włocha Eugenia Beltramiego w 1868 roku, a następnie ponownie odkryty i spopularyzowany przez francuskiego matematyka Henriego Poincarégo, którego nazwisko nosi obecnie. Areną geometrii hiperbolicznej w tym podejściu jest dysk jednostkowy: wnętrze okręgu o promieniu jeden. Twierdzimy, że następujące ścieżki są liniami hiperbolicznymi (analogonami linii prostych w geometrii euklidesowej lub okręgów wielkich w geometrii sferycznej):

1. Średnice granicznego okręgu.

2. Ścieżki kołowe przecinające graniczny okrąg pod kątem 90°.

Dowolne dwa punkty wewnątrz dysku można połączyć jedną linią hiperboliczną, która wygląda jak na rysunku 31.

31. Linie hiperboliczne

32. Konstrukcja linii hiperbolicznej

Jeżeli punkty P i Q leżą na średnicy granicznego okręgu, to średnica ta jest linią hiperboliczną. W przeciwnym wypadku rozważmy wszystkie okręgi zawierające P i Q, których środki leżą na dwusiecznej prostopadłej do PQ. Jeden z tych okręgów, nazwijmy go 𝒞, jest styczny do granicznego okręgu, więc kąt między nimi wynosi 0°. Teraz przesuńmy środek 𝒞 od środka granicznego okręgu, upewniając się, że 𝒞 zawiera P i Q. Każdy z powstałych okręgów przecina graniczny okrąg w dwóch punktach pod kątem, który zmienia się między 0° a kątem, jaki sieczna euklidesowa zawierająca PQ tworzy z granicznym okręgiem. Ten ostatni jest większy niż 90°, ponieważ założyliśmy, że punkty P i Q nie leżą na średnicy. Tak więc, na mocy ciągłości, istnieje dokładnie jeden okrąg zawierający P i Q i przecinający granicę pod kątem 90° (rysunek 32).

Mając linię hiperboliczną l i punkt P wewnątrz dysku, a nie na l, istnieje nieskończenie wiele linii hiperbolicznych przechodzących przez P, które nie przecinają l. Te linie hiperboliczne nazywane są równoległymi do l (rysunek 33).

33. Nieskończenie wiele linii równoległych

34. Odległość hiperboliczna

W geometrii euklidesowej istnieje tylko jedna taka linia (jest to postulat Euklidesa E5’), a w geometrii sferycznej nie ma żadnej, ponieważ dowolne dwa okręgi wielkie przecinają się dokładnie w dwóch punktach.

Po zdefiniowaniu linii hiperbolicznych pytamy, czy istnieje pojęcie odległości na dysku Poincarégo, które sprawia, że linie te są najkrótszymi ścieżkami. Odpowiedź brzmi „tak”, a wyrażenie na odległość hiperboliczną między dwoma punktami P i Q jest następujące:

H1. Wzór na odległość hiperboliczną (rysunek 34),

gdzie A i B są punktami, w których linia hiperboliczna przechodząca przez P i Q spotyka się z granicznym okręgiem. We wzorze H1 wyrażenia |AP| itd. oznaczają odległość euklidesową między A i P, a ln jest logarytmem naturalnym o podstawie e, gdzie

więc a = ln b wtedy i tylko wtedy, gdy b = ea dla dowolnych dwóch liczb rzeczywistych a i b takich, że b > 0.

Aby lepiej zrozumieć wzór H1 i rozwinąć pewną intuicję w zakresie geometrii hiperbolicznej, obliczmy odległość hiperboliczną, gdy jeden z dwóch punktów jest początkiem, a linia hiperboliczna jest częścią średnicy granicznego okręgu. Wybieramy zatem P, aby mieć współrzędne (0, 0) i Q, aby mieć współrzędne (r, 0), gdzie r jest pewną liczbą między 0 a 1 (wyrównałem współrzędne tak, aby oś pozioma zawierała Q – bez straty dla ogólności rozważań, ponieważ obroty dysku wokół początku zachowują odległość hiperboliczną). Średnica, której częścią jest PQ, przecina okrąg ograniczający w dwóch punktach: A o współrzędnych (−1, 0) i B o współrzędnych (1, 0). Dlatego też

|AQ| = 1 + r,

|BP| = 1,

|AP| = 1

oraz

|BQ| = 1 − r,

a

Jest to funkcja r, którą możemy przedstawić na wykresie (rysunek 35).

35. Odległości hiperboliczna i euklidesowa od środka dysku

Jeśli punkt Q znajduje się blisko granicy dysku, wówczas r jest bliskie 1, a mianownik w funkcji logarytm staje się mały, co skutkuje dużą odległością hiperboliczną. W przypadku granicznym, gdy r = 1, odległość jest nieskończona. Tak więc w geometrii hiperbolicznej graniczny okrąg znajduje się nieskończenie daleko od środka dysku. Zauważ, że euklidesowa odległość między nimi jest równa 1. Aby uzyskać jeszcze lepszy wgląd w to, co się dzieje, rozważmy inny punkt R na średnicy leżący między P i Q tak, że euklidesowa odległość między Q i R wynosi 𝛿, a współrzędne R to (r − 𝛿, 0). Możemy powtórzyć moje obliczenia dla d(P,Q), aby stwierdzić, że im bliżej granicy znajduje się Q (lub równoważnie im bliżej 1 znajduje się r), tym większa jest odległość hiperboliczna, pomimo faktu, że euklidesowa odległość między dwoma punktami pozostaje zawsze taka sama i równa 𝛿. Wyjaśnia to pozorny paradoks w pracy Mauritsa Cornelisa Eschera Circle Limit IV ilustrującej dysk hiperboliczny (rysunek 36): diabły znajdujące się blisko okręgu granicznego na rysunku wydają się mniejsze niż te znajdujące się blisko środka dysku, ale gdy używana jest odległość hiperboliczna, a nie euklidesowa, wysokość każdego diabła od głowy do ogona jest taka sama.

Pole hiperboliczne jest również takie samo dla wszystkich diabłów. Wewnątrz dysku znajduje się nieskończenie wiele diabłów, więc pole hiperboliczne dysku jest nieskończone. Każdy diabeł znajduje się w skończonej (choć potencjalnie dużej) odległości od środka dysku, a pokazaliśmy, że środek jest nieskończenie daleko od granicy. Dlatego nierówność trójkąta

d(środek, diabeł) + d(diabeł, brzeg) ≥ d(środek, brzeg) = ∞

implikuje, że wszystkie diabły, nawet te, które wydają się blisko granicy z perspektywy euklidesowej, są w rzeczywistości nieskończenie daleko od granicznego okręgu. Z perspektywy euklidesowej może nam się wydawać, że diabły mieszkają wewnątrz okręgu, ale dla nich nie ma „zewnętrza”, ponieważ z perspektywy hiperbolicznej okrąg jest nieskończenie duży.

36. Granica okręgu IV (M. C. Escher)

Wielokąty hiperboliczne

Zajmiemy się teraz trójkątami w geometrii hiperbolicznej i sprawdzimy, czy ich kąty sumują się do 𝜋 (rysunek 37). Trójkąt na rysunku 37 składa się z trzech odcinków linii hiperbolicznych łączących wierzchołki A, B i C. Kąty tego trójkąta sumują się do wielkości mniejszej niż 𝜋, co jest oczywiste, jeśli weźmiemy pod uwagę trójkąt euklidesowy o tych samych wierzchołkach. Dwie linie hiperboliczne wychodzące z każdego wierzchołka znajdują się wewnątrz klina utworzonego przez dwa euklidesowe odcinki prostej, więc wszystkie kąty hiperboliczne są mniejsze niż odpowiadające im kąty euklidesowe.

37. Trójkąt hiperboliczny

Suma kątów w trójkącie hiperbolicznym jest zawsze mniejsza niż 𝜋. Wyprowadzenie dokładnego wzoru na sumę kątów z funkcji odległości H1 jest nieco skomplikowane, a wzór ten został po raz pierwszy „odgadnięty” przez XVIII-wiecznego szwajcarskiego matematyka Johanna Lamberta. Chociaż nie możemy być pewni dokładnych kroków jego rozumowania, Lambert uważał geometrię hiperboliczną za geometrię sferyczną na sferze o promieniu urojonym. Podstawienie r = i, gdzie i2 = −1, we wzorze na kąt sferyczny S1 daje

H2 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 𝜋 − Area(ΔABC).

Trójkąt hiperboliczny może mieć wszystkie trzy kąty równe zeru. Dzieje się tak tylko wtedy, gdy wszystkie wierzchołki trójkąta leżą na okręgu granicznym, ponieważ wtedy każda para linii hiperbolicznych wychodzących z danego wierzchołka musi być styczna do siebie, a linie przecinają granicę pod kątem 90°. Trójkąty ze wszystkimi kątami zerowymi nazywane są trójkątami idealnymi, a wzór H2 oznacza, że pole trójkąta idealnego wynosi 𝜋. Jest to największe możliwe pole trójkąta w geometrii hiperbolicznej, podczas gdy w geometrii euklidesowej nie ma górnej granicy pola. Dysk hiperboliczny można również podzielić na nieskończenie wiele trójkątów idealnych (rysunek 38).

38. Kafelkowanie za pomocą trójkątów idealnych

W rozdziale 2 zobaczyliśmy, że możemy pokryć płaszczyznę euklidesową wielokątami foremnymi tylko na trzy różne sposoby: za pomocą trójkątów, z których sześć spotyka się w każdym punkcie, kwadratów, z których cztery spotykają się w każdym punkcie, oraz sześciokątów, z których trzy spotykają się w każdym punkcie. Tak więc jeśli k n-kątów foremnych spotyka się w punkcie, to możliwe pary (n, k) to (3, 6), (4, 4) i (6, 3), i w każdym przypadku

Teoria kafelkowania hiperbolicznego przez regularne n-kąty jest znacznie bogatsza i w rzeczywistości można używać dowolnych n-kątów, o ile

H3

Aby zobaczyć, jak się to dzieje, rozważmy k regularnych n-kątów spotykających się w punkcie, tak że kąt wewnętrzny wynosi 2𝜋/k. Innym sposobem obliczenia tego kąta wewnętrznego jest podzielenie n-kąta na (n − 2) trójkątów – w geometrii euklidesowej pokazano to na rysunku 16. Porównując dwa otrzymane wyrażenia dla kąta wewnętrznego i używając H2, otrzymujemy

gdzie Area oznacza całkowite pole n-kąta, które jest dodatnie. Podzielenie obu stron tego wyrażenia przez 2𝜋n i przegrupowanie daje H3, a zatem H3 stanowi warunek konieczny, aby istniało hiperboliczne kafelkowanie typu (n,k). Jest to również warunek wystarczający, ponieważ biorąc pod uwagę parę (n,k) spełniającą H3, pole n-kątów można wybrać tak, aby k z tych n-kątów spotykało się w punkcie, nie pozostawiając żadnych luk. Możemy założyć, że punkt ten jest środkiem dysku, a następnie wypełnić resztę dysku, odbijając każdy z istniejących k n-kątów symetrycznie względem jednej z jego zewnętrznych stron: odbicie mapuje punkt P na punkt P′ w taki sposób, że P i P′ leżą na linii hiperbolicznej, która przecina linię odbicia pod kątem prostym, a linia odbicia dzieli odcinek PP′ na dwie części. Zastosowanie takiego procesu iteracyjnego pokrywa cały dysk n-kątami o tej samej powierzchni i bez luk. Dysk można wyłożyć foremnymi siedmiokątami (rysunek 39). Siedmiokąty na tym rysunku są rzeczywiście foremne: hiperboliczne długości wszystkich boków pozostają równe.

39. Kafelkowanie za pomocą regularnych siedmiokątów

Postulat równoległości Euklidesa

Postulat równoległości Euklidesa był kontrowersyjny przez ponad 2000 lat. Wielu matematyków próbowało wyprowadzić postulat równoległości z pozostałych czterech aksjomatów, ale wszystkie próby zakończyły się niepowodzeniem. Na początku XIX wieku zdano sobie sprawę, że należy się zgodzić, iż Euklides miał jednak rację, włączając ten postulat jako niezależny aksjomat swojej geometrii. Może istnieć geometria inna niż euklidesowa, w której pierwsze cztery aksjomaty są spełnione, ale piąty już nie. Pierwszym, który doszedł do tego wniosku, był prawdopodobnie Gauss – wprowadził on nazwę geometria nieeuklidesowa. Najwyraźniej obawiając się kontrowersji, jakie może wywołać geometria hiperboliczna, Gauss nigdy nie ogłosił swoich wyników, a pierwsze prace na ten temat zostały opublikowane przez Rosjanina Nikołaja Łobaczewskiego w 1829 roku i Węgra Jánosa Bolyaia w 1832 roku. Konkretne modele geometrii hiperbolicznej, w tym model dysku omawiany w tym rozdziale, zostały podane przez Beltramiego w roku 1868.

W geometrii sferycznej nie sprawdza się nie tylko aksjomat równoległości, ale także dwa inne aksjomaty. Geometria hiperboliczna różni się od geometrii euklidesowej tylko tym, że aksjomat równoległości nie obowiązuje. Tak więc istnienie geometrii hiperbolicznej dowodzi, że nie można wyprowadzić aksjomatu równoległości z pierwszych czterech, ponieważ gdyby dało się go wyprowadzić, to obowiązywałby również w geometrii hiperbolicznej, co nie jest prawdą. Niektóre twierdzenia w geometrii euklidesowej obowiązują również w geometrii hiperbolicznej; takie twierdzenia można ustalić bez odwoływania się do aksjomatu równoległości. Na przykład w obu geometriach każdy kąt zewnętrzny trójkąta jest większy od każdego z przeciwległych kątów wewnętrznych. Twierdzenie to nie jest prawdziwe w geometrii sferycznej.

Przedstawiłem dysk Poincarégo w dziwny sposób: nie jako powierzchnię w euklidesowej przestrzeni trójwymiarowej, która jest następnie odwzorowywana na pewien obszar płaszczyzny (tak myślelibyśmy o sferze – fakt, że odcinki okręgów wielkich są najkrótszymi ścieżkami, wynika wówczas z twierdzenia Pitagorasa w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej), ale raczej jako abstrakcyjny model składający się z preferowanego zestawu linii i funkcji odległości sprawiającej, że linie te są najkrótsze. Dysk Poincarégo, ze swoimi hiperbolicznymi liniami, spełnia pierwsze cztery aksjomaty Euklidesa, ale nie piąty. Czy ten dysk naprawdę istnieje? Możemy słusznie zaprotestować na tym etapie, ponieważ jeśli aksjomaty są spełnione i żadna sprzeczność nie wynika z modelu, to istnieje on w abstrakcyjnym platońskim świecie matematyki. Ale pytam, czy moglibyśmy dojść do hiperbolicznego dysku w sposób podobny do tego, jak definiuje się sferę: jako powierzchnię w euklidesowej przestrzeni trójwymiarowej z pewną szczególną własnością. Odpowiedź brzmi „nie”. Istnieją powierzchnie w ℝ3 – tak zwane pseudosfery – które mają właściwości podobne, ale nie identyczne z dyskiem hiperbolicznym; na przykład wzór kąta H1 obowiązuje dla wszystkich trójkątów. Jedna z konstrukcji pseudosfery wygląda następująco (rysunek 40):

Krok 1. Rozważmy pionowo zorientowany pręt o długości r na płaszczyźnie euklidesowej, z ciężarkiem przymocowanym do pręta na jednym końcu. Pociągnijmy drugi koniec wzdłuż osi poziomej. Krzywa narysowana przez ciężarek nazywana jest traktrysą.

Krok 2. Obróćmy traktrysę wokół osi poziomej. Powstała powierzchnia jest pseudosferą (rysunek 40).

40. Traktrysa i pseudosfera

Powierzchnia pseudosfery jest skończona, w przeciwieństwie do dysku Poincarégo, pomimo posiadania nieskończenie długiej trąbki. Jej powierzchnia równa się 4𝜋r2, czyli jest taka sama jak w przypadku sfery o promieniu r, oprócz tego uzasadnia terminologię. Trójkąty zbudowane z najkrótszych odcinków linii na pseudosferze spełniają H1, ale istnieje różnica między pseudosferą a dyskiem: po dysku można podążać linią hiperboliczną w nieskończoność, nigdy nie docierając do granicy, podczas gdy na pseudosferze linie hiperboliczne kończą się nagle na okręgu granicznym. Tak więc pseudosfera daje tylko lokalny model geometrii hiperbolicznej.

41. Model Beltramiego

Istnieją inne modele tej geometrii, które są globalne. Poniższy model został odkryty przez Beltramiego w tym samym artykule, w którym przedstawiono dysk Poincarégo. Jeśli chodzi o dysk Poincarégo, składa się on z dysku – nazwijmy go 𝔹 – ograniczonego okręgiem o promieniu jednostkowym. Linie hiperboliczne w 𝔹 są definiowane inaczej, jako linie euklidesowe przecinające granicę w dwóch punktach (rysunek 41). Z tej definicji jasno wynika, że dowolne dwa punkty w 𝔹 są połączone jedną linią.

Kąty w modelu Beltramiego nie odpowiadają kątom euklidesowym, a odległość w 𝔹 jest równa

co stanowi połowę wyrażenia H1 dla odległości w dysku Poincarégo. Beltrami wykazał, że oba modele są równoważne.

Dysk Poincarégo, model Beltramiego i pseudosfera różnią się od geometrii euklidesowej obecnością krzywizny. Krzywizna ta jest taka sama, a w zasadzie ujemna, dla wszystkich trzech modeli geometrii hiperbolicznej. W następnym rozdziale omawiamy koncepcję krzywizny dla ogólnych powierzchni.Dalsze lektury

Choć niewielu przeczyta Elementy Euklidesa od początku do końca, uważa się ją za najbardziej wpływową książkę matematyczną, jaka kiedykolwiek została napisana. Większość dostępnych obecnie wydań (na przykład Dover, 2nd Edition Unabridged) to tłumaczenia Thomasa Heatha z początku XX wieku, zawierające jego interesujący komentarz. Wiele informacji na temat późniejszych osiągnięć można uzyskać, czytając o historii tematu w książce A History of Geometrical Methods autorstwa Juliana Lowella Coolidge’a (Dover, 2003).

Geometry and Imagination autorstwa Davida Hilberta i Stefana Cohn-Vossena (wyd. II, AMS Chelsea, 1999) opiera się na wykładach Hilberta z 1921 roku i zawiera wiele klasycznego materiału oraz bardzo mało wzorów. Introduction to Geometry autorstwa Harolda Scotta MacDonalda Coxetera (wyd. II, Wiley Classics Library, 1989) to odpowiedni podręcznik matematyki na poziomie uniwersyteckim z twierdzeniami i dowodami, ale dostępny dla czytelników z wykształceniem matematycznym na poziomie szkoły średniej. Elementary Geometry autorstwa Johna Roe (OUP, 1993) jest dostosowany do podobnego poziomu.

Aby utrzymać tę książkę na poziomie podstawowym, konsekwentnie unikałem rachunku różniczkowego i całkowego. Jedynym działem geometrii, który prawdopodobnie ucierpiał z powodu tego pominięcia, jest geometria różniczkowa przedstawiona w rozdziale 4. Książka Roe’a może wypełnić tę lukę, podobnie jak Differential Geometry of Curves and Surfaces Manfredo P. do Carmo (wyd. II, Dover, 2016).

Czytelnicy zainteresowani współzależnością symetrii i geometrii powinni zapoznać się z Symmetry: A Very Short Introduction autorstwa Iana Stewarta (OUP, 2013) oraz The Symmetries of Things autorstwa Johna Hortona Conwaya, Heidiego Burgiela i Chaima Goodmana-Straussa (A. K. Peters Ltd, 2008). Oba teksty mają podobny cel jak ta książka, a książka Stewarta wprowadza znacznie głębszą wiedzę na temat teorii niż ja w rozdziale 6.

Bardzo jasną, popularną, a jednocześnie dogłębną relacją geometrycznego podejścia do ogólnej teorii względności Einsteina jest General Relativity from A to B autorstwa Roberta Gerocha (University of Chicago Press, 1981). Z kolei Droga do rzeczywistości (Prószyński i S-ka, 2006) autorstwa Rogera Penrose’a zabierze czytelnika w podróż od wektorów i rachunku różniczkowego do geometrii Riemanna, ogólnej teorii względności i teorii twistorów.

Zdecydowanie warto polecić również książkę Michała Hellera Przestrzenie Wszechświata. Od geometrii do kosmologii (Copernicus Center Press, 2017).