-
W empik go
Logika i inne sprawy - ebook
Wydawnictwo:
Data wydania:
30 marca 2017
Format ebooka:
EPUB
Format
EPUB
czytaj
na czytniku
czytaj
na tablecie
czytaj
na smartfonie
Jeden z najpopularniejszych formatów e-booków na świecie.
Niezwykle wygodny i przyjazny czytelnikom - w przeciwieństwie do formatu
PDF umożliwia skalowanie czcionki, dzięki czemu możliwe jest dopasowanie
jej wielkości do kroju i rozmiarów ekranu. Więcej informacji znajdziesz
w dziale Pomoc.
Multiformat
E-booki w Virtualo.pl dostępne są w opcji multiformatu.
Oznacza to, że po dokonaniu zakupu, e-book pojawi się na Twoim koncie we wszystkich formatach dostępnych aktualnie dla danego tytułu.
Informacja o dostępności poszczególnych formatów znajduje się na karcie produktu.
Format
MOBI
czytaj
na czytniku
czytaj
na tablecie
czytaj
na smartfonie
Jeden z najczęściej wybieranych formatów wśród czytelników
e-booków. Możesz go odczytać na czytniku Kindle oraz na smartfonach i
tabletach po zainstalowaniu specjalnej aplikacji. Więcej informacji
znajdziesz w dziale Pomoc.
Multiformat
E-booki w Virtualo.pl dostępne są w opcji multiformatu.
Oznacza to, że po dokonaniu zakupu, e-book pojawi się na Twoim koncie we wszystkich formatach dostępnych aktualnie dla danego tytułu.
Informacja o dostępności poszczególnych formatów znajduje się na karcie produktu.
Multiformat
E-booki sprzedawane w księgarni Virtualo.pl dostępne są w opcji
multiformatu - kupujesz treść, nie format. Po dodaniu e-booka do koszyka
i dokonaniu płatności, e-book pojawi się na Twoim koncie w Mojej
Bibliotece we wszystkich formatach dostępnych aktualnie dla danego
tytułu. Informacja o dostępności poszczególnych formatów znajduje się na
karcie produktu przy okładce. Uwaga: audiobooki nie są objęte opcją
multiformatu.
czytaj
na tablecie
Aby odczytywać e-booki na swoim tablecie musisz zainstalować specjalną
aplikację. W zależności od formatu e-booka oraz systemu operacyjnego,
który jest zainstalowany na Twoim urządzeniu może to być np. Bluefire
dla EPUBa lub aplikacja Kindle dla formatu MOBI.
Informacje na temat zabezpieczenia e-booka znajdziesz na karcie produktu
w "Szczegółach na temat e-booka". Więcej informacji znajdziesz w dziale
Pomoc.
czytaj
na czytniku
Czytanie na e-czytniku z ekranem e-ink jest bardzo wygodne i nie męczy
wzroku. Pliki przystosowane do odczytywania na czytnikach to przede
wszystkim EPUB (ten format możesz odczytać m.in. na czytnikach
PocketBook) i MOBI (ten fromat możesz odczytać m.in. na czytnikach Kindle).
Informacje na temat zabezpieczenia e-booka znajdziesz na karcie produktu
w "Szczegółach na temat e-booka". Więcej informacji znajdziesz w dziale
Pomoc.
czytaj
na smartfonie
Aby odczytywać e-booki na swoim smartfonie musisz zainstalować specjalną
aplikację. W zależności od formatu e-booka oraz systemu operacyjnego,
który jest zainstalowany na Twoim urządzeniu może to być np. iBooks dla
EPUBa lub aplikacja Kindle dla formatu MOBI.
Informacje na temat zabezpieczenia e-booka znajdziesz na karcie produktu
w "Szczegółach na temat e-booka". Więcej informacji znajdziesz w dziale
Pomoc.
Czytaj fragment
Pobierz fragment
Pobierz fragment w jednym z dostępnych formatów
LUB
24,99 zł za tytuł
Tytuł dostępny w abonamencie Empik Go już od 24,99 zł / 30 dni
Sprawdź
Słuchaj i czytaj w abonamencie Go Standard już za 24,99 zł / 30 dni. Subskrypcja Go Standard daje możliwość dodania do biblioteki 3 dowolne tytuły w danym okresie rozliczeniowym (30 dni). Wybierasz z ponad 200 tys. audiobooków, ebooków i podcastów.
Logika i inne sprawy - ebook
Niniejszy zbiór zawiera wybór moich artykułów opublikowanych w latach 2004–2015. Przeważają w nim prace dotyczące logiki w szerokim tego słowa znaczeniu, tj. semantyki, logiki formalnej i metodologii nauk. Aby jednak pokazać, że filozof analityczny żyje nie tylko tym, co logiczne, zamieściłem też szkice o Domu Kereta, ontologii ii metodologii krasnoludków (to żaden żart), Brunonie Schulzu i filozoficznych podstawach naszego stosunku do zwierząt.
Jan Woleński
Jan Woleński - filozof analityczny, logik, epistemolog i filozof prawa, emerytowany profesor zwyczajny Instytutu Filozofii Uniwersytetu Jagiellońskiego. Członek Institut Internationale de Philosophie, Polskiej Akademii Nauk, Polskiej Akademii Umiejętności i Towarzystwa Naukowego Warszawskiego, wykładowca Uniwersytetu Jagiellońskiego oraz Wyższej Szkoły Informatyki i Zarządzania w Rzeszowie.
Autor oraz współautor 1700 publikacji, w tym 600 artykułów naukowych i 25 książek, m.in. Historico-Philosophical Essays vol. I (CCPress, 2012), Jan Woleński. Wierzę w to, co potrafię zrozumieć (CCPress 2014).
| Kategoria: | Filozofia |
| Zabezpieczenie: |
Watermark
|
| ISBN: | 978-83-7886-307-6 |
| Rozmiar pliku: | 4,6 MB |
FRAGMENT KSIĄŻKI
O ZDANIACH IDENTYCZNOŚCIOWYCH
Wittgenstein (Wittgenstein 1922, 5.5303) powiada tak: „Mówiąc nawiasem: powiedzieć o dwu rzeczach, że są identyczne, to niedorzeczność; a powiedzieć o jednej, że jest identyczna sama z sobą, to nie powiedzieć nic”.
Zdanie to jest powszechnie interpretowane jako odmawiające identyczności charakteru relacji. Kwestionuje ono zatem standardowy sposób rozumienia identyczności w logice, tj. jako dwuargumentowej relacji. Dodatkowo, Wittgenstein uznając zdania identycznościowe jako niedorzeczności lub nic niemówiące, wyraźnie je zdyskredytował. Z drugiej strony, wedle Tarskiego (Tarski 1994, s. 55; odniesienia do stron dotyczą tłumaczeń polskich, o ile są podane w bibliografii), identyczność jest najważniejszym pojęciem logicznym spoza rachunku zdań. Jest to stanowisko diametralnie różne od tego, które znajdujemy w Traktacie Wittgensteina, ponieważ implikuje, że zdania identycznościowe na pewno nie są ani trywialne, ani niedorzeczne.
Być może tak znaczna różnica w traktowaniu identyczności, jak ta pomiędzy Wittgensteinem a Tarskim, wypływa z faktu, że identyczność i zdania identycznościowe sprawiają poważne kłopoty filozofom. Formalnie, tj. z logicznego punktu widzenia, wszystko jest w porządku. Rachunek predykatów I rzędu z identycznością powstaje przez dodanie do stałych logicznych rachunku zdań (np. implikacji i negacji) oraz kwantyfikatorów (uniwersalnego i egzystencjalnego, o ile mamy negację i pracujemy w logice klasycznej, to wystarczy jeden z nich) nowego pojęcia, mianowicie dwuargumentowego predykatu, zwykle oznaczanego symbolem =. Jego sens wyznaczony jest przez aksjomaty:
(A1) x = x;
(A2) x = y ⇒ y = x;
(A3) x = y ∧ y = z ⇒ x = z,
oraz regułę zastępowania (schemat)
(RZ) jeśli (x = y) ∧ P(x), to P(x/y)^().
Predykat identyczności nie jest definiowalny w logice predykatów I rzędu. Można to jednak uczynić w logice II rzędu przez (zasada Leibniza)
(DI) x = y ⇔ ∀P(Px ⇔ Py)^().
Implikacja z lewa na prawo wyraża to, iż przedmioty identyczne mają takie same własności, natomiast implikacja odwrotna stwierdza, że dwa przedmioty mające takie same własności są identyczne^(). Zasada Leibniza pociąga (A1) – (A3) i (RZ), ale nie odwrót, ponieważ w logice I rzędu nie można wyrazić (D1). Zdaniem identycznościowym jest każde zdanie typu
(*) t_(i) = t_(j),
gdzie t₁ i t₂ są termami oraz uniwersalne i egzystencjalne domknięcia (*), tj. formuły o postaci (**) ∀t_(i)t_(j)(t_(i) = t_(j)) i (***) ∃t_(i)t_(j)(t_(i) = t_(j)) oraz negacje formuł typu (*), (**) i (***)^().
Pierwszy problem dotyczący identyczności polega na pytaniu, czy predykat identyczności jest stałą logiczną czy też nie. O tym, że jest coś niejasnego w tej materii świadczy już chociażby to, że odróżnia się rachunek predykatów bez identyczności i z nią^(). Racją dla uznania identyczności za pojęcie pozalogiczne jest to, iż można znaleźć zdania identycznościowe, które nie spełniają twierdzeń o inflacji i o deflacji^(). Twierdzenie o inflacji powiada, że formuła A rachunku predykatów jest spełnialna w niepustej dziedzinie M, to jest też spełnialna w każdej innej dziedzinie zawierającej co najmniej tyle elementów, ile ma uniwersum dziedziny M. Natomiast twierdzenie o deflacji stwierdza, że jeśli jakaś formuła jest prawdziwa w jakiejś niepustej dziedzinie M, to jest prawdziwa w każdej niepustej dziedzinie mającej najwyżej tyle elementów, ile ma uniwersum dziedziny M. Formuła ∀xy(y = x) jest kontrprzykładem dla twierdzenia o inflacji (jest ona spełniona tylko w dziedzinie jednoelementowej i żadnej innej), natomiast formuła ∃xy(x ≠ y) dostarcza kontrprzykładu dla twierdzenia o deflacji (nie jest ona prawdziwa w dziedzinie jednoelementowej). Natomiast oba twierdzenia zachodzą dla formuł bez identyczności^().
Z drugiej jednak strony, wszystkie podstawowe twierdzenia metalogiczne, w szczególności twierdzenie o pełności (każda tautologia jest dowodliwa) i twierdzenia Lindströma (jeśli jakaś logika jest zwarta i posiada własność Löwenheima-Skolema, to jest równoważna logice elementarnej, tj. takiej, gdzie kwantyfikuje się tylko po zmiennych indywiduowych; są i inne wersje tego twierdzenia) zachodzą zarówno dla logiki predykatów z identycznością, jak i bez niej. Ta druga, podobnie jak pierwsza, nie wyróżnia żadnej stałej pozalogicznej. Te fakty motywują traktowanie identyczności jako pojęcia logicznego^().
Nawet jeśli uznamy, że kwalifikacja identyczności jako pojęcia logicznego lub pozalogicznego jest w jakiejś mierze konwencjonalna, to nie można w taki sposób potraktować głośnych trudności związanych ze zdaniami identycznościowymi.Trudności takich jest co najmniej sześć^(). Oto one:
(I) Problem Fregego (Frege 1892).
(1) Zdanie Wenus = Wenus,
jest tautologią, specjalnym przypadkiem (A1). Skądinąd wiadomo, że Gwiazda Wieczorna jest tym samym ciałem niebieskim, co Wenus. Możemy więc zastąpić ‘Wenus’ przez ‘Gwiazda Wieczorna’, co daje
(2) Wenus = Gwiazda Wieczorna.
Zdanie to zawiera jednak całkowicie nową treść w porównaniu z (1). Kłopot polega na tym, że od tautologii (1) przeszliśmy, drogą przekształceń wyglądających na logiczne, do (2), które tautologią nie jest i dla swego uzasadnienia wymaga odwołania się do danych empirycznych. Frege rozwiązał ten kłopot przez słynne rozróżnienie sensu i denotacji (w jego terminologii – znaczenia). (1) i (2) mają tę samą denotację, mianowicie prawdę, ale różny sens. Dzieje się tak dlatego, iż wyrażenia ‘Wenus’ i ‘Gwiazda Poranna’ mają tę samą denotację, ale różnią się swoim sensem. Problem polega jednak przede wszystkim na przejściu od tautologii do zdania, które tautologią nie jest, a przynajmniej takiego, co do którego tautologiczności można mieć poważne zastrzeżenia.
(II) Problem zdań identycznościowych z jedną deskrypcją (Russell 1905). Rozważmy zdanie
(3) Walter Scott = autor powieści Waverley.
Ponieważ wyrażenia ‘Walter Scott’ i ‘autor powieści Waverley’ denotują to samo, mianowicie Waltera Scotta, (3) jest rezultatem stosownego zastąpienia w
(4) Walter Scott = Walter Scott.
Rozważany kłopot jest do pewnego stopnia wariantem (I). Różnica polega na tym, że (2) jest zdaniem astronomii, natomiast (4) zdaniem historycznym. Stąd pierwsze może odwoływać się nawet do teorii astronomicznej, natomiast trudno przypuścić, by (4) było rezultatem praw pisania powieści. Z łatwością można sobie wyobrazić tak świat, w którym Walter Scott nie napisałby utworu Waverley, natomiast kosmos, w którym Wenus nie byłaby Gwiazdą Wieczorną wymagałby innych praw przyrody^(). Russell odmawiał wyrażeniu ‘autor powieści Waverley’ charakteru termu, co prowadzi do odmówienia (3) statusu zdania identycznościowego^().
(III) Problem zdań identycznościowych z dwoma deskrypcjami (Kripke 1971, 1971a). Rozważmy zdanie
(5) pierwszy król Polski = drugi władca Polski z dynastii Piastów.
Zdanie to powstaje przez stosowne zastąpienie w zdaniu
(6) Bolesław Chrobry = Bolesław Chrobry.
Jest więc konsekwencją tautologii, a jednak możemy sobie wyobrazić świat, w którym pierwszym królem Polski byłby ktoś z innej dynastii lub inny w kolejności władca z dynastii Piastów. Kripke rozwiązał trudność odróżniając sztywne desygnatory (imiona własne, np. Bolesław Chrobry) i deskrypty (np. pierwszy król Polski). Zastępowanie jednych przez drugie nie musi zachowywać tautologiczności.
Niemniej jednak rozwiązanie Kripkego nie wystarcza dla pokonania innego problemu. Rozważmy zdanie
(7) pierwszy król Polski = pierwszy król Polski.
Wygląda ono na tautologię, wszelako wiedząc, że wyrażenie ‘pierwszy król Polski’ denotuje Bolesława Chrobrego, możemy utrzymywać, że pierwszy król Polski nie musiał być pierwszym królem Polski, ponieważ np. mógł nie otrzymać zgody na koronację lub mógłby umrzeć w 989 r.
(IV) Problem Quine’a (Quine 1953, s. 176). Rozważmy zdanie
(8) 9 > 7.
Jest to prawda arytmetyczna. Nawet jeśli nie akceptuje się logicyzmu, można utrzymywać, że zdanie (8) jest prawdą konieczną. Z drugiej strony mamy
(9) liczba planet = 9.
Zastępując ‘9’ przez ‘liczba planet’ w (8), otrzymujemy
(10) liczba planet > 7,
ale trudno uznać to za prawdę konieczną, ponieważ liczba planet mogłaby być inna. Quine traktuje to rozumowanie jako mocny argument przeciwko modalnej logice predykatów.
(V) Problem konieczności dowolnych zdań identycznościowych (Kripke 1971a). Zakładamy x = y oraz (DI), a dokładniej
(11) (x = y) ⇒ (Px ⇒ Py).
Następnik (11) przekształcamy (stosując (RZ)) w
(12) (x = y ) ⇒ (x = x) ⇒ (x = y),
przyjmując, że predykat P wyraża ‘z konieczności ... identyczne z ...’. Ponieważ wyrażenie (x = x) jest tautologią możemy je opuścić, co daje
(13) (x = y) ⇒ (x = y).
Rezultat nie jest intuicyjny, ponieważ np. (12) nie wydaje się prawdą konieczną, skoro jej uzasadnienie ma charakter empiryczny. Kripke utrzymuje, że pewne prawdy konieczne są a posteriori.
(VI) Problem identyczności międzyświatowej. Rozważmy dwa możliwe światy M i M’ takie, że Arystoteles był uczniem Platona w M, a nie był w M’. Stosując (DI) wnosimy, że Arystoteles z M nie może być identyczny z Arystotelesem z M’, ponieważ ludzie nazywani przez ‘Arystoteles’ różnią się własnościami w zależności od tego, czy znajdują się w M czy M’. Niemniej jednak nie wydaje się, by pozostawanie przedmiotu w innej sytuacji niż rzeczywiście zaistniała, prowadziło do destrukcji jego identyczności. Kripke uważa, iż denotaty sztywnych desygnatorów pozostają identyczne poprzez światy, denotaty deskrypcji nie muszą zachowywać identyczności międzyświatowej, a Lewis (Lewis 1968) zaproponował koncepcję, w myśl której Arystoteles z M’ nie jest identyczny z Arystotelesem z M, ale jest jego odpowiednikiem.
Zadaniem dalszych rozważań jest próba rozwiązania wskazanych wyżej trudności w pewien jednolity sposób. Uczynię to poprzez analizę zdań identycznościowych w kategoriach semantyki formalnej, tj. standardowej teorii modeli. Uważam bowiem, że kto stosuje logikę do zdań identycznościowych, obowiązany jest do ścisłego przestrzegania jej semantyki. A nie jest tak zawsze. Kripke powiada np. (Kripke 1971a, s. 106), że sztywny desygnator oznacza przedmioty identyczne międzyświatowo w każdym świecie, w którym istnieją. Nie jest to jednak właściwy sposób wyrażania się, ponieważ nazwa własna z założenia jest niepusta, a więc w ogóle nie ma co rozważać światów, w których jej denotacja nie istnieje^(). A nie jest to błaha sprawa, ponieważ można zastanawiać się nad światem, w którym np. Arystoteles w ogóle by nie istniał.
Zacznę od zarysowania interpretacji zdań identycznościowych. Dla ustalenia uwagi, będę rozważał zdania typu (*), gdzie oba termy są stałymi indywiduowymi, np. a₁ i a₂. Mamy więc zdanie identycznościowe
(14) a₁ = a₂.
Jak je rozumieć? Znaki a₁ i a₂ są stałymi indywiduowymi, a więc należą do języka. Znak identyczności jest funktorem zdaniotwórczym od dwóch argumentów nazwowych. W notacji Ajdukiewicza ma indeks z/nn. Jest jednak rzeczą oczywistą, że (14) nie wyraża identyczności zachodzacej pomiędzy wyrażeniem a₁ i wyrażeniem a₂^()_(.) Byłoby wtedy fałszywe. Zdania identycznościowe mają jednak związek z językiem. Może właśnie dlatego Frege twierdził początkowo (Frege 1879, s. 7–9), że identyczność jest relacją pomiędzy treściami nazw^(). Wedle Wittgensteina (Wittgenstein 1922, 5.53, 5.5301) identyczność przedmiotu wyraża się przez identyczność znaku, a różność przedmiotów przez różność znaków. Identyczność nie jest więc relacją pomiędzy przedmiotami. To stało się podstawą owego „powiedzenia nawiasem”, że zdanie identycznościowe jest albo niedorzeczne, albo nie mówi nic^(). Rozumienie identyczności wedle wczesnego Fregego czy wczesnego Wittgensteina można nazwać lingwistycznym (wewnątrzjęzykowym).
Jest raczej jasne, że lingwistyczna interpretacja jest niezgodna z intuicjami. Stwierdzając (14) chcemy przecież powiedzieć, że przedmiot oznaczany przez nazwę a₁, powiedzmy przedmiot a, jest identyczny z przedmiotem oznaczanym przez nazwę a_(j), powiedzmy przedmiotem b^(). Tutaj jednak pojawia się problem. Wedle jednych, zdanie identycznościowe, o ile jest prawdziwe, stwierdza samoidentyczność przedmiotu z samym sobą. Takie rozumienie identyczności określa się jako przedmiotowe (Morris 1984, s. XI). Prowadzi to do wniosku, że (14), o ile prawdziwe, jest logicznie równoważne zdaniu (a = b). To jednak natychmiast prowadzi do kłopotu (I), bo identycznościowe zdania informatywne nie mogą być logicznie równoważne identycznościowym tautologiom. Frege w okresie późniejszym interpretował zdania identycznościowe w sposób, który niekiedy (Morris 1984, s. XI/XII) określa się jako metajęzykowy. Wedle tej propozycji, prawdziwe zdanie identycznościowe wyraża fakt, że t_(i) i t_(j) są termami koreferencjalnymi.
Będę argumentował, że metajęzykowa analiza zdań identycznościowych jest zgodna z semantyką teoriomodelową i po pewnych uzupełnieniach rozwiązuje trudności (I) – (VI)^(). Przypuśćmy zatem, że mamy do czynienia z językiem J rachunku predykatów. Jego alfabet zawiera (obok spójników zdaniowych, kwantyfikatorów i symbolu identyczności) jako wyrażenia pozalogiczne: zmienne indywiduowe x₁, x₂, x₃, ..., stałe indywiduowe a₁, a₂, a₃ (założymy, że mamy tylko trzy stałe) oraz litery predykatowe (predykaty; dla uproszczenia będę rozważał jedynie predykaty jednoargumentowe i dwuargumentowe; symbol identyczności został wcześniej uznany za stałą logiczną) P₁₁, P₁₂, P₁₃, ..., P₂₁, P₂₂, P₂₃, .... (pierwsza liczba w indeksie przy predykacie oznacza argumentowość, a druga kolejność na liście predykatów jedno- lub dwuargumentowych)^(). Interesuje nas interpretacja języka J. Aby ją podać, trzeba dysponować strukturą M =, gdzie U jest niepustym zbiorem przedmiotów, a₁, a₂, a₃ są wyróżnionymi elementami wybranymi ze zbioru U, natomiast P₁₁, P₁₂, P₁₃, ..., P₂₁, P₂₂, P₂₃, ... są podzbiorami U (dla każdego i, P_(1i) ⊆ U) lub dwuargumentowymi relacjami określonymi na U, tj. dla każdego j, P_(2i) ⊆ U × U. Struktura M jest właściwa względem języka J jako struktura interpretacyjna, każda stała tego języka (term lub predykat) ma denotację w M, tj. wtedy, gdy jest co najmniej tyle samo wyróżnionych elementów uniwersum modelu, ile jest stałych indywiduowych, co najmniej tyle określonych własności, ile jest predykatów jednoargumentowych oraz co najmniej tyle określonych relacji, ile jest predykatów dwuargumentowych w J^().
O ile struktura M jest właściwa, to jest potencjalną interpretacją (realizacją) dla języka J. Staje się interpretacją aktualną, o ile zostanie określona funkcja wartości (funkcja interpretacyjna) v taka, że v(x_(i)) ∈ U (wartość zmiennej jest jakimś elementem zbioru U), v(a_(j)) = a_(j) (j = 1, 2, 3) (wartość stałej jest ustalonym elementem U), v(P_(kl)) = P_(kl) (wartością predykatu jest podzbiór lub relacja; będę mówił o atrybutach i relacjach). Funkcja v nie jest różnowartościowa, tj. nie musi być tak, że różnym termom czy predykatom przyporządkowane są różne wartości, aczkolwiek oczywiście nie może być tak, że temu samemu wyrażeniu przyporządkowane są różne wartości. To, że v nie jest funkcją różnowartościową sprawia, iż ten sam przedmiot może mieć dwie nazwy. Jeśli mamy interpretację, to możemy w znany sposób zdefiniować prawdziwość. Ograniczam się wyłącznie do formuł atomicznych i identycznościowych, co pozwala na podanie definicji wprost, a nie za pośrednictwem pojęcia spełniania. Jeśli A = P_(1j)(t_(i)), to A jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy v(t_(i)) ∈ v(P_(1j)), tj. dokładnie wtedy, gdy a_(i) ∈ P_(1j); jeśli A = P_(2k)(t_(i) t_(j)), to A jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy∈ v(P_(2k)), tj. wtedy, gdy ∈ P_(2k); jeśli A = (t_(i) = t_(j)), to A jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy v(t_(i)) = v(t_(j)), tj. wtedy, gdy a_(i) = a_(j). W ten sposób otrzymujemy precyzyjną odpowiedź na pytanie, co stwierdza prawdziwe zdanie identycznościowe. Stwierdza ono mianowicie, że termy, które są argumentami symbolu identyczności są koreferencjalne, tj. mają te same wartości na mocy działania funkcji v^().
Przyjmijmy, że nasz język ma takie oto stałe: ‘Sokrates’, ‘Platon’, ‘Arystokles’, oraz predykaty „jest filozofem”, „jest uczniem”. Przyjmujemy, że stałe są interpretowane zgodnie z wiedzą z zakresu historii filozofii. Prawdziwe są zdania (ignoruję czas): (a) ‘Sokrates jest filozofem’, (b) ‘Platon jest filozofem’, (c) ‘Arystokles jest filozofem’, (d) ‘Platon jest uczniem Sokratesa’, (e) ‘Arystokles jest uczniem Sokratesa’, (f) ‘Sokrates jest identyczny z Sokratesem’, (g) ‘Platon jest identyczny z Platonem’, (h) ‘Arystokles jest identyczny z Arystoklesem’, (i) ‘Platon jest identyczny z Arystoklesem’. Od razu obserwujemy, że pewne zdania, mianowicie (f), (g), (h) są prawdziwe, jakkolwiek funkcja v została określona, ponieważ zawsze zapewniałaby koreferencjalność. Z drugiej strony, moglibyśmy tak zdefiniować funkcję v, że denotacją termu ‘Arystokles’ byłby Herodot. Wtedy (c) i (i) stałyby się zdaniami fałszywymi. Tak więc wartość logiczna zdań identycznościowych, jak każdych innych, jest zrelatywizowana do interpretacji wyznaczonej przez funkcję v. Prowadzi to do pytania, czym jest język J. Jeśli rozumiemy go jako twór syntaktyczny, to możemy powiedzieć, że ten sam język miewa rozmaite interpretacje, np. jedną taką, w której v(‘Arystokles’) = Platon, a drugą taką, w której v(‘Arystokles’) = Herodot. Jeśli jednak przez język będziemy rozumieć syntaksę plus interpretację, a więc parę Λ =, to dwie różne interpretacje tego samego formalizmu syntaktycznego wyznaczają dwa różne języki. Tak czy inaczej, istota sprawy tkwi w interpretacji^().
Nie mogę już dalej odkładać statusu deskrypcji określonych. Rozważmy wyrażenie ‘najwybitniejszy uczeń Sokratesa’. Na pierwszy rzut oka jest to wyrażenie referencjalne takie, że v(‘najwybitnieszy uczeń Sokratesa’) = Platon. Jasne jest jednak, że funkcja v działa inaczej w tym przypadku niż, gdy v(‘Platon’) = Platon lub v(‘Arystokles’) = Platon. Wszyscy znawcy przedmiotu wskazują, że wyrażenie ‘najwybitniejszy uczeń Sokratesa’ odnosi się do Platona inaczej niż jego imię własne ‘Arystokles’ czy przydomek ‘Platon’. Z tego powodu wolę przyjąć, że zdanie ‘Platon jest najwybitniejszym uczniem Sokratesa’ jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy v(‘Platon’) ∈ v(‘jest najwybitniejszym uczniem Sokratesa’), a nie wtedy, gdy v(‘Platon’) = v(‘najwybitniejszy uczeń Sokratesa’). Innymi słowy, deskrypcje traktuję jako skróty predykatów, a nie jako termy^(). Jest to również motyw, dla którego, z uwagi na jednolitość, przyjąłem transformację n-argumentowych funkcji do n+1-argumentowych relacji, ponieważ funkcje są na ogół wprowadzane deskrypcjami. Tak więc, deskrypcje odnoszą się do atrybutów o specjalnym charakterze, mianowicie atrybutów jednostkowych. Znaczy to, że jeśli P jest predykatem powstającym z deskryptu, to formuła ‘x jest P’, o ile jest spełniona w ogóle, jest spełniona dokładnie przez jeden przedmiot. Niezależnie od tego, czy przyjmiemy deskryptywną czy przyczynową (dokładniej Millowską) koncepcję nazw własnych, predykaty deskrypcyjne zawsze wskazują na przedmioty, które je spełniają w sposób pośredni. Jest również tak, że predykat deskrypcyjny, jak każdy inny, może odnosić się do zbioru pustego. Tak jest np. w przypadku predykatu ‘obecny król Francji’. Tak więc zdanie ‘t jest obecnym królem Francji’ jest fałszywe dla dowolnego termu stałego t^().
Trzeba teraz zbadać źródła koreferencji termów, ponieważ są one różne. W tym celu wprowadzimy pojęcie klasy abstrakcji termów z uwagi na koreferencjalność. Niech t_(i) będzie dowolnym termem stałym. Symbolem oznaczymy zbiór wszystkich termów korefencjalnych z t_(i). Formalnie mamy
(DK) t_(j) ∈ wtedy i tylko wtedy, gdy v(t_(j)) = v(t_(i))^().
Krótko mówiąc jest klasą abstrakcji z uwagi na koreferencję, która jest relacją równościową, tj. zwrotną, przechodnią i symetryczną. (DK) motywuje następującą regułę zastępowania (wyrażenie t_(k)//t_(j) znaczy ‘wynik zastąpienia termu t_(j) przez term t_(kj)’)
(RZ’) jeśli (t_(i) = t_(j)) ∧ (t_(k) ∈ ), to t_(i) = t_(k)//t_(j).
Ta właśnie reguła została użyta w wyprowadzeniu (1) z (2). W samej rzeczy, ponieważ ‘Gwiazda Poranna’ ∈ , dostajemy, że Wenus jest identyczna z Gwiazdą Poranną.
Trzeba jednak zbadać podstawy koreferencji termów, tj. powody, dla których termy należą do danych klas abstrakcji. Pozwoli to również ustalić warunki stosowalności (RZ’), w szczególności odpowiedzieć na pytanie, czy jest ona wariantem (RZ). Po pierwsze, mamy taką sytuację, że v(t_(i)) = v(t_(j)), ponieważ (t_(i) = t_(j)) jest prawem logiki, tj. (t_(i) = t_(j)) ∈ CnØ. Tak jest tylko w przypadku (A1), tj. formuły x = x i jej podstawień. W samej logice udowodnić można tylko (A1) – (A3) i konsekwencje tych aksjomatów. Wszelako (A2) i (A3) są zdaniami warunkowymi i nie prowadzą do żadnego bezwarunkowego stwierdzenia identyczności. Takim jest tylko (A1) i jego konsekwencje. Także reguła (RZ) nie prowadzi do bezwarunkowych zdań identycznościowych. Reguła (RZ’) jest wtedy trywialnym wariantem (RZ). Możemy teraz powiedzieć, że koreferencja na podstawach czysto logicznych prowadzi do wzajemnie rozłącznych klas jednostkowych typu , dla każdego termu stałego danego języka. Jest tak przy dowolnej funkcji wartości v^().
Koreferencja może być także gwarantowana przez teorie naukowe. I tak zdanie
(15) 8 = 16 : 2
jest prawdziwe, ponieważ ‘8’ ∈ i w konsekwencji mamy
(16) v(‘8’) = v(‘16 : 2’)^().
Zdanie (16) nie jest jednak gwarantowane przez czystą logikę. Uzasadnienie koreferencjonalności termów ‘8’ i ‘16 : 2’ odwołuje się do arytmetyki. Mamy więc,
(17) (v(‘8’) = v(‘16 : 2’)) ∈ CnAR.
Możemy to również zapisać jako
(18) 8 = 16 : 2 ∈ CnAR.
Niemniej jednak potrzebny jest tutaj dodatkowy komentarz. Identyczność liczby 8 i liczby stanowiącej wynik podzielenia liczby 16 przez liczbę 2 jest ustalona z uwagi na strukturę i jej interpretację, taką, że każdy obiekt w N jest liczbą naturalną. W szczególności nie możemy powiedzieć, że liczba osiem jest równa ułamkowi 16/2, ponieważ elementami N są liczby naturalne, a nie ułamki. Przypuśćmy jednak, że rozwijamy arytmetykę liczb wymiernych. Na pierwszy rzut oka wystarczy powiedzieć, że termy ‘8’ i ‘16 : 2’ oznaczają tę samą liczbę wymierną. Taki sposób mówienia nie jest jednak przyjęty w matematyce. Aby zdefiniować liczby wymierne wprowadza się klasy abstrakcji od ułamków p/q i r/s^(). Dwa ułamki należą do tej samej klasy, gdy ps = qr. Liczba wymierna nie jest wtedy takim czy innym ułamkiem z danej klasy abstrakcji, ale całą taką klasą, tj. obiektem typu . Termy odnoszące się do liczb wymiernych w tym rozumieniu oznaczają właśnie klasy abstrakcji, a nie poszczególne ich elementy. Niech Q oznacza zbiór liczb wymiernych. Nie można powiedzieć, że 16 : 2 ma te same własności w N, co 16/2 w Q, np. 16 : 2 nie jest ułamkiem w N, a jest w Q. Trzeba więc wziąć pod uwagę własności wyrażalne w danej teorii^(). Mimo że (16 : 2) = 16/2, to nie można stosować (RZ), bo z tego, że 16/2 jest ułamkiem w Q, nie wynika, że jest tym samym, co 16 : 2 w N. Tak więc reguła zastępowania definiuje pewien istotny rys identyczności, który nie występuje przy równościach elementarnej algebry liczb. Tedy (por. Kleene 1967, s. 158) odróżnia się identyczność, tj. relację określoną przez (A1) – (A3) oraz (RZ) od równoważności (lub równości) spełniającej jedynie aksjomaty (A1) – (A3)^().
W ogólności, o ile mamy teorię T i zdanie identycznościowe t_(i) = t_(j) takie, że
(19) (t_(i) = t_(j)) ∈ CnT,
to stosowne klasy abstrakcji dla termów t_(i) i t_(j), klasy i są porównywane z uwagi na teorię T. Jeśli teoria ta prowadzi do wniosku, że t_(i) ∈ wtedy i tylko wtedy, gdy t_(i) ∈ , to wtedy mamy prawo uznać zdanie t_(i) = t_(j) w oparciu o teorię T i definicję (DK). Ustalenie T-koreferencjalności termów jest w gruncie rzeczy aplikacją (DI) do własności generowanych przez T i tym samym sankcjonuje (RZ) i (RZ’), ale tylko wobec własności definiowalnych w T i termów T-korefencjalnych z uwagi na te własności. Koreferencja może wywodzić się z wiedzy empirycznej, niekoniecznie teoretycznej. Tak jest w przypadku zdania (1), które ma oparcie w obserwacjach astronomicznych. Z kolei zdanie ‘Platon = Arystokles’ znajduje swe uprawnienie w wiedzy historycznej. Może być wreszcie tak, że v(t_(i)) = v(t_(j)) zachodzi na mocy czystej umowy, np. zdecydowałem się nazywać psa ‘Burek’ przed południem, a ‘Rex’ po południu. Zawsze jednak musi być tak, że (t_(i) = t_(j)) ∈ CnX, gdzie zbiór X = Ø lub X ≠ Ø. W tym pierwszym przypadku korefencjonalność jest oparta na podstawach logicznych, natomiast w drugim jest wyznaczona pewnym zbiorem informacji pozalogicznych. Mogą one pochodzić z teorii, mniej lub bardziej systematycznej wiedzy empirycznej lub nawet konwencji nadających nazwy. Stosownie do tego trzeba interpretować reguły (RZ) i (RZ’). W szczególności ustalenie, że (t_(i) = t_(j)) ∈ CnX zawsze musi poprzedzać ich stosowanie. Tylko w takim przypadku można traktować (RZ’) jako wariant (RZ). Załóżmy (a) (t_(i) = t_(j)) ∈ CnX oraz (b) t_(k) ∈ . Zastosowanie (RZ) do (a) daje (pomijam relatywizację do X) (c) dla każdego P, jeśli Pt_(i), to Pt_(j). Z kolei (b) prowadzi do (d) v(t_(j)) = v(t_(k)). (RZ) i (d) implikują (e) dla dowolnego P, jeśli Pt_(j) to Pt_(k). Ostatecznie, (c) i (e) pociągają t_(j) = t_(k)^().
Kusi powiedzieć, że mamy do czynienia z identycznością logiczną, teoretyczną, empiryczną i konwencjonalną. To wydaje mi się całkowicie błędne. Koreferencjalność nie jest relacją pomiędzy przedmiotami, ale zachodzi lub nie wśród termów z uwagi na ich denotacje. Co najwyżej można odróżniać koreferencjalność logiczną, teoretyczną, empiryczną czy konwencjonalną (może jeszcze inną). W gruncie rzeczy mamy do czynienia z rozmaitymi kryteriami uznawania zdań identycznościowych. Sprawa ta wiąże się z głośnym rozróżnieniem identyczności absolutnej i identyczności relatywnej. Za autora tej dystynkcji powszechnie uchodzi tutaj Geach. Wedle niego, zdanie identycznościowe winno być sformułowane jako
(20) x jest tym samym P, co y (Geach 1972, s. 238; 1973, s. 292)^().
Geach twierdzi, że żadne zdanie identycznościowe nie jest absolutne. Krótko: każda identyczność jest relatywna. Niektórzy ujmują stosunek pomiędzy identycznością absolutną a identycznością relatywną w ten sposób, że (DI) definiuje identyczność absolutną, a (20) (lub jakaś jego modyfikacja) określa sens identyczności relatywnej^(). Tak więc x i y są identyczne absolutnie, to są identyczne pod każdym względem, tj. podzielają wszystkie własności. Dalej, skoro identyczność pod każdym względem pociąga identyczność pod pewnym względem, to identyczność absolutna jest szczególnym przypadkiem identyczności relatywnej^().
Identyczność relatywna jako identyczność pod jakimś względem jest w gruncie rzeczy podobieństwem pod tym właśnie względem^(). I rzeczywiście, identyczność absolutna jest szczególnym przypadkiem podobieństwa. Jeśli weźmie się pod uwagę koreferencjalność, to zachodzi poważna różnica pomiędzy nią a identycznością. W mojej nomenklaturze, jest tak
(21) jeśli t_(i) i t _(j) są koreferencjalne, to v(t_(i) ) = v(t _(j)) i na odwrót, tj. wartości koreferencjalnych termów są identyczne oraz identyczność wartości termów pociąga ich korefencjalność. Zależność (21) jest spełniona przez identyczność relatywną tylko częściowo, gdyż wprawdzie wartości termów koreferencjalnych są identyczne, to wcale nie musi być na odwrót, nawet w przypadku znacznego podobieństwa, np. bliźniacy bywają praktycznie nierozróżnialni, ale na pewno nie są identyczni w sensie absolutnym. Nie definiuję identyczności absolutnej formułą ((v(t_(i )) = v(t _(j))) ∈ CnØ, ani też identyczności relatywnej formułą ((v(t_(i) ) = v(t _(j))) ∈ CnX, gdy X ≠Ø. Identyczność przedmiotu jest zawsze ta sama, tj. jest autoidentycznością, tożsamością z samym sobą^(). Mamy jedynie rozmaite kryteria ustalania identyczności, mniej lub bardziej absolutne. To najbardziej absolutne, tj. logiczne, w gruncie rzeczy jest puste. To zapewne zmyliło Wittgensteina, ponieważ pustość treściowa nie oznacza w tym przypadku trywialności kryterialnej. Wymagania w tym względzie są ustanowione przez (DI) i pozostają takie same dla każdego zdania identycznościowego.
Przechodzę teraz do kłopotów (I) – (VI).
Ad (I). Jak już zauważyłem, przejście od (1) do (2) opiera się na (RZ’). Nie jest to jednak po prostu reguła zastępowania, która odwołuje się do czystej logiki. Rozumowanie przebiega w istocie rzeczy tak: (a) Wenus = Wenus; (b) v(‘Gwiazda Poranna’) = v(‘Wenus’) wedle obserwacji astronomicznych; a więc (c) Wenus = Gwiazda Poranna. W istocie rzeczy, przesłanka (a) jest całkowicie zbędna, ponieważ (c) wynika już z (b). Istotna jest tylko implikacja (b) ⇒ (c). Wszelako nawet gdy ktoś zechce rozpatrywać derywację (c) z (a) i (b), a nie tylko z samego (b), nie będzie mógł utrzymywać, że drogą czysto logiczną przeszedł od tautologii do nietautologii, ponieważ po drodze zastosował regułę (RZ’) korzystając z informacji pozalogicznych, mianowicie opartych na obserwacjach astronomicznych. Fakt ten jest odzwierciedlony przez treść (2) bogatszą od treści (1). Rozwiązanie to nawet nie wymaga powiedzenia (jak do uczynił Frege), że (1) i (2) mają tę samą denotację, a różny sens. W rozwiązaniu tutaj proponowanym, uznanie (1) i (2) odwołuje się do innych kryteriów identyczności.
Ad (II) i (III). Zdania (3), (5) i (7) w ogóle nie są zdaniami identycznościowymi, ponieważ występują w nich deskrypcje. Zaczynam od zdania (3). Powinno być rozumiane jako
(22) Walter Scott jest autorem powieści Waverley,
a jego charakterystyka semantyczna jest dana przez
(23) v(‘Walter Scott’) ∈ {v(‘jest autorem powieści Waverley’)}.
Kształt (23) ujawnia od razu, że nie mamy tutaj do czynienia z koreferencjalnością termów, ale z ekstensją predykatu ‘jest autorem powieści Waverley’. (22) nie mogło więc powstać drogą zastąpienia termu ‘Walter Scott’ przez wyrażenie „jest autorem powieści Waverley’. Wprawdzie bycie autorem powieści Waverley jest atrybutem jednostkowym, ale to sugeruje tylko tyle, że o ile formuła ‘x jest autorem powieści Waverley’ jest w ogóle spełniona, to jest spełniona przez jeden przedmiot. Jest też oczywiście tak, że Walter Scott mógł nie napisać powieści Waverley. Znaczy to, że istnieje taki możliwy świat, w którym zdanie ‘Walter Scott jest autorem powieści Waverley’ jest fałszywe.
Zdanie (5) wygląda na takie, które może być rozwinięte do
(24) a jest pierwszym królem Polski wtedy i tylko wtedy, gdy a jest drugim władcą Polski z dynastii Piastów.
Skoro jednak dopuszczamy, że mogło być inaczej niż głosi to zdanie, to powinniśmy je rozumieć jako
(25) a jest pierwszym królem Polski w świecie M wtedy i tylko wtedy, gdy a jest drugim władcą Polski z dynastii Piastów w świecie M, z charakterystyką semantyczną
(26) v(‘a’, M) ∈ {v(‘jest pierwszym królem Polski’, M)} wtedy i tylko wtedy, gdy v(‘a’, M) ∈ {v(‘jest drugim władcą Polski z dynastii Piastów’, M)}.
Może być tak (i faktycznie było, tj. zdarzyło się w realnym świecie historycznym), że v(‘a’) = v(‘b’) i w konsekwencji, v(‘a’) ∈ {v(‘jest pierwszym królem Polski’)} wtedy i tylko wtedy, gdy {v(‘b’) ∈ v(‘jest drugim władcą Polski z dynastii Piastów’)}, ale mogło być inaczej, tj. istnieje taki możliwy świat M’, że (26) jest fałszem.
Podobnie, nie powinno się analizować (7) tylko jako
(27) a jest pierwszym królem Polski wtedy i tylko wtedy, gdy a jest pierwszym królem Polski.
Translacja ta zachowuje tautologiczność, a wtedy nie można myśleć, że mogłoby być inaczej. Jeśli jednak przekształcimy (27) w (28) dla każdego M i każdego x, a jest pierwszym królem Polski w M wtedy i tylko wtedy, gdy x jest pierwszym królem Polski w M,
to trudność znika. Opuszczając kwantyfikator wiążący zmienną indywiduową i wprowadzając stosowną stałą indywiduową, tj. ‘Bolesław Chrobry’ otrzymujemy,
(29) dla każdego M, v(‘Bolesław Chrobry’, M) ∈ {v(‘pierwszy król Polski’, M)} wtedy i \wtedy, gdy v(‘Bolesław Chrobry’, M) ∈ {v(‘pierwszy król Polski’, M)}.
Partykularyzując (29) do historycznego świata realnego otrzymujemy zdanie prawdziwe, ale nie wyklucza to logicznej możliwości fałszu (29), np. z tego powodu, że kto inny został pierwszym królem Polski, czy też dlatego, że Polska nigdy nie byłaby królestwem. W tej drugiej sytuacji ‘jest pierwszym królem Polski’ staje się pusty, ale partykularyzacja (28) do tego świata jest prawdziwa, ponieważ obie jego części są fałszywe dla dowolnego x. (29) nie jest więc tautologią.
Ad (IV) i (V). Zdanie (9) przybiera postać
(30) 9 jest liczbą planet,
a w semantycznej translacji
(31) v(‘9’) ∈ {v(‘jest liczbą planet’)},
gdzie atrybut jest liczbą planet jest jednostkowy. Pierwsza obserwacja polega na tym, że nie można zastąpić ‘liczba planet’ przez ‘9’ w zdaniu (10), ponieważ wyrażenie ‘liczba planet’ nie jest termem, ale skrótem dla predykatu. Na to jednak można odpowiedzieć, iż jeśli przedmiot u spełnia formułę ‘x jest P’, gdzie predykat P wyznacza jednostkowy atrybut v(P), to wówczas wolno uznać zdanie u = v(P)^(). Wtedy zauważamy, iż zdanie (8), jeśli jest konieczne, to dzieje się tak na innych zasadach niż w przypadku zdania (10). Konieczność (8) jest arytmetyczna, a (10) – ewentualnie fizyczna. Wynika to z zasad stosowania (RZ’).
Ostatnia uwaga prowadzi do rozwiązania problemu konieczności dowolnych prawdziwych zdań identycznościowych. Interpretacja predykatu P w (11) jako ‘z konieczności ... identyczne z ...’ jest wieloznaczna tak długo, jak nie są podane podstawy identyczności. Jeśli są to podstawy logiczne, to można otrzymać tylko^()
(32) (t_(i) = t_(i)) ⇒ (t_(i) = t_(i)) ⇒ (t_(j) = t_(j)),
co jest trywialnością. Natomiast, jeśli ustalenie, że x = y ma za sobą racje pozalogiczne, to konieczność w wyrażeniu (t_(i) = t_(i)) musi być rozumiana mocniej niż w wyrażeniu (t_(i) = t_(j)). Mamy wtedy
(33) t_(i) = t_(j) ⇒ ^(L)(t_(i) = t_(i)) ⇒ ^(X)(t_(i) = t_(i)),
gdzie indeksy przy znaku konieczności wskazują na jej rodzaj. W rezultacie otrzymujemy tylko
(34) (t_(i) = t_(j)) ⇒ ^(X)(t_(i) = t_(j)).
Semantycznie znaczy to
(35) (v(t_(i)) = v(t_(j))) ∈ CnX ⇒ ^(X)(t_(i) = t_(j)).
Mamy więc co najwyżej konieczność relatywną, a nie absolutną (logiczną)^().
Ad (VI). Formalnie rzecz biorąc świat (powiedzmy M), w którym Arystoteles jest uczniem Platona, to taki w którym para należy do relacji wyznaczonej przez predykat ‘jest uczniem’, natomiast świat (powiedzmy M’), w którym jest inaczej, to taki, w którym wspomniana para do tej relacji nie należy. Świat, w którym Walter Scott jest autorem powieści Waverley, to taki, w którym v(‘Walter Scott’) ∈ v(‘autor powieści Waverley’), natomiast tam, gdzie nie napisał tej powieści, weryfikuje zależność v(‘Walter Scott’) ∉ v(‘jest autorem powieści Waverley’). Podobnie ma się sprawa z Bolesławem Chrobrym jako pierwszym królem Polski w jednym świecie, a nieposiadającym korony polskiej w innym. Problem polega na wartościowaniu termów ‘Arystoteles’, ‘Platon’, ‘Walter Scott’ i ‘Bolesław Chrobry’ w różnych możliwych światach. Semantyka formalna wymaga, by stałe indywiduowe były wartościowane niezmienniczo w ramach danej interpretacji v. Gdy rozpatruje się możliwe światy, to (DK) winna być rozszerzone do
(DK’) t_(j) ∈ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego M i M’, v(t_(j), M) = v(t_(i), M’)^().
Znaczy to, że termy mają te same wartości w różnych światach, czyli poprzez światy. To jednak pozostaje w sprzeczności z (DI). Jeśli bowiem rozważamy światy, w którym Arystoteles nie jest uczniem Platona, Walter Scott nie napisał powieści Waverley czy Bolesław Chrobry nie był pierwszym królem Polski, to stosowne indywidua nie mają w pewnych światach pewnych własności (monadycznych lub relacyjnych), jakie posiadają w innych. Zakładamy wtedy, że wprawdzie wartości tych termów są identyczne, ale musimy odrzucić to, że spełniają one dokładnie te same predykaty. I to jest jeden problem związany z identycznością poprzez światy. Inny, też już zaznaczony, polega na rozumieniu stałych indywiduowych w przypadku rozważania światów, w których ich wartości nie istnieją, np. świata bez Arystotelesa czy świata bez Bolesława Chrobrego. Co mamy na myśli, gdy mówimy, że Arystoteles nie byłby uczniem Platona, gdyby nie istniał? Istnienie nie jest tutaj żadnym tajemniczym pojęciem. Przedmiot u istnieje w świecie M, gdy należy do jego uniwersum U(M). Sprawa polega jednak na tym, że każda stała indywiduowa musi coś denotować, a zakładamy, że term ‘Arystoteles’ nic nie denotuje w jakimś świecie M, tj.
(36) nie istnieje w świecie M takie x, że v(‘Arystoteles’, M) = x.
Znaczy to jednak, że wyrażenie ‘Arystoteles’ nie jest termem w odniesieniu do świata M. Założyliśmy jednak, że należy do naszego języka J właśnie jako term, co przesądza, iż musi być niepusty w każdym modelu właściwym dla J. Mamy więc sprzeczność.
Rozwiązanie problemu identyczności międzyświatowej może iść w kilku możliwych kierunkach^(). Po pierwsze, można przyjąć esencjalizm, tj. pogląd, że o identyczności decydują stosowne cechy istotne. Drugim rozwiązaniem jest teoria odpowiedników. Unika ona esencjalizmu, ale jest wysoce sporne, co miałoby być koniecznym warunkiem dla bycia odpowiednikiem, np. Arystotelesa ze świata M w świecie M’. Obie koncepcje prowadzą do relatywnego rozumienia identyczności. Tak więc przedmioty identyczne są takie wedle pewnego zbioru cech, np. wspólnego i niepustego przekroju wyznaczonego przez wszystkie atrybuty ze wszystkich modeli. Nie jest jednak jasne, czy taki zbiór istnieje, a przede wszystkim, jakie warunki winien spełniać poza tym, że jest niepusty. Ponadto, i może najważniejsze, relatywna identyczność nie pociąga koreferencjalności, a o nią głównie chodzi. Trzeba więc to dodać jako osobny warunek^().
Ostatnie dwa zdania sugerują drogę wyjścia z trudności. Potrzeba nam takiej konstrukcji, która osłabi pojęcie identyczności, ale zachowa korefencjalność jako konsekwencję identyczności międzyświatowej. W tym celu przyjmę, że każde indywiduum u wyznacza atrybut {u}. Jest to atrybut jednostkowy, ale w przeciwieństwie do atrybutów denotowanych przez deskrypcje nie wiąże się z jakąś treścią, ale z samym faktem istnienia przedmiotu. Nazwę go autoatrybutem. Mając więc term t_(i) możemy utworzyć autotrybut {v(t_(i))}. Ponieważ logika gwarantuje niepustość termów stałych, autoatrybuty wyznaczone przez stałe rozważanego języka są też niepuste. Jeśli zatem pracujemy w określonej interpretacji języka J, to z definicji funkcji v wynika, że v(t_(i)) ∈ {v(t_(i))} dla dowolnego termu stałego i dla dowolnego modelu M(J). Ponieważ autoatrybuty są zbiorami jednostkowymi, są dla danego termu równe poprzez światy wedle formuły
(37) ∀MM’({v(t_(i), M)} = {v(t_(i), M’)}) ⇔ (v(t_(i), M) ∈ {v(t_(i), M)} ⇔ v(t_(i), M’) ∈{v(t_(i), M’)}).
Sugeruje to następującą definicję identyczności miedzyświatowej =^(m)
(DIM) v(t_(i)) =^(m) v(t_(j)) w klasie K wszystkich interpretacji języka J wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego M ∈ K, (v(t_(i), M) ∈ {v(t_(i), M)} ⇔ v(t_(j), M) ∈{v(t_(j), M)}).
Pojęcie ukształtowane przez (DIM) jest oczywiście słabsze niż identyczność zdefiniowana przez (DI). Bierze ono pod uwagę tylko równość autoatrybutów, a nie wszystkich atrybutów. Formuła t_(i) = t_(i) jest tautologią, ponieważ v(t_(i)) ∈ {v(t_(i))} dla każdego M. Każdy przedmiot jest więc identyczny sam z sobą w sensie absolutnym w każdym konkretnym możliwym świecie, ale nie międzyświatowo. Znaczy to, że indywidua mogą mieć różne własności i pozostawać w różnych relacjach w zależności od światów, w których egzystują. W każdym razie, relacja = (identyczność absolutna) jest szczególnym przypadkiem relacji =^(m), tj. identyczności międzyświatowej. Nawiasem mówiąc, (DIM) wygląda na dobrą definicję sztywnego desygnatora w sensie Kripkego^().
Pozostaje jeszcze kwestia pustości termów w pewnych światach. Jeśli chcemy pozostać w zgodzie z semantyką formalną, to nie ma innej drogi, jak zdaje się, by zmienić interpretację języka. Załóżmy, że chcemy dopuścić pustość termu t_(i) w świecie M’, aczkolwiek term ten jest niepusty w świecie M. Zmieniamy wyjściowy język J na J’ w ten sposób, że usuwamy z niego t_(i), a na to miejsce prowadzamy pusty autoatrybut {v(‘jest t_(i)’)}. Wszystkie inne rzeczy pozostają bez zmiany. W świecie M’ zachodzi
(38) nieprawdą jest, że istnieje takie x, że v(t_(i)) = x.
Zdanie (38) jest fałszywe w M. Świat M’ jest modelem języka J’, nie modelem języka J. Ponieważ jednak języki te różnią się nieznacznie, można w jakimś intuicyjnym sensie traktować M’ jako możliwy świat z uwagi na J. Nie jest to jednak w pełni ścisłe^().
------------------------------------------------------------------------
Zapraszamy do zakupu pełnej wersji książki
------------------------------------------------------------------------
Wittgenstein (Wittgenstein 1922, 5.5303) powiada tak: „Mówiąc nawiasem: powiedzieć o dwu rzeczach, że są identyczne, to niedorzeczność; a powiedzieć o jednej, że jest identyczna sama z sobą, to nie powiedzieć nic”.
Zdanie to jest powszechnie interpretowane jako odmawiające identyczności charakteru relacji. Kwestionuje ono zatem standardowy sposób rozumienia identyczności w logice, tj. jako dwuargumentowej relacji. Dodatkowo, Wittgenstein uznając zdania identycznościowe jako niedorzeczności lub nic niemówiące, wyraźnie je zdyskredytował. Z drugiej strony, wedle Tarskiego (Tarski 1994, s. 55; odniesienia do stron dotyczą tłumaczeń polskich, o ile są podane w bibliografii), identyczność jest najważniejszym pojęciem logicznym spoza rachunku zdań. Jest to stanowisko diametralnie różne od tego, które znajdujemy w Traktacie Wittgensteina, ponieważ implikuje, że zdania identycznościowe na pewno nie są ani trywialne, ani niedorzeczne.
Być może tak znaczna różnica w traktowaniu identyczności, jak ta pomiędzy Wittgensteinem a Tarskim, wypływa z faktu, że identyczność i zdania identycznościowe sprawiają poważne kłopoty filozofom. Formalnie, tj. z logicznego punktu widzenia, wszystko jest w porządku. Rachunek predykatów I rzędu z identycznością powstaje przez dodanie do stałych logicznych rachunku zdań (np. implikacji i negacji) oraz kwantyfikatorów (uniwersalnego i egzystencjalnego, o ile mamy negację i pracujemy w logice klasycznej, to wystarczy jeden z nich) nowego pojęcia, mianowicie dwuargumentowego predykatu, zwykle oznaczanego symbolem =. Jego sens wyznaczony jest przez aksjomaty:
(A1) x = x;
(A2) x = y ⇒ y = x;
(A3) x = y ∧ y = z ⇒ x = z,
oraz regułę zastępowania (schemat)
(RZ) jeśli (x = y) ∧ P(x), to P(x/y)^().
Predykat identyczności nie jest definiowalny w logice predykatów I rzędu. Można to jednak uczynić w logice II rzędu przez (zasada Leibniza)
(DI) x = y ⇔ ∀P(Px ⇔ Py)^().
Implikacja z lewa na prawo wyraża to, iż przedmioty identyczne mają takie same własności, natomiast implikacja odwrotna stwierdza, że dwa przedmioty mające takie same własności są identyczne^(). Zasada Leibniza pociąga (A1) – (A3) i (RZ), ale nie odwrót, ponieważ w logice I rzędu nie można wyrazić (D1). Zdaniem identycznościowym jest każde zdanie typu
(*) t_(i) = t_(j),
gdzie t₁ i t₂ są termami oraz uniwersalne i egzystencjalne domknięcia (*), tj. formuły o postaci (**) ∀t_(i)t_(j)(t_(i) = t_(j)) i (***) ∃t_(i)t_(j)(t_(i) = t_(j)) oraz negacje formuł typu (*), (**) i (***)^().
Pierwszy problem dotyczący identyczności polega na pytaniu, czy predykat identyczności jest stałą logiczną czy też nie. O tym, że jest coś niejasnego w tej materii świadczy już chociażby to, że odróżnia się rachunek predykatów bez identyczności i z nią^(). Racją dla uznania identyczności za pojęcie pozalogiczne jest to, iż można znaleźć zdania identycznościowe, które nie spełniają twierdzeń o inflacji i o deflacji^(). Twierdzenie o inflacji powiada, że formuła A rachunku predykatów jest spełnialna w niepustej dziedzinie M, to jest też spełnialna w każdej innej dziedzinie zawierającej co najmniej tyle elementów, ile ma uniwersum dziedziny M. Natomiast twierdzenie o deflacji stwierdza, że jeśli jakaś formuła jest prawdziwa w jakiejś niepustej dziedzinie M, to jest prawdziwa w każdej niepustej dziedzinie mającej najwyżej tyle elementów, ile ma uniwersum dziedziny M. Formuła ∀xy(y = x) jest kontrprzykładem dla twierdzenia o inflacji (jest ona spełniona tylko w dziedzinie jednoelementowej i żadnej innej), natomiast formuła ∃xy(x ≠ y) dostarcza kontrprzykładu dla twierdzenia o deflacji (nie jest ona prawdziwa w dziedzinie jednoelementowej). Natomiast oba twierdzenia zachodzą dla formuł bez identyczności^().
Z drugiej jednak strony, wszystkie podstawowe twierdzenia metalogiczne, w szczególności twierdzenie o pełności (każda tautologia jest dowodliwa) i twierdzenia Lindströma (jeśli jakaś logika jest zwarta i posiada własność Löwenheima-Skolema, to jest równoważna logice elementarnej, tj. takiej, gdzie kwantyfikuje się tylko po zmiennych indywiduowych; są i inne wersje tego twierdzenia) zachodzą zarówno dla logiki predykatów z identycznością, jak i bez niej. Ta druga, podobnie jak pierwsza, nie wyróżnia żadnej stałej pozalogicznej. Te fakty motywują traktowanie identyczności jako pojęcia logicznego^().
Nawet jeśli uznamy, że kwalifikacja identyczności jako pojęcia logicznego lub pozalogicznego jest w jakiejś mierze konwencjonalna, to nie można w taki sposób potraktować głośnych trudności związanych ze zdaniami identycznościowymi.Trudności takich jest co najmniej sześć^(). Oto one:
(I) Problem Fregego (Frege 1892).
(1) Zdanie Wenus = Wenus,
jest tautologią, specjalnym przypadkiem (A1). Skądinąd wiadomo, że Gwiazda Wieczorna jest tym samym ciałem niebieskim, co Wenus. Możemy więc zastąpić ‘Wenus’ przez ‘Gwiazda Wieczorna’, co daje
(2) Wenus = Gwiazda Wieczorna.
Zdanie to zawiera jednak całkowicie nową treść w porównaniu z (1). Kłopot polega na tym, że od tautologii (1) przeszliśmy, drogą przekształceń wyglądających na logiczne, do (2), które tautologią nie jest i dla swego uzasadnienia wymaga odwołania się do danych empirycznych. Frege rozwiązał ten kłopot przez słynne rozróżnienie sensu i denotacji (w jego terminologii – znaczenia). (1) i (2) mają tę samą denotację, mianowicie prawdę, ale różny sens. Dzieje się tak dlatego, iż wyrażenia ‘Wenus’ i ‘Gwiazda Poranna’ mają tę samą denotację, ale różnią się swoim sensem. Problem polega jednak przede wszystkim na przejściu od tautologii do zdania, które tautologią nie jest, a przynajmniej takiego, co do którego tautologiczności można mieć poważne zastrzeżenia.
(II) Problem zdań identycznościowych z jedną deskrypcją (Russell 1905). Rozważmy zdanie
(3) Walter Scott = autor powieści Waverley.
Ponieważ wyrażenia ‘Walter Scott’ i ‘autor powieści Waverley’ denotują to samo, mianowicie Waltera Scotta, (3) jest rezultatem stosownego zastąpienia w
(4) Walter Scott = Walter Scott.
Rozważany kłopot jest do pewnego stopnia wariantem (I). Różnica polega na tym, że (2) jest zdaniem astronomii, natomiast (4) zdaniem historycznym. Stąd pierwsze może odwoływać się nawet do teorii astronomicznej, natomiast trudno przypuścić, by (4) było rezultatem praw pisania powieści. Z łatwością można sobie wyobrazić tak świat, w którym Walter Scott nie napisałby utworu Waverley, natomiast kosmos, w którym Wenus nie byłaby Gwiazdą Wieczorną wymagałby innych praw przyrody^(). Russell odmawiał wyrażeniu ‘autor powieści Waverley’ charakteru termu, co prowadzi do odmówienia (3) statusu zdania identycznościowego^().
(III) Problem zdań identycznościowych z dwoma deskrypcjami (Kripke 1971, 1971a). Rozważmy zdanie
(5) pierwszy król Polski = drugi władca Polski z dynastii Piastów.
Zdanie to powstaje przez stosowne zastąpienie w zdaniu
(6) Bolesław Chrobry = Bolesław Chrobry.
Jest więc konsekwencją tautologii, a jednak możemy sobie wyobrazić świat, w którym pierwszym królem Polski byłby ktoś z innej dynastii lub inny w kolejności władca z dynastii Piastów. Kripke rozwiązał trudność odróżniając sztywne desygnatory (imiona własne, np. Bolesław Chrobry) i deskrypty (np. pierwszy król Polski). Zastępowanie jednych przez drugie nie musi zachowywać tautologiczności.
Niemniej jednak rozwiązanie Kripkego nie wystarcza dla pokonania innego problemu. Rozważmy zdanie
(7) pierwszy król Polski = pierwszy król Polski.
Wygląda ono na tautologię, wszelako wiedząc, że wyrażenie ‘pierwszy król Polski’ denotuje Bolesława Chrobrego, możemy utrzymywać, że pierwszy król Polski nie musiał być pierwszym królem Polski, ponieważ np. mógł nie otrzymać zgody na koronację lub mógłby umrzeć w 989 r.
(IV) Problem Quine’a (Quine 1953, s. 176). Rozważmy zdanie
(8) 9 > 7.
Jest to prawda arytmetyczna. Nawet jeśli nie akceptuje się logicyzmu, można utrzymywać, że zdanie (8) jest prawdą konieczną. Z drugiej strony mamy
(9) liczba planet = 9.
Zastępując ‘9’ przez ‘liczba planet’ w (8), otrzymujemy
(10) liczba planet > 7,
ale trudno uznać to za prawdę konieczną, ponieważ liczba planet mogłaby być inna. Quine traktuje to rozumowanie jako mocny argument przeciwko modalnej logice predykatów.
(V) Problem konieczności dowolnych zdań identycznościowych (Kripke 1971a). Zakładamy x = y oraz (DI), a dokładniej
(11) (x = y) ⇒ (Px ⇒ Py).
Następnik (11) przekształcamy (stosując (RZ)) w
(12) (x = y ) ⇒ (x = x) ⇒ (x = y),
przyjmując, że predykat P wyraża ‘z konieczności ... identyczne z ...’. Ponieważ wyrażenie (x = x) jest tautologią możemy je opuścić, co daje
(13) (x = y) ⇒ (x = y).
Rezultat nie jest intuicyjny, ponieważ np. (12) nie wydaje się prawdą konieczną, skoro jej uzasadnienie ma charakter empiryczny. Kripke utrzymuje, że pewne prawdy konieczne są a posteriori.
(VI) Problem identyczności międzyświatowej. Rozważmy dwa możliwe światy M i M’ takie, że Arystoteles był uczniem Platona w M, a nie był w M’. Stosując (DI) wnosimy, że Arystoteles z M nie może być identyczny z Arystotelesem z M’, ponieważ ludzie nazywani przez ‘Arystoteles’ różnią się własnościami w zależności od tego, czy znajdują się w M czy M’. Niemniej jednak nie wydaje się, by pozostawanie przedmiotu w innej sytuacji niż rzeczywiście zaistniała, prowadziło do destrukcji jego identyczności. Kripke uważa, iż denotaty sztywnych desygnatorów pozostają identyczne poprzez światy, denotaty deskrypcji nie muszą zachowywać identyczności międzyświatowej, a Lewis (Lewis 1968) zaproponował koncepcję, w myśl której Arystoteles z M’ nie jest identyczny z Arystotelesem z M, ale jest jego odpowiednikiem.
Zadaniem dalszych rozważań jest próba rozwiązania wskazanych wyżej trudności w pewien jednolity sposób. Uczynię to poprzez analizę zdań identycznościowych w kategoriach semantyki formalnej, tj. standardowej teorii modeli. Uważam bowiem, że kto stosuje logikę do zdań identycznościowych, obowiązany jest do ścisłego przestrzegania jej semantyki. A nie jest tak zawsze. Kripke powiada np. (Kripke 1971a, s. 106), że sztywny desygnator oznacza przedmioty identyczne międzyświatowo w każdym świecie, w którym istnieją. Nie jest to jednak właściwy sposób wyrażania się, ponieważ nazwa własna z założenia jest niepusta, a więc w ogóle nie ma co rozważać światów, w których jej denotacja nie istnieje^(). A nie jest to błaha sprawa, ponieważ można zastanawiać się nad światem, w którym np. Arystoteles w ogóle by nie istniał.
Zacznę od zarysowania interpretacji zdań identycznościowych. Dla ustalenia uwagi, będę rozważał zdania typu (*), gdzie oba termy są stałymi indywiduowymi, np. a₁ i a₂. Mamy więc zdanie identycznościowe
(14) a₁ = a₂.
Jak je rozumieć? Znaki a₁ i a₂ są stałymi indywiduowymi, a więc należą do języka. Znak identyczności jest funktorem zdaniotwórczym od dwóch argumentów nazwowych. W notacji Ajdukiewicza ma indeks z/nn. Jest jednak rzeczą oczywistą, że (14) nie wyraża identyczności zachodzacej pomiędzy wyrażeniem a₁ i wyrażeniem a₂^()_(.) Byłoby wtedy fałszywe. Zdania identycznościowe mają jednak związek z językiem. Może właśnie dlatego Frege twierdził początkowo (Frege 1879, s. 7–9), że identyczność jest relacją pomiędzy treściami nazw^(). Wedle Wittgensteina (Wittgenstein 1922, 5.53, 5.5301) identyczność przedmiotu wyraża się przez identyczność znaku, a różność przedmiotów przez różność znaków. Identyczność nie jest więc relacją pomiędzy przedmiotami. To stało się podstawą owego „powiedzenia nawiasem”, że zdanie identycznościowe jest albo niedorzeczne, albo nie mówi nic^(). Rozumienie identyczności wedle wczesnego Fregego czy wczesnego Wittgensteina można nazwać lingwistycznym (wewnątrzjęzykowym).
Jest raczej jasne, że lingwistyczna interpretacja jest niezgodna z intuicjami. Stwierdzając (14) chcemy przecież powiedzieć, że przedmiot oznaczany przez nazwę a₁, powiedzmy przedmiot a, jest identyczny z przedmiotem oznaczanym przez nazwę a_(j), powiedzmy przedmiotem b^(). Tutaj jednak pojawia się problem. Wedle jednych, zdanie identycznościowe, o ile jest prawdziwe, stwierdza samoidentyczność przedmiotu z samym sobą. Takie rozumienie identyczności określa się jako przedmiotowe (Morris 1984, s. XI). Prowadzi to do wniosku, że (14), o ile prawdziwe, jest logicznie równoważne zdaniu (a = b). To jednak natychmiast prowadzi do kłopotu (I), bo identycznościowe zdania informatywne nie mogą być logicznie równoważne identycznościowym tautologiom. Frege w okresie późniejszym interpretował zdania identycznościowe w sposób, który niekiedy (Morris 1984, s. XI/XII) określa się jako metajęzykowy. Wedle tej propozycji, prawdziwe zdanie identycznościowe wyraża fakt, że t_(i) i t_(j) są termami koreferencjalnymi.
Będę argumentował, że metajęzykowa analiza zdań identycznościowych jest zgodna z semantyką teoriomodelową i po pewnych uzupełnieniach rozwiązuje trudności (I) – (VI)^(). Przypuśćmy zatem, że mamy do czynienia z językiem J rachunku predykatów. Jego alfabet zawiera (obok spójników zdaniowych, kwantyfikatorów i symbolu identyczności) jako wyrażenia pozalogiczne: zmienne indywiduowe x₁, x₂, x₃, ..., stałe indywiduowe a₁, a₂, a₃ (założymy, że mamy tylko trzy stałe) oraz litery predykatowe (predykaty; dla uproszczenia będę rozważał jedynie predykaty jednoargumentowe i dwuargumentowe; symbol identyczności został wcześniej uznany za stałą logiczną) P₁₁, P₁₂, P₁₃, ..., P₂₁, P₂₂, P₂₃, .... (pierwsza liczba w indeksie przy predykacie oznacza argumentowość, a druga kolejność na liście predykatów jedno- lub dwuargumentowych)^(). Interesuje nas interpretacja języka J. Aby ją podać, trzeba dysponować strukturą M =
O ile struktura M jest właściwa, to jest potencjalną interpretacją (realizacją) dla języka J. Staje się interpretacją aktualną, o ile zostanie określona funkcja wartości (funkcja interpretacyjna) v taka, że v(x_(i)) ∈ U (wartość zmiennej jest jakimś elementem zbioru U), v(a_(j)) = a_(j) (j = 1, 2, 3) (wartość stałej jest ustalonym elementem U), v(P_(kl)) = P_(kl) (wartością predykatu jest podzbiór lub relacja; będę mówił o atrybutach i relacjach). Funkcja v nie jest różnowartościowa, tj. nie musi być tak, że różnym termom czy predykatom przyporządkowane są różne wartości, aczkolwiek oczywiście nie może być tak, że temu samemu wyrażeniu przyporządkowane są różne wartości. To, że v nie jest funkcją różnowartościową sprawia, iż ten sam przedmiot może mieć dwie nazwy. Jeśli mamy interpretację, to możemy w znany sposób zdefiniować prawdziwość. Ograniczam się wyłącznie do formuł atomicznych i identycznościowych, co pozwala na podanie definicji wprost, a nie za pośrednictwem pojęcia spełniania. Jeśli A = P_(1j)(t_(i)), to A jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy v(t_(i)) ∈ v(P_(1j)), tj. dokładnie wtedy, gdy a_(i) ∈ P_(1j); jeśli A = P_(2k)(t_(i) t_(j)), to A jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy
Przyjmijmy, że nasz język ma takie oto stałe: ‘Sokrates’, ‘Platon’, ‘Arystokles’, oraz predykaty „jest filozofem”, „jest uczniem”. Przyjmujemy, że stałe są interpretowane zgodnie z wiedzą z zakresu historii filozofii. Prawdziwe są zdania (ignoruję czas): (a) ‘Sokrates jest filozofem’, (b) ‘Platon jest filozofem’, (c) ‘Arystokles jest filozofem’, (d) ‘Platon jest uczniem Sokratesa’, (e) ‘Arystokles jest uczniem Sokratesa’, (f) ‘Sokrates jest identyczny z Sokratesem’, (g) ‘Platon jest identyczny z Platonem’, (h) ‘Arystokles jest identyczny z Arystoklesem’, (i) ‘Platon jest identyczny z Arystoklesem’. Od razu obserwujemy, że pewne zdania, mianowicie (f), (g), (h) są prawdziwe, jakkolwiek funkcja v została określona, ponieważ zawsze zapewniałaby koreferencjalność. Z drugiej strony, moglibyśmy tak zdefiniować funkcję v, że denotacją termu ‘Arystokles’ byłby Herodot. Wtedy (c) i (i) stałyby się zdaniami fałszywymi. Tak więc wartość logiczna zdań identycznościowych, jak każdych innych, jest zrelatywizowana do interpretacji wyznaczonej przez funkcję v. Prowadzi to do pytania, czym jest język J. Jeśli rozumiemy go jako twór syntaktyczny, to możemy powiedzieć, że ten sam język miewa rozmaite interpretacje, np. jedną taką, w której v(‘Arystokles’) = Platon, a drugą taką, w której v(‘Arystokles’) = Herodot. Jeśli jednak przez język będziemy rozumieć syntaksę plus interpretację, a więc parę Λ =
Nie mogę już dalej odkładać statusu deskrypcji określonych. Rozważmy wyrażenie ‘najwybitniejszy uczeń Sokratesa’. Na pierwszy rzut oka jest to wyrażenie referencjalne takie, że v(‘najwybitnieszy uczeń Sokratesa’) = Platon. Jasne jest jednak, że funkcja v działa inaczej w tym przypadku niż, gdy v(‘Platon’) = Platon lub v(‘Arystokles’) = Platon. Wszyscy znawcy przedmiotu wskazują, że wyrażenie ‘najwybitniejszy uczeń Sokratesa’ odnosi się do Platona inaczej niż jego imię własne ‘Arystokles’ czy przydomek ‘Platon’. Z tego powodu wolę przyjąć, że zdanie ‘Platon jest najwybitniejszym uczniem Sokratesa’ jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy v(‘Platon’) ∈ v(‘jest najwybitniejszym uczniem Sokratesa’), a nie wtedy, gdy v(‘Platon’) = v(‘najwybitniejszy uczeń Sokratesa’). Innymi słowy, deskrypcje traktuję jako skróty predykatów, a nie jako termy^(). Jest to również motyw, dla którego, z uwagi na jednolitość, przyjąłem transformację n-argumentowych funkcji do n+1-argumentowych relacji, ponieważ funkcje są na ogół wprowadzane deskrypcjami. Tak więc, deskrypcje odnoszą się do atrybutów o specjalnym charakterze, mianowicie atrybutów jednostkowych. Znaczy to, że jeśli P jest predykatem powstającym z deskryptu, to formuła ‘x jest P’, o ile jest spełniona w ogóle, jest spełniona dokładnie przez jeden przedmiot. Niezależnie od tego, czy przyjmiemy deskryptywną czy przyczynową (dokładniej Millowską) koncepcję nazw własnych, predykaty deskrypcyjne zawsze wskazują na przedmioty, które je spełniają w sposób pośredni. Jest również tak, że predykat deskrypcyjny, jak każdy inny, może odnosić się do zbioru pustego. Tak jest np. w przypadku predykatu ‘obecny król Francji’. Tak więc zdanie ‘t jest obecnym królem Francji’ jest fałszywe dla dowolnego termu stałego t^().
Trzeba teraz zbadać źródła koreferencji termów, ponieważ są one różne. W tym celu wprowadzimy pojęcie klasy abstrakcji termów z uwagi na koreferencjalność. Niech t_(i) będzie dowolnym termem stałym. Symbolem oznaczymy zbiór wszystkich termów korefencjalnych z t_(i). Formalnie mamy
(DK) t_(j) ∈ wtedy i tylko wtedy, gdy v(t_(j)) = v(t_(i))^().
Krótko mówiąc jest klasą abstrakcji z uwagi na koreferencję, która jest relacją równościową, tj. zwrotną, przechodnią i symetryczną. (DK) motywuje następującą regułę zastępowania (wyrażenie t_(k)//t_(j) znaczy ‘wynik zastąpienia termu t_(j) przez term t_(kj)’)
(RZ’) jeśli (t_(i) = t_(j)) ∧ (t_(k) ∈ ), to t_(i) = t_(k)//t_(j).
Ta właśnie reguła została użyta w wyprowadzeniu (1) z (2). W samej rzeczy, ponieważ ‘Gwiazda Poranna’ ∈ , dostajemy, że Wenus jest identyczna z Gwiazdą Poranną.
Trzeba jednak zbadać podstawy koreferencji termów, tj. powody, dla których termy należą do danych klas abstrakcji. Pozwoli to również ustalić warunki stosowalności (RZ’), w szczególności odpowiedzieć na pytanie, czy jest ona wariantem (RZ). Po pierwsze, mamy taką sytuację, że v(t_(i)) = v(t_(j)), ponieważ (t_(i) = t_(j)) jest prawem logiki, tj. (t_(i) = t_(j)) ∈ CnØ. Tak jest tylko w przypadku (A1), tj. formuły x = x i jej podstawień. W samej logice udowodnić można tylko (A1) – (A3) i konsekwencje tych aksjomatów. Wszelako (A2) i (A3) są zdaniami warunkowymi i nie prowadzą do żadnego bezwarunkowego stwierdzenia identyczności. Takim jest tylko (A1) i jego konsekwencje. Także reguła (RZ) nie prowadzi do bezwarunkowych zdań identycznościowych. Reguła (RZ’) jest wtedy trywialnym wariantem (RZ). Możemy teraz powiedzieć, że koreferencja na podstawach czysto logicznych prowadzi do wzajemnie rozłącznych klas jednostkowych typu , dla każdego termu stałego danego języka. Jest tak przy dowolnej funkcji wartości v^().
Koreferencja może być także gwarantowana przez teorie naukowe. I tak zdanie
(15) 8 = 16 : 2
jest prawdziwe, ponieważ ‘8’ ∈ i w konsekwencji mamy
(16) v(‘8’) = v(‘16 : 2’)^().
Zdanie (16) nie jest jednak gwarantowane przez czystą logikę. Uzasadnienie koreferencjonalności termów ‘8’ i ‘16 : 2’ odwołuje się do arytmetyki. Mamy więc,
(17) (v(‘8’) = v(‘16 : 2’)) ∈ CnAR.
Możemy to również zapisać jako
(18) 8 = 16 : 2 ∈ CnAR.
Niemniej jednak potrzebny jest tutaj dodatkowy komentarz. Identyczność liczby 8 i liczby stanowiącej wynik podzielenia liczby 16 przez liczbę 2 jest ustalona z uwagi na strukturę
W ogólności, o ile mamy teorię T i zdanie identycznościowe t_(i) = t_(j) takie, że
(19) (t_(i) = t_(j)) ∈ CnT,
to stosowne klasy abstrakcji dla termów t_(i) i t_(j), klasy i są porównywane z uwagi na teorię T. Jeśli teoria ta prowadzi do wniosku, że t_(i) ∈ wtedy i tylko wtedy, gdy t_(i) ∈ , to wtedy mamy prawo uznać zdanie t_(i) = t_(j) w oparciu o teorię T i definicję (DK). Ustalenie T-koreferencjalności termów jest w gruncie rzeczy aplikacją (DI) do własności generowanych przez T i tym samym sankcjonuje (RZ) i (RZ’), ale tylko wobec własności definiowalnych w T i termów T-korefencjalnych z uwagi na te własności. Koreferencja może wywodzić się z wiedzy empirycznej, niekoniecznie teoretycznej. Tak jest w przypadku zdania (1), które ma oparcie w obserwacjach astronomicznych. Z kolei zdanie ‘Platon = Arystokles’ znajduje swe uprawnienie w wiedzy historycznej. Może być wreszcie tak, że v(t_(i)) = v(t_(j)) zachodzi na mocy czystej umowy, np. zdecydowałem się nazywać psa ‘Burek’ przed południem, a ‘Rex’ po południu. Zawsze jednak musi być tak, że (t_(i) = t_(j)) ∈ CnX, gdzie zbiór X = Ø lub X ≠ Ø. W tym pierwszym przypadku korefencjonalność jest oparta na podstawach logicznych, natomiast w drugim jest wyznaczona pewnym zbiorem informacji pozalogicznych. Mogą one pochodzić z teorii, mniej lub bardziej systematycznej wiedzy empirycznej lub nawet konwencji nadających nazwy. Stosownie do tego trzeba interpretować reguły (RZ) i (RZ’). W szczególności ustalenie, że (t_(i) = t_(j)) ∈ CnX zawsze musi poprzedzać ich stosowanie. Tylko w takim przypadku można traktować (RZ’) jako wariant (RZ). Załóżmy (a) (t_(i) = t_(j)) ∈ CnX oraz (b) t_(k) ∈ . Zastosowanie (RZ) do (a) daje (pomijam relatywizację do X) (c) dla każdego P, jeśli Pt_(i), to Pt_(j). Z kolei (b) prowadzi do (d) v(t_(j)) = v(t_(k)). (RZ) i (d) implikują (e) dla dowolnego P, jeśli Pt_(j) to Pt_(k). Ostatecznie, (c) i (e) pociągają t_(j) = t_(k)^().
Kusi powiedzieć, że mamy do czynienia z identycznością logiczną, teoretyczną, empiryczną i konwencjonalną. To wydaje mi się całkowicie błędne. Koreferencjalność nie jest relacją pomiędzy przedmiotami, ale zachodzi lub nie wśród termów z uwagi na ich denotacje. Co najwyżej można odróżniać koreferencjalność logiczną, teoretyczną, empiryczną czy konwencjonalną (może jeszcze inną). W gruncie rzeczy mamy do czynienia z rozmaitymi kryteriami uznawania zdań identycznościowych. Sprawa ta wiąże się z głośnym rozróżnieniem identyczności absolutnej i identyczności relatywnej. Za autora tej dystynkcji powszechnie uchodzi tutaj Geach. Wedle niego, zdanie identycznościowe winno być sformułowane jako
(20) x jest tym samym P, co y (Geach 1972, s. 238; 1973, s. 292)^().
Geach twierdzi, że żadne zdanie identycznościowe nie jest absolutne. Krótko: każda identyczność jest relatywna. Niektórzy ujmują stosunek pomiędzy identycznością absolutną a identycznością relatywną w ten sposób, że (DI) definiuje identyczność absolutną, a (20) (lub jakaś jego modyfikacja) określa sens identyczności relatywnej^(). Tak więc x i y są identyczne absolutnie, to są identyczne pod każdym względem, tj. podzielają wszystkie własności. Dalej, skoro identyczność pod każdym względem pociąga identyczność pod pewnym względem, to identyczność absolutna jest szczególnym przypadkiem identyczności relatywnej^().
Identyczność relatywna jako identyczność pod jakimś względem jest w gruncie rzeczy podobieństwem pod tym właśnie względem^(). I rzeczywiście, identyczność absolutna jest szczególnym przypadkiem podobieństwa. Jeśli weźmie się pod uwagę koreferencjalność, to zachodzi poważna różnica pomiędzy nią a identycznością. W mojej nomenklaturze, jest tak
(21) jeśli t_(i) i t _(j) są koreferencjalne, to v(t_(i) ) = v(t _(j)) i na odwrót, tj. wartości koreferencjalnych termów są identyczne oraz identyczność wartości termów pociąga ich korefencjalność. Zależność (21) jest spełniona przez identyczność relatywną tylko częściowo, gdyż wprawdzie wartości termów koreferencjalnych są identyczne, to wcale nie musi być na odwrót, nawet w przypadku znacznego podobieństwa, np. bliźniacy bywają praktycznie nierozróżnialni, ale na pewno nie są identyczni w sensie absolutnym. Nie definiuję identyczności absolutnej formułą ((v(t_(i )) = v(t _(j))) ∈ CnØ, ani też identyczności relatywnej formułą ((v(t_(i) ) = v(t _(j))) ∈ CnX, gdy X ≠Ø. Identyczność przedmiotu jest zawsze ta sama, tj. jest autoidentycznością, tożsamością z samym sobą^(). Mamy jedynie rozmaite kryteria ustalania identyczności, mniej lub bardziej absolutne. To najbardziej absolutne, tj. logiczne, w gruncie rzeczy jest puste. To zapewne zmyliło Wittgensteina, ponieważ pustość treściowa nie oznacza w tym przypadku trywialności kryterialnej. Wymagania w tym względzie są ustanowione przez (DI) i pozostają takie same dla każdego zdania identycznościowego.
Przechodzę teraz do kłopotów (I) – (VI).
Ad (I). Jak już zauważyłem, przejście od (1) do (2) opiera się na (RZ’). Nie jest to jednak po prostu reguła zastępowania, która odwołuje się do czystej logiki. Rozumowanie przebiega w istocie rzeczy tak: (a) Wenus = Wenus; (b) v(‘Gwiazda Poranna’) = v(‘Wenus’) wedle obserwacji astronomicznych; a więc (c) Wenus = Gwiazda Poranna. W istocie rzeczy, przesłanka (a) jest całkowicie zbędna, ponieważ (c) wynika już z (b). Istotna jest tylko implikacja (b) ⇒ (c). Wszelako nawet gdy ktoś zechce rozpatrywać derywację (c) z (a) i (b), a nie tylko z samego (b), nie będzie mógł utrzymywać, że drogą czysto logiczną przeszedł od tautologii do nietautologii, ponieważ po drodze zastosował regułę (RZ’) korzystając z informacji pozalogicznych, mianowicie opartych na obserwacjach astronomicznych. Fakt ten jest odzwierciedlony przez treść (2) bogatszą od treści (1). Rozwiązanie to nawet nie wymaga powiedzenia (jak do uczynił Frege), że (1) i (2) mają tę samą denotację, a różny sens. W rozwiązaniu tutaj proponowanym, uznanie (1) i (2) odwołuje się do innych kryteriów identyczności.
Ad (II) i (III). Zdania (3), (5) i (7) w ogóle nie są zdaniami identycznościowymi, ponieważ występują w nich deskrypcje. Zaczynam od zdania (3). Powinno być rozumiane jako
(22) Walter Scott jest autorem powieści Waverley,
a jego charakterystyka semantyczna jest dana przez
(23) v(‘Walter Scott’) ∈ {v(‘jest autorem powieści Waverley’)}.
Kształt (23) ujawnia od razu, że nie mamy tutaj do czynienia z koreferencjalnością termów, ale z ekstensją predykatu ‘jest autorem powieści Waverley’. (22) nie mogło więc powstać drogą zastąpienia termu ‘Walter Scott’ przez wyrażenie „jest autorem powieści Waverley’. Wprawdzie bycie autorem powieści Waverley jest atrybutem jednostkowym, ale to sugeruje tylko tyle, że o ile formuła ‘x jest autorem powieści Waverley’ jest w ogóle spełniona, to jest spełniona przez jeden przedmiot. Jest też oczywiście tak, że Walter Scott mógł nie napisać powieści Waverley. Znaczy to, że istnieje taki możliwy świat, w którym zdanie ‘Walter Scott jest autorem powieści Waverley’ jest fałszywe.
Zdanie (5) wygląda na takie, które może być rozwinięte do
(24) a jest pierwszym królem Polski wtedy i tylko wtedy, gdy a jest drugim władcą Polski z dynastii Piastów.
Skoro jednak dopuszczamy, że mogło być inaczej niż głosi to zdanie, to powinniśmy je rozumieć jako
(25) a jest pierwszym królem Polski w świecie M wtedy i tylko wtedy, gdy a jest drugim władcą Polski z dynastii Piastów w świecie M, z charakterystyką semantyczną
(26) v(‘a’, M) ∈ {v(‘jest pierwszym królem Polski’, M)} wtedy i tylko wtedy, gdy v(‘a’, M) ∈ {v(‘jest drugim władcą Polski z dynastii Piastów’, M)}.
Może być tak (i faktycznie było, tj. zdarzyło się w realnym świecie historycznym), że v(‘a’) = v(‘b’) i w konsekwencji, v(‘a’) ∈ {v(‘jest pierwszym królem Polski’)} wtedy i tylko wtedy, gdy {v(‘b’) ∈ v(‘jest drugim władcą Polski z dynastii Piastów’)}, ale mogło być inaczej, tj. istnieje taki możliwy świat M’, że (26) jest fałszem.
Podobnie, nie powinno się analizować (7) tylko jako
(27) a jest pierwszym królem Polski wtedy i tylko wtedy, gdy a jest pierwszym królem Polski.
Translacja ta zachowuje tautologiczność, a wtedy nie można myśleć, że mogłoby być inaczej. Jeśli jednak przekształcimy (27) w (28) dla każdego M i każdego x, a jest pierwszym królem Polski w M wtedy i tylko wtedy, gdy x jest pierwszym królem Polski w M,
to trudność znika. Opuszczając kwantyfikator wiążący zmienną indywiduową i wprowadzając stosowną stałą indywiduową, tj. ‘Bolesław Chrobry’ otrzymujemy,
(29) dla każdego M, v(‘Bolesław Chrobry’, M) ∈ {v(‘pierwszy król Polski’, M)} wtedy i \wtedy, gdy v(‘Bolesław Chrobry’, M) ∈ {v(‘pierwszy król Polski’, M)}.
Partykularyzując (29) do historycznego świata realnego otrzymujemy zdanie prawdziwe, ale nie wyklucza to logicznej możliwości fałszu (29), np. z tego powodu, że kto inny został pierwszym królem Polski, czy też dlatego, że Polska nigdy nie byłaby królestwem. W tej drugiej sytuacji ‘jest pierwszym królem Polski’ staje się pusty, ale partykularyzacja (28) do tego świata jest prawdziwa, ponieważ obie jego części są fałszywe dla dowolnego x. (29) nie jest więc tautologią.
Ad (IV) i (V). Zdanie (9) przybiera postać
(30) 9 jest liczbą planet,
a w semantycznej translacji
(31) v(‘9’) ∈ {v(‘jest liczbą planet’)},
gdzie atrybut jest liczbą planet jest jednostkowy. Pierwsza obserwacja polega na tym, że nie można zastąpić ‘liczba planet’ przez ‘9’ w zdaniu (10), ponieważ wyrażenie ‘liczba planet’ nie jest termem, ale skrótem dla predykatu. Na to jednak można odpowiedzieć, iż jeśli przedmiot u spełnia formułę ‘x jest P’, gdzie predykat P wyznacza jednostkowy atrybut v(P), to wówczas wolno uznać zdanie u = v(P)^(). Wtedy zauważamy, iż zdanie (8), jeśli jest konieczne, to dzieje się tak na innych zasadach niż w przypadku zdania (10). Konieczność (8) jest arytmetyczna, a (10) – ewentualnie fizyczna. Wynika to z zasad stosowania (RZ’).
Ostatnia uwaga prowadzi do rozwiązania problemu konieczności dowolnych prawdziwych zdań identycznościowych. Interpretacja predykatu P w (11) jako ‘z konieczności ... identyczne z ...’ jest wieloznaczna tak długo, jak nie są podane podstawy identyczności. Jeśli są to podstawy logiczne, to można otrzymać tylko^()
(32) (t_(i) = t_(i)) ⇒ (t_(i) = t_(i)) ⇒ (t_(j) = t_(j)),
co jest trywialnością. Natomiast, jeśli ustalenie, że x = y ma za sobą racje pozalogiczne, to konieczność w wyrażeniu (t_(i) = t_(i)) musi być rozumiana mocniej niż w wyrażeniu (t_(i) = t_(j)). Mamy wtedy
(33) t_(i) = t_(j) ⇒ ^(L)(t_(i) = t_(i)) ⇒ ^(X)(t_(i) = t_(i)),
gdzie indeksy przy znaku konieczności wskazują na jej rodzaj. W rezultacie otrzymujemy tylko
(34) (t_(i) = t_(j)) ⇒ ^(X)(t_(i) = t_(j)).
Semantycznie znaczy to
(35) (v(t_(i)) = v(t_(j))) ∈ CnX ⇒ ^(X)(t_(i) = t_(j)).
Mamy więc co najwyżej konieczność relatywną, a nie absolutną (logiczną)^().
Ad (VI). Formalnie rzecz biorąc świat (powiedzmy M), w którym Arystoteles jest uczniem Platona, to taki w którym para
(DK’) t_(j) ∈ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego M i M’, v(t_(j), M) = v(t_(i), M’)^().
Znaczy to, że termy mają te same wartości w różnych światach, czyli poprzez światy. To jednak pozostaje w sprzeczności z (DI). Jeśli bowiem rozważamy światy, w którym Arystoteles nie jest uczniem Platona, Walter Scott nie napisał powieści Waverley czy Bolesław Chrobry nie był pierwszym królem Polski, to stosowne indywidua nie mają w pewnych światach pewnych własności (monadycznych lub relacyjnych), jakie posiadają w innych. Zakładamy wtedy, że wprawdzie wartości tych termów są identyczne, ale musimy odrzucić to, że spełniają one dokładnie te same predykaty. I to jest jeden problem związany z identycznością poprzez światy. Inny, też już zaznaczony, polega na rozumieniu stałych indywiduowych w przypadku rozważania światów, w których ich wartości nie istnieją, np. świata bez Arystotelesa czy świata bez Bolesława Chrobrego. Co mamy na myśli, gdy mówimy, że Arystoteles nie byłby uczniem Platona, gdyby nie istniał? Istnienie nie jest tutaj żadnym tajemniczym pojęciem. Przedmiot u istnieje w świecie M, gdy należy do jego uniwersum U(M). Sprawa polega jednak na tym, że każda stała indywiduowa musi coś denotować, a zakładamy, że term ‘Arystoteles’ nic nie denotuje w jakimś świecie M, tj.
(36) nie istnieje w świecie M takie x, że v(‘Arystoteles’, M) = x.
Znaczy to jednak, że wyrażenie ‘Arystoteles’ nie jest termem w odniesieniu do świata M. Założyliśmy jednak, że należy do naszego języka J właśnie jako term, co przesądza, iż musi być niepusty w każdym modelu właściwym dla J. Mamy więc sprzeczność.
Rozwiązanie problemu identyczności międzyświatowej może iść w kilku możliwych kierunkach^(). Po pierwsze, można przyjąć esencjalizm, tj. pogląd, że o identyczności decydują stosowne cechy istotne. Drugim rozwiązaniem jest teoria odpowiedników. Unika ona esencjalizmu, ale jest wysoce sporne, co miałoby być koniecznym warunkiem dla bycia odpowiednikiem, np. Arystotelesa ze świata M w świecie M’. Obie koncepcje prowadzą do relatywnego rozumienia identyczności. Tak więc przedmioty identyczne są takie wedle pewnego zbioru cech, np. wspólnego i niepustego przekroju wyznaczonego przez wszystkie atrybuty ze wszystkich modeli. Nie jest jednak jasne, czy taki zbiór istnieje, a przede wszystkim, jakie warunki winien spełniać poza tym, że jest niepusty. Ponadto, i może najważniejsze, relatywna identyczność nie pociąga koreferencjalności, a o nią głównie chodzi. Trzeba więc to dodać jako osobny warunek^().
Ostatnie dwa zdania sugerują drogę wyjścia z trudności. Potrzeba nam takiej konstrukcji, która osłabi pojęcie identyczności, ale zachowa korefencjalność jako konsekwencję identyczności międzyświatowej. W tym celu przyjmę, że każde indywiduum u wyznacza atrybut {u}. Jest to atrybut jednostkowy, ale w przeciwieństwie do atrybutów denotowanych przez deskrypcje nie wiąże się z jakąś treścią, ale z samym faktem istnienia przedmiotu. Nazwę go autoatrybutem. Mając więc term t_(i) możemy utworzyć autotrybut {v(t_(i))}. Ponieważ logika gwarantuje niepustość termów stałych, autoatrybuty wyznaczone przez stałe rozważanego języka są też niepuste. Jeśli zatem pracujemy w określonej interpretacji języka J, to z definicji funkcji v wynika, że v(t_(i)) ∈ {v(t_(i))} dla dowolnego termu stałego i dla dowolnego modelu M(J). Ponieważ autoatrybuty są zbiorami jednostkowymi, są dla danego termu równe poprzez światy wedle formuły
(37) ∀MM’({v(t_(i), M)} = {v(t_(i), M’)}) ⇔ (v(t_(i), M) ∈ {v(t_(i), M)} ⇔ v(t_(i), M’) ∈{v(t_(i), M’)}).
Sugeruje to następującą definicję identyczności miedzyświatowej =^(m)
(DIM) v(t_(i)) =^(m) v(t_(j)) w klasie K wszystkich interpretacji języka J wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego M ∈ K, (v(t_(i), M) ∈ {v(t_(i), M)} ⇔ v(t_(j), M) ∈{v(t_(j), M)}).
Pojęcie ukształtowane przez (DIM) jest oczywiście słabsze niż identyczność zdefiniowana przez (DI). Bierze ono pod uwagę tylko równość autoatrybutów, a nie wszystkich atrybutów. Formuła t_(i) = t_(i) jest tautologią, ponieważ v(t_(i)) ∈ {v(t_(i))} dla każdego M. Każdy przedmiot jest więc identyczny sam z sobą w sensie absolutnym w każdym konkretnym możliwym świecie, ale nie międzyświatowo. Znaczy to, że indywidua mogą mieć różne własności i pozostawać w różnych relacjach w zależności od światów, w których egzystują. W każdym razie, relacja = (identyczność absolutna) jest szczególnym przypadkiem relacji =^(m), tj. identyczności międzyświatowej. Nawiasem mówiąc, (DIM) wygląda na dobrą definicję sztywnego desygnatora w sensie Kripkego^().
Pozostaje jeszcze kwestia pustości termów w pewnych światach. Jeśli chcemy pozostać w zgodzie z semantyką formalną, to nie ma innej drogi, jak zdaje się, by zmienić interpretację języka. Załóżmy, że chcemy dopuścić pustość termu t_(i) w świecie M’, aczkolwiek term ten jest niepusty w świecie M. Zmieniamy wyjściowy język J na J’ w ten sposób, że usuwamy z niego t_(i), a na to miejsce prowadzamy pusty autoatrybut {v(‘jest t_(i)’)}. Wszystkie inne rzeczy pozostają bez zmiany. W świecie M’ zachodzi
(38) nieprawdą jest, że istnieje takie x, że v(t_(i)) = x.
Zdanie (38) jest fałszywe w M. Świat M’ jest modelem języka J’, nie modelem języka J. Ponieważ jednak języki te różnią się nieznacznie, można w jakimś intuicyjnym sensie traktować M’ jako możliwy świat z uwagi na J. Nie jest to jednak w pełni ścisłe^().
------------------------------------------------------------------------
Zapraszamy do zakupu pełnej wersji książki
------------------------------------------------------------------------
więcej..
