Matematyka… Daj się uwieść! - ebook

Matematyka to niekoniecznie denerwujące i nudne rzędy cyfr, którymi zamęczają się uczniowie, nauczyciele, rodzice i my wszyscy – przecież wszystkie te obliczenia mają źródło w codzienności i naprawdę mogą sprawiać przyjemność. Dowodzi tego Christoph Drösser w swojej książce. Wiele podstawowych wzorów i działań matematycznych powstało w celu rozwiązania bardzo praktycznych problemów. Christoph Drösser wykorzystuje ten fakt i wyjaśnia najczęstsze działania, takie jak proporcje, ułamki czy rachunek prawdopodobieństwa, na zrozumiałych i często zaskakujących przykładach z życia codziennego.

„Takie lekcje na pewno by się nam podobały: matematyka jako rozwiązanie narzucających się problemów…”

Chrismon

CHRISTOPH DRÖSSER, rocznik 1958, studiował matematykę i filozofię w Bonn. Pracuje w dziale „Wiedza” tygodnika „Die Zeit”. W latach 2004–2006 tworzył magazyn „Zeit Wissen” i był jego redaktorem naczelnym. W roku 2005 czasopismo „Medium-Magazin” wybrało go na „Dziennikarza naukowego roku”.

W wydawnictwie Rowohlt ukazały się jego następujące pozycje: „Der Traum von der Unsterblichkeit” (1996), „Stimmt’s?” cz. 1–5 (1998–2005), „Das Lexikon der Wetterirrtümer” (wspólnie z Jörgem Kachelmannem, 2006), „Wenn die Röcke kürzer werden, wächst die Wirtschaft. Die besten modernen Legenden” (2008). W wydawnictwie Rotfuchs ukazały się: „Stimmt‘s? Freche Fragen, Lügen und Legenden für clevere Kids” (2001), „Wie groß ist unendlich?” (2005) oraz „Wie fragt man Löcher in den Bauch?” (red., 2003) i „Hast du Töne?” (2009).NIE BÓJMY SIĘ WIELKICH LICZB
CZYLI SZEŚĆ MOLEKUŁ GOETHEGO

„Matematyka jest dziedziną tak poważną, że nie wolno zmarnować żadnej okazji, aby uczynić ją bardziej zabawną”.

Blaise Pascal (1623–1662)

„Więcej światła!” brzmiały ponoć ostatnie słowa Johanna Wolfganga Goethego. Po nich wielki niemiecki poeta wydał ostatnie tchnienie.

Ostatnie tchnienie Goethego – z pewnością nie lada gratka dla prawdziwych fanów tajnego radcy (a także chyba dość nieapetyczne wyobrażenie dla innych). Ale gdzie się ono podziało? Czy w powietrzu, którym oddychamy tu i teraz, zawarta jest choć jedna molekuła, którą kiedyś oddychał Goethe? Może nawet w tym jednym, ostatnim tchnieniu? Takie rozważania mogą nastroić filozoficznie. Albo skłonić do rachunków. Rzadko kto miewa takie pomysły – a przecież sprawa wcale nie jest taka znowu trudna, wystarczy znać kilka podstawowych danych. Niektórzy Czytelnicy pamiętają być może jeszcze ze szkoły jednostkę zwaną „molem”. Jeden mol jakiejś substancji to 6 ∙ 10²³ molekuł. Czyli 600 000 000 000 000 000 000 000 molekuł. Takich jednostek potrzeba, gdy człowiek zajmuje się tymi maleńkimi elementami materii.

Dla gazów wszelkiego rodzaju prawdziwa jest zasada: przy normalnym ciśnieniu atmosferycznym 1 mol gazu ma objętość około 25 l. Jedno tchnienie – choćby to ostatnie Goethego – ma objętość około 1 l, obejmuje więc 1/25 mola, czyli 2,4 ∙ 10²² molekuł. Średnio oddychamy pewnie ze 20 razy na minutę, co przez 83 lata (tyle miał Goethe w chwili śmierci) daje 20 ∙ 60 ∙ 24 ∙ 365 ∙ 83 = 872 496 000 oddechów albo 2 ∙ 10³¹ molekuł. (Oczywiście dane te są bardzo uproszczone – Goethe z pewnością często wdychał i wydychał tę samą molekułę kilka razy – choćby śpiąc przy zamkniętym oknie).

Można przyjąć, że powietrze atmosferyczne od czasów Goethego bardzo dobrze się wymieszało i w ten sposób w każdym litrze powietrza znajduje się równie wiele goethowskich molekuł. Ile powietrza jest w atmosferze? Gdzieś wyczytałem, że jego masa wynosi 5 ∙ 10²¹ g. Jeden mol powietrza waży około 30 g. Co daje nam 5 ∙ 10²¹ : 30 = 1,7 ∙ 10²² mola powietrza – czyli niewyobrażalne 10⁴⁴ molekuł.

Mamy już wszystkie liczby niezbędne do ostatecznego rachunku – liczbę wszystkich molekuł powietrza dzielimy przez liczbę molekuł Goethego i otrzymujemy: przez płuca przewinęło się 5 ∙ 10¹² (czyli 5 bilionów) molekuł powietrza, z tego 4 ∙ 10²¹ w jego ostatnim tchnieniu. Ponieważ każdy z nas, podobnie jak sam Goethe, z każdym tchnieniem wdycha 2,4 ∙ 10²² molekuł, jest wśród nich średnio 5 miliardów molekuł, które kiedyś wdychał Goethe, z tego 6 z owego ostatniego tchnienia wielkiego poety. Średnio. Podobnie można zresztą obliczyć, ile molekuł znajdujących się w szklance wody przeszło kiedyś przez system trawienny Goethego.

Sześć molekuł z ostatniego tchnienia Goethego w każdym litrze powietrza, którym oddychamy! Człowiek od razu zaczyna oddychać z nieco większym szacunkiem. Oczywiście wszystkie te obliczenia to trochę oszustwo. Wartości, które przyjąłem, są grubo oszacowane, a wynik za każdym razem mocno zaokrąglałem. Ale nie o to chodzi. Pytanie dotyczyło przecież rzędu wielkości: na ile sensowne jest pytanie o to, czy wciąż oddychamy molekułami, którymi oddychał Goethe. I, jak widać, jest sensowne i nie ma przy tym znaczenia, czy tych molekuł jest sześć, czy tylko dwie, albo ze dwadzieścia.

Tego rodzaju pytania są oczywiście zupełnie bez znaczenia, ale zajmując się takimi liczbami, zaczynamy mieć wyczucie co do rzędów wielkości. A tego rodzaju wyczucie jest ważne, szczególnie gdy mowa o pieniądzach: przecież nie jest bez znaczenia, czy wydamy 100 czy 10 000 euro. Był kiedyś w Niemczech taki minister gospodarki, który zapytany przez dziennikarza, ile jest zer przy miliardzie, musiał zgadywać: „O dobry Boże! Siedem? Osiem?”. Dziewięć, panie ministrze!

Oczywiście niejeden zapomniałby języka w gębie w obecności kamery i mikrofonu. Każdy ma prawo chwilę się zastanowić. Ale co do wielu polityków można mieć wątpliwości, czy to wiedzą. A mimo to codziennie decydują o kwotach z siedmioma, ośmioma czy dziewięcioma zerami. Choć niemal codziennie jesteśmy zarzucani informacjami dotyczącymi miliardowych sum, tak naprawdę niewielu z nas ma wyczucie, ile to jest ten miliard. Psychologowie badali stosunek ludzi do pieniędzy i stwierdzili, że do kwoty 500 000 (wtedy to były jeszcze marki) potrafią sobie jeszcze coś wyobrazić (na pytanie, co można kupić za taką kwotę, odpowiadali: „dom”), ale dalej już nie. Jakiś minister może wprawdzie walczyć o to, by jego budżet na ten rok wyniósł 21 miliardów euro, bo w zeszłym roku było to 20 miliardów – ale można spokojnie założyć, że nie potrafi sobie wyobrazić żadnej z tych kwot. Jednak nawet, jeśli wielkie liczby często przekraczają granice wyobraźni, nie tylko ministrowie powinni ćwiczyć się w ich rozumieniu, choćby po to, żeby sprawdzić, na ile są sensowne, a to poprzez porównanie z innymi, znanymi wielkościami. Rachunki na wielkich liczbach są właściwie równie proste, jak te na mniejszych, co widać choćby na przykładzie z Goethem (przydały się tu zresztą wykładniki potęgowania – więcej na ten temat na s. 227). Przykład z pieniędzmi: Wyobraźmy sobie, że prezes zarządu Deutsche Bank, Josef Ackermann, siedzi przy swoim komputerze i pracuje. I nagle dostrzega leżący pod drzwiami biura, zgubiony przez kogoś pięcioeurowy banknot. Czy Ackermannowi opłaca się wstać i podnieść banknot? Przyjmijmy przy tym, że w czasie, w którym nie siedzi przed komputerem, nie zarabia (co jest oczywiście nonsensem). Pytanie brzmi więc właściwie inaczej: ile czasu pan Ackermann pracuje na 5 euro? Przed rozpoczęciem liczenia warto spróbować oszacować ten czas! W roku 2006 Ackermann zarobił około 12 milionów euro. Mnóstwo pieniędzy. Przyjmijmy na jego korzyść, że pracował na te pieniądze po 60 godzin tygodniowo i nie brał urlopu. Dla 52 tygodni oznacza to stawkę w wysokości 3846 euro za godzinę. Dla ułatwienia warto jeszcze zaokrąglić, powiedzmy, że to 3600 euro. Czyli: Josef Ackermann zarabia 1 euro na sekundę. Aby więc opłacało mu się podnieść te 5 euro, cała akcja nie może trwać dłużej niż 5 s. A więc pędem, panie dyrektorze! Inny przykład, który uzmysławia, ile zarabiają nasi czołowi menedżerowie: pan Ackermann musi pracować 345 s, tj. niecałe 6 min, aby zarobić 345 euro, to jest tyle, ile w Niemczech wynosi podstawowy zasiłek dla bezrobotnych. A propos zasiłków: spróbujmy ponownie oszacować: tym razem, ilu bezrobotnym można by przez rok wypłacić podstawowy zasiłek za cenę jednego eurofightera? 180, 1800 czy 18 000?

Jeden eurofighter kosztuje podatnika 75 milionów euro. Jeśli podzielić to przez kwotę zasiłku, a potem przez 12, wychodzi około 18 000. Jest to liczba wszystkich bezrobotnych uzyskujących zasiłki w takim mieście jak Bochum. No, oczywiście, tych liczb nie powinno się porównywać. W końcu na taki myśliwiec muszą się znaleźć pieniądze. Jednak Niemcy zamówiły nie 1 taki samolot, tylko 180. Oczywiście, można argumentować politycznie, że takie obliczenia są demagogiczne, że porównuje się jabłka z gruszkami. Że nowoczesne myśliwce są niezbędne do obrony i że ich cena jest uzasadniona. Być może to prawda, ale rachunek i tak się zgadza. I ktoś, kto opowiada się za takimi inwestycjami, nie powinien argumentować tylko merytorycznie („Potrzebujemy tego, ponieważ…”), lecz także stosując liczby: „Możemy sobie na to pozwolić”. Wtedy niestety trzeba zgodzić się na porównanie jabłek z gruszkami, ponieważ każde euro można wydać tylko raz.

KORZYŚCI Z NIEDOKŁADNOŚCI Wyobraźmy sobie – dla przykładu – taką grę: na skraju autostrady z Hamburga do Berlina ktoś wbił w ziemię deskę szerokości dwóch centymetrów i wysokości dwóch metrów. Gdzieś między Hamburgiem a Berlinem, nie wiadomo dokładnie gdzie. Jedziesz w nocy samochodem i masz przy sobie pistolet. W dowolnym momencie, naprawdę zupełnie dowolnym, odkręcasz szybę i strzelasz w kierunku pobocza. Jeden raz. Jeśli trafiłeś w deskę, wygrywasz.

Czy postawiłbyś choćby jeden euro na zwycięstwo w tej grze, nawet gdyby wygrana wynosiła milion? Nie? Ale tak właśnie czynią miliony ludzi, tydzień w tydzień, wypełniając kupony totolotka. Szansa trafienia szóstki jest bowiem dokładnie taka sama, jak szanse nocnego strzelca, że kula uderzy w deskę – około 1 do 14 milionów. Powodzenia!

Również w odniesieniu do prawdopodobieństwa nasza intuicja często nas zawodzi. Błąd w szacowaniu naszych szans zależy często do tego, jak sformułujemy problem.

Jednak i tu rozwiązanie jest tylko jedno: policzyć, choćby po łebkach. W szkole uczono nas, że trzeba liczyć dokładnie. Na pytanie: „Ile jest 7 razy 14” nie wystarczyło odpowiedzieć: „Około 100!” – o nie, nauczycielka żądała dokładnego wyniku, czyli 98.

Jednak w większości praktycznych przypadków 7 razy 14 to około 100, liczba pi wynosi 3 (zamiast 3,14…, patrz s. 208), przyspieszenie ziemskie to 10 m/s² (a nie 9,81). Dokładne wartości są istotne wówczas, gdy rzeczywiście chodzi o precyzję i drobne różnice. Na przykład w sporcie nie jest bez znaczenia, czy ktoś przebiegł 100 m w „około 10 s” – między 9,8 a 10,4 jest różnica kilku klas. Natomiast kiedy liczymy rzędy wielkości, precyzja często jest tylko pozorna. Profesor statystyki Walter Krämer chętnie przytacza dane z pewnej brytyjskiej publikacji, w której podano liczbę cywilnych ofiar II wojny światowej:

To wybiórcze zestawienie jest szczególnie nonsensowne, ponieważ precyzyjne liczby (Norwegia) są wymieszane z szacunkowymi (Belgia) czy wręcz nieznanymi. Przy takim sumowaniu wynikiem jest zawsze pozornie dokładna liczba, która budzi nasze zaufanie, a jednak z pewnością jest nieprawdziwa. A więc: nie bójmy się niedokładności, dopóki zgadza się rząd wielkości. Wtedy wystarczy trochę wprawy i imperium liczb uda się opanować.

OBLICZANKA Na Ziemi żyje 6,5 miliarda ludzi. Gdyby ustawić ich jeden obok drugiego, ciasno, jak na koncercie rockowym, to czy zmieściliby się na powierzchni Jeziora Bodeńskiego? Najpierw szacujemy, potem liczymy! (Powierzchnia Jeziora Bodeńskiego wynosi 536 km²). Rozwiązanie TUTAJMORDERSTWO NA STACJI BENZYNOWEJ
ALBO SPRAWCA PRAWDOPODOBNY WARUNKOWO

Wiadomość rozeszła się po nadreńskim miasteczku w niecałe dwie godziny. „Słyszała pani o Inge Herkenbusch? Taka miła dziewczyna”. Następnego dnia lokalna gazeta ogłasza na stronie tytułowej: „Ostatni klient zapłacił śmiercią”.

Podczas późnoprzedpołudniowej narady gazeta przechodzi z rąk do rąk. Detlef Behnke, szef wydziału zabójstw, kilku kartek użył do wysuszenia powodzi kawy z zepsutego ekspresu z hipermarketu. Pachną przyjemnie, gorzej z odczytaniem. Każdy przedstawia wyniki swojej pracy.

Inge Herkenbusch, lat 28, rozpoczęła nocny dyżur na stacji benzynowej Freie Tankstelle przy szosie B 91 o godzinie 20.00. Miała go skończyć o 4 nad ranem. Tę popularną drogę krajową – ulubioną alternatywę dla autostrady – dobrze widać i słychać z miasta. Kiedy o 2.15 jakiś kierowca próbuje zapłacić za swoje 50 l super, nie znajduje nikogo za kasą. Dopiero w dwie albo trzy minuty później podchodzi tak blisko, że za ladą odnajduje ciało. Przez telefon komórkowy alarmuje policję.

Ofiara została uduszona. Kasa jest pusta, kierowca, który odkrył ciało, wiedziony nadmiarem gorliwości opróżnił w obecności policjanta swoje kieszenie. Chciał udowodnić swoją niewinność, a tymczasem być może zatarł ważne ślady na miejscu zbrodni. W czasie kłótni, która potem miała miejsce, kierowca pozwolił sobie na kilka uwag, które jeden z policjantów uznał za obraźliwe. Może się to skończyć postępowaniem.

„Proszę nie zbaczać z tematu”, ostrzegł komisarz Behnke.

Od chwili rozpoczęcia dyżuru Inge Herkenbusch dokonała 34 transakcji zarejestrowanych w kasie: 28 tankowań, z tego 1 gazem, pozostałe transakcje odnosiły się do artykułów spożywczych, słodyczy (10 dropsów o smaku owocowym!) oraz papierosów. Dwudziestokrotnie zapłacono kartą, śledczy właśnie sprawdzają dane. Ostatnia transakcja jest z godziny 1.03.

Jeśli sprawca był klientem stacji, mógł do tej chwili przejechać już kilkaset kilometrów, może nawet jest za granicą. Ale może kupował tylko papierosy? Wtedy być może mieszkał w okolicy.

„To akademicka dyskusja”, Behnke przerwał spekulacje swoich pracowników. „Ilu mieliśmy w ostatnich latach morderców, którzy przed zabójstwem grzecznie płacili rachunek?”

Komisarz Benz, ta o słoniowej pamięci, podnosi rękę. Behnke nie zauważa jej.

Chłopcy od zabezpieczania śladów pracują pełną parą. Wszystkie przeanalizowane do tej pory odciski palców z kasy i lady pochodzą od samej ofiary, jej kolegów oraz nadgorliwego kierowcy. Dopiero kiedy zebranie właśnie się kończy, wchodzi młodszy komisarz Hufnagel ze swoim poobijanym kubkiem do kawy z napisem „I Love Justice” w prawej dłoni. Hufnagel przepytał parę osób z otoczenia Herkenbusch. Jej dwupokojowe mieszkanie określił jako mieszczańskie, zagracone, z ośmioma poduszkami na sofie. Narzeczony Ingi, młodszy o cztery lata i nadzwyczajnie chudy, doznał szoku i nie jest zdolny do przesłuchania.

„Gdyby położył te poduszki przed sofą, a nie na niej, to by się tak nie poobijał, kiedy zasłabł”, raportował Hufnagel bez współczucia. Przedtem jeszcze narzeczony zdążył powiedzieć, że Inge poprzedniego wieczoru jak zwykle pojechała do pracy swoim oplem corsą. Nikt nigdy jej nie groził, w ogóle nigdy nie było z nią problemów.

„Żyli jak stare małżeństwo”, stwierdził Hufnagel. „Bez wzlotów, bez upadków, bez dramatów, bez ambicji, bez fantazji”.

„To wszystko fasady, za którymi czai się przepaść”, stwierdziła Benz. Sama wie to najlepiej, tak się wychowywała.

O ofierze wszyscy sąsiedzi wypowiadają się tylko w dobrych słowach. Jakiś konkurent do jej serca? Niemożliwe. Długi? Ciemne interesy? Ależ, przecież nie Inge.

Ludzie Behnkego rozchodzą się, on sam czeka na wyniki badań lekarza sądowego. Późnym popołudniem zgłasza się Horst Schlächter, od wielu lat ulubiony fachman komisarza. „Do łajdaków też czasem uśmiecha się szczęście”, dudni Schlächter przez telefon. „Mam tu strzał w dziesiątkę. Nie doszło do gwałtu, ofiara się broniła, bardzo mocno. Pod paznokciami znaleźliśmy krew, wystarczy do analizy DNA”.

„Horst, czy wspominałem już, że z nikim nie lubię tak rozmawiać, jak z tobą?” „Poczekaj, teraz najlepsze. Wynik wrzuciliśmy do naszej bazy danych przestępców na tle seksualnym”. „Bingo?”

„Bingo! Matthias Bernsdorf, lat 43, karany za gwałt. Odsiedział pięć lat, teraz jest znowu na wolności. Rozpłakałeś się już ze szczęścia?”

„Zrobię to, jeśli podasz mi jeszcze adres”.

Matthias Bernsdorf jest zameldowany w Kolonii. W drodze do podejrzanego komisarz wysłuchuje pełnych zachwytu opowieści młodego aspiranta o serialach „CSI – kryminalne zagadki”. Wszystkie trzy zna na pamięć i rozwodzi się, dlaczego najbardziej lubi tę o Las Vegas. Ułożył nawet własny serial, tylko z ulubionymi bohaterami, same kobiety.

„Brzmi jak thriller erotyczny”, rzuca Behnke bez zainteresowania.

Aspirant bierze to za dobrą monetę. „Lubię, kiedy wszystko dobrze się układa”, mówi rozmarzony. „Z jednej strony śledczy, którzy nie stronią od pięści, z drugiej laboratorium z tym fantastycznym niebieskim świałtem, pipetami i badaniem śladów na żelowych paskach. Sprawiedliwość jest cool”. „Cool” jest dla niego też plan zebrania DNA wszystkich obywateli Niemiec, w razie potrzeby nawet siłą. Wystarczy włos, kropelka krwi albo sperma na miejscu zbrodni i już komputer podaje nazwisko sprawcy. Behnke nie podziela entuzjazmu młodego policjanta, jednak zachowuje wątpliwości dla siebie, bo trudno mu się dyskutuje z prorokami postępu.

Osiedle na przedmieściach w pobliżu autostrady odpowiada wszystkim stereotypom, podobnie jak blok, w którym mieszka Matthias Bernsdorf. Dresy, laczki, włączony telewizor, mieszkanie w chaosie, a z ust Bernsdorfa wydobywa się charakterystyczny zapach piwa. Nie jest to kandydat do miłej pogawędki, więc komisarz rzuca od razu: „Gdzie pan był wczoraj między północą a drugą w nocy?”.

„To znaczy, po wyjściu z opery i przed wejściem do kasyna?”, Bernsdorf śmieje się, ale niezbyt wesoło. „Niby gdzie miałby być ktoś taki, jak ja? Człowiek karany za gwałt nie tak łatwo znajduje przyjaciół. A na zasiłku za daleko się nie zajdzie”.

„Ma pan na to świadków?”, pyta komisarz. „Jeśli nie, będę musiał pana poprosić z nami na komisariat”.

„Ale chyba zdradzi mi pan, o co chodzi?”

„Jest pan podejrzany o zamordowanie wczoraj w nocy Inge Herkenbusch, kasjerki na stacji benzynowej w Grevensrath”.

Bernsdorf jest zdumiony. A może tylko udaje?

„Grevensrath? Nawet nie wiem, gdzie to jest!”, protestuje. Aspirant rusza do przodu, ale Bernsdorf nie protestuje. Zatrzaskują się kajdanki, aresztant zdradza po drodze: „Od lat nie siedziałem w takiej bryce”.

Komisarz Behnke jest dobrym śledczym. Nauczył się korzystać z intuicji. W drodze powrotnej ma przeczucie, że zdziwienie Bernsdorfa było prawdziwe. Szybko z przeczuciem łączy się twardy argument: ten piwosz nigdy nie był karany za rozbój albo kradzież. Zgwałcił siedemnastolatkę z kręgu swoich znajomych – morderstwo na stacji nie pasuje do niego.

Po odstawieniu Bernsdorfa do aresztu Behnke idzie z wizytą do Schlächtera. Lekarz macha do niego triumfująco swoim raportem. „Jak tak dalej pójdzie, w ogóle nie będziecie potrzebni”, woła donośnym głosem.

Behnke przegląda raport i mruczy: „Jestem pełen nabożnej czci wobec takiej siły dowodów naukowych. Ale wiesz, mam problem z tą stuprocentową pewnością”.

Za Schlächterem stoi ekspres do kawy. Szwajcarska robota, cena z czterema zerami. Behnke stara się nie patrzeć. Zazdrość to silne uczucie.

„Te najnowsze testy Bionconvict to prawdziwy hit”, rozpływa się Schlächter. „Robią też ekspresy do kawy?”

„Ekspresy? Pierwsze słyszę”.

„To mów dalej”.

„Jeśli dwie próbki mają ten sam profil DNA, test rozpoznaje je praktycznie ze stuprocentową pewnością. Jednocześnie, jeśli profile są różne, tylko w 0,001% przypadków wykazuje zgodność – to jest 1 na 100 000”.

„Brzmi naprawdę nieźle”, odpowiada Behnke. „Ale wciąż mówisz o profilu DNA. Czy to możliwe, żeby dwóch ludzi miało taki sam profil? Bo wtedy mogłoby się zdarzyć, że wsadzimy za kratki nie tego, co trzeba”.

„To rzeczywiście możliwe”, przyznaje Schlächter, „ale jeszcze rzadsze. Prawdopodobieństwo, że profil DNA dowolnego mężczyzny jest zgodny z profilem z miejsca zbrodni wynosi zaledwie 0,0001%. To znaczy: jeden na milion. Nie, nie, możesz być na 100% pewien, że dopadliśmy sprawcę. No dobrze, powiedzmy, na 99,99, z jeszcze kilkoma dziewiątkami po przecinku”.