MENU
Nasze ceny
Przeczytaj fragment on-line
-
promocja
Matematyka dla inżynierów - ebook
Matematyka dla inżynierów - ebook
Matematyka dla inżynierów została napisana dla wszystkich zainteresowanych tym, jak skutecznie stosować metody matematyczne do rozwiązywania zaawansowanych problemów inżynierskich. Książka jest podzielona na siedem odrębnych części, aby zapewnić precyzyjne skupienie się na poszczególnych zagadnieniach. Obejmuje szerokie spektrum tematów, między innymi takie jak: równania różniczkowe, algebra liniowa, analiza wektorowa, analiza Fouriera czy funkcje zespolone. Podręcznik zawiera również liczne przykłady oraz szczegółowe rozwiązania zamieszczonych w książce zadań, które można wykorzystać do sprawdzania postępów, a także do nauki i utrwalania materiału. W książce pojawiają się także krótkie teksty – Matematyka w kontekście – napisane przez inżynierów, które pokazują z ich perspektywy, jak matematyka pojawia się w różnych projektach i zadaniach inżynierskich. Matematyka dla inżynierów przeznaczona jest dla studentów (w szczególności uczelni technicznych), wykładowców oraz inżynierów, którzy na co dzień mają do czynienia z matematyką w swojej praktyce inżynierskiej.
| Kategoria: | Matematyka |
| Zabezpieczenie: |
Watermark
|
| ISBN: | 978-83-01-23955-8 |
| Rozmiar pliku: | 42 MB |
FRAGMENT KSIĄŻKI
WSTĘP
Książka _Advanced Engineering Mathematics_ (tytuł polski: _Matematyka dla inżynierów_) jest przeznaczona do wykorzystania w kursie, w którym omawiane są zagadnienia matematyczne niezbędne w nauce i praktyce inżynierskiej, obejmujące między innymi takie problemy jak równania różniczkowe, algebra liniowa, analiza wektorowa, analiza Fouriera i funkcje zespolone.
Aby ukończyć wspomniany kurs z sukcesem, studenci powinni mieć wcześniej za sobą opanowany pełny kurs analizy matematycznej.
W celu ułatwienia korzystania z podręcznika i zapewnienia elastyczności w wyborze tematów podzielono go na siedem części.
• CZĘŚĆ 1: RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE – obejmuje równania różniczkowe pierwszego i drugiego rzędu, a także transformatę Laplace’a i funkcje własne.
• CZĘŚĆ 2: RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE – obejmuje równanie ciepła, równanie falowe, równanie Laplace’a, funkcje specjalne i zastosowania.
• CZĘŚĆ 3: MACIERZE I ALGEBRA LINIOWA – stanowi wprowadzenie do wektorów i przestrzeni wektorowej _R_n, macierzy, wyznaczników i układów równań liniowych, wartości własnych, diagonalizacji i macierzy specjalnych.
• CZĘŚĆ 4: UKŁADY RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH – obejmuje układy równań różniczkowych liniowych, a także systemy nieliniowe i analizę jakościową.
• CZĘŚĆ 5: ANALIZA WEKTOROWA – obejmuje wektorowy rachunek różniczkowy i wektorowy rachunek całkowy.
• CZĘŚĆ 6: ANALIZA FOURIERA – obejmuje szeregi Fouriera i transformatę Fouriera.
• CZĘŚĆ 7: FUNKCJE ZESPOLONE – kończy książkę dyskusją o liczbach zespolonych i funkcjach zespolonych, całkowaniu, szeregowych reprezentacjach funkcji, osobliwościach, twierdzeniu o residuach i odwzorowaniach konforemnych.
W książce zamieszczono liczne przykłady, które wyjaśniają terminologię, teorię i podstawy obliczeń, po czym następują obliczenia numeryczne. Zamieszczono tabele transformat Fouriera, Laplace’a, cosinusa i sinusa Fouriera, a także przewodnik po terminologii.
Nowości w ósmym wydaniu
Ósme wydanie książki _Advanced Engineering Mathematics_ zawiera kilka elementów pomyślanych tak, aby matematyka stała się bardziej przystępna i interesująca dla studentów kierunków inżynierskich oraz pozwoliło to zorganizować kursy dotyczące konkretnych tematów.
W książce pojawiają się nowe treści: MATEMATYKA W KONTEKŚCIE. Są to krótkie teksty napisane przez inżynierów dla studentów inżynierii, które pokazują z ich perspektywy, jak matematyka pojawia się w różnych projektach i sytuacjach inżynierskich. Taki przykład jest podany już na następnej stronie.
Organizacja książki została zmieniona, aby umożliwić lepsze skupienie się na konkretnych tematach. Na przykład w rozdziale o równaniach różniczkowych zwyczajnych zamieszczono zagadnienie Sturma-Liouville’a i rozwinięcia względem funkcji własnych, co służy przygotowaniu do rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych przez rozdzielenie zmiennych. Rozwiązania wykorzystujące przekształcenia całkowe są również zebrane w jednym rozdziale.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----
Matematyka w kontekście – bębny
Zabawny i interesujący przykład dotyczący drgań kolistej membrany można znaleźć w muzyce. Grając na perkusji, muzyk uderza w główkę bębna pałeczką, młotkiem lub szczotką. Potraktujmy główkę bębna jak okrągłą membranę, w której prędkość początkowa i położenia są określane przez to, jak mocno i gdzie perkusista w nią uderza. Tryb wibracyjny wytwarzany na okrągłej membranie określa cechy tworzonego dźwięku, takie jak głośność, wysokość, tempo i sposób rozchodzenia się.
Poniżej znajduje się obrazek przedstawiający kształt trybu podstawowego dla wibrującej membrany kołowej, powstałej, gdy perkusista uderza w głowę bębna w środek. To zazwyczaj tworzy najgłośniejszy dźwięk, ale szybko zanika z powodu szybkiej przemiany energii wibracji w fale dźwiękowe. Producent muzyczny rejestrujący perkusję musi rozumieć te parametry, aby stworzyć pożądane brzmienie.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----
Większość materiału jest standardowa, ale dodano kilka dodatkowych tematów.
• Rozdział o równaniu Laplace’a kończy się równaniem Poissona.
• Omówienie układów równań różniczkowych obejmuje zagadnienia stabilności i linearyzacji.
• Metody rozwiązywania równań falowych i cieplnych obejmują techniki posługiwania się funkcjami wymuszającymi oraz z pojęciami modelującymi różne zjawiska.
• Ujęcie tematu algebry liniowej i macierzy obejmuje budowę baz ortogonalnych i i dopełnień ortogonalnych, które stanowią podstawę metody najmniejszych kwadratów.
Moduły online
Dodatkowe tematy o szczególnym znaczeniu zostały przeniesione do trybu online, aby umożliwić ich omówienie przy jednoczesnym zachowaniu rozsądnej długości i ceny książki.
Dodatkowo w Internecie można znaleźć DWA PEŁNE ROZDZIAŁY DOTYCZĄCE PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKI. Rozdziały te obejmują: prawdopodobieństwo warunkowe i twierdzenie Bayesa, wnioskowanie statystyczne i przedziały ufności.
Różne formaty i niestandardowe opcje
Cengage Learning udostępnia materiały do zajęć w wielu różnych formatach. Opcje te obejmują zakup poszczególnych rozdziałów (eChapters) i eBooka przez http://www.cengagebrain.com.
Nauczyciele mogą również skorzystać z rozbudowanej platformy Compose firmy Cengage, aby dopasować treść tego podręcznika do swojego kursu zaawansowanej matematyki inżynierskiej. Compose umożliwia instruktorom przeglądanie tysięcy tytułów, łączenie i zmianę kolejności materiału, uzyskanie natychmiastowej pomocy, a nawet przesłanie proponowanego projektu do oceny przez kolegów. A co najważniejsze, niestandardowy podręcznik może być skomponowany i dostarczony w ciągu jednego tygodnia. Proszę odwiedzić stronę http://compose.cengage.com, aby dowiedzieć się więcej.
Dodatki dla studentów
Bezpłatny _Student Solutions Manual_, zawierający szczegółowe rozwiązania prawie połowy zadań, jest dostępny dla studentów korzystających z tej książki. Rozwiązania te zostały opracowane specjalnie po to, aby pomóc studentom w zrozumieniu problemu, zamiast tylko mechanicznego śledzenia kolejnych kroków.
Studenci mogą uzyskać dostęp do rozdziałów i modułów online, jak również do _Student Solutions Manual_, poprzez stronę HTTP://WWW.CENGAGEBRAIN.COM.
Dodatki dla instruktorów
Poza dwoma rozdziałami dostępnymi tylko online i 25 modułami dodatkowymi dostępnymi tylko online, w bezpiecznym, chronionym hasłem miejscu znajdują się również: zabezpieczony hasłem Instructor Resource Center, który zawiera szczegółowy _Instructor’s Solutions Manual_, z rozwiązaniami wszystkich problemów, jak również slajdy PowerPoint do notatek z wykładów. Aby uzyskać dostęp do tych materiałów, należy odwiedzić _Instructor Resource Center_ na stronie HTTPS://LOGIN.CENGAGE.COM.
Podziękowania
W związku z ukończeniem tego wydania podziękowania należą się recenzentom, którzy wnieśli wnikliwe i pomocne uwagi. Należą do nich Dmitry Golovaty z The University of Akron, William D. Thacker z Saint Louis University i Jin Shihe z University of Maine, jak również kilka innych osób, które wolą pozostać anonimowe.
Autor chciałby również podziękować CJ Anslow, Omri Flaisherowi i Qaboos Imran za napisanie tekstów Matematyka w kontekście.
Chciałbym również wyrazić uznanie i podziękowanie zespołowi Global Engineering w Cengage Learning za ich zaangażowanie w przygotowanie tej książki. W szczególności odbiorcami podziękowań zostają: Timothy Anderson, Product Director; Mona Zeftel, Senior Content Developer; Kim Kusnerak, Senior Content Project Manager; Kristin Stine, Marketing Manager; Elizabeth Brown i Brittany Burden, Learning Solutions Specialists; Ashley Kaupert, Associate Media Content Developer; Teresa Versaggi i Alexander Sham, Product Assistants oraz Rose Kernan z RPK Editorial Services, Inc. To oni umiejętnie kierowali każdym etapem rozwoju i produkcji tego tekstu aż do pomyślnego zakończenia.
PETER V. O’NEIL
Uniwersytet Alabama w BirminghamWSTĘP DO WYDANIA SI
Niniejsze wydanie zostało dostosowane do Międzynarodowego Układu Jednostek Miar (Le Système International d Unit´es lub SI).
Le Système International d’Unit ´es
W systemie jednostek USCS (United States Customary System) stosuje się jednostki FPS (stopa, funt, sekunda) (zwane również jednostkami angielskimi lub imperialnymi). Jednostki SI to przede wszystkim jednostki systemu MKS (metr-kilogram-sekunda). Jednakże jednostki CGS (centymetr-gram-sekunda) są często przyjmowane jako jednostki SI, szczególnie w podręcznikach.
Stosowanie jednostek SI w tej książce
W tej książce zastosowaliśmy zarówno jednostki MKS, jak i CGS. Jednostki USCS (U.S. Customary Units) lub FPS (stopa, funt, sekunda), które były używane w wydaniu amerykańskim, zostały zamienione na jednostki SI w całym tekście i zadaniach. Jednak w przypadku danych pochodzących z poradników, norm rządowych i instrukcji obsługi produktów przeliczenie wszystkich wartości na jednostki SI jest nie tylko bardzo trudne, ale również narusza własność intelektualną źródła. Dlatego niektóre dane na rysunkach, w tabelach i odnośnikach pozostają w jednostkach FPS. Dla czytelników nieobeznanych z relacjami między systemem USCS a układem SI na wewnętrznej stronie okładki zamieszczono tabelę przeliczeniową. Aby rozwiązać problemy, które wymagają użycia danych źródłowych, wartości te mogą być przeliczone z jednostek FPS na jednostki SI tuż przed ich wykorzystaniem w obliczeniach. Aby uzyskać znormalizowane wielkości i dane producentów w jednostkach SI, czytelnicy mogą skontaktować się z odpowiednimi agencjami rządowymi.
Materiały dla instruktorów
_Instructors' Solution Manual_ (_Podręcznik rozwiązań dla instruktorów_) w jednostkach SI jest dostępny online na stronie internetowej książki pod adresem http://login.cengage.com. Cyfrowa wersja ISM, slajdy do notatek z wykładów w programie PowerPoint dla tekstu w układzie SI, jak również inne zasoby są dostępne dla instruktorów rejestrujących się na stronie internetowej książki.
Opinie użytkowników tego wydania SI będą bardzo cenne i pomogą nam udoskonalić kolejne wydania.
CENGAGE LEARNINGRozdział 3
Transformata Laplace’a
3.1. Definicja i terminologia
Transformata Laplace’a jest bardzo istotna przy rozwiązywaniu pewnych rodzajów problemów z wartościami początkowymi, szczególnie tych, w których występują funkcje nieciągłe. Występują one często w takich dziedzinach jak elektrotechnika. Stosuje się ją również do rozwiązywania problemów z wartościami granicznymi w równaniach różniczkowych cząstkowych modelujących zjawiska falowe i dyfuzyjne (Rozdział 9).
Transformacja Laplace’a przekształca niektóre problemy wartości początkowej w problemy algebry, co prowadzi do następującego podejścia:
problem wartości początkowej ⇒ problem algebraiczny
⇒ rozwiązanie problemu algebraicznego
⇒ rozwiązanie problemu wartości początkowej.
Może to być skuteczna strategia, ponieważ niektóre problemy algebraiczne są łatwiejsze do rozwiązania niż niektóre problemy wartości początkowej. Niniejszy rozdział rozpoczyna się od definicji i elementarnych własności transformaty.
_Transformata Laplace’a_ funkcji _f_ jest funkcją L zdefiniowaną przez
.
Transformacja wykorzystuje całkę niewłaściwą do przekształcenia funkcji _f_ (_t_ ) zmiennej _t_ w nową funkcję L(_s_) zmiennej _s_. Ponieważ L(_s_) może być niewygodna do zapisania w obliczeniach, często oznaczamy transformację funkcji _f_ (_t_ ), pisaną małą literą, jako _F_(_s_), używając tej samej litery, ale wielkiej. Również zmienną wejściową funkcji _f_ oznaczamy zwykle jako _t_, a zmienną wyjściową funkcji _F_ jako _s_, chociaż może się to zmieniać w zależności od kontekstu. W ten sposób,
,
i tak dalej.
Istnieją pakiety oprogramowania, za pomocą których można obliczyć transformaty niektórych funkcji, a tabela 3.1 zawiera podstawowe funkcje i ich transformaty. W prostych przypadkach możemy wyznaczyć _F_(_s_) z _f_ (_t_ ) przez bezpośrednie całkowanie.
Tabela 3.1. Transformaty Laplace'a wybranych funkcji
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Matematyka w kontekście – inżynieria sterowania i oprzyrządowania
Radiokafka/iStock
Transformata Laplace’a może być stosowana do rozwiązywania równań różniczkowych w dziedzinie czasu w wielu dziedzinach inżynierii, takich jak zjawiska transportowe (masa, pęd, ciepło), fizyka jądrowa i elektronika.
Centralnym elementem inżynierii sterowania i oprzyrządowania są sterowniki, urządzenia utrzymujące system w pożądanym stanie, a transformacja Laplace’a jest podstawowym narzędziem w projektowaniu sterowników. Chociażby tempomat w samochodzie lub system sterowania przeznaczony do utrzymania reaktora chemicznego w określonej temperaturze.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
PRZYKŁAD 3.1.
Niech _f_ (_t_ ) = _e_ at, przy czym _a_ jest niezerową stałą. Transformata Laplace’a _f_ ma postać
przy czym _s_ > _a_, więc _a_ - _s_ < 0. Możemy również użyć zapisu
.
Transformata Laplace’a jest _liniowa_, co oznacza, że
oraz
dla dowolnej liczby _c_.
Transformata sumy jest sumą przekształcanych obiektów, a stałe wynosimy przed transformatę. Nie jest to zaskoczeniem ze względu na definicję transformaty jako całki, która ma te właściwości.
W rozwiązywaniu problemów będziemy musieli nie tylko przekształcać funkcje, ale również przechodzić w odwrotną stronę od przekształconej funkcji do funkcji pierwotnej. W tym celu stosuje się notację L-1, zwaną _odwrotną transformacją Laplace’a_, w której L-1 = _f_, gdy L = _F_. Na przykład, z przykładu 3.1,
W tabeli 3.1 należy czytać od lewej do prawej transformatę _f_ (_t_ ), a od prawej do lewej odwrotną transformatę _F_(_s_); _n_ oznacza nieujemną liczbę całkowitą, a _a_ i _b_ są różnymi stałymi rzeczywistymi.
Rozdział 3.1. Zadania
W każdym z zadań 1–5 należy znaleźć transformatę Laplace’a funkcji.
1.
2.
3.
4.
5.
W każdym z zadań 6–10 należy znaleźć odwrotną transformatę Laplace’a funkcji.
6.
7.
8.
9.
10.
11. To zadanie dotyczy transformaty Laplace’a funkcji okresowej. Załóżmy, że _f_ (_t_ ) ma okres _T_, co oznacza, że _f_ (_t_ + _T_) = _f_ (_t_ ) dla wszystkich _t_.
(a) Wykaż, że
(b) Wykaż, że
(c) Wykaż, że
(d) Przypomnijmy sobie szereg geometryczny
Korzystając z tego oraz z wyniku części (c), wykaż, że
W każdym z zadań 12–18 należy wykorzystać wynik z zadania 11, aby znaleźć transformatę Laplace’a funkcji okresowej.
12. _f_ (_t_ ) ma okres 6 i
13. _f_ (_t_ ) = _E_ | sin (_ωt_ ) |, gdzie _E_ i _ω_ są liczbami dodatnimi.
14. _f_ (_t_ ) ma wykres jak na rysunku 3.1.
RYSUNEK 3.1. Zadanie 14
15. _f_ (_t_ ) ma wykres jak na rysunku 3.2
RYSUNEK 3.2. Zadanie 15
16. _f_ (_t_ ) ma wykres jak na rysunku 3.3
RYSUNEK 3.3. Zadanie 16
17. _f_ (_t_ ) ma wykres jak na rysunku 3.4
RYSUNEK 3.4. Zadanie 17
18. _f_ (_t_ ) ma wykres jak na rysunku 3.5
RYSUNEK 3.5. Zadanie 18
3.2. Rozwiązanie zadań wartości początkowej
Transformata Laplace’a jest ważnym narzędziem do rozwiązywania problemów wartości początkowej w równaniach różniczkowych o stałych współczynnikach. To, co zapewnia, a czego nie zapewniają poprzednie metody, to możliwość obsługi funkcji nieciągłych występujących w równaniu różniczkowym.
Najpierw musimy wprowadzić pojęcie funkcji przedziałami ciągłej. Funkcja _f_ (_t_ ) określona dla _a_ ≤ _t_ ≤ _b_, jest _przedziałami ciągła_ na , jeżeli:
1. _f_ jest ciągła w z wyjątkiem skończonego zbioru punktów z tego przedziału
2. jeżeli _f_ nie jest ciągła w jakimś punkcie _t_₀, gdzie _a_ < _t_₀ < _b_; wtedy _f_ (_t_ ) ma skończone jednostronne granice, gdy _t_ zbliża się do _t_₀ (te granice są różne gdyż _f_ jest nieciągła w _t_₀),
3. _f_ (_t_ ) ma skończone granice, gdy _t_ zbliża się do _a_ z prawej strony, a także gdy _t_ zbliża się do _b_ z lewej strony.
Rysunek 3.6 przedstawia wykres funkcji przedziałami ciągłej, która jest nieciągła w punkcie _t_₀ i _t_₁. Te nieciągłości są widoczne jako przerwy w wykresie i nazywane są _nieciągłościami skokowymi_.
RYSUNEK 3.6. Nieciągłości skokowe w punkcie _t_₀ i _t_₁
Jeżeli pochodna _f ′_ jest przedziałami ciągła, to wykres funkcji ma ciągłą styczną we wszystkich punktach z wyjątkiem być może skończonej liczby punktów, które mogą być nieciągłościami skokowymi lub „ostrymi punktami”. Tam wykres nie ma stycznej.
Możemy teraz podać główny wynik dotyczący przekształcenia Laplace’a pochodnej.
Twierdzenie 3.1. (Transformata pochodnej)
Niech _f_ będzie ciągła dla _t_ ≥ 0 i załóżmy, że _f ′_ jest przedziałami ciągła na dla każdego _k_ > 0. Załóżmy również, że
.
Wtedy
.
Transformata _f ′_(_t_ ) jest _s_-krotnością transformaty _F_(_s_) funkcji _f_ (_t_ ), minus wartość oryginalnej funkcji _f_ (_t_ ) w chwili _t_ = 0.
■
Twierdzenie można udowodnić, stosując definicję transformaty Laplace’a do _f ′_(_t_ ) i całkując przez części.
Równanie (3.1) można rozszerzyć na przypadek, gdy _f_ ma nieciągłość skokową w chwili _t_ = 0, zastępując _f_ (0) przez _f_ (0+), która jest granicą _f_ (_t_ ), gdy _t_ zbliża się do zera z prawej strony:
.
Wyrażenie 3.1 na przekształcenie pochodnej łatwo rozszerza się na wyższe pochodne. Oznaczmy _n_-tą pochodną _f_ (_t_ ) jako _f_ (n)(_t_ ). Wtedy
Zakładamy, że są ciągłe dla _t_ ≥ 0, że _f_ (n) jest ciągła przedziałami na dla _k_ > 0 oraz że
dla _s_ > 0 i dla _j_ = 0, 1, 2, … , _n_ - 1.
Przypadek drugiej pochodnej występuje na tyle często, że wzór ten jest zapisywany oddzielnie:
.
Zauważmy, że przekształcenie _f ′_(_t_ ), _f ″_(_t_ ) , lub wyższej pochodnej nie zawiera _pochodnej F_(_s_). Dlatego równanie różniczkowe o stałych współczynnikach przekształca się w wyrażenie algebraiczne zawierające tylko stałe, potęgi _s_ i transformatę nieznanej funkcji. Jeżeli uda się rozwiązać tę transformatę i odwrócić ją, otrzymamy rozwiązanie problemu wartości początkowej.
Książka _Advanced Engineering Mathematics_ (tytuł polski: _Matematyka dla inżynierów_) jest przeznaczona do wykorzystania w kursie, w którym omawiane są zagadnienia matematyczne niezbędne w nauce i praktyce inżynierskiej, obejmujące między innymi takie problemy jak równania różniczkowe, algebra liniowa, analiza wektorowa, analiza Fouriera i funkcje zespolone.
Aby ukończyć wspomniany kurs z sukcesem, studenci powinni mieć wcześniej za sobą opanowany pełny kurs analizy matematycznej.
W celu ułatwienia korzystania z podręcznika i zapewnienia elastyczności w wyborze tematów podzielono go na siedem części.
• CZĘŚĆ 1: RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE – obejmuje równania różniczkowe pierwszego i drugiego rzędu, a także transformatę Laplace’a i funkcje własne.
• CZĘŚĆ 2: RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE – obejmuje równanie ciepła, równanie falowe, równanie Laplace’a, funkcje specjalne i zastosowania.
• CZĘŚĆ 3: MACIERZE I ALGEBRA LINIOWA – stanowi wprowadzenie do wektorów i przestrzeni wektorowej _R_n, macierzy, wyznaczników i układów równań liniowych, wartości własnych, diagonalizacji i macierzy specjalnych.
• CZĘŚĆ 4: UKŁADY RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH – obejmuje układy równań różniczkowych liniowych, a także systemy nieliniowe i analizę jakościową.
• CZĘŚĆ 5: ANALIZA WEKTOROWA – obejmuje wektorowy rachunek różniczkowy i wektorowy rachunek całkowy.
• CZĘŚĆ 6: ANALIZA FOURIERA – obejmuje szeregi Fouriera i transformatę Fouriera.
• CZĘŚĆ 7: FUNKCJE ZESPOLONE – kończy książkę dyskusją o liczbach zespolonych i funkcjach zespolonych, całkowaniu, szeregowych reprezentacjach funkcji, osobliwościach, twierdzeniu o residuach i odwzorowaniach konforemnych.
W książce zamieszczono liczne przykłady, które wyjaśniają terminologię, teorię i podstawy obliczeń, po czym następują obliczenia numeryczne. Zamieszczono tabele transformat Fouriera, Laplace’a, cosinusa i sinusa Fouriera, a także przewodnik po terminologii.
Nowości w ósmym wydaniu
Ósme wydanie książki _Advanced Engineering Mathematics_ zawiera kilka elementów pomyślanych tak, aby matematyka stała się bardziej przystępna i interesująca dla studentów kierunków inżynierskich oraz pozwoliło to zorganizować kursy dotyczące konkretnych tematów.
W książce pojawiają się nowe treści: MATEMATYKA W KONTEKŚCIE. Są to krótkie teksty napisane przez inżynierów dla studentów inżynierii, które pokazują z ich perspektywy, jak matematyka pojawia się w różnych projektach i sytuacjach inżynierskich. Taki przykład jest podany już na następnej stronie.
Organizacja książki została zmieniona, aby umożliwić lepsze skupienie się na konkretnych tematach. Na przykład w rozdziale o równaniach różniczkowych zwyczajnych zamieszczono zagadnienie Sturma-Liouville’a i rozwinięcia względem funkcji własnych, co służy przygotowaniu do rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych przez rozdzielenie zmiennych. Rozwiązania wykorzystujące przekształcenia całkowe są również zebrane w jednym rozdziale.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----
Matematyka w kontekście – bębny
Zabawny i interesujący przykład dotyczący drgań kolistej membrany można znaleźć w muzyce. Grając na perkusji, muzyk uderza w główkę bębna pałeczką, młotkiem lub szczotką. Potraktujmy główkę bębna jak okrągłą membranę, w której prędkość początkowa i położenia są określane przez to, jak mocno i gdzie perkusista w nią uderza. Tryb wibracyjny wytwarzany na okrągłej membranie określa cechy tworzonego dźwięku, takie jak głośność, wysokość, tempo i sposób rozchodzenia się.
Poniżej znajduje się obrazek przedstawiający kształt trybu podstawowego dla wibrującej membrany kołowej, powstałej, gdy perkusista uderza w głowę bębna w środek. To zazwyczaj tworzy najgłośniejszy dźwięk, ale szybko zanika z powodu szybkiej przemiany energii wibracji w fale dźwiękowe. Producent muzyczny rejestrujący perkusję musi rozumieć te parametry, aby stworzyć pożądane brzmienie.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----
Większość materiału jest standardowa, ale dodano kilka dodatkowych tematów.
• Rozdział o równaniu Laplace’a kończy się równaniem Poissona.
• Omówienie układów równań różniczkowych obejmuje zagadnienia stabilności i linearyzacji.
• Metody rozwiązywania równań falowych i cieplnych obejmują techniki posługiwania się funkcjami wymuszającymi oraz z pojęciami modelującymi różne zjawiska.
• Ujęcie tematu algebry liniowej i macierzy obejmuje budowę baz ortogonalnych i i dopełnień ortogonalnych, które stanowią podstawę metody najmniejszych kwadratów.
Moduły online
Dodatkowe tematy o szczególnym znaczeniu zostały przeniesione do trybu online, aby umożliwić ich omówienie przy jednoczesnym zachowaniu rozsądnej długości i ceny książki.
Dodatkowo w Internecie można znaleźć DWA PEŁNE ROZDZIAŁY DOTYCZĄCE PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKI. Rozdziały te obejmują: prawdopodobieństwo warunkowe i twierdzenie Bayesa, wnioskowanie statystyczne i przedziały ufności.
Różne formaty i niestandardowe opcje
Cengage Learning udostępnia materiały do zajęć w wielu różnych formatach. Opcje te obejmują zakup poszczególnych rozdziałów (eChapters) i eBooka przez http://www.cengagebrain.com.
Nauczyciele mogą również skorzystać z rozbudowanej platformy Compose firmy Cengage, aby dopasować treść tego podręcznika do swojego kursu zaawansowanej matematyki inżynierskiej. Compose umożliwia instruktorom przeglądanie tysięcy tytułów, łączenie i zmianę kolejności materiału, uzyskanie natychmiastowej pomocy, a nawet przesłanie proponowanego projektu do oceny przez kolegów. A co najważniejsze, niestandardowy podręcznik może być skomponowany i dostarczony w ciągu jednego tygodnia. Proszę odwiedzić stronę http://compose.cengage.com, aby dowiedzieć się więcej.
Dodatki dla studentów
Bezpłatny _Student Solutions Manual_, zawierający szczegółowe rozwiązania prawie połowy zadań, jest dostępny dla studentów korzystających z tej książki. Rozwiązania te zostały opracowane specjalnie po to, aby pomóc studentom w zrozumieniu problemu, zamiast tylko mechanicznego śledzenia kolejnych kroków.
Studenci mogą uzyskać dostęp do rozdziałów i modułów online, jak również do _Student Solutions Manual_, poprzez stronę HTTP://WWW.CENGAGEBRAIN.COM.
Dodatki dla instruktorów
Poza dwoma rozdziałami dostępnymi tylko online i 25 modułami dodatkowymi dostępnymi tylko online, w bezpiecznym, chronionym hasłem miejscu znajdują się również: zabezpieczony hasłem Instructor Resource Center, który zawiera szczegółowy _Instructor’s Solutions Manual_, z rozwiązaniami wszystkich problemów, jak również slajdy PowerPoint do notatek z wykładów. Aby uzyskać dostęp do tych materiałów, należy odwiedzić _Instructor Resource Center_ na stronie HTTPS://LOGIN.CENGAGE.COM.
Podziękowania
W związku z ukończeniem tego wydania podziękowania należą się recenzentom, którzy wnieśli wnikliwe i pomocne uwagi. Należą do nich Dmitry Golovaty z The University of Akron, William D. Thacker z Saint Louis University i Jin Shihe z University of Maine, jak również kilka innych osób, które wolą pozostać anonimowe.
Autor chciałby również podziękować CJ Anslow, Omri Flaisherowi i Qaboos Imran za napisanie tekstów Matematyka w kontekście.
Chciałbym również wyrazić uznanie i podziękowanie zespołowi Global Engineering w Cengage Learning za ich zaangażowanie w przygotowanie tej książki. W szczególności odbiorcami podziękowań zostają: Timothy Anderson, Product Director; Mona Zeftel, Senior Content Developer; Kim Kusnerak, Senior Content Project Manager; Kristin Stine, Marketing Manager; Elizabeth Brown i Brittany Burden, Learning Solutions Specialists; Ashley Kaupert, Associate Media Content Developer; Teresa Versaggi i Alexander Sham, Product Assistants oraz Rose Kernan z RPK Editorial Services, Inc. To oni umiejętnie kierowali każdym etapem rozwoju i produkcji tego tekstu aż do pomyślnego zakończenia.
PETER V. O’NEIL
Uniwersytet Alabama w BirminghamWSTĘP DO WYDANIA SI
Niniejsze wydanie zostało dostosowane do Międzynarodowego Układu Jednostek Miar (Le Système International d Unit´es lub SI).
Le Système International d’Unit ´es
W systemie jednostek USCS (United States Customary System) stosuje się jednostki FPS (stopa, funt, sekunda) (zwane również jednostkami angielskimi lub imperialnymi). Jednostki SI to przede wszystkim jednostki systemu MKS (metr-kilogram-sekunda). Jednakże jednostki CGS (centymetr-gram-sekunda) są często przyjmowane jako jednostki SI, szczególnie w podręcznikach.
Stosowanie jednostek SI w tej książce
W tej książce zastosowaliśmy zarówno jednostki MKS, jak i CGS. Jednostki USCS (U.S. Customary Units) lub FPS (stopa, funt, sekunda), które były używane w wydaniu amerykańskim, zostały zamienione na jednostki SI w całym tekście i zadaniach. Jednak w przypadku danych pochodzących z poradników, norm rządowych i instrukcji obsługi produktów przeliczenie wszystkich wartości na jednostki SI jest nie tylko bardzo trudne, ale również narusza własność intelektualną źródła. Dlatego niektóre dane na rysunkach, w tabelach i odnośnikach pozostają w jednostkach FPS. Dla czytelników nieobeznanych z relacjami między systemem USCS a układem SI na wewnętrznej stronie okładki zamieszczono tabelę przeliczeniową. Aby rozwiązać problemy, które wymagają użycia danych źródłowych, wartości te mogą być przeliczone z jednostek FPS na jednostki SI tuż przed ich wykorzystaniem w obliczeniach. Aby uzyskać znormalizowane wielkości i dane producentów w jednostkach SI, czytelnicy mogą skontaktować się z odpowiednimi agencjami rządowymi.
Materiały dla instruktorów
_Instructors' Solution Manual_ (_Podręcznik rozwiązań dla instruktorów_) w jednostkach SI jest dostępny online na stronie internetowej książki pod adresem http://login.cengage.com. Cyfrowa wersja ISM, slajdy do notatek z wykładów w programie PowerPoint dla tekstu w układzie SI, jak również inne zasoby są dostępne dla instruktorów rejestrujących się na stronie internetowej książki.
Opinie użytkowników tego wydania SI będą bardzo cenne i pomogą nam udoskonalić kolejne wydania.
CENGAGE LEARNINGRozdział 3
Transformata Laplace’a
3.1. Definicja i terminologia
Transformata Laplace’a jest bardzo istotna przy rozwiązywaniu pewnych rodzajów problemów z wartościami początkowymi, szczególnie tych, w których występują funkcje nieciągłe. Występują one często w takich dziedzinach jak elektrotechnika. Stosuje się ją również do rozwiązywania problemów z wartościami granicznymi w równaniach różniczkowych cząstkowych modelujących zjawiska falowe i dyfuzyjne (Rozdział 9).
Transformacja Laplace’a przekształca niektóre problemy wartości początkowej w problemy algebry, co prowadzi do następującego podejścia:
problem wartości początkowej ⇒ problem algebraiczny
⇒ rozwiązanie problemu algebraicznego
⇒ rozwiązanie problemu wartości początkowej.
Może to być skuteczna strategia, ponieważ niektóre problemy algebraiczne są łatwiejsze do rozwiązania niż niektóre problemy wartości początkowej. Niniejszy rozdział rozpoczyna się od definicji i elementarnych własności transformaty.
_Transformata Laplace’a_ funkcji _f_ jest funkcją L zdefiniowaną przez
.
Transformacja wykorzystuje całkę niewłaściwą do przekształcenia funkcji _f_ (_t_ ) zmiennej _t_ w nową funkcję L(_s_) zmiennej _s_. Ponieważ L(_s_) może być niewygodna do zapisania w obliczeniach, często oznaczamy transformację funkcji _f_ (_t_ ), pisaną małą literą, jako _F_(_s_), używając tej samej litery, ale wielkiej. Również zmienną wejściową funkcji _f_ oznaczamy zwykle jako _t_, a zmienną wyjściową funkcji _F_ jako _s_, chociaż może się to zmieniać w zależności od kontekstu. W ten sposób,
,
i tak dalej.
Istnieją pakiety oprogramowania, za pomocą których można obliczyć transformaty niektórych funkcji, a tabela 3.1 zawiera podstawowe funkcje i ich transformaty. W prostych przypadkach możemy wyznaczyć _F_(_s_) z _f_ (_t_ ) przez bezpośrednie całkowanie.
Tabela 3.1. Transformaty Laplace'a wybranych funkcji
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Matematyka w kontekście – inżynieria sterowania i oprzyrządowania
Radiokafka/iStock
Transformata Laplace’a może być stosowana do rozwiązywania równań różniczkowych w dziedzinie czasu w wielu dziedzinach inżynierii, takich jak zjawiska transportowe (masa, pęd, ciepło), fizyka jądrowa i elektronika.
Centralnym elementem inżynierii sterowania i oprzyrządowania są sterowniki, urządzenia utrzymujące system w pożądanym stanie, a transformacja Laplace’a jest podstawowym narzędziem w projektowaniu sterowników. Chociażby tempomat w samochodzie lub system sterowania przeznaczony do utrzymania reaktora chemicznego w określonej temperaturze.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
PRZYKŁAD 3.1.
Niech _f_ (_t_ ) = _e_ at, przy czym _a_ jest niezerową stałą. Transformata Laplace’a _f_ ma postać
przy czym _s_ > _a_, więc _a_ - _s_ < 0. Możemy również użyć zapisu
.
Transformata Laplace’a jest _liniowa_, co oznacza, że
oraz
dla dowolnej liczby _c_.
Transformata sumy jest sumą przekształcanych obiektów, a stałe wynosimy przed transformatę. Nie jest to zaskoczeniem ze względu na definicję transformaty jako całki, która ma te właściwości.
W rozwiązywaniu problemów będziemy musieli nie tylko przekształcać funkcje, ale również przechodzić w odwrotną stronę od przekształconej funkcji do funkcji pierwotnej. W tym celu stosuje się notację L-1, zwaną _odwrotną transformacją Laplace’a_, w której L-1 = _f_, gdy L = _F_. Na przykład, z przykładu 3.1,
W tabeli 3.1 należy czytać od lewej do prawej transformatę _f_ (_t_ ), a od prawej do lewej odwrotną transformatę _F_(_s_); _n_ oznacza nieujemną liczbę całkowitą, a _a_ i _b_ są różnymi stałymi rzeczywistymi.
Rozdział 3.1. Zadania
W każdym z zadań 1–5 należy znaleźć transformatę Laplace’a funkcji.
1.
2.
3.
4.
5.
W każdym z zadań 6–10 należy znaleźć odwrotną transformatę Laplace’a funkcji.
6.
7.
8.
9.
10.
11. To zadanie dotyczy transformaty Laplace’a funkcji okresowej. Załóżmy, że _f_ (_t_ ) ma okres _T_, co oznacza, że _f_ (_t_ + _T_) = _f_ (_t_ ) dla wszystkich _t_.
(a) Wykaż, że
(b) Wykaż, że
(c) Wykaż, że
(d) Przypomnijmy sobie szereg geometryczny
Korzystając z tego oraz z wyniku części (c), wykaż, że
W każdym z zadań 12–18 należy wykorzystać wynik z zadania 11, aby znaleźć transformatę Laplace’a funkcji okresowej.
12. _f_ (_t_ ) ma okres 6 i
13. _f_ (_t_ ) = _E_ | sin (_ωt_ ) |, gdzie _E_ i _ω_ są liczbami dodatnimi.
14. _f_ (_t_ ) ma wykres jak na rysunku 3.1.
RYSUNEK 3.1. Zadanie 14
15. _f_ (_t_ ) ma wykres jak na rysunku 3.2
RYSUNEK 3.2. Zadanie 15
16. _f_ (_t_ ) ma wykres jak na rysunku 3.3
RYSUNEK 3.3. Zadanie 16
17. _f_ (_t_ ) ma wykres jak na rysunku 3.4
RYSUNEK 3.4. Zadanie 17
18. _f_ (_t_ ) ma wykres jak na rysunku 3.5
RYSUNEK 3.5. Zadanie 18
3.2. Rozwiązanie zadań wartości początkowej
Transformata Laplace’a jest ważnym narzędziem do rozwiązywania problemów wartości początkowej w równaniach różniczkowych o stałych współczynnikach. To, co zapewnia, a czego nie zapewniają poprzednie metody, to możliwość obsługi funkcji nieciągłych występujących w równaniu różniczkowym.
Najpierw musimy wprowadzić pojęcie funkcji przedziałami ciągłej. Funkcja _f_ (_t_ ) określona dla _a_ ≤ _t_ ≤ _b_, jest _przedziałami ciągła_ na , jeżeli:
1. _f_ jest ciągła w z wyjątkiem skończonego zbioru punktów z tego przedziału
2. jeżeli _f_ nie jest ciągła w jakimś punkcie _t_₀, gdzie _a_ < _t_₀ < _b_; wtedy _f_ (_t_ ) ma skończone jednostronne granice, gdy _t_ zbliża się do _t_₀ (te granice są różne gdyż _f_ jest nieciągła w _t_₀),
3. _f_ (_t_ ) ma skończone granice, gdy _t_ zbliża się do _a_ z prawej strony, a także gdy _t_ zbliża się do _b_ z lewej strony.
Rysunek 3.6 przedstawia wykres funkcji przedziałami ciągłej, która jest nieciągła w punkcie _t_₀ i _t_₁. Te nieciągłości są widoczne jako przerwy w wykresie i nazywane są _nieciągłościami skokowymi_.
RYSUNEK 3.6. Nieciągłości skokowe w punkcie _t_₀ i _t_₁
Jeżeli pochodna _f ′_ jest przedziałami ciągła, to wykres funkcji ma ciągłą styczną we wszystkich punktach z wyjątkiem być może skończonej liczby punktów, które mogą być nieciągłościami skokowymi lub „ostrymi punktami”. Tam wykres nie ma stycznej.
Możemy teraz podać główny wynik dotyczący przekształcenia Laplace’a pochodnej.
Twierdzenie 3.1. (Transformata pochodnej)
Niech _f_ będzie ciągła dla _t_ ≥ 0 i załóżmy, że _f ′_ jest przedziałami ciągła na dla każdego _k_ > 0. Załóżmy również, że
.
Wtedy
.
Transformata _f ′_(_t_ ) jest _s_-krotnością transformaty _F_(_s_) funkcji _f_ (_t_ ), minus wartość oryginalnej funkcji _f_ (_t_ ) w chwili _t_ = 0.
■
Twierdzenie można udowodnić, stosując definicję transformaty Laplace’a do _f ′_(_t_ ) i całkując przez części.
Równanie (3.1) można rozszerzyć na przypadek, gdy _f_ ma nieciągłość skokową w chwili _t_ = 0, zastępując _f_ (0) przez _f_ (0+), która jest granicą _f_ (_t_ ), gdy _t_ zbliża się do zera z prawej strony:
.
Wyrażenie 3.1 na przekształcenie pochodnej łatwo rozszerza się na wyższe pochodne. Oznaczmy _n_-tą pochodną _f_ (_t_ ) jako _f_ (n)(_t_ ). Wtedy
Zakładamy, że są ciągłe dla _t_ ≥ 0, że _f_ (n) jest ciągła przedziałami na dla _k_ > 0 oraz że
dla _s_ > 0 i dla _j_ = 0, 1, 2, … , _n_ - 1.
Przypadek drugiej pochodnej występuje na tyle często, że wzór ten jest zapisywany oddzielnie:
.
Zauważmy, że przekształcenie _f ′_(_t_ ), _f ″_(_t_ ) , lub wyższej pochodnej nie zawiera _pochodnej F_(_s_). Dlatego równanie różniczkowe o stałych współczynnikach przekształca się w wyrażenie algebraiczne zawierające tylko stałe, potęgi _s_ i transformatę nieznanej funkcji. Jeżeli uda się rozwiązać tę transformatę i odwrócić ją, otrzymamy rozwiązanie problemu wartości początkowej.
więcej..
