Matematyka stosowana: Algebra, funkcje i równania - ebook

Równania

przykłady

RÓWNANIE LINIOWE
2x +3 = 7

ROZWIĄZANIE RÓWNANIA LINIOWEGO
2x +3 = 7
2x = 4
x = 2

RÓWNANIE KWADRATOWE
x^2 +2x — 8 = 0

ROZWIĄZANIE RÓWNANIA KWADRATOWEGO
x^2 +2x — 8 = 0
(x +4)(x — 2) = 0
x1 = -4, x2 = 2

RÓWNANIE WIELOMIANOWE STOPNIA TRZECIEGO
x^3 — 4x^2 +5x — 2 = 0

ROZWIĄZANIE RÓWNANIA WIELOMIANOWEGO STOPNIA TRZECIEGO
x^3 — 4x^2 +5x — 2 = (x^3 — 2x^2) + (-2x^2 +5x — 2)
= x^2(x —2) — 2(x — 2)(x — 1) = (x — 2)(x^2 — 2x +1)
= (x — 2)(x — 1)^2
Zatem rozwiązaniem równania jest x = 1 lub x = 2. Sprawdźmy, czy rzeczywiście są to rozwiązania: Dla x = 1: 1^3 — 41^2 +51 — 2 = 1 — 4 +5 — 2 = 0
Dla x = 2: 2^3 — 42^2 +52 — 2 = 8 — 16 +10 — 2 = 0
Zatem x = 1 lub x = 2 są rozwiązaniami równania x^3 — 4x^2 +5x — 2 = 0.

RÓWNANIE Z WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNĄ
|x — 3| = 5

ROZWIĄZANIE RÓWNANIA Z WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNĄ
Rozwiązując to równanie, musimy rozważyć dwa przypadki, w zależności od znaku wyrażenia w wartości bezwzględnej: (x — 3) = 5 x = 8
(x — 3) = -5 x = -2
Więc równanie |x — 3| = 5 ma dwa rozwiązania: x = 8 lub x = -2. Dlaczego są dwa sposoby? Ponieważ wartość bezwzględna oznacza, że wyrażenie wewnątrz niej może mieć dwie przeciwstawne wartości. Stąd, aby rozwiązać to równanie, musimy rozważyć dwa przypadki, jeden dla wartości dodatnich wewnątrz wartości bezwzględnej, a drugi dla wartości ujemnych. Ostatecznie, wynik równania z wartością bezwzględną (x — 3) = 5 to zbiór rozwiązań {8, -2}.

RÓWNANIE WYMIERNE
(x +2)/(x — 1) = 3
(2,5 +2)/(2,5 — 1) = 3
(4,5)/(1,5)=3

ROZWIĄZANIE RÓWNANIA WYMIERNEGO
Aby rozwiązać to równanie wymierne, musimy najpierw pozbyć się ułamka w mianowniku, aby uzyskać równanie liniowe. Możemy to zrobić poprzez wymnożenie obu stron równania przez mianownik (x — 1): (x +2)/(x — 1) * (x — 1) = 3 * (x — 1)
x +2 = 3x — 3
Przenosimy wszystkie zmienne na jedną stronę równania, a liczby na drugą: x — 3x = —2 —3 — 2x = —5
x = 5/2
Więc rozwiązaniem równania jest x = 5/2
x= 2,5
Ponieważ
(2,5 +2)/(2,5 — 1) = 3
(4,5)/(1,5)=3

RÓWNANIE WYKŁADNICZE
2^(2x+1) = 32

ROZWIĄZANIE RÓWNANIA WYKŁADNICZEGO
Rozwiązanie tego równania wykładniczego wymaga znalezienia wartości x, dla których 2^(2x+1) jest równe 32. Możemy zauważyć, że 32 jest równoważne 2^5. Zatem możemy zapisać równanie w następujący sposób: 2^(2x+1) = 2^5
Aby obliczyć x, możemy porównać wykładniki po obu stronach równania: 2x +1 = 5
Następnie odejmujemy 1 z obu stron: 2x = 4
I dzielimy przez 2: x = 2
Innym sposobem obliczenia jest pozostawienie potęg: 2^(2x+1) = 32
2x+1 = 5
2x= 4
x = 2
Zatem rozwiązaniem równania wykładniczego 2^(2x+1) = 32 jest x = 2.

RÓWNANIE LOGARYTMICZNE
log2(x +1) + log2(x — 2) = 2

ROZWIĄZANIE RÓWNANIA LOGARYTMICZNEGO
Rozpoczniemy od połączenia logarytmów z tego równania przy użyciu zasady mnożenia logarytmów: log2 = 2
Następnie zastosujemy definicję logarytmu, aby wyznaczyć argument logarytmu po lewej stronie równania: 2^2 = (x+1)(x-2)
4 = x^2 — x — 2
x^2 — x — 6 = 0
Możemy teraz rozwiązać to równanie kwadratowe, na przykład przez faktoryzację: (x-3)(x+2) = 0
Stąd mamy dwa rozwiązania: x = 3 lub x = -2. Jednakże, należy sprawdzić czy oba rozwiązania spełniają warunek pierwotnego równania: log2(3 +1) + log2(3 — 2) = log2(4) + log2(1) = 2 +0 = 2 log2(-2 +1) + log2(-2 — 2) = log2(-1) + log2(-4) = nieoznaczone
Stąd, jedynym rozwiązaniem równania logarytmicznego jest
x= 3.

RÓWNANIE TRYGONOMETRYCZNE
sin(x) + cos(x) = 1

ROZWIĄZANIE RÓWNANIA TRYGONOMETRYCZNEGO
Możemy rozwiązać to równanie trygonometryczne w następujący sposób: sin(x) + cos(x) = 1
Możemy użyć identyczności trygonometrycznej sin^2(x) + cos^2(x) = 1, aby przekształcić równanie: sin(x) + cos(x) = sin^2(x) + cos^2(x)
sin(x) + cos(x) = 1
Zauważmy, że lewa strona równania jest równa sin(x) + cos(x) = √2*(sin(x+π/4)), gdzie π to liczba pi. Stąd otrzymujemy: √2*(sin(x+π/4)) = 1
sin(x+π/4) = 1/√2
Aby znaleźć rozwiązania tego równania, musimy znaleźć wartości kątów, dla których sin(x+π/4) = 1/√2. Możemy użyć własności funkcji trygonometrycznych, aby znaleźć wartości kątów, dla których sin(x+π/4) = 1/√2: sin(π/4) = 1/√2
Stąd otrzymujemy: x+π/4 = π/4 +2πk lub x+π/4 = 3π/4 +2πk, gdzie k to dowolna liczba całkowita. Możemy teraz rozwiązać te równania dla x: x = 0 +2πk lub x = π/2 +2πk — π/4, gdzie k to dowolna liczba całkowita. Ostatecznie, rozwiązania równania sin(x) + cos(x) = 1 są dane przez: x = 2πk lub x = (2k-1)π/2 — π/4, gdzie k to dowolna liczba całkowita.

RÓWNANIE MACIERZOWE
A*x = b, gdzie A = , x = i b =

ROZWIĄZANIE RÓWNANIA MACIERZOWEGO
Rozwiązując równanie macierzowe A*x = b dla danej macierzy A i wektorów x i b, należy obliczyć wektor x, tak aby A pomnożone przez x dawało wektor b. Dla podanej macierzy A i wektorów x i b, mamy: A = x = b =
Mnożąc A przez x, otrzymujemy: Ax = * =
Aby równanie Ax = b było spełnione, musimy znaleźć wektor x, dla którego Ax jest równy b. Możemy to zrobić, rozwiązując układ dwóch równań z dwoma niewiadomymi: 3x1 +4x2 = 1 2x1 +5x2 = 2
Możemy użyć metody eliminacji Gaussa lub innej metody rozwiązywania układów równań liniowych, aby znaleźć rozwiązanie tego układu. Możemy również użyć funkcji do rozwiązywania równań macierzowych w programie komputerowym, np. MATLAB lub Octave. Oto rozwiązanie układu równań: x1 = -3/7 x2 = 5/7
Zatem rozwiązaniem równania macierzowego A*x = b dla danej macierzy A i wektorów x i b jest: x =

RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE
y” +2y = e^(-x), gdzie y(0) = 1.

ROZWIĄZANIE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWEGO
Możemy rozwiązać to równanie różniczkowe metodą współczynników nieoznaczonych. Pierwszym krokiem jest znalezienie ogólnego rozwiązania równania jednorodnego y”” +2y = 0. Aby to zrobić, rozważmy charakterystyczne równanie r^2 +2 = 0, które ma pierwiastki zespolone r = ±i√2. Stąd ogólne rozwiązanie równania jednorodnego to y_h(x) = c_1 cos(√2 x) + c_2 sin(√2 x), gdzie c_1 i c_2 są stałymi. Następnie szukamy rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego. Ponieważ e^(-x) jest funkcją eksponencjalną, spróbujmy rozwiązać równanie niejednorodne przez szukanie rozwiązania postaci y_p(x) = A e^(-x), gdzie A jest stałą, którą należy obliczyć. Podstawiając to rozwiązanie do równania, otrzymujemy: y_p”” +2y_p = (-A)e^(-x) +2Ae^(-x) = Ae^(-x). Podobnie jak w przypadku równania jednorodnego, charakterystyczne równanie to r^2 +2 = 0, więc r = ±i√2. W tym przypadku jednak, ponieważ e^(-x) nie jest funkcją trygonometryczną, nie możemy wykorzystać metody zmiennych parametrów. Zamiast tego, stosujemy metodę nieoznaczonych współczynników. Podstawiamy y_p(x) = A e^(-x) do równania niejednorodnego i różniczkujemy dwa razy, uzyskując: y_p””(x) +2y_p(x) = Ae^(-x) — > (-A)e^(-x) +2Ae^(-x) = Ae^(-x)
Stąd otrzymujemy A = -1/2. Zatem ogólne rozwiązanie równania różniczkowego to: y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c_1 cos(√2 x) + c_2 sin(√2 x) — (1/2) e^(-x)
Teraz możemy wyznaczyć stałe c_1 i c_2 korzystając z warunku początkowego y(0) = 1: y(0) = c_1 cos(0) + c_2 sin(0) — (1/2) e^(0) = c_1 — (1/2) = 1
Stąd c_1 = 3/2. Ostatecznie rozwiązanie to: y(x) = (3/2) cos(√2 x) + c_2 sin(√2 x) — (1/2) e^(-x)Funkcje algebraiczne

Funkcje algebraiczne są funkcjami, które można wyrazić za pomocą skończonej liczby działań algebraicznych, takich jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie oraz potęgowanie z wykładnikiem całkowitym. Poniżej przedstawiamy kilka ważnych właściwości funkcji algebraicznych.

OKREŚLONOŚĆ FUNKCJI
Każda funkcja algebraiczna jest określona na pewnym zbiorze liczb rzeczywistych. Jednakże, ze względu na obecność operacji dzielenia, niektóre funkcje mogą mieć punkty, w których nie są one zdefiniowane. W algebrze, określoność funkcji oznacza, że funkcja ma jednoznacznie określony wynik dla każdego możliwego argumentu. Innymi słowy, dla każdej wartości x w dziedzinie funkcji, funkcja f(x) ma dokładnie jedną wartość na zbiorze wartości. Na przykład, funkcja f(x) = x^2 jest określona dla każdej wartości x ze zbioru liczb rzeczywistych, a dla każdej wartości x ma dokładnie jedną wartość, czyli kwadrat liczby x. Z drugiej strony, funkcja g(x) = 1/x nie jest określona dla x równego zero, ponieważ dzielenie przez zero nie ma sensu w arytmetyce, więc funkcja g(x) nie ma jednoznacznie określonej wartości dla x = 0. Określoność funkcji jest bardzo ważnym pojęciem w algebrze, ponieważ pozwala nam na określenie, kiedy dana funkcja może być odwzorowaniem i jakie są jej własności, takie jak np. monotoniczność, ciągłość czy różniczkowalność.

STABILNOŚĆ DZIEDZINY
Stabilność dziedziny to pojęcie z dziedziny algebry, które odnosi się do cechy dziedziny algebraicznej, która jest zachowywana podczas przeprowadzania działań matematycznych. Dziedzina algebraiczna jest stabilna wtedy i tylko wtedy, gdy każda operacja przeprowadzona na elementach tej dziedziny prowadzi do uzyskania wyniku, który jest również elementem tej dziedziny. Innymi słowy, jeśli wykonujemy jakieś działanie na elementach dziedziny, to wynik tego działania także należy do tej dziedziny. Na przykład, dziedzina liczb całkowitych jest stabilna względem dodawania i mnożenia, ponieważ dodawanie lub mnożenie dwóch liczb całkowitych zawsze daje wynik, który także jest liczbą całkowitą. Jednakże, dziedzina liczb rzeczywistych nie jest stabilna względem dzielenia przez zero, ponieważ dzielenie przez zero prowadzi do wyniku nieskończonego, który nie jest liczbą rzeczywistą. Stabilność dziedziny jest ważna w algebrze, ponieważ gwarantuje, że działania matematyczne przeprowadzane na elementach tej dziedziny są dobrze określone i nie prowadzą do wyników, które nie należą do dziedziny. To z kolei pomaga w uniknięciu błędów i zagwarantowaniu poprawności wyników matematycznych.

ZERA FUNKCJI
Zera funkcji to wartości argumentów, dla których wartość funkcji wynosi zero. W algebrze, funkcje często zapisuje się w postaci równań lub nierówności, więc zerowanie funkcji oznacza rozwiązanie równania lub nierówności. Przykładowo, jeśli mamy funkcję kwadratową f(x) = ax^2 + bx + c, to możemy szukać jej zer przez rozwiązanie równania ax^2 + bx + c = 0. Rozwiązanie takiego równania zależy od wartości współczynników a, b i c, a dokładniej od ich dyskryminantu, czyli wartości b^2 — 4ac. Jeśli dyskryminant jest dodatni, to równanie ma dwa różne rzeczywiste zera, jeśli jest równy zero, to równanie ma jedno podwójne zero, a jeśli jest ujemny, to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, ale można znaleźć jego rozwiązania zespolone. Podobnie, można szukać zer funkcji liniowej, wielomianowej o wyższym stopniu, funkcji trygonometrycznych, logarytmicznych itp., rozwiązując odpowiednie równania lub nierówności.

PARZYSTOŚĆ I NIEPARZYSTOŚĆ FUNKCJI
Parzystość i nieparzystość funkcji są dwoma ważnymi pojęciami w matematyce, które odnoszą się do symetrii funkcji. Funkcja f(x) jest parzysta, jeśli f(-x) = f(x) dla każdego x należącego do dziedziny funkcji. W praktyce oznacza to, że symetria osiowa wzdłuż osi pionowej przechodzącej przez środek układu współrzędnych. Innymi słowy, wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi y. Przykładami funkcji parzystych są: f(x) = x^2, f(x) = cos(x), f(x) = |x|. Funkcja f(x) jest nieparzysta, jeśli f(-x) = -f(x) dla każdego x należącego do dziedziny funkcji. W praktyce oznacza to, że symetria osiowa wzdłuż początku układu współrzędnych. Innymi słowy, wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem punktu (0,0). Przykładami funkcji nieparzystych są: f(x) = x, f(x) = sin(x), f(x) = 1/x. Nie wszystkie funkcje są ani parzyste, ani nieparzyste. Funkcje te są nazywane funkcjami ogólnymi. Przykładami funkcji ogólnych są: f(x) = x^3, f(x) = x^2 +1, f(x) = e^x. Funkcja algebraiczna jest parzysta, jeśli spełnia warunek f(-x) = f(x) dla każdej liczby rzeczywistej x. Funkcja jest nieparzysta, jeśli spełnia warunek f(-x) = -f(x) dla każdej liczby rzeczywistej x. Funkcja może również nie być ani parzysta, ani nieparzysta.

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
Ciągłość funkcji to pojęcie z zakresu analizy matematycznej, które mówi o tym, jak zachowuje się funkcja na pewnym przedziale, gdy jej argumenty zbliżają się do siebie. Formalnie mówiąc, funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x=a, jeśli dla każdej liczby dodatniej ε istnieje liczba dodatnia δ taka, że dla każdego x spełniającego nierówność |x-a|<δ, zachodzi nierówność |f(x) -f(a)|<ε. Intuicyjnie, funkcja jest ciągła w punkcie a, jeśli jej wartość w punkcie a jest zbliżona do wartości funkcji dla argumentów bliskich punktu a. Oznacza to, że jeśli x zbliża się do a, to wartość funkcji f(x) również zbliża się do f(a). Funkcja może być ciągła na całym swoim dziedzinie lub tylko na pewnym jej przedziale. Istnieją różne warunki, które pozwalają stwierdzić, czy funkcja jest ciągła na danym przedziale. Na przykład, funkcja jest ciągła na pewnym przedziale, jeśli jest ograniczona na tym przedziale i nie posiada punktów osobliwych (np. nie istnieją miejsca, w których funkcja jest nieskończona). Ciągłość funkcji jest istotna w wielu dziedzinach matematyki oraz w praktyce, ponieważ pozwala na dokładne opisanie zachowania się funkcji i na wykorzystanie jej w rozwiązywaniu problemów praktycznych.

RÓŻNICZKOWALNOŚĆ FUNKCJI
Różniczkowalność funkcji to pojęcie z dziedziny analizy matematycznej, a dokładniej analizy różniczkowej. Intuicyjnie, funkcja jest różniczkowalna w pewnym punkcie, jeśli jej wartości zmieniają się w sposób wystarczająco płynny, tak że można określić jej pochodną w tym punkcie. W algebrze różniczkowej, funkcje są zdefiniowane w sposób formalny, jako wyrażenia składające się z symboli algebraicznych i operacji algebraicznych. Różniczkowanie w algebrze jest zdefiniowane jako operacja, która przyporządkowuje funkcji jej pochodną, czyli kolejne wyrażenie algebraiczne, które jest pochodną pierwotnej funkcji. Przykładowo, jeśli mamy funkcję algebryczną f(x) = x^2 +3x +2, to jej pochodną można obliczyć jako f”(x) = 2x +3. Pochodna ta informuje nas o tym, jak szybko wartości funkcji zmieniają się wraz ze zmianą argumentu x. W algebrze różniczkowej istnieją pewne reguły różniczkowania, które pozwalają na obliczanie pochodnych bardziej skomplikowanych funkcji. Na przykład, jeśli mamy funkcję f(x) = sin(x), to jej pochodną można obliczyć z zastosowaniem reguły różniczkowania funkcji trygonometrycznych, która mówi, że pochodną sin(x) jest cos(x).Ograniczenia funkcji

Funkcja algebraiczna może mieć ograniczenia na dziedzinie funkcji lub na przedziale wartości. Ograniczenia te mogą wynikać z własności funkcji, jak na przykład asymptoty, ekstrema lokalne, czy też symetria. W algebrze funkcje mogą mieć różne rodzaje ograniczeń. Oto kilka przykładów.

OGRANICZENIA DZIEDZINY
Funkcja może mieć określoną dziedzinę, na której jest zdefiniowana. Na przykład funkcja pierwiastka kwadratowego f(x) = √x jest zdefiniowana tylko dla x ≥ 0, co oznacza, że jej dziedzina jest ograniczona z dołu przez zero.

OGRANICZENIA WARTOŚCI
Funkcja może mieć określone wartości, które może przyjąć. Na przykład funkcja sin(x) przyjmuje wartości z przedziału . To oznacza, że wartości funkcji są ograniczone z góry przez 1 i z dołu przez -1.

OGRANICZENIA ASYMPTOTYCZNE
Funkcja może mieć określone asymptoty, czyli wartości graniczne, do których dąży funkcja, gdy jej argument zbliża się do nieskończoności lub do zera. Na przykład funkcja f(x) = 1/x ma asymptotę poziomą y = 0, co oznacza, że wartości funkcji są ograniczone z dołu przez zero.

OGRANICZENIA POCHODNYCH
Funkcja może mieć ograniczenia na swoje pochodne, co oznacza, że jej tempo zmiany jest ograniczone. Na przykład funkcja f(x) = x^2 ma pochodną f”(x) = 2x, co oznacza, że jej tempo zmiany zwiększa się wraz z x, ale nigdy nie przekracza pewnego ustalonego limitu.

OGRANICZENIA CAŁEK
Funkcja może mieć ograniczenia na swoje całki, co oznacza, że suma jej wartości na określonym przedziale jest ograniczona. Na przykład funkcja f(x) = 1/x ma nieskończoną całkę na przedziale , co oznacza, że jej wartości nie są ograniczone na tym przedziale.

PODSUMOWANIE
Te właściwości funkcji algebraicznych mają kluczowe znaczenie w matematyce i naukach przyrodniczych, a także w wielu dziedzinach życia, w których wykorzystuje się matematykę.Macierze i układy równań liniowych

Macierze i układy równań liniowych to podstawowe pojęcia algebry liniowej, które są bardzo ważne w matematyce, fizyce, inżynierii i wielu innych dziedzinach nauki. Macierz to tabelaryczne przedstawienie liczb w postaci prostokątnej siatki, w której liczby te są ułożone w rzędy i kolumny. Przykładowo, macierz 3x2 może wyglądać następująco: 2 3 4 5 6 7
W matematyce macierze są często używane do opisu systemów równań liniowych. Układ równań liniowych to zbiór równań postaci: a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2.. an1x1 + an2x2 + … + annxn = bn
gdzie a_ij i b_i są liczbami rzeczywistymi, a x_1, x_2, …, x_n są niewiadomymi, które chcemy wyznaczyć.

Układ taki można zapisać w postaci macierzowej jako:

=
gdzie to macierz współczynników, to wektor niewiadomych, a to wektor wyrazów wolnych. Rozwiązanie układu równań polega na znalezieniu wektora , który spełnia wszystkie równania. Można to zrobić na różne sposoby, np. za pomocą eliminacji Gaussa, wykorzystując regułę Cramera lub metody iteracyjne.

PRZYKŁAD
Rozwiązanie układu równań liniowych za pomocą macierzy polega na zapisaniu równań w postaci macierzowej i wykorzystaniu operacji macierzowych do obliczenia niewiadomych. Przykładowo, rozważmy następujący układ równań: x +2y — z = 7
3x — y +2z = -11
2x + y +3z = 1
Możemy zapisać ten układ równań w postaci macierzowej: | 1 2 -1 | | x | | 7 |
| 3 -1 2 | x | y | = |-11 |
| 2 1 3 | | z | | 1 |
Pierwsza macierz to macierz współczynników, druga macierz to macierz niewiadomych, a trzecia macierz to macierz wyrazów wolnych. Aby rozwiązać ten układ równań za pomocą macierzy, musimy wyznaczyć odwrotność macierzy współczynników i pomnożyć ją przez macierz wyrazów wolnych: | x | | 1 2 -1 |^-1 | 7 | | -1 |
| y | = | 3 -1 2 | x |-11 | = | 3 |
| z | | 2 1 3 | | 1 | | 4 |
Odwrotność macierzy współczynników może zostać wyznaczona przy pomocy algorytmów numerycznych, np. algorytmu Gaussa-Jordana. W tym przykładzie wynikają one z ręki. Zatem rozwiązaniem tego układu równań jest: x = -1, y = 3, z = 4.Włodzimierz Krysicki i Piotr Włodarski, Funkcje wielu
zmiennych, 2006r.

Włodzimierz Krysicki i Piotr Włodarski, Funkcje wielu
zmiennych, 2006r.

Włodzimierz Krysicki i Piotr Włodarski, Funkcje wielu
zmiennych, 2006r.

Włodzimierz Krysicki i Piotr Włodarski, Funkcje wielu
zmiennych, 2006r.

Włodzimierz Krysicki i Piotr Włodarski, Funkcje wielu
zmiennych, 2006r.

Włodzimierz Krysicki i Piotr Włodarski, Funkcje wielu
zmiennych, 2006r.

Włodzimierz Krysicki i Piotr Włodarski, Funkcje wielu
zmiennych, 2006r.

Włodzimierz Krysicki i Piotr Włodarski, Funkcje wielu
zmiennych, 2006r.

Włodzimierz Krysicki i Piotr Włodarski, Funkcje wielu
zmiennych, 2006r.prof. dr hab. Jacek Gulgowski, Operacje na funkcjach w analizie
matematycznej, 2004r.

prof. dr hab. Jacek Gulgowski, Operacje na funkcjach w analizie
matematycznej, 2004r.

prof. dr hab. Jacek Gulgowski, Operacje na funkcjach w analizie
matematycznej, 2004r.

prof. dr hab. Jacek Gulgowski, Operacje na funkcjach w analizie
matematycznej, 2004r.

prof. dr hab. Jacek Gulgowski, Operacje na funkcjach w analizie
matematycznej, 2004r.

prof. dr hab. Jacek Gulgowski, Operacje na funkcjach w analizie
matematycznej, 2004r.

prof. dr hab. Jacek Gulgowski, Operacje na funkcjach w analizie
matematycznej, 2004r.

prof. dr hab. Jacek Gulgowski, Operacje na funkcjach w analizie
matematycznej, 2004r.

prof. dr hab. Jacek Gulgowski, Operacje na funkcjach w analizie
matematycznej, 2004r.

prof. dr hab. Jacek Gulgowski, Operacje na funkcjach w analizie
matematycznej, 2004r.

prof. dr hab. Jacek Gulgowski, Operacje na funkcjach w analizie
matematycznej, 2004r.

prof. dr hab. Jacek Gulgowski, Operacje na funkcjach w analizie
matematycznej, 2004r.

prof. dr hab. Jacek Gulgowski, Operacje na funkcjach w analizie
matematycznej, 2004r.

prof. dr hab. Jacek Gulgowski, Operacje na funkcjach w analizie
matematycznej, 2004r.

prof. dr hab. Jacek Gulgowski, Operacje na funkcjach w analizie
matematycznej, 2004r.prof. Janusz Matkowski, Wstęp do analizy funkcjonalnej,1994r.

prof. Janusz Matkowski, Wstęp do analizy funkcjonalnej,1994r.

prof. Janusz Matkowski, Wstęp do analizy funkcjonalnej,1994r.

prof. Janusz Matkowski, Wstęp do analizy funkcjonalnej,1994r.

prof. Janusz Matkowski, Wstęp do analizy funkcjonalnej,1994r.

prof. Janusz Matkowski, Wstęp do analizy funkcjonalnej,1994r.

prof. Janusz Matkowski, Wstęp do analizy funkcjonalnej,1994r.

prof. Janusz Matkowski, Wstęp do analizy funkcjonalnej,1994r.