Psychoarytmetyka - ebook

Doktor Maria Montessori urodziła się w 1870 roku. Kształciła się w zakresie nauk przyrodniczych, a gdy zdecydowała się na karierę medyczną, w wieku 26 lat ukończyła wydział medycyny na Uniwersytecie w Rzymie. Wyróżniła się tam zdobyciem podwójnego dyplomu doktor nauk medycznych i doktor chirurgii. W 1896 roku doktor Montessori została jedną z pierwszych kobiet we Włoszech i prawdopodobnie jedną z nielicznych kobiet w Europie z dyplomem doktora wydziału medycyny. Były to rzetelne, naukowe podstawy jej przyszłych osiągnięć.

Od 1896 do 1911 roku, a więc przez blisko 15 lat, doktor Montessori praktykowała medycynę i kierowała katedrą higieny i antropologii. W 1898 roku ze względu na kontakt zawodowy z dziećmi zainteresowała się edukacją, a w 1907 roku otworzyła pierwszą instytucję dla dzieci poniżej szóstego roku życia o nazwie Casa dei Bambini, która stała się jej Laboratorium Edukacyjnym. Kolejne lata były okresem intensywnych badań nad dzieciństwem, które przyniosły wspaniałe efekty praktyczne.

W 1909 roku ukazała się jej przełomowa książka pod angielskim tytułem _The Montessori Method_, przetłumaczona na liczne języki i czytana w większości krajów świata. Rok 1913 okazał się pamiętny, ponieważ doktor Montessori wygłosiła wtedy swój pierwszy Międzynarodowy Cykl Wykładów i odwiedziła Stany Zjednoczone. Trzy lata później opublikowane zostało jej kolejne epokowe dzieło, zatytułowane przez angielskich wydawców _The Advanced Montessori Method_.

W 1919 roku doktor Montessori odwiedziła Anglię i zainaugurowała Międzynarodowy Kurs Szkoleniowy w Londynie. Jej podejście rozpowszechniło się we wszystkich krajach Europy; zostało również przyjęte w dominiach brytyjskich, a także w Indiach i Ameryce Południowej. W rezultacie w 1929 roku w Elsynorze powstała organizacja Association Montessori Internationale (A.M.I.), której cel określono następująco: „Rozpowszechnianie wiedzy o tym, jak można pomóc niedojrzałemu dziecku, które usiłuje odkrywać i rozwijać swoje umiejętności, w zadaniu samorealizacji i osiągnięciu pełni ideału rozwoju”.

Proponując doktor Montessori Honorowe Członkostwo w Szkockim Instytucie Edukacyjnym podczas entuzjastycznego spotkania w Edynburgu w 1946 roku, prezes Instytutu powiedział: „Nauczanie to zawód konserwatywny, ale raz na pokolenie pojawia się wybitna postać, która wnosi weń powiew nowego życia, inspirując ludzi do nowych przedsięwzięć i nowych działań. To wielkie osobistości w Historii Edukacji. Wśród nich nikt w naszym pokoleniu nie przewyższa Madame Montessori. Jej nazwisko jest powszechnie znane nie tylko w Szkocji, nie tylko w Europie, lecz w każdej części świata”.

Ten hołd złożył doktor Montessori przywódca instytucji edukacyjnej w takim kraju jak Szkocja, która zawsze należy do awangardy postępu edukacyjnego.

Doktor Montessori, zarówno w kwestii zasad, jak i praktyki, daje ludzkości wielką nadzieję na budowę pokoju i postępu świata na najmocniejszym fundamencie, mianowicie na wolnej i demokratycznej edukacji dzieci Świata.PRZEDMOWA DO POLSKIEGO WYDANIA

Człowiek nie umie już żyć bez liczb. Od daty urodzenia po godzinę najbliższego pociągu, od numeru PESEL po pieniądze i pomiary. Liczbami opisujemy sportowe rekordy świata, muzykę i gospodarkę. Znajomość liczb, wprawne posługiwanie się nimi i zrozumienie rządzących nimi zależności przekładają się na poprawę poziomu życia, przedsiębiorczość i bogactwo. Według kryteriów UNESCO przez analfabetyzm rozumie się nie tylko brak umiejętności czytania i pisania, lecz także brak umiejętności wykonania podstawowych czterech działań matematycznych przed ukończeniem 15. roku życia. Alfabetyzacja, o której szeroko pisała Maria Montessori w _O kształtowaniu się człowieka_ to proces zmniejszający analfabetyzm. Z tej perspektywy możemy spojrzeć także na _Psychoarytmetykę_, gdyż u jej podstaw leży dokładnie ten sam cel, który przyświecał Autorce w innych publikacjach – umożliwienie każdemu osiągnięcie pełni jego potencjału poprzez naturalny rozwój.

Fakt, że pomimo wszelkiej wiedzy, którą dysponujemy, ludzkość nadal jest dotknięta problemem analfabetyzmu, powinien wstrząsnąć każdym dorosłym. Według danych UNESCO ponad połowa dzieci na świecie nie ma dostępu do edukacji. W grupie nastolatków (12 do 14 lat we wspomnianym zestawieniu) szczególnie ujawnia się trend wzrostowy analfabetyzmu u dziewczynek. Sytuacja ta ma jasne uzasadnienie – po pierwsze, w obszarach o niskim poziomie alfabetyzacji zwyczajowo nie kształci się kobiet, po drugie, te, które jednak trafią do szkoły jako kilkuletnie dziewczynki, wraz z pierwszymi oznakami pokwitania stają się żonami i matkami, wtłaczane przez krewnych do reprodukcji kulturowej tej samej tradycji lub generowania przychodu w celu utrzymania rodziny. To pogłębia nie tylko zjawisko marginalizacji kobiet w dostępie do edukacji, lecz także ich pauperyzację i ogólne niezadowolenie z życia. W efekcie kolejne pokolenie może w procesie socjalizacji odziedziczyć – w szerokim tych słów znaczeniu – zamożność lub ubóstwo.

Także w Polsce problem nie traci na aktualności. Profesor Zbigniew Kwieciński pisze: „dla znacznej części młodzieży znaleźć się na progu zasadniczej szkoły zawodowej oznacza poczucie wyrzucenia przez los, przez środowisko, przez szkołę, przez własne zaniedbania, na dramatyczna trajektorię prowadzącą do upadku, do bycia na stałe tym gorszym, tym na dole, stale zagrożonym, a może nigdy szczęśliwym i może zawsze bezradnym w tym kolorowym, migotliwym świecie ofert konsumpcyjnych i ra­dosnych, bawiących się, cieszących się życiem ludzi wykształconych i zamożnych, znanych z ulicy, reklam, seriali telewizyjnych i kolorowych tygodników”.

Raporty UNESCO potwierdzają, że z każdym pokoleniem zwiększa się odsetek dzieci objętych systemem oświaty, jednak wcale nie implikuje to błyskawicznych przemian kulturowych, nadal pozostawiając nielicznym możliwość awansu społecznego. Przemawiając na Kongresie Praw Kobiet w Berlinie w 1896 r., Maria Montessori podnosiła kwestię niesprawiedliwości dotyczącej wynagrodzenia i postulowała, że płaca za tę samą pracę powinna być równa bez względu na płeć. Ponad sto lat później niewspółmierność wynagrodzenia przy świadczeniu takiej samej pracy nadal ciemięży kobiety nawet w krajach wysoko rozwiniętych, utrzymując dysproporcje społeczne i sankcjonując ekonomiczną przemoc jednej grupy względem innej.

Te obszerne zagadnienia o charakterze społecznym zawsze budziły w Marii Montessori poczucie odpowiedzialności, które realizowała poprzez edukację. Zrozumiawszy aspekty funkcjonowania ludzkiej psychiki i zbadawszy naturalną ścieżkę rozwojową człowieka, zaproponowała naukowe, psychologiczne ujęcie pedagogiki – psychopedagogikę. Zauważyła, że edukacja nie jest czymś, co dorosły może „na dziecku” wykonać, lecz jest to proces przyrodzony każdemu człowiekowi i od niego zależny. _Psychoarytmetyka_ stanowi swoisty dowód na to, że tak jak matematyka jest królową nauk, tak Maria Montessori niepodzielnie króluje w udostępnianiu umysłowi człowieka zawiłych procedur matematycznych. Wykorzystując w tym celu zmaterializowane abstrakcje, dr Montessori otwiera przed Czytelnikiem arkana arytmetyki, algebry, proporcji i pomiarów. Choć materiał edukacyjny stworzyła dla dzieci, dorośli uczą się z niego tak samo skutecznie, niejednokrotnie nareszcie w dojrzałym wieku zyskując dostęp do „tajemniczego ogrodu” matematyki.

Zastanówmy się zatem, dlaczego tak wielu ludzi boryka się z tą dyscypliną? Czy rodzimy się z pewnymi predyspozycjami matematycznymi lub ich brakiem? Tym samym pytamy: jak głęboko sięgają korzenie umiejętności matematycznych człowieka? Autorka opisuje zmysł liczby, odnosi się do rozumienia liczebności zbiorów i umiejętności dokonywania szacunków ilościowych. Wyróżnia dwa szczególne etapy poznawania liczb: wstępny, eksploracyjny, oraz pogłębiony, oparty na rozumowaniu. Pierwszy etap tworzy we wczesnych latach życia sensoryczny fundament, pozwalający dziecku zinternalizować takie pojęcia jak ilość, liczba, parzystość liczb, a także podstawowe działania, w tym przyswojenie faktów matematycznych. Drugi, spójny ze swoim poprzednikiem, pogłębia rozumienie i pozwala na wyciąganie wniosków z procedur matematycznych, często przeradzając się w pole pracy dla niczym nieograniczonej wyobraźni dziecka w wieku szkolnym. Na samym końcu, w efekcie zrozumienia, w odróżnieniu od mechanicznego przywołania z pamięci, uczeń przelewa swoją pracę z materiału na papier. Sekret tkwi w sposobie prezentowania abstrakcyjnych dla umysłu człowieka treści, w przygotowaniu otoczenia umożliwiającego uczenie się w zgodzie z charakterystyką psychologiczną właściwą dla swojego wieku, a nie jedynie we wrodzonych predyspozycjach.

Doktor Montessori mówiła o chłonnym umyśle jako o szczególnie uprzywilejowanym stanie rozwoju, czasie, w którym ważą się losy intelektu dziecka. Jeśli jego wyjątkowa wrażliwość na odebranie z otoczenia właśnie tych konkretnych, rzeczywistych, niezbędnych informacji nie może się zrealizować, to kreatywna energia traci swój kierunek, błądzi i na zawsze już zatrzymuje się na niższym szczeblu rozwoju.

Człowiek nie rodzi się z awersją do nauk ścisłych, tak samo jak nie przychodzi na ten świat ze szczególnym zamiłowaniem do dziedzin humanistycznych. To uprzedzenia dorosłego blokują dziecko, upośledzając jego zdolność swobodnego poznawania, a w rezultacie uniemożliwiają dziecku osiągnięcie pełnego potencjału.

Z neurobiologicznego punktu widzenia wykonywanie operacji matematycznych aktywizuje płaty ciemieniowe obydwu półkul mózgu człowieka. Porównywanie ilości, czy to na realnych przedmiotach, czy w formie obrazów ze zbiorem obiektów, podobnie jak najprostsze działania matematyczne, pobudzają właśnie ten obszar. Natomiast przy dokonywaniu skomplikowanych obliczeń, wymagających zapamiętywania kroków pośrednich, wykorzystywana jest pamięć „robocza”. Badania przeprowadzane na noworodkach oraz młodszych niemowlętach wykazują, że subitacja, czyli zdolność szybkiego wzrokowego określenia wielkości danego zbioru bez przeliczania, składa się na wrodzony u człowieka zmysł liczby.

Orientacyjny zmysł liczby występuje zresztą u wielu gatunków zwierząt, które wykorzystują go między innymi do orientacji w odległości, wielkości stada, zasobności terytorium w pożywienie, co sugeruje długą historię ewolucyjną. Jednak tylko ludzie posunęli liczenie do poziomu symboliki i abstrakcji niedostępnego dla innych gatunków. Człowiek przypisał liczbom znaczenia nie tylko ilościowe. Jednym liczbom nadaje się magiczną moc, podczas gdy inne się dyskredytuje: i tak 13 jest postrzegana jako „pechowa”, ale 7 „szczęśliwa”. Chińczycy wystrzegają się 4 (brzmi podobnie do słowa „umierać”), a „wielbią” 9, podczas gdy w Europie celebruje się _cztery_ pory roku, a u Dantego czytać można o _dziewięciu_ kręgach piekła. Do zapisywania liczb używamy cyfr potocznie zwanych arabskimi. Ich prawdziwe korzenie sięgają jednak nie Półwyspu Arabskiego, a Indyjskiego, co jest też tematem jednej z wielkich historii opowiadanych uczniom Montessori na całym świecie.

W szkołach Montessori, niezmiennie od lat, dzieci gorliwie i nieskrępowanie liczą i obliczają absolutnie wszystko. Mario Montessori opisuje fascynującą drogę uczniów szkoły podstawowej Montessori w eseju pod tytułem _Ta okropna matematyka!_. Zanim rozpocznie analizę efektów edukacji Montessori popartych dowodami z klasy pani Steenberghe z Amsterdamu, pyta przewrotnie: „Ale czy na pewno jest okropna?”. Pracując na perforowanej tablicy (_peg board_), uczniowie wyruszyli w matematyczne „nieznane” – obliczając kwadraty liczb naturalnych od 1 do 25. Bardzo szybko, współdziałając, przeszli do sześcianów, ale i to zdawało się nie wyczerpywać ich entuzjazmu. „Ciekawe, jak to wygląda dla czwartej i kolejnych potęg?” zastanawiali się. Głęboko pochłonięci obliczeniami, nieustannie napędzani nowo odkrytymi prawidłowościami, wykonywali działania i weryfikowali nawzajem swoje wyniki. Pani Steenberghe relacjonuje: „tego strumienia nie można już zatrzymać, do pracy dołączyły także te dzieci, które już znały potęgowanie”. Ktoś zaproponował „Nie możemy poprzestać na siódmej potędze, liczmy dalej, aż do dwudziestej piątej potęgi liczb od 1 do 25!”. Liczba rachunków przerastała najśmielsze wyobrażenia, a uczniowie nie zwalniali tempa – przeciwnie – przelewali na papier wszystkie obliczenia, generując mnóstwo notatek.

Oto jak ludzkie tendencje rozwojowe mogą zostać nie tylko uwzględnione przez właściwie przygotowanego dorosłego, lecz przede wszystkim „zaopiekowane” poprzez stworzenie właściwych warunków do ich naturalnej i spontanicznej realizacji. Jednym z tych warunków jest bardzo osobista relacja z najlepszym, najbardziej cierpliwym i wolnym od zmiennych nastrojów nauczycielem – materiałem. Maria Montessori wyjaśnia w tej publikacji: „Materiał (…) nie służy do «nauczania» działań arytmetycznych, a tym bardziej do pomocy w ich wykonywaniu czy ich ułatwiania. Jego celem jest zaangażowanie poprzez ćwiczenia umysłu młodego człowieka, aby myślał i szukał dowodów prawidłowości matematycznych (…). Dziecko studiuje system dziesiętny oraz analizuje i ćwiczy procedury, dzięki czemu nie tylko będzie wykonywało, ale i rozumiało działania arytmetyczne.

Jeśli dziecko zainteresuje się tymi działaniami i zrozumie, w jaki sposób je przeprowadzać, postara się _uzyskać poszukiwane wyniki_ w najszybszy możliwy sposób i przy jak najmniejszym wysiłku.

Następnie zostawi materiał i będzie chciało wykonywać działania bez jego pomocy.

Istotnie – przychodzi moment, w którym dziecko odkłada materiał pomocniczy na bok i wykonuje działania przy użyciu samych liczb, aż do miliardów.

Gdyby jednak materiał ten rzeczywiście służył uproszczeniu obliczeń, uczeń nadal uciekałby się do jego pomocy, co zabierałoby mu więcej sił. Tylko wtedy, gdy wysiłek włożony w naukę oraz jasne i przekonujące fakty sprawią, że dziecko podejmie własną decyzję odnośnie do procedury, wówczas postara się osiągnąć cel jak najkrótszą drogą”.

***

Na przedstawionych dalej fotografiach uwieczniono moment opisany w przytoczonym właśnie fragmencie _Psychoarytmetyki_. Podziękowania za możliwość przedstawienia Czytelnikom prawdziwej pracy składam wszystkim uczniom, z którymi na co dzień zachwycam się matematyką, a szczególnie: Aleksandrowi, Antoninie, Franciszkowi, Jagnie, Marii, Marcie, Nadii i Wiktorii.

Sylwia Camarda

Na pierwszym planie Marta wykonuje działania na liczydle, w głębi Nadia opanowuje system dziesiętny z wykorzystaniem złotego materiału. _Montessori International School Poznań_

Jagna i jej praca po historii o „potędze dwójki”.
_Montessori International School Poznań_

Aleksander oblicza sześcian dwumianu (a+b)³, a następnie w sposób algebraiczny wyprowadza wzór skróconego mnożenia.
_Montessori International School Poznań_

Marysia, Jagna i Franek wyciągają pierwiastek kwadratowy z liczb 6-cyfrowych i analizują przypadek specjalny z zerem w wyniku.
_Montessori International School Poznań_

Wiktoria pracuje „z materiałem” sześcianów.
_Montessori International School Poznań_

Tosia bada zależności między ułamkami o różnych mianownikach, sporadycznie testując je na materiale (na dalszym planie).
_Montessori International School Poznań_

Franciszek wykonuje długie mnożenie obok przygotowanej przez siebie do tego celu warcabnicy, nie zerkając nawet na nią. Po skończonej pracy najzwyczajniej odniósł materiał na miejsce. _Montessori International School Poznań_PRZEDMOWA

_Czuję się zaszczycony, że mogę napisać przedmowę do nowej, fascynującej pozycji w twórczości Marii Montessori: angielskiego wydania jej oryginalnej hiszpańskiej publikacji „Psico-Aritmética”._

_W miarę jak rośnie moje zaangażowanie w edukację Montessori i jej misję, rośnie też moje uznanie dla geniuszu jej twórczyni, której dziedzictwo wciąż nas inspiruje do podejmowania wysiłków dotarcia do jak największej liczby dzieci._

_W wielu swoich dziełach Maria Montessori daje świadectwo pełnego szacunku dla rozwoju człowieka, wyjaśniając swoje pomysły na emancypację edukacji i podkreślając, w jaki sposób skorzystają na tym zarówno jednostki, jak i społeczeństwo. Maria Montessori staje w obronie prawa człowieka do rozwinięcia pełni swojego potencjału i pragnie przekonać do tego czytelników. Na ogół łączy swoje argumenty z przykładami na to, jak zawodzi się dzieci. Autorka wyraźnie pokazuje, że rozwój fizyczny i psychiczny muszą iść ze sobą w parze._

_Jej teksty ujawniają pełną pasji naturę rewolucyjnej wizjonerki, którą była. Autorka ukazuje wartość tego, czego ją nauczyły jej badania i praca. Posługuje się przy tym sugestywnym językiem, ale zawsze trafia w sedno i zawsze towarzyszą temu głębokie, szczere uczucia. To właśnie jej myśli i horyzonty, które przed nami roztacza, uwolniły ją z ograniczeń zwykłej akademickiej edukacji. Była filozofką, psycholożką i obrończynią praw dziecka, a przy tym utalentowaną pisarką._

_Ta książka – „Psychoarytmetyka”_ – _bada psychologiczne aspekty uczenia się w odniesieniu do arytmetyki i matematyki, a także ujawnia, jak można „przygotować” umysł dziecka, aby do wspomnianych tematów podchodziło z radością i głębokim zainteresowaniem. Z „Psychoarytmetyki” dowiadujemy się, jak przedstawić arytmetykę jasno i dokładnie, jak w przyjemny sposób – dzięki wielu przykładom – zaznajomić się z systemem dziesiętnym, pierwiastkiem sześciennym i jego wyciąganiem, a także wzorami algebraicznymi. Montessori ożywia również matematykę, dostarczając spersonalizowanych przykładów, które przemówią do dziecka._

_„Zmysł liczby” budzi obecnie duże zainteresowanie w nauce akademickiej – w tym wśród neurobiologów – ponieważ tematyka ta pozwala dogłębnie zbadać, w jaki sposób ludzki umysł tworzy matematykę. Świadomość ta była zawsze nieodłączną częścią rozmyślań Marii Montessori na temat procesu uczenia się. Sama była utalentowaną matematyczką, zatem nie dziwi fakt, że spora część jej teorii koncentrowała się na tym, jak arytmetyka, geometria i algebra mogą być przedstawione, w jakim otoczeniu wzbudzą zainteresowanie młodych uczniów, którego efektem będą koncentracja i zrozumienie. Dzięki temu idee matematyczne utrwalą się w młodym umyśle i mogą zostać „przywołane”, gdy matematyka pojawi się ponownie w późniejszych latach._

_Mario Montessori stwierdził, przybliżając nam tło powstania tej książki, że dr Montessori opisuje „rozumowanie matematyczne zarezerwowane dla dzieciństwa”. Wskazywano na „coś samo w sobie zaskakującego – że w szkole Montessori liczba i powiązane z nią pojęcia pobudzają dzieci do nauki, wywołując żywotne i entuzjastyczne działania w dziedzinie, w której wszystko było dotąd nudne i męczące. Nie sądziliśmy wcześniej, że logika może się w dzieciństwie rozwinąć tak mocno, jak u tych dzieci”._

_Dzięki doskonałym relacjom osobistym między Montessori a jej hiszpańskimi wydawcami Araluce publikacja ta została wydana w 1934 roku, opatrzona barwnymi ilustracjami i wzorami, co stanowiło w tamtych czasach pewne techniczne wyzwanie. W 2016 roku dzięki pracy i zaangażowaniu Alexandra Henny’ego, dyrektora zarządzającego wydawnictwa Montessori-Pierson i jednego z prawnuków dr Montessori, „Psico-Aritmética” została wydana w języku angielskim. Proces ten był długi i skomplikowany; przysłużyła mu się wyjątkowa współpraca dwójki matematyków, głęboko zainteresowanych edukacją Montessori: profesora Benedetto Scoppolego z rzymskiego Uniwersytetu „Tor Vergata” oraz trenerki Międzynarodowego Stowarzyszenia Montessori (AMI), doktor Kay Baker – oboje udzielali również wskazówek projektantce graficznej Miep van de Manakker przy tworzeniu wielu nowych ilustracji._

_Międzynarodowe Stowarzyszenie Montessori (AMI) jest dumne ze swoich powiązań z tą prestiżową publikacją, której korzenie sięgają 2006 roku, kiedy to hojny grant od pani Orcilii Oppenheimer umożliwił rozpoczęcie ambitnej inicjatywy archiwizacyjnej i wydawniczej. Nadal czerpiemy inspirację z jej gorącego pragnienia, aby książki Montessori trafiły do szerokiej publiczności._

_luty 2016 rok_

_Philip D. O’Brien_

_Przewodniczący Międzynarodowego Stowarzyszenia Montessori (AMI)_PRZYPISY

http://uis.unesco.org/sites/default/files/documents/fs46-more-than-half-children-not-learning-en-2017.pdf

Montessori, Maria (2019). _O kształtowaniu się człowieka_. Przeł. L. Wyganowska. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN.

Por. Park, R. E. (1967). _On social control and collective behavior. Selected papers_, eddited and with an Introduction by R. H. Turner. Chicago-London: University of Chicago Press, s. 194 i nast.

Bourdieu, P. (1986). The forms of capital. W: J. Richardson (red.), _Handbook of theory and research for the sociology of education_, 241–258. Westport, CT: Greenwood.

Kwieciński, Z. (2002). _Wykluczanie_. Toruń: Wydawnictwo UMK, s. 12.

Por. przedmowa w: Montessori, Maria (2020). Co powinieneś wiedzieć o swoim dziecku. Przeł. O. Siara. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, s. XII.

Por. Montessori, Maria (2019). O kształtowaniu się człowieka. Przeł. L. Wyganowska. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, s. 29.

Por. Montessori, Maria (2019). Wykłady londyńskie 1946. Przeł. O. Siara. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN.

Tamże.

Por. Montessori, Maria _Sekret dzieciństwa_ (2018, przeł. L. Wyganowska), _Wykłady londyńskie_ 1946 (2019, przeł. O. Siara), _Dziecko w rodzinie_ (2020, przeł. L. Wyganowska). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN.

Brożek, B., Hohol, M. (2014). _Umysł matematyczny._ Kraków: Copernicus Center Press.

Por. s. 12.

Po polsku „liczyć”, czyli wymieniać liczby w kolejności znaczy to samo co dokonywać obliczeń. Aby dokonać rozróżnienia pomiędzy tymi czynnościami w niniejszej publikacji przyjęto, że za każdym razem, gdy jest mowa o przeliczaniu, stosuje się słowo „liczenie” (liczę od 1 do 10), a w sytuacjach gdy odnosimy się do wykonywania działań, stosuje się słowo „obliczenie” (obliczam sumę dwóch składników).

Montessori, Mario (1960). _Those Horrible Mathematics!_ Amsterdam: AMI Communications.

Termin zaproponowany przez Marię Montessori został następnie rozwinięty przez jej syna. Por. Montessori, Mario (1956). _Tendencies of Man_. Amsterdam: AMI.

Por. s. 133–134.

Por. s. 110.

Por. s. 15 i kolejne.

Por. s. 255 i kolejne.

Por. rozdział 7.

Por. s. 251.

Por. s. 219 i kolejne.