Święta geometria dla początkujących – Ukryty język stworzenia - ebook

Rozdział 1. Czym jest święta geometria?

5

Rozdział 2. Alfabet geometrii

16

Rozdział 3. Geometria w historii i kulturze

31

Rozdział 4. Punkt, środek i okrąg

47

Rozdział 5. Vesica piscis, Ziarno Życia i Kwiat

Życia

61

Rozdział 6. Trójkąt, kwadrat, pięciokąt i sześciokąt

76

Rozdział 7. Spirala, ciąg Fibonacciego i złoty

podział

91

Rozdział 8. Symetria, rytm i wzory natury

106

Rozdział 9. Bryły platońskie

121

Rozdział 10. Sześcian Metatrona, merkaba i

współczesne systemy

136

Rozdział 11. Mandale, jantry, labirynty i rozety

149

Rozdział 12. Geometria w naturze, sztuce i

architekturze

163

Rozdział 13. Mity, odpowiedzialność i dalsza droga

176

✦ 3 ✦ROZDZIAŁ 1. CZYM JEST ŚWIĘTA

geometria?

Święta geometria zaczyna się od bardzo prostego

doświadczenia. Patrzysz na okrąg narysowany cyrklem, na

układ płatków kwiatu, na symetrię płatka śniegu, na

proporcje budowli albo na wzór powstający wtedy, gdy

kilka kół zachodzi na siebie. Widzisz w tym porządek. Nie

musi to jeszcze oznaczać ani religii, ani tajemnicy. To po

prostu moment, w którym człowiek zauważa, że świat nie

składa się wyłącznie z przypadkowych form. Są w nim

powtórzenia, rytmy, kierunki, proporcje i relacje.

Najprostsza definicja świętej geometrii brzmi więc tak:

jest to sposób patrzenia na figury, proporcje i wzory, który

łączy wiedzę geometryczną z pytaniami o znaczenie,

harmonię, naturę oraz miejsce człowieka w świecie. Warto

od razu doprecyzować, że święta geometria nie jest

odrębną gałęzią matematyki, taką jak algebra, statystyka

czy geometria analityczna. Nie jest też jedną, zamkniętą

nauką z jednym podręcznikiem, niezmiennym zestawem

zasad i jednolitą definicją obowiązującą we wszystkich

kulturach. To raczej szerokie określenie używane wtedy,

gdy formy geometryczne są traktowane nie tylko jako

✦ 5 ✦narzędzia do mierzenia i konstruowania, lecz także jako

nośniki idei, symboli i ludzkich doświadczeń. Okrąg może

być w matematyce zbiorem punktów równo oddalonych

od środka. W architekturze może być podstawą kopuły,

rozety lub łuku. W symbolice może kojarzyć się z całością,

cyklem, słońcem, niebem, jednością albo powrotem.

Wszystkie te sposoby patrzenia mogą istnieć obok siebie, o

ile nie pomylimy ich ze sobą. Geometria w swoim

podstawowym znaczeniu jest nauką o kształtach,

wielkościach, położeniu i relacjach w przestrzeni. Pyta

między innymi o to, czym jest punkt, linia, płaszczyzna,

kąt, okrąg, trójkąt, wielokąt, bryła, proporcja i symetria.

Bada zależności, które można opisać, obliczyć albo

udowodnić. Punkt nie ma długości ani szerokości, ale

pozwala określić położenie. Dwa punkty wyznaczają linię.

Z linii i kątów można budować figury. Z figur można

tworzyć wzory, konstrukcje i bardziej złożone układy. To

prosty alfabet, z którego powstają zarówno szkolne

rysunki, jak i plany domów, mostów, urządzeń, map,

modeli naukowych oraz dzieł sztuki. Geometria nie

wymaga wiary. Jeśli promień okręgu ma określoną

długość, każdy punkt należący do tego okręgu znajduje się

w tej samej odległości od środka. Jeśli narysujesz sześć

okręgów o takim samym promieniu wokół jednego

okręgu, ich środki utworzą regularny sześciokąt. Jeśli

podzielisz pełny obrót na cztery równe części, otrzymasz

cztery kąty proste. Takie zależności pozostają prawdziwe

✦ 6 ✦niezależnie od tego, czy ktoś uważa je za piękne,

praktyczne albo symboliczne. Właśnie dlatego geometria

jest tak dobrym punktem wyjścia do rozmowy o świecie:

oferuje coś trwałego, co można sprawdzić własnym okiem,

narysować na kartce i powtórzyć. Określenie „święta”

pojawia się wtedy, gdy człowiek zaczyna nadawać figurom

znaczenie wykraczające poza sam pomiar. Dzieje się tak

na przykład w miejscach kultu, w dekoracjach świątyń, w

mandalach, rozetach, labiryntach, planach ogrodów,

ornamentach, symbolach religijnych i przedmiotach

rytualnych. Nie znaczy to, że sama figura staje się

magiczna albo że przestają obowiązywać prawa

matematyki. Oznacza raczej, że dana społeczność, epoka

lub osoba dostrzega w niej szczególny porządek i

wykorzystuje go, aby opowiedzieć o czymś ważnym.

Człowiek od dawna budował, zdobił i porządkował

przestrzeń za pomocą osi, okręgów, kwadratów, gwiazd,

spirali czy układów symetrycznych. Takie formy dobrze

nadają się do wyrażania idei równowagi, kierunku,

centrum, granicy, przemiany, świata ziemskiego i

niebiańskiego, początku oraz końca. Świątynia może mieć

wyraźnie zaznaczoną oś prowadzącą od wejścia do

najważniejszego miejsca. Kopuła może kierować wzrok ku

górze. Kolisty wzór może tworzyć wrażenie skupienia

wokół środka. Kwadrat może kojarzyć się ze stabilnością,

ponieważ ma cztery równe boki i cztery kąty proste.

Trójkąt może być użyty do pokazania relacji trzech

✦ 7 ✦elementów. Są to jednak znaczenia nadawane figurom

przez ludzi, a nie ukryte komunikaty zapisane w kształtach

niezależnie od kultury i czasu. To ważne rozróżnienie

będzie wracało w całej książce. Aby dobrze rozumieć

świętą geometrię, warto przyjąć trzy sposoby patrzenia:

matematyczny, historyczny i symboliczny. Pierwszy z nich

pyta: co dokładnie widzę i jakie relacje można tu

sprawdzić? Gdy patrzymy matematycznie, nie wystarczy

powiedzieć, że coś jest harmonijne. Sprawdzamy, czy linie

są rzeczywiście równe, czy okręgi mają ten sam promień,

czy figura ma osie symetrii, czy kąty odpowiadają sobie,

czy konstrukcję da się wykonać cyrklem i linijką.

Matematyka jest wymagająca, bo opiera się na definicjach,

dowodach i precyzji. Nie pyta, czy wzór jest duchowy,

piękny albo poruszający. Pyta, czy jego właściwości są

prawdziwe i powtarzalne. Drugi sposób patrzenia jest

historyczny. Tutaj pytamy: kto stworzył dany wzór, kiedy

go użyto, gdzie się pojawił, jakie źródła potwierdzają jego

znaczenie i w jakim kontekście funkcjonował? To bardzo

potrzebne pytania, ponieważ internet często miesza fakty

z atrakcyjnymi opowieściami. Samo podobieństwo dwóch

ornamentów nie dowodzi, że ich twórcy mieli kontakt,

należeli do jednej tradycji albo rozumieli symbol w taki

sam sposób. Historia wymaga świadectw: zabytków,

dokumentów, opisów, datowania, badań archeologicznych

i wiedzy o kulturze. Trzeci sposób patrzenia jest

symboliczny. Dotyczy tego, co dana figura może znaczyć

✦ 8 ✦dla człowieka lub wspólnoty. Symboliczna interpretacja

może być osobista, religijna, filozoficzna, artystyczna albo

medytacyjna. Ktoś może patrzeć na okrąg i myśleć o

jedności. Ktoś inny zobaczy w nim cykl pór roku, zegar,

tarczę słońca albo po prostu figurę o określonych

właściwościach. Żadna z tych reakcji nie musi być błędna,

ale nie każda jest twierdzeniem naukowym. Jeśli mówimy:

„okrąg ma wszystkie punkty równo oddalone od środka”,

opisujemy fakt geometryczny. Jeśli mówimy: „okrąg

symbolizuje pełnię”, przedstawiamy interpretację. Jeśli

mówimy: „okrąg był używany w określonym zabytku z

określonego okresu”, przedstawiamy twierdzenie

historyczne, które powinno mieć źródło. Umiejętność

rozpoznawania, z którym z tych trzech poziomów mamy

do czynienia, jest jednym z najważniejszych narzędzi

początkującego czytelnika. Dzięki niej można zachować

jednocześnie ciekawość i zdrowy rozsądek. Jedno z

częstych pytań brzmi: dlaczego podobne figury pojawiają

się w tak wielu kulturach? Dlaczego widzimy okręgi,

spirale, trójkąty, kwadraty, rozety, gwiazdy i symetryczne

ornamenty w różnych częściach świata? Najprostsza

odpowiedź jest taka, że są to formy łatwo dostępne dla

ludzkiego oka, dłoni i narzędzi. Okrąg można narysować

za pomocą sznurka, patyka lub cyrkla. Prostą linię można

wyznaczyć napiętym sznurem. Kąt prosty można uzyskać

dzięki prostym metodom mierniczym. Symetria pojawia

się naturalnie wtedy, gdy człowiek chce stworzyć

✦ 9 ✦przedmiot równy po obu stronach osi. Wielokątne i koliste

wzory są też widoczne w przyrodzie: w kwiatach,

kryształach, plastrach miodu, muszlach, falach, układach

liści i wielu strukturach biologicznych. Nie oznacza to, że

natura „rysuje” idealne figury zgodnie ze szkolnym

zeszytem. Oznacza raczej, że procesy wzrostu, układania

się materii, napięcia, ruchu i powtarzania mogą tworzyć

regularności, które człowiek zauważa, upraszcza i przenosi

do swojej sztuki. Podobne figury mogą więc pojawiać się

niezależnie od siebie, ponieważ ludzie mają podobne oczy,

podobne potrzeby praktyczne i podobną zdolność

dostrzegania porządku. Budowniczy w różnych miejscach

świata musieli wyznaczać osie, dzielić przestrzeń, mierzyć

pola, tworzyć stabilne konstrukcje i dekorować

powierzchnie. Rzemieślnicy lubili powtarzalne wzory, bo

mogły być jednocześnie piękne, praktyczne i łatwe do

rozwijania. Artyści wykorzystywali symetrię, ponieważ

daje poczucie ładu, ale świadomie wprowadzali też drobne

różnice, by kompozycja nie stała się martwa.

Podobieństwo nie jest zatem automatycznym dowodem

jednej ukrytej tradycji. Czasem może świadczyć o

wymianie kulturowej, czasem o wspólnych problemach

technicznych, a czasem po prostu o niezależnym odkryciu

tej samej prostej zasady. Pytanie, czy geometria jest

językiem stworzenia, brzmi pięknie i od wieków pobudza

wyobraźnię. Można na nie odpowiedzieć na dwa sposoby.

W sensie naukowym matematyka, w tym geometria, jest

✦ 10 ✦jednym z najskuteczniejszych języków opisu wielu zjawisk

w przyrodzie. Dzięki matematycznym modelom można

opisywać ruch planet, fale, światło, kształty kryształów,

budowę cząsteczek, konstrukcje inżynieryjne, przepływ

cieczy, wzrost populacji i niezliczone inne procesy.

Geometria pomaga mówić o przestrzeni, kierunku,

odległości, symetrii, skali oraz zmianie. Jest więc

niezwykle użytecznym narzędziem rozumienia pewnych

aspektów rzeczywistości. W sensie symbolicznym

określenie „język stworzenia” jest metaforą. Wyraża

zachwyt nad tym, że w świecie można odnaleźć

powtarzalne wzory i że ludzki umysł potrafi je

rozpoznawać. Dla jednej osoby ta metafora będzie mówiła

o boskim porządku, dla innej o pięknie praw natury, dla

jeszcze innej o niezwykłej zdolności człowieka do

tworzenia modeli. Żadna figura nie daje nam

automatycznie pełnej odpowiedzi na pytanie, skąd wziął

się wszechświat, jaki jest sens życia albo jaka jest natura

świadomości. Geometria może jednak uczyć uważności.

Kiedy obserwujemy relacje między kształtami, zaczynamy

widzieć, że nawet z prostych elementów mogą powstawać

złożone układy. Z jednego punktu może wyjść linia. Z linii

może powstać figura. Z kilku okręgów może powstać

rozeta. Z prostego podziału może powstać ornament, plan

budowli albo wzór, który porusza nas estetycznie. W tym

znaczeniu geometria może stać się językiem obserwacji:

pomaga opisywać to, co widzimy, i uczy dostrzegać relacje,

✦ 11 ✦które wcześniej wydawały się niewidoczne. W książce o

świętej geometrii szczególnie ważne jest oddzielanie tego,

co można potwierdzić, od tego, co pozostaje interpretacją.

Można potwierdzić, że figury geometryczne mają

określone właściwości. Można sprawdzić, że sześciokąt

foremny da się skonstruować za pomocą okręgów o tym

samym promieniu. Można zmierzyć proporcje budynku,

policzyć osie symetrii wzoru, porównać układy

ornamentów i zbadać ich historię. Można również

potwierdzić, że ludzie w wielu epokach używali geometrii

w budownictwie, sztuce, rzemiośle, astronomii, mierzeniu

ziemi i tworzeniu symboli. Można także uczciwie

powiedzieć, że niektóre figury mają mocny wpływ

estetyczny: symetria może dawać poczucie równowagi,

powtarzalność może uspokajać, a skomplikowana rozeta

może zachęcać do skupienia. Nie da się jednak na tej

podstawie automatycznie potwierdzić, że każda figura

posiada obiektywną energię, że konkretny wzór

gwarantuje zmianę życia, że wszystkie dawne budowle

zostały zaprojektowane według jednego sekretnego kodu

albo że symbol odczytywany dziś musiał mieć identyczne

znaczenie tysiące lat temu. Takie twierdzenia wymagają

znacznie mocniejszych dowodów niż podobieństwo

obrazów, atrakcyjna opowieść lub osobiste odczucie.

Osobiste doświadczenie ma wartość dla osoby, która go

przeżywa, ale nie staje się przez to automatycznie

uniwersalnym faktem. Możesz patrzeć na mandalę i czuć

✦ 12 ✦spokój. Możesz rysować okręgi, by się skoncentrować.

Możesz dostrzec w proporcjach inspirację do własnej

pracy twórczej. Wszystko to jest realne jako

doświadczenie, ale warto nazywać je uczciwie: jest to

przeżycie, praktyka albo interpretacja, a nie dowód

naukowy. Początkujący często wpadają w kilka podobnych

nieporozumień. Pierwsze polega na przekonaniu, że aby

interesować się świętą geometrią, trzeba przyjąć określoną

religię lub światopogląd. Nie trzeba. Można uczyć się jej

jako części historii sztuki, matematyki, architektury,

rysunku, projektowania lub filozofii. Drugi błąd polega na

myśleniu, że wszystko, co stare, musi być tajemne,

głębokie i ukryte przed współczesnym człowiekiem.

Dawne kultury rzeczywiście posiadały imponującą wiedzę

praktyczną, artystyczną i astronomiczną, ale nie musimy

zamieniać każdej techniki budowlanej w zagadkę o

nadprzyrodzonym źródle. Trzecie nieporozumienie to

traktowanie pięknego wzoru jako dowodu prawdziwości

dowolnej teorii. Piękno może inspirować, lecz samo w

sobie nie zastępuje badania. Czwarty błąd dotyczy tak

zwanego złotego podziału. Jest to rzeczywista relacja

matematyczna, ciekawa i ważna w wielu dziedzinach, ale

nie jest uniwersalnym kodem obecnym dosłownie

wszędzie. Nie każda roślina, obraz, budynek czy ludzkie

ciało zostały stworzone według tej proporcji. Piąte

nieporozumienie to przekonanie, że nazwa figury zawsze

mówi nam, co ona znaczy. Na przykład współczesna

✦ 13 ✦nazwa wzoru nie musi być nazwą używaną przez jego

dawnych twórców. Szóste polega na szukaniu jednej,

obowiązkowej interpretacji. Symbol może mieć różne

znaczenia w różnych miejscach i dla różnych ludzi.

Siódme to zniechęcenie wynikające z przekonania, że

najpierw trzeba zrozumieć wszystko. Nie trzeba. Święta

geometria nie jest egzaminem z tajemnej wiedzy. Najlepiej

zaczynać od jednej figury, jednego pytania i jednego

rysunku. Zamiast zapamiętywać dziesiątki gotowych

znaczeń, warto nauczyć się patrzeć. Czy figura ma środek?

Czy jest symetryczna? Ile ma boków, osi lub

powtarzających się elementów? Jakie relacje powstają

między jej częściami? Czy wzór daje się skonstruować? W

jakim miejscu został użyty? Co wiem na pewno, a co

jedynie dopowiadam? Taka postawa chroni przed

łatwowiernością, ale nie odbiera radości z odkrywania. W

dalszej części tej książki będziemy budować wiedzę krok

po kroku. Najpierw poznamy podstawowy alfabet

geometrii: punkt, linię, płaszczyznę, okrąg, kąt, wielokąt,

proporcję i symetrię. Następnie przyjrzymy się figurom,

które najczęściej pojawiają się w rozmowach o świętej

geometrii: okręgowi, vesica piscis, Ziarnu Życia, Kwiatowi

Życia, trójkątowi, kwadratowi, pięciokątowi,

sześciokątowi, gwieździe i spirali. Zobaczymy, jak

powstają, jakie mają rzeczywiste właściwości oraz

dlaczego bywają dla ludzi ważne. Potem przejdziemy do

proporcji, konstrukcji wykonywanych cyrklem i linijką,

✦ 14 ✦rytmu, osi oraz kompozycji. Przyjrzymy się także temu, jak

geometria działa w architekturze, ornamentyce, sztuce,

przyrodzie i projektowaniu. Będziemy odróżniać fakty

matematyczne od informacji historycznych, a informacje

historyczne od współczesnych interpretacji

symbolicznych. Nie po to, by pozbawić tę dziedzinę

tajemnicy, lecz po to, by jej tajemnica nie była oparta na

pomyłkach. Najcenniejsze pytanie nie brzmi bowiem: „Czy

ten wzór ma ukrytą moc?”, lecz: „Co dokładnie widzę, jak

to powstało i co ten obraz może dla mnie znaczyć?”. Jeśli

nauczysz się zadawać te trzy pytania, zaczniesz korzystać

ze świętej geometrii w sposób świadomy. Nie będziesz

musiał wybierać między chłodną matematyką a

zachwytem nad symbolem. Zobaczysz, że precyzja może

pogłębiać zachwyt, historia może nadać obrazowi

kontekst, a osobista refleksja może pozostać wartościowa

nawet wtedy, gdy nie udaje naukowego dowodu. Od tego

miejsca rozpoczyna się nasza droga: od prostego punktu,

przez linię i okrąg, aż po coraz bardziej złożone wzory,

które od tysięcy lat pomagają ludziom mierzyć, budować,

tworzyć i zadawać pytania o porządek świata.

✦ 15 ✦ROZDZIAŁ 2. ALFABET GEOMETRII

Każdy język zaczyna się od prostych znaków. Z liter

powstają słowa, ze słów zdania, a ze zdań opowieści,

pytania i idee. Geometria działa podobnie. Zanim

zaczniemy przyglądać się rozbudowanym mandalom,

rozetom, spiralom, Kwiatowi Życia czy skomplikowanym

ornamentom, warto poznać ich podstawowy alfabet. Nie

chodzi o to, aby od razu zapamiętać wiele trudnych nazw

albo wykonywać skomplikowane obliczenia. Chodzi o

nauczenie się patrzenia. Kiedy rozumiesz, czym jest punkt,

linia, płaszczyzna, okrąg, kąt, środek, symetria i proporcja,

przestajesz widzieć wzór jako przypadkową dekorację.

Zaczynasz dostrzegać, z jakich prostych decyzji został

zbudowany. Widzisz, gdzie znajduje się centrum, co się

powtarza, w jakim kierunku biegną linie, co jest odbiciem,

co obrotem, a co świadomą zmianą rytmu. To właśnie te

proste elementy pozwalają później zrozumieć bardziej

złożoną geometrię bez poczucia, że patrzysz na coś

niedostępnego lub tajemniczego tylko dlatego, że jest

skomplikowane. Pierwszym znakiem tego alfabetu jest

punkt. W matematyce punkt jest położeniem, ale nie ma

własnej długości, szerokości ani wysokości. Nie jest więc

dosłownie małą kropką na papierze, choć właśnie kropką

✦ 16 ✦najczęściej go oznaczamy. Kropka jest tylko widocznym

znakiem pomagającym nam wskazać coś, co w idealnym

sensie nie ma rozmiaru. Może to brzmieć dziwnie,

ponieważ wszystko, co rysujemy, ma jakąś grubość. Nawet

najcieńszy ślad ołówka zajmuje miejsce. W geometrii nie

chodzi jednak o fizyczny ślad, lecz o ideę dokładnego

miejsca. Punkt może oznaczać środek okręgu, róg trójkąta,

początek drogi, miejsce przecięcia dwóch linii albo pozycję

gwiazdy na mapie nieba. Jest prosty, ale niezwykle ważny,

ponieważ bez punktów trudno byłoby określić położenie

czegokolwiek. Możesz wyobrazić sobie punkt jako

moment skupienia. W sztuce wzrok często zatrzymuje się

na jednym szczególnym miejscu obrazu. W architekturze

może nim być wejście, środek kopuły, ołtarz, okno lub

znak wyznaczający oś budowli. W osobistej refleksji punkt

może kojarzyć się z początkiem, nasieniem, możliwością

albo centrum uwagi. Są to już jednak skojarzenia

symboliczne. Geometrycznie punkt pozostaje po prostu

miejscem. Ta prostota jest jego siłą. Gdy narysujesz jeden

punkt na pustej kartce, niewiele się jeszcze dzieje. Gdy

zaznaczysz drugi punkt, pojawia się relacja. Możesz

zapytać, jak daleko leżą od siebie, czy są na tej samej

wysokości, czy prowadzi między nimi najkrótsza droga i

czy mogą stać się początkiem większej figury. Dwa punkty

pozwalają nam przejść do kolejnego elementu alfabetu,

czyli linii. W codziennym języku słowem „linia” nazywamy

prawie każdy dłuższy ślad: linię na kartce, linię horyzontu,

✦ 17 ✦linię metra, linię włosów lub kolejkę ludzi. W geometrii

warto używać tego pojęcia dokładniej. Linia prosta jest

idealnym obiektem, który nie ma grubości i może

rozciągać się bez końca w obu kierunkach. Na kartce nie

jesteśmy w stanie narysować nieskończonej linii, dlatego

rysujemy jedynie jej fragment. Taki ograniczony fragment

między dwoma punktami nazywa się odcinkiem. Jeśli linia

zaczyna się w jednym punkcie i biegnie dalej tylko w jedną

stronę, mówimy o półprostej. Te trzy pojęcia są podobne,

ale nie są identyczne. Linia nie ma początku ani końca,

odcinek ma dwa końce, a półprosta ma jeden początek. Ta

różnica może wydawać się niewielka, ale pomaga

uporządkować myślenie. Kiedy budujesz wzór,

potrzebujesz wiedzieć, czy prowadzisz linię przez całą

kompozycję, czy łączysz dwa wybrane punkty, czy

wyznaczasz kierunek wychodzący ze środka. Linia jest

drogą pomiędzy punktami, ale jest również narzędziem

dzielenia przestrzeni. Może wyznaczać oś, granicę,

kierunek, krawędź, promień albo połączenie. Pozioma

linia często daje wrażenie spokoju i stabilności, ponieważ

kojarzy się z ziemią oraz horyzontem. Pionowa może

sugerować wzrost, równowagę albo połączenie góry i dołu.

Linia ukośna wprowadza ruch, napięcie lub dynamikę.

Linia falista może kojarzyć się z przepływem, a spiralna z

ruchem wokół centrum. Są to wrażenia estetyczne, które

ludzie często odbierają podobnie, ale nie są one

obowiązkowym prawem natury. Geometrycznie linia jest

✦ 18 ✦przede wszystkim relacją kierunku. Kiedy kilka linii

spotyka się w jednym miejscu, powstają kąty. Kiedy linie

zamykają przestrzeń, tworzą figury. Kiedy linie powtarzają

się według określonej zasady, budują wzór. Wszystko to

dzieje się na płaszczyźnie. Płaszczyzna jest kolejnym

podstawowym pojęciem. Najprościej można powiedzieć,

że jest to idealnie płaska powierzchnia rozciągająca się bez

końca w dwóch wymiarach: na długość i na szerokość.

Kartka papieru przypomina płaszczyznę, ale nią nie jest w

ścisłym sensie, ponieważ ma określoną wielkość, grubość i

brzegi. Podobnie powierzchnia stołu, ekranu, ściany czy

podłogi może być praktycznym przybliżeniem płaszczyzny.

W geometrii płaszczyzna nie ma końców ani grubości. To

właśnie na niej rysujemy punkty, linie i figury płaskie.

Dzięki pojęciu płaszczyzny możemy zrozumieć, że trójkąt,

kwadrat, okrąg czy rozeta nie są po prostu obrazkami. Są

układami punktów i linii znajdującymi się w tej samej

przestrzeni. Płaszczyzna daje figurze miejsce do istnienia.

Bez niej nie moglibyśmy mówić o tym, co jest wewnątrz,

na zewnątrz, obok, nad, pod, po lewej stronie albo po

prawej stronie. W praktyce projektowania płaszczyzna jest

polem kompozycji. Gdy tworzysz ornament, wybierasz,

które miejsca pozostaną puste, które zostaną wypełnione,

gdzie pojawi się środek, a gdzie granica. Pusta przestrzeń

nie jest brakiem. Jest częścią wzoru, ponieważ pozwala

oczom odpocząć i podkreśla elementy najważniejsze. W

świętej geometrii często spotkasz kompozycje budowane

✦ 19 ✦na jednej płaszczyźnie, ale warto pamiętać, że geometria

może także opisywać bryły i przestrzeń trójwymiarową. Na

razie jednak zaczynamy od świata płaskich figur, ponieważ

to one są najłatwiejsze do narysowania i obserwowania.

Jedną z najważniejszych figur płaskich jest okrąg. W

mowie potocznej ludzie często używają słów „okrąg” i

„koło” wymiennie, ale w geometrii oznaczają one coś

trochę innego. Okrąg to sama linia tworząca zamkniętą

krzywą. Każdy punkt tej linii znajduje się w tej samej

odległości od jednego punktu zwanego środkiem. Koło

natomiast to cała powierzchnia ograniczona przez okrąg,

czyli wszystko, co znajduje się wewnątrz tej granicy razem

z samą granicą. Można to porównać do ogrodu otoczonego

płotem. Płot odpowiada okręgowi, a teren wewnątrz płotu

odpowiada kołu. Różnica jest prosta, ale bardzo

użyteczna. Jeśli mówisz o obwodzie, masz na myśli

długość linii granicznej. Jeśli mówisz o powierzchni,

interesuje Cię obszar wewnątrz. Okrąg jest figurą

wyjątkową, ponieważ nie ma rogów ani wyróżnionego

kierunku. Możesz go obracać, a nadal będzie wyglądał tak

samo. Każdy promień, czyli odcinek łączący środek z

dowolnym punktem okręgu, ma tę samą długość. Średnica

jest odcinkiem przechodzącym przez środek i łączącym

dwa przeciwległe punkty okręgu. Jej długość jest dwa razy

większa niż długość promienia. To proste zależności, ale

właśnie dzięki nim okrąg tak dobrze nadaje się do

budowania regularnych konstrukcji. Cyrkiel pozwala

✦ 20 ✦narysować okrąg, ponieważ utrzymuje stałą odległość

między środkiem a końcówką rysującą. Gdy przesuwasz

środek i zachowujesz ten sam promień, kolejne okręgi

zaczynają się przecinać. Punkty przecięcia stają się

nowymi punktami konstrukcyjnymi. Z kilku takich decyzji

może powstać rozeta, sześciokąt, vesica piscis, Ziarno

Życia albo bardziej złożony ornament. W symbolice okrąg

bywa łączony z jednością, cyklem, niebem, słońcem,

ochroną lub pełnią, lecz najpierw warto zobaczyć jego

geometryczną naturę: jest równą odległością od środka

powtórzoną we wszystkich kierunkach. Kolejnym ważnym

pojęciem jest kąt. Kąt powstaje wtedy, gdy dwie półproste

mają wspólny początek. Ten wspólny punkt nazywa się

wierzchołkiem kąta. Kąt nie jest długością żadnej z linii.

Jest miarą obrotu potrzebnego, aby przejść od jednego

kierunku do drugiego. To właśnie dlatego możemy mówić

o kątach małych i dużych, nawet jeśli ich ramiona są

krótkie albo bardzo długie. Najczęściej mierzymy kąty w

stopniach. Pełny obrót ma trzysta sześćdziesiąt stopni, pół

obrotu sto osiemdziesiąt stopni, a ćwierć obrotu

dziewięćdziesiąt stopni. Kąt o mierze dziewięćdziesięciu

stopni nazywa się prostym. Jest bardzo ważny w

budownictwie, rysunku technicznym i codziennych

przedmiotach, ponieważ pomaga tworzyć stabilne,

uporządkowane układy. Kąty mniejsze niż

dziewięćdziesiąt stopni są ostre, a większe od

dziewięćdziesięciu i mniejsze od stu osiemdziesięciu

✦ 21 ✦stopni są rozwarte. Nie musisz od razu uczyć się

wszystkich nazw, ale warto zacząć zauważać kierunki. Czy

linie wzoru rozchodzą się szeroko, czy zbiegają pod małym

kątem? Czy kompozycja jest oparta na czterech

kierunkach, sześciu, ośmiu czy dwunastu? Czy promienie

wychodzą ze środka równomiernie? W wielu ornamentach

to właśnie regularny podział pełnego obrotu tworzy

poczucie rytmu. Jeśli podzielisz okrąg na cztery równe

części, otrzymasz układ oparty na kierunkach góra, dół,

lewo i prawo. Jeśli podzielisz go na sześć równych części,

otrzymasz kierunki charakterystyczne dla sześciokąta

foremnego. Jeśli zastosujesz osiem równych podziałów,

powstanie gwiazda o ośmiu ramionach albo rozeta

ośmiokątna. Kąt jest więc nie tylko szkolnym zadaniem z

kątomierzem. Jest sposobem organizowania kierunku,

ruchu i relacji pomiędzy liniami. Gdy linie i kąty zamykają

część płaszczyzny, powstają wielokąty. Wielokąt to figura

zbudowana z odcinków, które łączą się końcami i tworzą

zamknięty obwód. Najprostszy wielokąt to trójkąt. Ma trzy

boki, trzy wierzchołki i trzy kąty. Jest jedną z najbardziej

stabilnych figur, dlatego tak często pojawia się w

konstrukcjach. Jeśli połączysz trzy punkty, które nie leżą

na jednej linii, otrzymasz trójkąt. Możesz zmieniać

długości jego boków i wielkości jego kątów, ale dopóki ma

trzy boki, pozostaje trójkątem. Trójkąt równoboczny ma

wszystkie boki i kąty równe. Trójkąt równoramienny ma

dwa boki równej długości. Trójkąt prostokątny ma jeden

✦ 22 ✦