Szczególna teoria względności i klasyczna teoria pola - ebook

Wstęp

Niniejsza książka jest kolejną częścią serii opartej na materiale prezentowanym w wykładach internetowych z cyklu Teoretyczne minimum. Art Friedman, który razem ze mną ją napisał, był jednym ze słuchaczy tych wykładów. Nie ulega wątpliwości, że książka ogromnie zyskała na tym, iż Art dopiero poznawał prezentowane zagadnienia i był szczególnie wyczulony na problemy, które mogą sprawiać kłopot początkującym. Podczas jej pisania doskonale się bawiliśmy i staraliśmy się zawrzeć w niej przynajmniej niektóre dowcipy, które tak bardzo nas rozśmieszały. Jeśli jednak okażą się niezrozumiałe, to proszę nam wybaczyć.

W dwóch poprzednich książkach tej serii omówiliśmy mechanikę klasyczną i podstawy mechaniki kwantowej. Do tej pory jednak ani słowem nie wspomnieliśmy o świetle, a to dlatego, że jest ono zjawiskiem relatywistycznym, czyli związanym ze szczególną teorią względności. Naszym celem w tej książce będzie przedstawienie właśnie szczególnej teorii względności i klasycznej teorii pola. W kontekście szczególnej teorii względności klasyczna teoria pola sprowadza się do teorii elektromagnetyzmu, która opisuje fale, siły działające na cząstki obdarzone ładunkiem i tym podobne. Zaczniemy jednak od szczególnej teorii względności.

Leonard Susskind

* * *

Moi rodzice, jako dzieci imigrantów, byli dwujęzyczni. Nauczyli nas kilku słów i wyrażeń w jidysz, ale w gruncie rzeczy zarezerwowali ten język dla siebie, głównie po to, by rozmawiać o sprawach, które nie były przeznaczone dla uszu dzieci. Wielu takim tajemniczym rozmowom rodziców często towarzyszył ich głośny i perlisty śmiech.

Jidysz jest językiem bardzo ekspresyjnym. Doskonale nadaje się zarówno do tworzenia wielkiej literatury, jak i do prowadzenia zwyczajnych rozmów okraszonych zabawnymi dowcipami. Ogromnie żałuję, że rozumiem go tylko w ograniczonym zakresie. Marzę o tym, by móc przeczytać wszystkie te wielkie dzieła w oryginale, ale szczerze mówiąc, wystarczyłoby mi w zupełności, gdybym mógł przynajmniej zrozumieć dowcipy.

Wielu z nas żywi podobne odczucia wobec fizyki matematycznej. Marzymy o tym, by móc zrozumieć wszystkie te wielkie idee i zagadnienia, które zapewne rozbudziłyby w nas kreatywność. Wiemy, że istnieją ogromne zasoby „poezji”, którą można przeczytać i samemu napisać, i bardzo chcielibyśmy w jakiś sposób w tym uczestniczyć. Nie znamy jednak owego „tajemniczego” języka. Celem, jaki postawiliśmy przed sobą, pisząc książki z cyklu Teoretyczne minimum, jest właśnie nauczenie naszych czytelników języka fizyki i pokazanie niektórych wielkich idei w ich naturalnym środowisku.

Jeśli do nas dołączysz, pomożemy ci zrozumieć sporą część fizyki powstałej w XX wieku. Posiądziesz wiedzę, dzięki której zdołasz przeczytać ze zrozumieniem wiele wczesnych prac Einsteina. A przy okazji na pewno zrozumiesz „dowcipy” i leżące u ich podstaw poważne idee. Na zachętę dorzuciliśmy kilka własnych żartów, choć pewnie niektóre z nich okażą się dość kiepskie.

Z przyjemnością pragnę podziękować wszystkim, którzy nam pomogli i wspierali nas podczas pisania tej książki. Stwierdzenie: „ta książka nie mogłaby powstać bez Waszej pomocy” jest dość wyświechtane, ale w tym przypadku doskonale oddaje prawdę.

Praca z profesjonalistami z agencji Brockman, Inc. i wydawnictwa Basic Books zawsze jest przyjemnością i okazją do nauczenia się czegoś nowego. John Brockman, Max Brockman i Michael Healey odegrali kluczową rolę w przekształceniu naszych pomysłów w prawdziwe przedsięwzięcie. Później T.J. Kelleher, Hélène Barthélemy, Carrie Napolitano i Melissa Veronesi pomogli nam z dużą wprawą i wyrozumiałością przejść przez proces redagowania i wydania książki. Laura Stickney z wydawnictwa Penguin Books tak wspaniale zajęła się wydaniem książki w Wielkiej Brytanii, że prawie nie zauważyliśmy, kiedy do tego doszło. Redaktor Amy J. Schneider wprowadziła wiele cennych poprawek do naszego pierwotnego maszynopisu, podobnie jak Lor Gehret i Ben Tedoff, którzy wykonali korektę tekstu.

Kilku byłych studentów Leonarda zgodziło się wspaniałomyślnie przejrzeć maszynopis. Wcale nie było to łatwe zadanie. Ich uwagi i sugestie były bezcenne i dzięki nim książka jest o wiele lepsza. Z całego serca dziękujemy więc Jeremy’emu Branscome’owi, Byronowi Domowi, Jeffowi Justice’owi, Clintonowi Lewisowi, Johanowi Shamrilowi Sosie i Dawn Marcii Wilson.

Tego przedsięwzięcia nie udałoby mi się doprowadzić do szczęśliwego końca bez życzliwości i wsparcia przyjaciół i rodziny. Moja żona Maggie poświęciła wiele godzin na rysowanie i poprawianie scen rozgrywających się w Kryjówce Hermanna. Przygotowała wszystkie ilustracje w wyznaczonym terminie, mimo iż w tym czasie zmagała się z chorobą i przeżyła śmierć swojej matki.

Pisanie tej książki pozwoliło mi realizować równocześnie dwie pasje mojego życia: zajmować się zaawansowaną fizyką i robić to w sposób dowcipny. Pod tym względem Leonard i ja tworzymy zgrany zespół i współpraca z nim była dla mnie ogromną przyjemnością.

Art FriedmanWprowadzenie

Drodzy czytelnicy serii Teoretyczne minimum.

Witajcie w nowej odsłonie wspaniałych przygód Lenny’ego i Arta. Ostatnio, gdy żegnaliśmy się z naszymi nieustraszonymi bohaterami, dochodzili do siebie po szalonej jeździe przez kwantowy świat splątania i nieoznaczoności. Marzyli wówczas o czymś spokojniejszym, pewniejszym i bardziej deterministycznym – słowem, o czymś bardziej klasycznym. Jednak w trzecim tomie czekają ich nowe przygody, wcale nie mniej szalone. Kurczące się drągi, dylatacja czasu, paradoks bliźniąt, względność jednoczesności i limuzyna, która nijak nie mieści się do garażu wybudowanego z myślą o maluchu. Lenny i Art, nie oglądając się na nic, rzucą się w wir kolejnych szalonych wydarzeń. A na samym końcu Lenny wystrychnie Arta na dudka, podrzucając mu fałszywy monopol.

No, może trochę przesadziliśmy, ale dla początkujących relatywistyczny świat jest dziwnym i wspaniałym parkiem rozrywki, pełnym niebezpiecznych zagadek i podchwytliwych paradoksów. Nie obawiajcie się jednak, w trudnych momentach zawsze będziecie mogli liczyć na naszą pomoc. Podstawowa wiedza z zakresu rachunku różniczkowego i całkowego oraz znajomość algebry liniowej w zupełności wystarczy, by poradzić sobie z każdym wyzwaniem.

Nasz cel jest taki sam jak poprzednio: pragniemy wyjaśnić wszystko zupełnie na poważnie, bez przesadnego upraszczania, ale także bez wdawania się w bardziej szczegółowe dywagacje, niż jest to konieczne, by przejść do następnego etapu podróży. W zależności od zainteresowań każdego z was tym następnym etapem może być albo kwantowa teoria pola, albo ogólna teoria względności.

Upłynęło już trochę czasu od chwili, gdy razem z Artem wydaliśmy tom drugi poświęcony mechanice kwantowej. Po ukazaniu się książki otrzymaliśmy tysiące e-maili z podziękowaniami za nasz wysiłek i wyrazami uznania za to, że w serii Teoretyczne minimum udało nam się przekazać najistotniejsze zasady fizyczne. Lektura tych listów sprawiła nam ogromną przyjemność.

W pierwszym tomie, poświęconym mechanice klasycznej, omówiliśmy ogólne podstawy fizyki klasycznej stworzone w XIX stuleciu przez Lagrange’a, Hamiltona, Poissona i innych wielkich uczonych. Okazało się, że przygotowane przez nich podwaliny są trwałe i stanowią pewny fundament dla całej współczesnej fizyki, nawet dla tego jej obszaru, który przerodził się w mechanikę kwantową.

Koncepcja mechaniki kwantowej kształtowała się w fizyce od roku 1900, gdy Max Planck odkrył ograniczenia fizyki klasycznej, do roku 1926, gdy Paul Dirac połączył idee Plancka, Einsteina, Bohra, de Broglie’a, Schrödingera, Heisenberga i Borna w spójną matematyczną teorię. Tę wielką syntezę (opartą właśnie na fundamencie mechaniki kwantowej Hamiltona i Poissona) omówiliśmy w drugim tomie Teoretycznego minimum.

W tomie trzecim cofniemy się ponownie do XIX stulecia, by przedstawić początki współczesnej teorii pola. Nie jestem historykiem nauki, ale raczej się nie mylę, sądząc, że wprowadzenie samego pojęcia pola zawdzięczamy Michaelowi Faradayowi. Faraday miał tylko podstawową wiedzę z zakresu matematyki, ale te niedostatki nadrabiał siłą wyobraźni, która doprowadziła go do sformułowania pojęć pola elektromagnetycznego, linii sił i indukcji elektromagnetycznej. Na swój własny, intuicyjny sposób rozumiał większość tego, co Maxwell wyraził później w postaci zunifikowanych równań elektromagnetyzmu. Faradayowi brakowało tylko jednego elementu, a mianowicie nie wpadł na to, że zmienne pole elektryczne wywołuje podobny efekt jak przepływ prądu elektrycznego.

To właśnie Maxwell odkrył później, na początku lat sześćdziesiątych XIX wieku, ten tak zwany prąd przesunięcia i sformułował pierwszą prawdziwą teorię pola – teorię elektromagnetyzmu i promieniowania elektromagnetycznego. Teoria Maxwella nie była jednak całkowicie wolna od niepokojących sprzeczności.

Problem polegał na tym, że teoria ta zdawała się przeczyć podstawowej zasadzie, przypisywanej już Galileuszowi, a wyrażonej ściśle przez Newtona, która głosi, że wszelki ruch jest względny. Każdy (inercjalny) układ odniesienia możemy uważać za układ znajdujący się w spoczynku – pod tym względem wszystkie takie układy są równoprawne. Zasada ta stała jednak w sprzeczności z teorią elektromagnetyzmu, z której wynika, że światło przemieszcza się zawsze z charakterystyczną prędkością wynoszącą metrów na sekundę. Jak to możliwe, że światło ma zawsze taką samą prędkość w każdym układzie odniesienia? Jak należy rozumieć to, że przemieszcza się z taką samą prędkością w układzie spoczynkowym związanym ze stacją kolejową i w układzie będącym w ruchu, związanym z rozpędzonym pociągiem?

Maxwell i inni uczeni wiedzieli o tej niezgodności i rozwiązali ją w najprostszy możliwy sposób, a mianowicie odrzucając zasadę Galileusza postulującą względność ruchu. Wyobrazili sobie, że świat jest wypełniony pewną szczególną substancją nazywaną eterem i, podobnie jak to jest w przypadku zwyczajnej materii, wiąże się z nią pewien wyróżniony układ odniesienia, względem którego eter znajduje się w stanie spoczynku. Zdaniem zwolenników tej teorii równania Maxwella są poprawne tylko w takim układzie odniesienia. W każdym innym układzie poruszającym się względem eteru równania należy odpowiednio zmodyfikować.

Tak wyglądała sytuacja aż do 1887 roku, gdy Albert Michelson i Edward Morley przeprowadzili swój słynny eksperyment, którego celem było zmierzenie niewielkich zmian prędkości światła wynikających z ruchu Ziemi względem eteru. Na pewno większość czytelników doskonale wie, jak się to skończyło: Michelson i Morley nie wykryli żadnych różnic prędkości. Uczeni zaczęli więc szukać wyjaśnienia takiego wyniku ich doświadczenia. Najprostszy pomysł zakładał istnienie efektu zwanego wleczeniem eteru, który miał polegać na tym, że poruszająca się Ziemia ciągnie za sobą eter i w związku z tym układ doświadczalny Michelsona i Morleya znajdował się w istocie w stanie spoczynku względem eteru. Jednak bez względu na to, jak próbowano ratować teorię eteru, za każdym razem okazywało się, że jest to koncepcja brzydka i mało elegancka.

Einstein, jak sam twierdził, nie wiedział o wynikach doświadczenia Michelsona i Morleya, gdy w 1895 roku (w wieku siedemnastu lat) zaczął się zastanawiać nad problemem niezgodności teorii elektromagnetyzmu z zasadą względności ruchu. Intuicja podpowiadała mu, że ta sprzeczność nie może być rzeczywista. Swoje rozważania oparł na dwóch postulatach, które wydają się niemożliwe do pogodzenia:

1. Prawa przyrody są takie same we wszystkich układach odniesienia. To oznacza, że nie może istnieć żaden szczególny układ odniesienia związany z eterem.

2. Jedno z praw przyrody głosi, że światło porusza się z prędkością c.

Choć wniosek płynący z tych dwóch założeń musiał się wówczas wydawać niepokojący, przyjęte postulaty jednoznacznie sugerowały, że światło pownno się poruszać z taką samą prędkością we wszystkich układach odniesienia.

Pogodzenie ze sobą obu założeń zajęło Einsteinowi niemal dziesięć lat, ale w 1905 roku udało mu się w końcu połączyć je w jedną całość, którą nazwał szczególną teorią względności. Co ciekawe, w tytule jego artykułu z 1905 roku w ogóle nie pojawia się słowo względność – tytuł tej pracy brzmi O elektrodynamice ciał w ruchu. W ten sposób z fizyki zniknęło coraz bardziej skomplikowane pojęcie eteru, a jego miejsce zajęła nowa teoria przestrzeni i czasu. Mimo to w podręcznikach po dziś dzień wciąż jeszcze możemy znaleźć ślady dawnej teorii eteru w postaci symbolu , który oznacza tak zwaną przenikalność dielektryczną próżni, jak gdyby próżnia była substancją o materialnych własnościach. Studenci poznający dopiero tę tematykę mają często wiele problemów wynikających z nieporozumień związanych z przyjętym nazewnictwem, którego korzenie sięgają teorii eteru. Dołożyłem wszelkich starań, żeby w tych wykładach uniknąć tego typu niejasności.

Podobnie jak w pozostałych książkach serii Teoretyczne minimum, starałem się jak najbardziej ograniczyć omawiany materiał, przedstawiając jedynie te zagadnienia, które są potrzebne, by przejść do następnego etapu. W zależności od indywidualnych zainteresowań każdego z was tym następnym etapem może być albo kwantowa teoria pola, albo ogólna teoria względności.

Nie będę oryginalny, jeśli stwierdzę, że mechanika klasyczna jest intuicyjna i opisywane przez nią ciała poruszają się w przewidywalny sposób. Doświadczonemu zawodnikowi drużyny baseballowej wystarczy jedno spojrzenie na lecącą piłkę, by na podstawie miejsca, z którego została rzucona, i jej prędkości ustalić, dokąd powinien pobiec, by złapać ją w odpowiednim momencie. Oczywiście, niespodziewany powiew wiatru może pomieszać mu szyki, ale jego ewentualne niepowodzenie będzie wynikało jedynie z tego, że nie mógł uwzględnić wszystkich zmiennych. Przyczyna intuicyjności mechaniki klasycznej jest dość oczywista: ludzie, a także zwierzęta, muszą stale z niej korzystać, by przeżyć do następnego dnia.

W książce poświęconej mechanice kwantowej wielokrotnie wspominaliśmy o tym, że jeśli chcemy zrozumieć fizykę kwantową, musimy zapomnieć o naszej fizycznej intuicji i zastąpić ją czymś zupełnie innym. Musieliśmy poznać zupełnie nowe, abstrakcyjne konstrukcje matematyczne i dowiedzieć się, w jaki sposób należy je łączyć ze światem fizycznym. A jak jest w przypadku szczególnej teorii względności? Mechanika kwantowa zajmuje się światem obiektów BARDZO MAŁYCH, natomiast szczególna teoria względności zabiera nas do królestwa zjawisk dziejących się BARDZO SZYBKO, i owszem, również ona wymaga od nas odpowiedniego dostosowania naszej intuicji. Ale jest i dobra wiadomość: opis matematyczny szczególnej teorii względności jest o wiele mniej abstrakcyjny i nie będziemy musieli się poddawać operacji mózgu, żeby połączyć te abstrakcyjne pojęcia ze światem fizycznym. Szczególna teoria względności faktycznie wymaga poszerzenia intuicji, ale zmiany te są o wiele łagodniejsze niż w odniesieniu do mechaniki kwantowej. Prawdę mówiąc, szczególna teoria względności jest powszechnie uważana za część fizyki klasycznej.

Szczególna teoria względności wymaga zdefiniowania na nowo pojęć przestrzeni i czasu, a także – i to w szczególnym zakresie – równoczesności zdarzeń. Fizycy nie wprowadzają takich zmian lekką ręką. Podobnie jak było w przypadku innych przełomowych pojęć, szczególna teoria względności natrafiła na opór wielu uznanych naukowców. Można by powiedzieć, że niektórzy fizycy zapierali się rękami i nogami i trzeba było siłą przekonywać ich do zaakceptowania teorii Einsteina – a i tak niektórzy nigdy nie uznali jej poprawności1. Dlaczego większość z nich w końcu ustąpiła? Poza faktem, że wiele wyników doświadczeń potwierdziło przewidywania wysunięte przez szczególną teorię względności, duże znaczenie miało również to, że za poprawnością tej teorii przemawia też jedna teoretyczna przesłanka. Chodzi o to, że klasyczna teoria elektromagnetyzmu, udoskonalona przez Maxwella i innych uczonych w XIX stuleciu, zakłada po cichu, iż „prędkość światła jest prędkością światła”. Innymi słowy, teoria ta zakłada, że prędkość światła jest taka sama w każdym układzie inercjalnym (czyli nieprzyspieszającym). Choć takie stwierdzenie wzbudzało niepokój, nie można go było po prostu ignorować – teoria elektromagnetyzmu odniosła zbyt wiele sukcesów, by jej założenia dało się zbyć milczeniem. W tej książce przyjrzymy się głębokim związkom łączącym szczególną teorię względności z teorią elektromagnetyzmu, a także wielu interesującym przewidywaniom i paradoksom, które wynikają z teorii Einsteina.

CIĄG DALSZY DOSTĘPNY W PEŁNEJ, PŁATNEJ WERSJI

PEŁNY SPIS TREŚCI:

Wstęp

Wprowadzenie

Wykład 1. Przekształcenie Lorentza

1.1 Układy odniesienia

1.2 Układy inercjalne

1.3 Ogólne przekształcenie Lorentza

1.4 Skrócenie długości i dylatacja czasu

1.5 Świat Minkowskiego

1.6 Tło historyczne

Wykład 2. Prędkości i czterowektory

2.1 Dodawanie prędkości

2.2 Stożki świetlne i czterowektory

Wykład 3. Relatywistyczne zasady dynamiki

3.1 Jeszcze o interwałach

3.2 Czteroprędkość powoli i dokładnie objaśniona

3.3 Interludium matematyczne: przydatne przybliżenie

3.4 Mechanika cząstek

3.5 Energia relatywistyczna

Wykład 4. Klasyczna teoria pola

4.1 Pola i czasoprzestrzeń

4.2 Pola i działanie

4.3 Podstawowe zasady teorii pola

4.4 Pola relatywistyczne

4.5 Pola i cząstki – krótkie rozważania na zachętę

Wykład 5. Cząstki i pola

5.1 Wpływ pola na cząstkę (podsumowanie)

5.2 Wpływ cząstki na pole

5.3 Indeksy górne i dolne

5.4 Konwencja sumacyjna Einsteina

5.5 Konwencje zapisu pól skalarnych

5.6 Nowy skalar

5.7 Przekształcanie składowych kowariantnych

5.8 Interludium matematyczne: wykorzystanie funkcji wykładniczych do rozwiązywania równań falowych

5.9 Fale

Interludium. Szalone jednostki

I.1 Jednostki a skala

I.2 Jednostki Plancka

I.3 Jednostki w teorii elektromagnetyzmu

Wykład 6. Siła Lorentza

6.1 Rozszerzamy notację

6.2 Tensory

6.3 Pola elektromagnetyczne

6.4 Interludium poświęcone tensorowi pola elektromagnetycznego

Wykład 7. Zasady fundamentalne i niezmienniczość ze względu na cechowanie

7.1 Podsumowanie podstawowych zasad

7.2 Niezmienniczość ze względu na cechowanie

Wykład 8. Równania Maxwella

8.1 Przykład Einsteina

8.2 Wprowadzenie do równań Maxwella

Wykład 9. Znaczenie fizyczne równań Maxwella

9.1 Interludium matematyczne

9.2 Prawa elektrodynamiki

Wykład 10. Od Lagrange’a do Maxwella

10.1 Fale elektromagnetyczne

10.2 Wyprowadzenie elektrodynamiki z lagranżjanu

10.3 Wyprowadzenie równań Maxwella

10.4 Lagranżjan z niezerową gęstością prądu

Wykład 11. Pola i mechanika klasyczna

11.1 Energia i pęd pola

11.2 Trzy rodzaje pędu

11.3 Energia

11.4 Teoria pola

11.5 Energia i pęd w czterech wymiarach

11.6 Do zobaczenia wkrótce

Dodatek A. Monopole magnetyczne: Art daje się oszukać Lenny’emu

Dodatek B. Przegląd operatorów trójwektorowych

B.1 Operator

B.2 Gradient

B.3 Dywergencja

B.4 Rotacja

B.5 Laplasjan

1 Chociażby Albert Michelson, pierwszy Amerykanin uhonorowany Nagrodą Nobla w dziedzinie fizyki, i jego współpracownik Edward Morley. Na ironię zakrawa fakt, że wyniki przeprowadzonego przez nich doświadczenia były silnym dowodem potwierdzającym poprawność szczególnej teorii względności.