Wstęp do mechaniki kwantowej - ebook

WPROWADZENIE DO MECHANIKI KWANTOWEJ

Zmiany w nowym wydaniu tego klasycznego podręcznika obejmują:

• nowy rozdział dotyczący symetrii i praw zachowania;

• nowe problemy i przykłady;

• poprawione wyjaśnienia;

• więcej problemów numerycznych do rozwiązania z wykorzystaniem komputera;

• nowe zastosowania w fizyce ciała stałego;

• skonsolidowane traktowanie potencjałów zależnych od czasu.

David J. Griffiths otrzymał tytuł licencjata w 1964 r., a następnie stopień doktora w 1970 r. na Uniwersytecie Harvarda. Uczył w Hampshire College, Mount Holyoke College oraz w Trinity College, zanim rozpoczął pracę na wydziale w Reed College w 1978 r. W latach 2001–2002 pracował jako wizytujący profesor fizyki w Five Colleges (UMass, Amherst, Mount Holyoke, Smith i Hampshire), a wiosną 2007 r. prowadził wykłady z elektrodynamiki na Uniwersytecie Stanforda. Wprawdzie jego doktorat dotyczył teorii cząstek elementarnych, jednak większość jego badań dotyczy elektrodynamiki i mechaniki kwantowej. Jest autorem ponad pięćdziesięciu artykułów i czterech książek: Introduction to Electrodynamics (wyd. 4, Cambridge University Press, 2013), Introduction to Elementary Particles (wyd. 2, Wiley-VCH, 2008), Introduction to Quantum Mechanics (wyd. 2, Cambridge, 2005) oraz Revolutions in Twentieth-Century Physics (Cambridge, 2013).

Darrell F. Schroeter jest fizykiem-teoretykiem prowadzącym badania w dziedzinie materii skondensowanej. Uzyskał tytuł licencjata w 1995 r. na Reed College i doktorat w 2002 r. na Uniwersytecie Stanforda, gdzie był stypendystą National Science Foundation. Przed podjęciem pracy na wydziale Reed College w 2007 r. Schroeter wykładał w Swarthmore College i Occidental College. Seria jego owocnych badań teoretycznych prowadzonych ze studentami została doceniona w 2011 r., kiedy został mianowany stypendystą KITP-Anacapa.PRZEDMOWA

W przeciwieństwie do mechaniki Newtona, elektrodynamiki Maxwella czy teorii względności Einsteina teoria kwantowa nie została stworzona ani nawet ostatecznie uporządkowana przez jedną osobę. Dziedzina ta zachowała do dziś niektóre blizny ze swojej radosnej, ale i traumatycznej młodości. Nie istnieje ogólny konsensus co do jej podstawowych zasad, co do tego, jak należy jej nauczać, ani co tak naprawdę „oznacza”. Każdy kompetentny fizyk może „zajmować się” mechanika kwantową, jednak historie, które opowiadamy o tym, co robimy, są tak różne jak opowieści o Szeherezadzie i prawie tak samo nieprawdopodobne. Niels Bohr powiedział: „Jeśli nie jesteś zdezorientowany fizyką kwantową, to tak naprawdę jej nie rozumiesz”. Richard Feynman zauważył: „Myślę, że mogę śmiało powiedzieć, że nikt nie rozumie mechaniki kwantowej”.

Celem tej książki jest nauczenie czytelnika, jak zajmować się mechaniką kwantową. Poza istotnymi podstawami przedstawionymi w rozdziale 1 głębsze, quasi-filozoficzne kwestie zostały omówione na samym końcu. Nie wierzymy, że można inteligentnie dyskutować o tym, co oznacza termin mechanika kwantowa, dopóki nie zrozumie się dobrze, czym zajmuje się mechanika kwantowa. Jeśli jednak jesteś bardzo niecierpliwy, to zapoznaj się przynajmniej z posłowiem zaraz po przeczytaniu rozdziału 1.

Teoria kwantowa jest nie tylko bogata koncepcyjnie, ale również trudna technicznie, a dokładnych rozwiązań wszystkich, najczęściej sztucznych przykładów z podręczników jest niewiele. Z tego powodu niezbędne jest opracowanie specjalnych technik podejścia do bardziej realistycznych problemów. W związku z tym książka ta została podzielona na dwie części. Część I obejmuje podstawowy teoretyczne, w części II zawarto zaś zbiór schematów aproksymacji z przykładowymi zastosowaniami. Chociaż ważne jest, by te dwie części pozostały logicznie rozdzielone, to nie jest konieczne przyswajanie materiału w przedstawionej tu kolejności. Na przykład, niektórzy wykładowcy mogą chcieć zapoznać się z rachunkiem zaburzeń niezależnym od czasu zaraz po przerobieniu rozdziału 2.

Książka ta została przewidziana na kurs semestralny lub roczny na poziomie mniej lub bardziej zaawansowanym. Kurs semestralny powinien koncentrować się głównie na części I, a w przypadku kursu całorocznego należy omówić także materiał uzupełniający spoza części II. Czytelnik powinien znać podstawy algebry liniowej (które zostały podsumowane w załączniku), liczby zespolone i rachunek różniczkowy w tym pochodne cząstkowe. Pomocna byłaby znajomość analizy Fouriera oraz funkcji delta Diraca. Znajomość podstawowej mechaniki klasycznej jest oczywiście niezbędna, a w niektórych miejscach przydatna jest pewna znajomość elektrodynamiki. Jak zawsze, im większą posiada się wiedzę z zakresu fizyki i matematyki, tym łatwiej będzie przyswoić sobie wiedzę z tej książki i ją pogłębić. Mechanika kwantowa nie jest jednak czymś, co płynnie i naturalnie wynika z wcześniejszych teorii. Jest wprost przeciwnie, a to oznacza gwałtowne i rewolucyjne odejście od klasycznych idei i przywołanie zupełnie nowego i radykalnie sprzecznego z intuicją sposobu myślenia o świecie. To właśnie sprawia, że jest to tak fascynująca tematyka.

Na pierwszy rzut oka ta książka może wydawać się zaskakująco mocno nasączona matematyką. Pojawiają się w niej wielomiany Legendre’a, Hermite’a i Laguerre’a, harmoniki sferyczne, funkcje Bessela, Neumanna i Hankela, funkcje Airy’ego, a nawet funkcja zeta Riemanna, nie wspominając o transformacjach Fouriera, przestrzeniach Hilberta, operatorach hermitowskich oraz współczynnikach Clebscha–Gordana. Czy wszystko to jest tak naprawdę niezbędne? Być może nie, jednak fizyka jest jak stolarstwo. Użycie odpowiedniego narzędzia sprawia, że praca jest łatwiejsza, a nauczanie mechaniki kwantowej bez odpowiedniego aparatu matematycznego przypomina wyrwanie zęba za pomocą szczypiec. Jest to możliwe, ale i bolesne. (Z drugiej strony nauczanie może być nudne i nieprzyjemne, jeśli wykładowca poczuje się zobowiązany do szczegółowego omówienia prawidłowego wykorzystania każdego narzędzia. Intencją autorów było przedstawienie narzędzi studiującemu czytelnikowi i zachęcenie go do korzystania z tych narzędzi. Choć początkowo może to wiązać się z pewnymi trudnościami, uważamy jednak taki sposób uczenia się za najbardziej wydajny i ekscytujący.) W każdym razie możemy zapewnić, że książka ta nie zawiera głębokiej matematyki. Jeśli jednak napotkasz coś nieznanego i uznasz zamieszczone wyjaśnienia za nieadekwatne, to za wszelką cenę poproś kogoś o wyjaśnienie lub wyszukaj potrzebne informacje samodzielnie. Dostępnych jest wiele dobrych książek na temat metod matematycznych. W szczególności polecamy trzecie wydanie Mathematical Methods in the Physical Sciences autorstwa Mary Boas (Wiley, New York 2006) lub siódme wydanie Mathematical Methods for Physicists autorstwa George’a Arfkena i Hansa-Jurgena Webera (Academic Press, Orlando 2013). Lecz przestrzegamy, by matematyka, która jest tu tylko narzędziem, nie przesłoniła zasadniczego celu, którym jest studiowanie fizyki.

Kilku czytelników zauważyło, że książka ta zawiera mniej sprawdzonych przykładów niż zazwyczaj, a niektóre ważne kwestie zostały poruszone w ramach problemów. Było to celowe działanie, ponieważ uważamy, że nie można nauczyć się mechaniki kwantowej bez samodzielnego rozwiązania wielu zadań. Wykładowcy powinni oczywiście omówić podczas wykładów tak dużo materiału, jak jest to możliwe. Należy jednak uprzedzić studentów, że tematyka ta nie dla każdego jest intuicyjna. Każdy musi samodzielnie wykształcić u siebie zdolność do zrozumienia poruszanych w tej książce zagadnień. Mark Semon zasugerował, by poruszanym problemom przypisać gwiazdki niczym w „Przewodniku Michelina”, różnicując ich liczbę w zależności od stopnia trudności i istotności. Wydawało się to dobrym pomysłem (choć podobnie jak w przypadku jakości restauracji określenie znaczenia problemu jest częściowo kwestią subiektywną), więc przyjęliśmy następujący schemat oznaczenia:

* istotny problem, który każdy czytelnik powinien przestudiować;

** problem nieco trudniejszy lub o drugorzędnym znaczeniu;

*** niezwykle trudny problem, którego zrozumienie może zająć nawet ponad godzinę.

(Brak gwiazdek oznacza fast food: dobre dla głodnego, ale niezbyt pożywne). Większość problemów z jedną gwiazdką została umieszczona na końcu odpowiedniego punktu, a większość problemów z trzema gwiazdkami na końcu rozdziału. Jeśli do rozwiązania danego problemu konieczne jest użycie komputera, to na marginesie został umieszczony symbol myszy. Podręcznik zwierający rozwiązania i przeznaczony tylko dla wykładowców jest dostępny u wydawcy.

Przygotowując trzecie wydanie książki, staraliśmy się zachować jak najwięcej z wydania pierwszego i drugiego. Choć książka ma dwóch autorów, do czytelnika zwracamy się w pierwszej osobie liczby pojedynczej („ja”). Wydaje się to bardziej bezpośrednie i przecież tylko jeden z autorów może wypowiadać się w danym momencie. Kiedy w tekście została użyta forma „my”, oznacza to, że odnosi się do czytelnika oraz autora pracujących razem. Schroeter przedstawił nową perspektywę teoretyka ciała stałego i jest w dużej mierze odpowiedzialny za nowy rozdział dotyczący symetrii. Dodaliśmy szereg problemów, wyjaśniliśmy wiele opisów i poprawiliśmy posłowie. Postanowiliśmy jednak nie dopuścić do nadmiernego zwiększenia objętości tekstu i z tego powodu usunęliśmy rozdział o przybliżeniu adiabatycznym, zachowując jedynie istotne spostrzeżenia na ten temat w rozdziale 11. Ponadto z rozdziału 5 usunęliśmy informacje na temat mechaniki statystycznej (które tak naprawdę powinny znaleźć się w książce dotyczącej termofizyki). Oczywistą sprawą jest to, że wykładowcy mogą omawiać inne uznane za stosowne tematy, chcemy jednak, by ten podręcznik stanowił podwaliny mechaniki kwantowej.

Bardzo pomocne okazały się komentarze i rady wielu kolegów, którzy czytali pierwotny manuskrypt i zwrócili uwagę na słabości lub błędy zawarte w dwóch pierwszych wydaniach, zasugerowali, jak poprawić opisy, i zaproponowali wiele ciekawych zagadnień. Na nasze szczególne podziękowania zasługują następujące osoby: P.K. Aravind (Worcester Polytech), Greg Benesh (Baylor), James Bernhard (Puget Sound), Burt Brody (Bard), Ash Carter (Drew), Edward Chang (Massachusetts), Peter Collings (Swarthmore), Richard Crandall (Reed), Jeff Dunham (Middlebury), Greg Elliott (Puget Sound), John Essick (Reed), Gregg Franklin (Carnegie Mellon), Joel Franklin (Reed), Henry Greenside (Duke), Paul Haines (Dartmouth), J. R. Huddle (Navy), Larry Hunter (Amherst), David Kaplan (Washington), Don Koks (Adelaide), Peter Leung (Portland State), Tony Liss (Illinois), Jeffry Mallow (Chicago Loyola), James McTavish (Liverpool), James Nearing (Miami), Dick Palas, Johnny Powell (Reed), Krishna Rajagopal (MIT), Brian Raue (Florida International), Robert Reynolds (Reed), Keith Riles (Michigan), Klaus Schmidt-Rohr (Brandeis), Kenny Scott (London), Dan Schroeder (Weber State), Mark Semon (Bates), Herschel Snodgrass (Lewis and Clark), John Taylor (Colorado), Stavros Theodorakis (Cyprus), A.S. Tremsin (Berkeley), Dan Velleman (Amherst), Nicholas Wheeler (Reed), Scott Willenbrock (Illinois),William Wootters (Williams) i Jens Zorn (Michigan).PRZYPISY

Nakładem WN PWN ukazało się w 2001 r. tłumaczenie w języku polskim trzeciego wydania tej książki (przyp. red.).

Taka struktura została zainspirowana lekturą klasycznego tekstu autorstwa David Parksa: Introduction to the Quantum Theory, wyd. 3, McGraw-Hill, New York (1992).

Angielski termin thermal physics oznacza połączenie termodynamiki, mechaniki statystycznej i kinetycznej teorii gazów (przyp. red.).

Siły magnetyczne są wyjątkiem, w tym miejscu książki nie będą jednak jeszcze rozpatrywane. Nawiasem mówiąc, w całej tej książce założono, że ruch jest nierelatywistyczny (v  c).

Wyborne informacje z pierwszej ręki o pochodzeniu równania Schrödingera można znaleźć w artykule autorstwa Felixa Blocha opublikowanego w Physics Today w grudniu 1976 r.

Sama funkcja falowa jest zespolona, lecz |Ψ|² = Ψ* Ψ (gdzie Ψ* jest funkcją sprzężoną do Ψ) jest rzeczywiste i nieujemne, czyli taka, jakie z oczywistych powodów musi być prawdopodobieństwo.

Oczywiście żaden przyrząd pomiarowy nie jest idealnie dokładny. Mam na myśli to, że cząstka została znaleziona w pobliżu C z dokładnością, którą umożliwia sprzęt.

Bernard d’Espagnat, The quantum theory and reality, Scientific American, listopad 1979, str. 165.

Zacytowane w błyskotliwym artykule autorstwa N. Davida Mermina, Is the moon there when nobody looks?, Physics Today, kwiecień 1985, str. 38.

Ibid., str. 40.

Jest to trochę zbyt mocne stwierdzenie. Istnieją realne nielokalne teorie zmiennych ukrytych (zwłaszcza Davida Bohma) i inne sformułowania (takie jak interpretacja wielu światów), które nie pasują do żadnej z moich trzech kategorii. Uważam jednak, że rozsądne jest, przynajmniej z pedagogicznego punktu widzenia, przyjąć jasną i spójną platformę na tym etapie, a inne możliwości rozpatrzyć później.

Rola pomiaru w mechanice kwantowej jest tak krytyczna i tak dziwna, że można się zastanawiać, czym dokładnie jest pomiar. Nawiązanie do tego problemu zostało zamieszczone w posłowiu. Na razie spójrzmy na niego naiwnie: pomiar jest czymś, co naukowiec w białym fartuchu wykonuje w laboratorium, używając z linijki, stopera, licznika Geigera i tym podobnych.

Ponieważ długość fali elektronów jest zazwyczaj bardzo mała, szczeliny muszą być bardzo blisko siebie. Historycznie zostało to osiągnięte w 1925 r. przez Davissona i Germera, którzy jako „szczeliny” wykorzystali warstwy atomowe w krysztale. Dla zainteresowanych, zobacz R.K. Gehrenbeck, Physics Today, styczeń 1978, str. 34.

Zobacz: Tonomura i in., American Journal of Physics, 57, 2, 117–120 (1989) oraz niesamowite wideo na https://www.hitachi.com/rd/research/materials/quantum/doubleslit/index.html. Eksperyment ten można teraz wykonać przy użyciu cząstek o znacznie większej masie, w tym „kul Bucky’ego”. Zobacz M. Arndt i in., Nature, 40, 680 (1999). Nawiasem mówiąc, to samo można zrobić ze światłem. Należy zmniejszyć natężenie światła, tak by w danej chwili był tylko jeden „foton”, a otrzymany identyczny wzór interferencyjny. Zobacz R.S. Aspden, M.J. Padgett i G.C. Spalding, Am. J. Phys., 84, 671 (2016).

Uważam za istotne odróżnienie takich zjawisk jak interferencja i dyfrakcja, które miałyby zastosowanie w dowolnej teorii fal, począwszy od niepowtarzalnych cech procesu pomiarowego w mechanice kwantowej, które wynikają z interpretacji statystycznej.

Statystyk będzie miał uwagi dotyczące tego, że mylę średnią ze skończonej próbki (w tym przypadku miliona) z „prawdziwą” średnią (w całym continuum). Może to być niezręczny problem dla eksperymentatora, szczególnie gdy wielkość próby jest niewielka. Jednak w tym przypadku chodzi mi tylko o prawdziwą średnią, której średnia próbki jest prawdopodobnie dobrym przybliżeniem.

Najwyraźniej Ψ(x, t ) musi dążyć do zera szybciej niż gdy |x| → ∞. Nawiasem mówiąc, normalizacja naprawia tylko moduł A, faza pozostaje nieokreślona. Jednak, jak zobaczymy, i tak nie ma to fizycznego znaczenia.

Kompetentny matematyk mógłby przedstawić patologiczne kontrprzykłady, nie są one jednak istotne w fizyce. Dla nas funkcja falowa i wszystkie jej pochodne dążą do zera w nieskończoności.

W celu uproszczenia pominąłem granice całkowania (± ∞).

Zgodnie z twierdzeniem o pochodnej iloczynu:

na podstawie którego wynika:

Zatem pod znakiem całki możesz odłączyć pochodną od jednego czynnika w iloczynie i dołożyć ją do drugiego czynnika. Konieczna będzie zmiana znaku i określenie granic całkowania.

„Operator” to instrukcja wykonania czegoś w stosunku do funkcji, która jest za nim. Operator przyjmuje jedną funkcję i daje w rezultacie inną funkcję. Operator położenia nakazuje pomnożenie przez x, a operator pędu każe policzyć pochodną względem x i pomnożyć wynik przez −iħ.

Niektórzy autorzy ograniczają to twierdzenie do pary równań p = m dx/dt oraz −V/x = dp/dt.

Dlatego grający na flecie piccolo musi trafić dokładnie w wysokość tonu, podczas gdy kontrabasista może sobie pozwolić na założenie rękawic ogrodowych. W przypadku piccolo sześćdziesięcioczwórka obejmuje wiele pełnych cykli, a częstotliwość (odnosimy się teraz do dziedziny czasu zamiast przestrzeni) jest dobrze określona. Tymczasem dla basu, przy znacznie niższym rejestrze, sześćdziesięcioczwórka obejmuje tylko kilka cykli, a wszystko, co słyszysz, to pewnego rodzaju „oomph” bez bardzo wyraźnego tonu.

Wyjaśnienie tego zostało zamieszczone w dalszej części. Wielu autorów przyjmuje formułę de Broglie’a jako aksjomat, z którego następnie wnioskują związek pędu z operatorem –iħ(/x). Chociaż jest to koncepcyjnie czystsze podejście, to wiąże się z pewnymi komplikacjami matematycznymi.

Jeśli chcesz, to zamiast zdjęć jednego systemu w przypadkowych momentach, wyobraź sobie zestaw takich systemów, wszystkie z tą samą energią, ale z losowymi położeniami początkowymi i sfotografuj je wszystkie w tym samym czasie. Taka analiza jest identyczna, jednak taka interpretacja jest bliższa kwantowemu pojęciu nieokreśloności.

W ciele stałym wewnętrzne elektrony są powiązane z określonym jądrem, a odpowiednim dla nich rozmiarem byłby promień atomu. Jednak najbardziej zewnętrzne elektrony nie są przyłączone i odpowiednią dla nich odległością jest stała sieci krystalicznej. Ten problem dotyczy elektronów zewnętrznych.